Este documento explica cómo derivar funciones implícitas utilizando la regla de la cadena o derivadas parciales. Presenta dos métodos para derivar funciones implícitas definidas por ecuaciones: 1) aplicando la regla de la cadena a cada término que involucre a la variable y, o 2) usando la fórmula que involucra derivadas parciales de la función con respecto a x e y. El documento provee ejemplos de cómo aplicar ambos métodos y concluye indicando que las derivadas parciales pueden simplificar el pro
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
En este proyecto intentaremos hacer una recopilación de información y métodos para resolver las diferentes ecuaciones diferenciales existentes, todo esto en base en investigaciones científicas realizadas con un arduo esfuerzo.
Para poder explicar como se realizan las ecuaciones diferenciales se hará necesario explicar que es una ecuación diferencial para no tener dudas a la hora de utilizar ciertos métodos para resolver las ecuaciones previamente dichas.
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1. 1 de 4 08/08/2012 01:35 p.m.
Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamosestán expresadas
en formaexplícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas
funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene
definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
Despejando y, así, y = 1 / x = x
-1
, obteniendo su derivada fácilmente:
.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método.Por ejemplo, ¿cómo hallar
dy/dx para la ecuación x
2
- 2y
3
+ 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función
explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la
habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será
necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
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Ejemplo 3:
, de la función implícita:
, a cada término y extrayendo las constantes;
En el primer término las variables coinciden, se derivan normalmente, en el segundo
término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el
tercer término.
Quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
Pasando algunos términos al lado derecho,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
Hallar
Aplicando la notación
.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
Continuación claramente en el segundo paréntesis,
Extrayendo el factor común ,
3. 3 de 4 08/08/2012 01:35 p.m.
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
, representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
, de la función implícita:
Solución: Primero,
Segundo,
Ahora el cociente,
Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Hallar
Donde
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Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos
ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación
implícita.
Gracias