El documento describe brevemente la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros sistemas de conteo hasta los números complejos. Comienza con los números naturales y luego introduce los números enteros, racionales, reales e imaginarios. Explica que los sistemas de numeración posicionales como el hindú-arábigo permitieron realizar cálculos más fácilmente. Finalmente, define los números complejos y sus propiedades.
El documento describe brevemente la evolución de los sistemas de numeración, desde los números naturales hasta los números complejos. Explica que los primeros sistemas de numeración no eran posicionales, lo que dificultaba las operaciones matemáticas, y que el uso del cero fue fundamental para los sistemas posicionales como la numeración indo-arábiga. Finalmente, introduce los números complejos y sus propiedades y operaciones.
El documento describe brevemente la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los números naturales hasta los números complejos. Explica que los números complejos se definen como números reales más números imaginarios multiplicados por i, donde i es igual a la raíz cuadrada de -1. También resume las propiedades básicas y operaciones con números complejos como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. Explica los números naturales, enteros, racionales y reales, así como sus propiedades. Finalmente, introduce los números imaginarios y complejos, y describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con números complejos.
Advanced Braking Technology is an ASX-listed company based in Perth, Australia that develops and manufactures braking systems for vehicles used in mining and other heavy-duty applications. Their flagship product is the SIBS brake, a fully enclosed wet brake system that provides reliable braking in harsh environments with very low maintenance requirements. SIBS brakes have been successfully implemented in light vehicles, mine specification vehicles, and other applications globally. Advanced Braking Technology provides comprehensive support for SIBS including training, installation, and service support.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor desempenho. O dispositivo também possui um preço mais acessível em comparação aos modelos anteriores para atrair mais consumidores. O lançamento ocorrerá no próximo mês e a empresa espera que o novo smartphone ajude a aumentar suas vendas e participação no mercado.
PowerPoint es una aplicación para crear presentaciones dividas en diapositivas y hojas, que permite elaborar documentos horizontales y realizar presentaciones de forma sencilla.
O documento apresenta o calendário básico de vacinação para crianças, adolescentes e adultos no Brasil, indicando quais vacinas devem ser aplicadas em cada idade, contra quais doenças e em quantas doses.
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1) El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. 2) Explica diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios, así como sus propiedades y operaciones matemáticas. 3) Finalmente, introduce los números complejos y describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con este tipo de números.
Este documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros sistemas no posicionales como la numeración romana hasta los números complejos. Explica cómo cada nuevo conjunto de números surgió de la necesidad de incluir nuevos tipos de números al ampliar los conjuntos existentes, como los números negativos, fraccionarios e irracionales. Finalmente introduce los números imaginarios y complejos, permitiendo realizar operaciones como extraer raíces cuadradas de números negativos.
El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por el ser humano, comenzando con sistemas no posicionales como la numeración romana y progresando hacia sistemas posicionales como la numeración maya. Explica que la introducción del cero fue fundamental para los sistemas posicionales y que los números complejos se desarrollaron para incluir raíces cuadradas de números negativos mediante la adición de los números imaginarios.
Este documento trata sobre los números reales y la notación científica. Explica la importancia de los números en el desarrollo de las civilizaciones y describe los números naturales, decimales y reales. También cubre temas como operaciones con números reales, porcentajes, notación científica y cantidades muy grandes y pequeñas expresadas en esta notación.
Este documento presenta información sobre los números reales y la notación científica. Explica la importancia de los números en la civilización y el desarrollo de la numeración. Define los números reales e introduce conceptos como operaciones con números reales, porcentajes, localización en la recta numérica y notación científica. Incluye ejercicios para practicar estos temas.
Este documento trata sobre los números reales y la notación científica. Explica la importancia de los números en la civilización y el desarrollo de la numeración. Luego describe los números reales, operaciones con ellos, porcentajes y la notación científica para expresar cantidades muy grandes y pequeñas. Finalmente, presenta ejemplos para practicar la notación científica con distancias y tamaños atómicos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de los sistemas de numeración. Explica que los sistemas de numeración permiten cuantificar y ordenar conjuntos de objetos mediante el uso de símbolos que siguen las reglas de los axiomas de Peano. Describe diferentes tipos de sistemas de numeración, incluyendo los sistemas aditivos, multiplicativos y posicionales. Finalmente, resume las reglas básicas de los sistemas de numeración posicionales, como la definición de cifras y el principio del valor posicional.
Este documento presenta 5 actividades matemáticas que involucran la descomposición y composición de números, representaciones alternativas de números sin usar ciertos dígitos, sumas y restas mentales, números divisibles únicamente por sí mismos y 1, y métodos para realizar restas mentales. El estudiante considera que estas actividades promueven el pensamiento reflexivo y creativo al requerir pensar en soluciones no obvias.
Este documento explica los diferentes sistemas de numeración, incluyendo el decimal, binario, octal y hexadecimal. Define un sistema de numeración como un conjunto de símbolos y reglas para generar números válidos. Luego describe cada sistema, sus símbolos y cómo realizar operaciones básicas y conversiones entre ellos.
Representación de la información digital - INTRODUCCIÓN 15mar22.pdfAnahiVargas35
El documento trata sobre la representación de la información digital. Explica el concepto de número, los orígenes del número en la observación de la naturaleza, y la construcción humana del número a través de etapas como la distinción de uno y muchos. También describe contextos en que el número adquiere significado como representar cantidades o establecer relaciones entre ellas. Por último, introduce conceptos como las bases numéricas, los sistemas de numeración como el chino y maya, y la evolución de los sistemas de numeración a lo largo de la historia
Introducción
Los sistemas numéricos son instrumentos idóneos para transmitir la amenidad, formalidad y el carácter lúdico que tienen las matemáticas (Universidad Nacional Autonoma de Nicaragua, Managua , 1999).
Con el presente modulo se pretende que como estudiantes de la carrera de física matemática se apropien de los diferentes conjuntos numéricos y sus principales propiedades.
Se pretende con el material a disposición alcancen un mejor nivel de preparación académica en la asignatura de estructuras numéricas no dejando de lado la auto preparación y los deseos por ampliar más los conocimientos en dicha asignatura, pues en presente material se verán algunos tópicos fundamentales, por tanto se insta a que como estudiantes amplíen sus conocimientos mediante el autoestudio.
Los números son una inagotable veta de actividades lúdicas, aptas para implementar en todos los niveles educativos del país.
La estructura del módulo consiste en seis unidades temáticas:
I Unidad: Números enteros naturales
II Unidad: Números enteros relativos
III Unidad: Números enteros primos
IV Unidad: Números Reales
V Unidad: El cuerpo de los complejos
VI Unidad: Aplicaciones de los complejos
En el cual se empleara la metodología activa participativa de manera conferencial donde se tratara de que todos los estudiantes se involucren en el descubrimiento y manipulación de los diferentes dominios numéricos
Este documento trata sobre la enseñanza de los números y el cálculo numérico en primaria. Explica los diferentes tipos de números como naturales, enteros, fraccionarios y decimales, así como los sistemas de numeración. También describe las operaciones básicas de cálculo y los procedimientos para realizarlas de forma escrita o mental. Finalmente, ofrece indicaciones sobre la intervención educativa para el desarrollo de las competencias matemáticas y otras competencias básicas en los estudiantes.
Este documento trata sobre el aprendizaje de los números y el cálculo numérico en primaria. Explica los diferentes tipos de números como naturales, enteros, fraccionarios y decimales, así como los sistemas de numeración. También cubre temas como las operaciones de cálculo, el cálculo mental, el uso de la calculadora, y la intervención educativa para diferentes edades.
Este documento describe la enseñanza y el aprendizaje de los números y el sistema de numeración. Explica que los niños adquieren conocimientos numéricos de forma espontánea que los docentes deben sistematizar y enriquecer mediante situaciones desafiantes. También describe las funciones de los números como memoria de la cantidad, la posición y para calcular, e introduce el sistema de numeración decimal y la metodología Montessori de ir de lo concreto a lo abstracto.
Este documento trata sobre la adquisición del concepto de número en los niños. Explica los diferentes contextos numéricos como la secuencia, el conteo, lo cardinal y la medida. Describe las etapas por las que pasan los niños según diferentes investigaciones para llegar a entender los números. Finalmente, analiza factores que influyen en el aprendizaje de los números en la escuela infantil.
Este documento trata sobre la adquisición del concepto de número en los niños. Explica los diferentes contextos numéricos como la secuencia, el conteo, lo cardinal y la medida. Describe las etapas en el aprendizaje del número según varios investigadores y la importancia de la educación infantil en la formación de los conceptos básicos de las matemáticas.
Este documento proporciona una breve historia de los números enteros y las herramientas de cálculo. Explica que los primeros cálculos matemáticos se realizaron con huesos, piedras o palos, y que con el tiempo se desarrollaron instrumentos como el ábaco, las reglas de cálculo y las calculadoras mecánicas y electrónicas para facilitar las operaciones aritméticas. Además, analiza conceptos como el sistema de numeración y las cuatro operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y
Este documento explica los sistemas de numeración, incluyendo el sistema decimal, binario, octal y hexadecimal. También describe los diferentes tipos de software, incluyendo sistemas operativos como MS-DOS, MacOS, OS/2, UNIX, Linux y Windows. Finalmente, cubre temas como la instalación de software, la configuración y particionamiento de discos duros, e instalación de Microsoft Office.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento describe cuatro casos de descomposición de fracciones parciales y proporciona un ejemplo de resolución. Se descompone la expresión 4x^2 - 19x - 18/(x^3 + x^2 - 6x) en tres fracciones parciales A/(x), B/(x+3), C/(x-2) mediante igualación y resolución de sistemas de ecuaciones. El resultado es A=3, B=5, C=-4.
La función BUSCARV en Excel permite buscar un valor dentro de una tabla de datos y devolver el valor de la columna especificada si existe una coincidencia. La función requiere que los datos estén organizados verticalmente y que la primera columna contenga valores únicos para identificar cada fila. BUSCARV tiene cuatro argumentos: el valor buscado, la tabla de búsqueda, el número de columna cuyo valor se devolverá, y un valor lógico que indica si la búsqueda es exacta o aproximada.
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Este documento explica cómo crear y utilizar tablas dinámicas en Excel para resumir y analizar grandes cantidades de datos de manera fácil. Describe que las tablas dinámicas permiten crear reportes flexibles sin fórmulas al arrastrar y soltar columnas, y que aunque parecen complicadas, en realidad son sencillas de usar siguiendo pasos como seleccionar datos, insertar una tabla dinámica, y aceptar la configuración predeterminada.
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Contiene asistentes para crear tablas, gráficos, etc.
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Este documento define varios conceptos básicos de álgebra, incluyendo término algebraico, variable, exponente, monomio, binomio, trinomio, polinomio, grado de un término y grado absoluto. Explica que un término algebraico contiene un solo símbolo o varios símbolos no separados por signos, mientras que un polinomio contiene más de un término. También define el grado de un término como el máximo exponente de una variable dada y el grado absoluto como la suma
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Los números naturales son cualquier número que se utilice para contar elementos y poseen propiedades como ser ordenados y cumplir relaciones de valor entre cifras. Estos números tienen la propiedad de ser aditivos, con una suma y un elemento neutro. También cumplen propiedades como la asociativa, la conmutativa y el orden de los sumandos no altera el producto.
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Las funciones trigonométricas se definen como las razones entre los lados de un triángulo rectángulo asociadas a sus ángulos. Existen seis funciones básicas, aunque antiguamente se usaban otras como el verseno. Las funciones se pueden definir geométricamente o mediante series infinitas y ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores reales y complejos.
Una computadora está compuesta por varios componentes electrónicos que trabajan juntos para procesar y crear información. El componente central es la unidad de procesamiento central (CPU) que funciona como el cerebro de la computadora. Otros componentes clave incluyen la memoria RAM que almacena temporalmente datos durante el uso y la unidad de disco duro que almacena grandes cantidades de información de forma permanente como programas y archivos. Juntos, estos componentes electrónicos conforman el hardware de una computadora.
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El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
1. Actividad 2. Números Complejos.
G. Edgar Mata Ortiz
Números naturales, enteros,
racionales, irracionales, reales y
complejos.
2. Los Números Complejos
http://licmata-math.blogspot.mx/ 2
Los números han acompañado al ser humano desde su aparición sobre la tierra. En un primer momento
solamente para contar. Posteriormente fue necesario efectuar operaciones aritméticas y, al preguntarse cómo
y porqué se podían efectuar dichas operaciones, se produce conocimiento matemático.
En el presente material se hará un rápido recorrido por los diferentes tipos de números que ha empleado el ser
humano hasta llegar a los números complejos.
Contenido
Introducción............................................................................................................................................................................................................................. 3
Importancia del cero. ......................................................................................................................................................................................................... 3
Sistemas de numeración no posicionales. ............................................................................................................................................................................... 3
Otros sistemas de numeración no posicionales. ................................................................................................................................................................ 4
Sistemas de numeración posicional......................................................................................................................................................................................... 4
Los números naturales. ...................................................................................................................................................................................................... 4
Propiedades de los números naturales......................................................................................................................................................................... 4
La resta en los números naturales. ............................................................................................................................................................................... 4
Los números enteros.......................................................................................................................................................................................................... 4
Propiedades de los números enteros............................................................................................................................................................................ 4
La división en los números naturales y números enteros. ............................................................................................................................................ 4
Los números racionales...................................................................................................................................................................................................... 5
Propiedades de los números racionales........................................................................................................................................................................ 5
La raíz cuadrada de un número racional. ...................................................................................................................................................................... 5
Los números reales............................................................................................................................................................................................................. 5
Propiedades de los números reales. ............................................................................................................................................................................. 5
La raíz cuadrada de un número real.............................................................................................................................................................................. 5
Los números complejos...................................................................................................................................................................................................... 6
Los números imaginarios. ............................................................................................................................................................................................. 6
Propiedades de los números imaginarios. .................................................................................................................................................................... 6
Concepto de números complejos.................................................................................................................................................................................. 6
Operaciones con números complejos. ............................................................................................................................................................................... 7
Multiplicaciones y potencias del número i.................................................................................................................................................................... 7
Suma y resta de números complejos. ........................................................................................................................................................................... 8
Multiplicación de números complejos. ......................................................................................................................................................................... 8
División de números complejos. ................................................................................................................................................................................... 9
Aplicaciones de los números complejos...................................................................................................................................................................... 10
3. Los Números Complejos
http://licmata-math.blogspot.mx/ 3
Introducción.
La numeración que actualmente empleamos recibe el nombre de
numeración indo-arábiga debido a su origen.
Con base en la información que se muestra a la izquierda acerca del
origen de este sistema de numeración escribe un ensayo de 600 palabras
acerca del tema.
Importancia del cero.
Para que pudieran existir los sistemas de numeración posicional, el uso
del cero fue fundamental, explica por qué:
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
Sistemas de numeración no posicionales.
No todos los sistemas de numeración empleados por el ser humano han
sido posicionales, un ejemplo conocido es la numeración romana.
Entre muchas otras desventajas, este sistema de numeración dificulta la
realización de operaciones aritméticas, sin embargo, es posible resolver
sumas y restas. Anota, en el siguiente espacio, tres ejemplos de suma y
tres de resta con números romanos.
El origen de
los números.
Existen varias explicaciones
y teorías acerca del origen
del sistema de numeración
que empleamos
actualmente.
Es generalmente aceptado
que la numeración indo-
arábiga fue desarrollada en
la India y difundida por los
árabes en occidente.
Simultáneamente, otras
culturas elaboraron sus
propios sistemas de
numeración y los emplearon
durante siglos; finalmente,
las indudables ventajas del
sistema de numeración
posicional base 10 hicieron
que, poco a poco, se
convirtiera en el único
sistema de numeración
empleado por los seres
humanos.
Las computadoras emplean
un sistema de numeración
posicional, pero de base
dos, es decir, solamente
existen dos dígitos (0, 1) y,
de acuerdo a la posición que
ocupan, toman diferentes
valores: 1, 2, 4, 8, 16, etc.
4. Los Números Complejos
http://licmata-math.blogspot.mx/ 4
Otros sistemas de numeración no posicionales.
Realiza una investigación y explica otros dos sistemas de numeración no posicional. Elabora un reporte de 400
palabras en el que expliques los símbolos empleados en esos sistemas de numeración, su origen histórico y, en
caso de que sea posible, algunas operaciones aritméticas.
Sistemas de numeración posicional.
Los sistemas de numeración posicional presentan grandes ventajas sobre los no posicionales,
especialmente la facilidad para efectuar operaciones aritméticas.
Un ejemplo ampliamente conocido es el de la numeración maya, que utiliza el cero y es
posicional.
Los números naturales.
Se les llama así al conjunto: N = {1, 2, 3,…}
El cero es un caso aparte. En muchos libros se le considera un número natural y en otros no,
por ello, para evitar confusiones, si estamos considerando que el cero forme parte de un
conjunto de números se emplea la expresión: “Enteros no negativos”, y si no deseamos
incluir al cero: “Enteros positivos”.
Propiedades de los números naturales.
Los números naturales presentan diversas propiedades que hacen referencia a las operaciones aritméticas que
se realizan con ellos. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200 palabras acerca de dichas
propiedades.
La resta en los números naturales.
Cuando efectuamos cualquier suma de números naturales el resultado es otro número natural, sin embargo, al
efectuar una sustracción de dos números naturales, no siempre se obtiene como resultado otro número
natural: 3 – 5 = – 2. Es obvio que el – 2 no es un número natural.
Cuando esto sucede, se amplía el conjunto de los números naturales para que incluya al cero y a los números
negativos. Se obtiene así un nuevo conjunto de números:
Los números enteros.
Se les llama así al conjunto: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
Este conjunto de números incluye los naturales, el cero, y los enteros negativos.
Propiedades de los números enteros.
Los números enteros presentan diversas propiedades que hacen referencia a las
operaciones aritméticas que se realizan con ellos. Realiza una investigación y elabora
un reporte de 200 palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los
números enteros y los naturales.
La división en los números naturales y números enteros.
Cuando efectuamos cualquier suma o multiplicación de números naturales o enteros el resultado es otro
número natural o entero, sin embargo, al efectuar una división de dos números naturales o enteros, no
siempre se obtiene como resultado otro número natural o entero: 𝟑 ÷ 𝟓 = 𝟎. 𝟔
Es evidente que 0.6 no es un número natural ni entero. Nuevamente se amplía el conjunto de los números
enteros para que incluya resultados fraccionarios. A este conjunto de números se le llama:
5. Los Números Complejos
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Los números racionales.
Los números racionales incluyen a los enteros y a cualquier número
que pueda expresarse como una fracción. A diferencia de los
números naturales y enteros, no existe el consecutivo de un número
racional ya que entre un racional y otro, existen infinidad de
números racionales.
En este conjunto de números se incluyen racionales positivos y
negativos
Propiedades de los números racionales.
Los números racionales, al ser una ampliación de los números enteros, presentan algunas propiedades
similares a aquellos y otras diferentes. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200 palabras acerca de
la diferencia entre las propiedades de los números enteros y los racionales.
La raíz cuadrada de un número racional.
Tal como ha ocurrido con otros conjuntos de números, al efectuar alguna operación aritmética, el resultado no
pertenece al conjunto de números en estudio, por lo que se hace necesario ampliar ese conjunto y formar así,
un nuevo conjunto. En este caso, la operación aritmética es la raíz cuadrada.
Al obtener a raíz cuadrada de diversos números racionales el resultado es otro número racional, sin embargo,
existen números racionales cuya raíz es un número irracional, por ejemplo: √2 ó √3
En esta ocasión no resulta tan evidente como en los ejemplos anteriores, por ello realiza una consulta acerca
de los números irracionales y elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de dichos
números. Se obtiene así el conjunto de:
Los números reales.
Este conjunto de números contiene a los racionales y a los irracionales.
Pueden expresarse como números enteros, decimales o fracciones
comunes.
La representación más común de los números reales es la recta
numérica.
Propiedades de los números reales.
Los números reales también tienen sus propiedades. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200
palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los números reales y los racionales.
La raíz cuadrada de un número real.
Al extraer raíz cuadrada de un número real, a veces se obtiene un número real, pero no siempre.
Específicamente la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real: √−𝟏 =?
Para poder resolver situaciones como esta, se amplía nuevamente el conjunto de los números reales.
6. Los Números Complejos
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Los números complejos.
En forma similar a la forma en que se han resuelto las situaciones anteriores vamos a agregar elementos al
conjunto de los números reales para obtener los números complejos. Los nuevos elementos del conjunto son:
Los números imaginarios.
Por lo que hemos aprendido hasta ahora, no es posible obtener la raíz cuadrada de un número negativo,
debido a que no existe ningún número real que, elevado al cuadrado, produzca un resultado negativo, es decir,
cualquier número real; positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, da como resultado un número positivo.
Para poder extraer la raíz cuadrada a un número negativo necesitamos un número que, al elevarlo al cuadrado,
produzca un resultado negativo, entonces se define el número i como la raíz cuadrada de meno uno.
𝑖 = √−1
Ahora sí, existe un número, llamado i, que al elevarse al cuadrado da como resultado un número negativo: -1.
𝑖 = √−1 → 𝑖2
= (√−1)
2
→ 𝒊 𝟐
= −𝟏
Este procedimiento de ampliar conjuntos de números parece un tanto artificial, tal vez lo es, pero tiene la
ventaja de que hemos “inventado” un número (i) que tiene propiedades sumamente útiles; especialmente la
obtención de la raíz cuadrada de números negativos. Por ejemplo:
√−4 = √(4)(−1) = √4√−1 = 2𝑖
Es posible que, para muchas personas, la idea de obtener la raíz cuadrada de un número negativo suene
absurda, sin sentido, y sin ninguna aplicación útil. No debemos olvidar que, durante mucho tiempo se opinó lo
mismo de los números negativos e irracionales, e incluso del cero. Son un concepto matemático que ha
probado ser útil en diversas ramas de la ciencia y la tecnología, especialmente en electricidad y magnetismo.
Naturalmente la incorporación de este número, ocasiona que algunas propiedades de los números reales no se
puedan aplicar y, en cambio, aparezcan otras propiedades que los números reales no tenían.
Propiedades de los números imaginarios.
Al igual que otros conjuntos de números, los imaginarios tienen sus propiedades. Realiza una investigación y
elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de los números imaginarios.
Concepto de números complejos.
A partir de la existencia del número i, podemos construir los números
complejos que constan de dos partes; un número real y un número imaginario.
Generalmente se representan escribiendo primero la parte real y luego la
imaginaria: a + bi.
Dado que cualquiera de los dos elementos del número complejo puede ser cero, todos los números reales se
consideran complejos con parte imaginaria igual a cero, y los imaginarios se consideran complejos con parte
real igual a cero: 5 = 5 + 0i, 2i = 0 + 2i.
7. Los Números Complejos
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Operaciones con números complejos.
Las operaciones aritméticas con números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales se estudian
durante toda la educación básica. Debido a la incorporación del número i, las operaciones con números
complejos presentan algunas diferencias que es necesario estudiar.
Multiplicaciones y potencias del número i.
Al elevar a una potencia el número i, debemos tener en cuenta que las propiedades que se aplican a los
números reales no funcionan con los números complejos. Un error ocasionado por la aplicación de
propiedades de los números reales a números imaginarios es:
𝑖 = √−1 → 𝑖2
= (√−1)
2
→ 𝑖2
= √(−1)2
𝑖2
= √(−1)2 → 𝑖2
= √1 → 𝒊 𝟐
= 𝟏
La forma correcta de elevar el número i a una potencia o multiplicarlo es la siguiente:
𝒊 = √−𝟏
𝑖2
= (√−1)
2
→ 𝒊 𝟐
= −𝟏
𝑖3
= 𝑖2
∙ 𝑖 → 𝒊 𝟑
= (−𝟏) ∙ 𝒊 → 𝒊 𝟑
= −𝒊
𝑖4
= 𝑖2
∙ 𝑖2
→ 𝒊 𝟒
= (−𝟏) ∙ (−𝟏) → 𝒊 𝟒
= 𝟏
𝑖5
= 𝑖4
∙ 𝑖 → 𝒊 𝟓
= ( 𝟏) ∙ 𝒊 → 𝒊 𝟓
= 𝒊
𝑖6
= 𝑖4
∙ 𝑖2
→ 𝒊 𝟔
= ( 𝟏) ∙ (−𝟏) → 𝒊 𝟔
= −𝟏
𝑖7
= 𝑖4
∙ 𝑖3
→ 𝒊 𝟕
= ( 𝟏) ∙ (−𝒊) → 𝒊 𝟕
= −𝒊
𝑖8
= 𝑖4
∙ 𝑖4
→ 𝒊 𝟖
= ( 𝟏) ∙ ( 𝟏) → 𝒊 𝟖
= 𝟏
Es evidente que existe una regla empírica que nos permite simplificar los cálculos, anótala en seguida:
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8. Los Números Complejos
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Suma y resta de números complejos.
Las sumas, restas y cualquier combinación de ellas, pueden resolverse aplicando las reglas algebraicas de
reducción de términos semejantes: se suman y restan por separado las partes real e imaginaria. Ejemplos:
1. (2 + 3𝑖) + (5 − 4𝑖) = 2 + 3𝑖 + 5 − 4𝑖 = (2 + 5) + (3 − 4)𝑖 = 7 − 1𝑖 = 𝟕 − 𝒊
2. (6 − 9𝑖) − (7 − 4𝑖) = 6 − 9𝑖 − 7 + 4𝑖 = (6 − 7) + (−9 + 4)𝑖 = −𝟏 − 𝟓𝒊
Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones:
1. (6 + 5𝑖) + (3 − 9𝑖) =
2. (−8 + 2𝑖) − (−5 − 4𝑖) =
3. (−1 + 8𝑖) − (−7 − 3𝑖) =
4. (−2 − 4𝑖) + (−6 + 7𝑖) =
5. (−5 − 6𝑖) + (3 + 9𝑖) − (−7 + 2𝑖) =
Multiplicación de números complejos.
Para efectuar multiplicaciones se trata como cualquier multiplicación algebraica, con la consideración de que al
elevar el número i, a alguna potencia, debemos tomar en cuenta que se puede simplificar. Ejemplos:
El resultado se simplifica utilizando la equivalencia de i2.
10 + 7𝑖 − 12𝑖2
= 10 + 7𝑖 − 12(−1) = 10 + 7𝑖 + 12 = 𝟐𝟐 + 𝟕𝒊
Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1. (3 + 4𝑖)(2 − 7𝑖) =
2. (−5 + 2𝑖)(−6 − 2𝑖) =
3. (−1 + 9𝑖)(−4 − 3𝑖) =
4. (−7 − 𝑖)(−8 + 2𝑖) =
5. (−3 − 2𝑖)(5 + 3𝑖)(−6 + 7𝑖) =
9. Los Números Complejos
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En ocasiones es necesario, antes de efectuar operaciones, obtener el número complejo debido a la presencia
de raíces cuadradas de números negativos.
Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1. (5 + √−9)(3 − √−4) =
2. (−1 + √−16)(−4 − √−36) =
3. (−1 + √−121)(−1 − √−121) =
4. (−2 − √−1)(−2 + √−1) =
5. (−4 − √−49)(−4 + √−49)(−3 + √−25) =
Observa los ejercicios 3 y 4. Se trata de números complejos conjugados, es decir, solamente difieren en el
signo. Explica lo que sucede al multiplicar números complejos conjugados:
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División de números complejos.
La multiplicación de números complejos conjugados es importante porque se emplea en la división de números
complejos.
Para dividir dos números complejos se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor como se
muestra en el siguiente ejemplo (Completa las operaciones faltantes):
Dividir 2 + 2𝑖 entre 2 − 2𝑖:
2+2𝑖
2−2𝑖
=
(2+2𝑖)×(2+2𝑖)
(2−2𝑖)×(2+2𝑖)
= =
Ejercicio: Efectúa las siguientes operaciones.
1. (4 + 3𝑖) ÷ (2 − 3𝑖) =
2. (−1 + 2𝑖) ÷ (−1 − 2𝑖) =
3. (−1 + 9𝑖) ÷ (1 − 3𝑖) =
4. (−4 − 𝑖) ÷ (−8 + 2𝑖) =
5. [(−3 − 2𝑖) × (5 + 3𝑖)] ÷ (−6 + 7𝑖) =
6. [(−3 − 2𝑖) ÷ (5 + 3𝑖)] × (−6 + 7𝑖) =
7. [(−1 − 2𝑖) × (1 + 3𝑖)] ÷ [(−3 + 2𝑖)(2 − 3𝑖)]
8. [(2 − 𝑖) × (1 − 2𝑖)] ÷ [(−2 + 2𝑖)(2 − 𝑖)]
10. Los Números Complejos
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Aplicaciones de los números complejos.
Los números complejos aparecieron desde muy temprano en la historia de la matemática, pero fueron
ignorados debido a que no tenían sentido ni se podían representar. Una de las primeras referencias de que se
tiene noticia es la de Herón de Alejandría.
Es hasta el siglo XVI cuando los matemáticos italianos investigaron y emplearon estos números en la resolución
de ecuaciones de segundo y tercer grado: 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Son particularmente reconocidos los trabajos de Cardano, Tartaglia, Descartes y sobre todo Euler quien
introdujo el símbolo i llamándolos números imaginarios.
Las principales aplicaciones de los números complejos se encuentran en la electricidad y magnetismo, sin
embargo, un área relativamente nueva y muy interesante es la de los fractales.
Realiza una investigación y elabora un reporte de 600 palabras acerca de los fractales.
Ejemplos de fractales:
Fractal de Mandelbrot. Triángulo de Sierpinski. El atractor de Lorentz.
Lecturas complementarias recomendadas.