Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento Activity for development of habilities in word problems solving

1. Actividad 3.1
Ecuaciones Lineales
G. Edgar Mata Ortiz

2. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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La matemática es una herramienta para resolver problemas. El
proceso mediante el cual se abstrae la realidad para expresarla en
el lenguaje de esta ciencia se llama modelado.
Para la construcción del modelo matemático de un problema se
establecen postulados acerca de las variables que se tomarán en
cuenta, sus relaciones, y las expresiones algebraicas o
trascendentes que se van a emplear para representarlas.
En el presente material se aborda el tema de las ecuaciones de primer grado construidas a partir de problemas
reales. Es muy importante practicar la habilidad para traducir entre el lenguaje natural y el lenguaje
matemático para generar las ecuaciones que representarán el modelo.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................3
Los modelos matemáticos....................................................................................................................................4
El lenguaje de la ciencia........................................................................................................................................4
Los modelos lineales.............................................................................................................................................4
Ecuaciones lineales...................................................................................................................................................4
Solución de una ecuación lineal. ..........................................................................................................................5
Aplicaciones del álgebra.......................................................................................................................................5
El modelo de G. Polya para resolver problemas. .................................................................................................6
Ejemplo del procedimiento. .................................................................................................................................7
Orden en la resolución de problemas. .....................................................................................................................8
Llenado del formato. ............................................................................................................................................8
La práctica en la resolución de problemas........................................................................................................ 11
Modelos matemáticos en los problemas resueltos. ............................................................................................. 13

3. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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Introducción.
Los primeros conocimientos matemáticos que adquirimos en la educación
básica son; la aritmética y geometría. Con estas dos herramientas
resolvemos una gran cantidad de problemas de índole práctica, por
ejemplo: Pintar una barda.
Se va a pintar una barda y es necesario determinar la
cantidad de pintura que deberá comprarse. Es obvio
que no se desea comprar más de la necesaria, sólo la
suficiente para que la barda quede protegida del
ambiente y tenga mejor aspecto.
Situaciones como la anterior son comunes en la vida cotidiana y se
resuelven prácticamente sin esfuerzo, utilizando nuestros conocimientos
básicos de matemáticas. Los datos del problema se encuentran en:
https://sites.google.com/site/licmataalgebra/
Consulta los datos faltantes y explica, en las líneas siguientes, el proceso
de solución del problema.
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Elabora una presentación, explicando cómo se desarrolla el modelo
matemático para resolver el problema de pintar una barda, y la forma en
que la solución obtenida debe ser interpretada para que tenga sentido en
la realidad.
Aplicaciones
del álgebra.
El álgebra suele ser
considerada, sobre todo,
como una herramienta para
la resolución de problemas.
Mediante el razonamiento
matemático se puede
entender y describir una
situación real.
El primer paso para
implementar dicho
razonamiento matemático,
consiste en ampliar nuestro
conocimiento cuantitativo y
espacial de la realidad.
Una vez que conocemos las
características numéricas y
geométricas de un
problema, es posible
elaborar una representación
precisa de la situación.
La representación rigurosa
de la realidad recibe el
nombre de modelo
matemático, en seguida,
aplicamos el conocimiento
algebraico, geométrico y/o
diferencial al prototipo
obtenido y producimos una
solución.
Es importante subrayar que
la respuesta proviene de un
modelo, por lo tanto, será
aplicable a la situación real,
solamente en la medida que
el contexto sea fielmente
representado por la
metáfora teórica que
elaboramos.
𝑨 =
𝒃 × 𝒉
𝟐

4. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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Los modelos matemáticos.
Existen diferentes tipos de modelos matemáticos; deterministas, estocásticos, lineales, no lineales, entre
muchos otros.
Consulta los tipos de modelos matemáticos, agrégalos a la presentación del problema “Pintar una barda”, e
identifica a qué tipo de modelo pertenece dicho problema. Anota en las siguientes líneas el tipo de modelo del
problema de pintar una barda:
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El lenguaje de la ciencia.
Tal como se ha comentado a lo largo de estas actividades, la matemática es un lenguaje, y para construir
modelos precisos, es necesario traducir la información, de la realidad, al lenguaje de la ciencia.
En este material, vamos a practicar el proceso de construcción de modelos matemáticos lineales para resolver
problemas que, en algunos casos, podrían solucionarse por ensayo y error; pero no estamos interesados
solamente en la respuesta, lo más importante es el proceso de abstracción que nos permita elaborar el
prototipo del problema.
¿Qué es un modelo matemático lineal?
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Los modelos lineales.
Uno de los aspectos fundamentales en el modelado matemático es la forma de relación que se establece entre
las variables; cuadrática, exponencial, lineal, logarítmica, entre muchas otras. Los problemas que vamos a
plantear en esta actividad serán resueltos mediante modelos de primer grado.
Ecuaciones lineales.
Las ecuaciones son proposiciones que indican la igualdad entre dos expresiones algebraicas, cuando estas son
de primer grado, entonces son ecuaciones lineales. Ejemplos:
2𝑥 − 3𝑦 = −5 3𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 = 1 4𝑥 + 3 =
2𝑥−5
6
Cuando alguna de las incógnitas está elevada a un exponente diferente de uno, o contiene funciones
trascendentes, como seno, coseno, logaritmo, entonces no es una ecuación lineal. Ejemplos:
5𝑥2
− 3𝑥 + 1 = 0 2𝑥𝑦 − 3𝑥 + 5𝑦 = 4
𝑥
𝑦
= 𝑥 − 𝑦
Anota tres ejemplos de ecuaciones lineales:
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Anota tres ejemplos de ecuaciones no lineales:
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5. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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Solución de una ecuación lineal.
A diferencia de un polinomio, donde las literales se consideran variables y pueden tomar cualquier valor; en
una ecuación, las literales son incógnitas, y no pueden tomar cualquier valor.
Resolver una ecuación significa determinar los valores que pueden tomar las incógnitas. Dichos valores se
caracterizan porque, al sustituirse en la ecuación, se obtiene una afirmación verdadera. Cuando se sustituye
cualquier otro valor, se obtiene una afirmación falsa. Ejemplo:
La ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝟕, solamente tiene una solución: 𝒙 = 𝟏.
Al sustituir el valor 𝒙 = 𝟏, en la ecuación se obtiene una afirmación verdadera: 𝟐(𝟏) + 𝟓 = 𝟕 → 𝟐 + 𝟓 = 𝟕
Al sustituir cualquier otro valor en la ecuación obtendremos una afirmación falsa, probamos con: 𝒙 = 𝟐
𝟐(𝟐) + 𝟓 = 𝟕 → 𝟒 + 𝟓 = 𝟕
Sustituye tres valores de tu elección (que no sean el uno), y observa cómo se obtienen afirmaciones falsas:
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Aplicaciones del álgebra.
Este tema suele resultar difícil para la mayoría de los alumnos, requiere habilidades que no se practican, o se
practican poco cuando se han empleado modelos educativos centrados en el trabajo del profesor.
Es necesario disponer de alguna estrategia general, que pueda aplicarse independientemente del tipo de
problema que se esté resolviendo. En este material vamos a aplicar la metodología de George Polya con
algunas modificaciones que se han considerado necesarias para una mejor implementación del modelo
educativo por competencias.
Esta es una breve semblanza del autor del método que vamos a utilizar

6. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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El modelo de G. Polya para resolver problemas.
Este modelo consta de 4 pasos, anota en las siguientes líneas los cuatro pasos del modelo que se explican en
las siguientes páginas:
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1. Entender el problema
Mediante preguntas: ¿Qué nos están
preguntando?, ¿Cuáles datos están
disponibles?
En este paso puede ser buena idea elaborar un
organizador visual de la información para
facilitar la comprensión: diagrama, tabla,
organigrama, dibujo, entre otros.
2. Configurar un plan para resolver el problema
Este paso es el más complicado; requiere de
una serie de ensayos y búsquedas heurísticas
para diseñar dicho plan. En nuestro caso vamos a emplear dos preguntas básicas: ¿Qué relación existe entre
los datos y lo que nos están preguntando? ¿Cómo se relacionan los datos unos con otros?
Este paso está condicionado por los temas en estudio, en nuestro caso, deberá emplearse una ecuación de
primer grado con una incógnita.
3. Ejecutar el plan
Para efectuar esta parte del proceso es necesario emplear nuestros conocimientos de álgebra; operaciones
algebraicas básicas, propiedades de la igualdad, resolución de ecuaciones, entre otros.
En este caso se resolverá una ecuación de primer grado con una incógnita.
4. Mirar hacia atrás
Significa que debemos interpretar el resultado
del proceso algebraico y ver su significado en
términos del problema que se está resolviendo.
¿Se cumplen las condiciones establecidas por el
problema? ¿Se ha determinado el valor de
todas las cantidades que el problema indica?
Básicamente se deben escribir los valores de
todas las cantidades desconocidas y verificar
que las relaciones entre dichas cantidades se
cumplan.

7. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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Ejemplo del procedimiento.
Para comprender mejor este proceso vamos a iniciar con un problema muy sencillo, recuerda que
lo importante no es la solución, sino obtener el modelo matemático que describe el problema.
Completa la información faltante en las líneas indicadas.
Una fábrica de ropa puede producir 7000 pantalones. Según el estudio de mercado,
deben fabricarse el doble de pantalones talla M que de talla G, y 452 piezas más de
talla Ch que de talla G. ¿Cuántas piezas de cada talla deben fabricarse?
De acuerdo con el procedimiento de Polya, el primer paso consiste en entender el
problema, lo cual significa responder, al menos, a dos preguntas:
¿Qué nos están preguntando?
¿Cuáles datos están disponibles?
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El segundo paso es el más complejo, consiste en configurar un plan para resolver el
problema. Se basa en dos conceptos básicos:
Encontrar las relaciones entre los datos y lo que nos están preguntando; las relaciones
entre los propios datos; y expresar todas estas relaciones en lenguaje algebraico. El
resultado final de este paso es un modelo matemático que se expresa con la forma de
una ecuación de primer grado con una incógnita. Anota en las líneas siguientes el
procedimiento que vas a seguir para obtener la ecuación, y la ecuación misma.
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8. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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El tercer paso es, probablemente, el más sencillo, solamente deben efectuarse
procedimientos algebraicos, puramente mecánicos, para resolver la ecuación que se
obtuvo en el segundo paso.
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El último paso es de gran importancia. Cuando resolvemos la ecuación, solamente
obtenemos el resultado del modelo matemático, y puesto que dicho modelo es una
ecuación, obtenemos el valor de una incógnita.
Pero este valor de la incógnita debe ser interpretado y contrastado con la realidad
para verificar que tenga sentido y que cumpla con todas las condiciones establecidas
en el problema real. En las siguientes líneas, responde las preguntas planteadas en el
problema.
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Orden en la resolución de problemas.
Al resolver problemas de razonamiento, cada persona emplea sus propias estrategias, es necesario
establecer una forma de presentar los procedimientos y resultados de modo que sea más sencillo
comunicarnos. Con esta finalidad, se empleará el formato F3.1, que puede descargarse del siguiente
enlace, para la entrega de los problemas resueltos en clase o de tarea.
Enlace: https://proc-industriales.blogspot.com/2019/10/template-31-algebra-word-problems-one.html
Recuerda que el procedimiento es muy importante, cada etapa del proceso de solución se califica por
separado, de modo que, si no puedes resolver el problema completo, cada etapa que hayas contestado tendrá
un valor para tu calificación. Se anexará rúbrica para indicar los valores de cada sección del problema.

9. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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Llenado del formato.
Veamos cómo llenar la información del problema de la fábrica de pantalones, en el formato F3.1.
Completa la información faltante en las siguientes tablas.
Paso 1. Entender el problema: Identificar las cantidades desconocidas, elegir la que se tomará
como incógnita y establecer las relaciones necesarias para representarlas algebraicamente.
Cantidad desconocida Información disponible
Expresarla en lenguaje
algebraico
Número de pantalones talla
Grande
Incógnita x
Número de pantalones talla
Mediana
El doble de piezas de talla Mediana que de
talla Grande 2x
Número de pantalones talla
Chica
452 piezas más de talla Chica que de talla
Grande
Observa bien que el número de pantalones de talla chica se relaciona con el número de pantalones talla
grande, y no con los de talla mediana.
Una vez identificadas las cantidades desconocidas y expresadas en lenguaje algebraico,
debemos configurar el plan, es decir, obtener la ecuación que será el modelo matemático. No
olvides que se debe indicar cómo se obtiene la ecuación; tanto en forma verbal como abreviada,
observa el ejemplo.
Paso 2. Configurar plan: Determinar el proceso para obtener la ecuación y anotarla.
Explicar de dónde se obtendrá la ecuación Ecuación
La suma de los pantalones talla Grande, Mediana y Chica
debe ser igual al total de pantalones producidos (7000):
P Talla G + P Talla M + P Talla Ch = 7000
x + 2x + _________ = 7000
Como podrás observar, la obtención de la ecuación es el paso con mayor grado de dificultad, debido a que son
habilidad es que no se han practicado o se han practicado poco durante tus estudios previos. No obstante, sólo
es cuestión de práctica. Es conveniente observar algunos videos para conocer otras formas de razonar y
entender los problemas.

10. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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El tercer paso consiste en resolver la ecuación, y el cuarto paso: Anotar la
respuesta y verificar.
Paso 3. Ejecutar el plan: Resolver la
ecuación
Paso 4. Interpretar el valor de la incógnita y
verificar que cumple con las condiciones del
problema.
4𝑥 + 452 = 7000
𝑥 =
Deben fabricarse:
x  Número de piezas talla G = _______
2x  Número de piezas talla M = _______
________  Número de piezas talla Ch = _______
Total = 7000
El problema ha sido resuelto, pero lo más importante ha sido observar cómo se construye el modelo
matemático que toma la forma de una ecuación y, posteriormente, se aplican conocimientos algebraicos
básicos para obtener la solución de la ecuación. El valor de la incógnita, por sí mismo, no significa nada, es
necesario interpretarlo, con base en la situación real, y verificar que cumple con todas las relaciones y
condiciones establecidas en la redacción del problema original.
Otro aspecto que debemos considerar es la existencia de otras formas de abordar el
problema. Ya vimos qué sucede al elegir como incógnita la cantidad de pantalones de
talla grande que van a fabricarse, pero ¿y si se elige como incógnita la cantidad de
pantalones talla mediana?, ¿y los de talla chica?, ¿afectará al resultado final del
problema?, ¿y al valor de la incógnita? En el siguiente ejercicio se responderán estas
preguntas.
Resuelve el problema de la fábrica de pantalones empleando una estrategia
diferente. Utiliza el formato F3.1.
1. Elige como incógnita la cantidad de pantalones talla mediana y resuelve el problema
2. Elige como incógnita la cantidad de pantalones talla chica y resuelve el problema
3. Elabora un reporte comparando las tres estrategias de solución, señalando y explicando:
a. ¿Afecta al nivel de dificultad, la cantidad desconocida que se toma como incógnita?
b. ¿El resultado final del problema cambia según la elección que se haga?
c. ¿El valor de la incógnita es diferente en cada caso? ¿por qué?
d. ¿Cómo se debería elegir el valor de la incógnita para que el procedimiento sea más sencillo?
4. Publica este reporte en tu blog y escribe un comentario de 100 palabras, en el blog de tu compañero de
equipo, comparando las respuestas que dieron a estas preguntas.

11. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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La práctica en la resolución de problemas.
El segundo paso en el método de Polya es, generalmente, el que mayores dificultades presenta, ya que no
existe una forma única para analizar los problemas. La mejor forma de desarrollar la habilidad para llevar a
cabo este segundo paso es a través de la práctica.
Es necesario resolver problemas de diferentes tipos para que la búsqueda heurística de estrategias de solución
se vuelva más eficiente.
Resuelve los siguientes problemas utilizando el formato F3.1, si alguna parte del
procedimiento no cabe, anótalo a la vuelta del mismo formato.
1. Fidel López aceptó trabajar un verano en el rancho de su tío, durante
tres meses, por $15,650 y un automóvil usado. Al cabo de dos meses se
requería su presencia en la casa de sus padres, por lo que su tío sólo le
pagó $4550 y el automóvil. ¿Cuál es el valor del automóvil en pesos?
2. La señora Marlen Moreno planeaba gastar $3032 en telas para su
tienda “El trailero”. Encontró la tela con un 10% de descuento,
por lo que pudo comprar 10 metros más, aunque gastando
$3411. ¿Qué cantidad de tela había planeado comprar, cuántos
metros compró finalmente, y cuál era el precio de la tela, sin
descuento, por metro?
3. En el concierto de Roberto Ramírez los boletos
costaron: $450 en el área general; $830 en
numerado; y $1280 en VIP. El ingreso total fue de
$9’961,610. Se vendieron 425 boletos más de
general que de VIP y el doble de numerados que de
general. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada clase? ¿Cuántos boletos se vendieron en
total?
4. La fábrica “Mangel Salas” produce una barra de chocolate de
9.2 cm de largo, por 2.5 de ancho y 1 de espesor. Con la
finalidad de reducir costos se ha decidido disminuir la cantidad
de producto en un 10%; para ello, se dejará el mismo espesor
de la barra, pero se reducirán, en la misma cantidad, la altura y
el ancho de la barra. ¿Cuáles serán las nuevas dimensiones de la
barra de chocolate?
5. En un viaje de 1200 kilómetros, Aneth Simon empleó 4.5 horas manejando
bajo la lluvia y 8 horas 45 minutos en tiempo despejado. La velocidad en el
tramo lluvioso fue 16 km/h menor que la velocidad en el tramo seco.
Determina la velocidad con que viajó en el tramo lluvioso, la velocidad en el
tramo seco, y las distancias recorridas en ambas circunstancias.

12. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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6. La fábrica de rodamientos “Gerardo Vielma” tiene una línea de
producción de chumaceras que está elaborando cuatro tipos de
piezas: Tipo puente, Tipo brida, Tensora y de cartucho. La línea
puede producir 9,300 piezas por bimestre. Por datos históricos
sabemos que la chumacera tipo puente se vende el doble que la de
brida; la de brida se venden 630 piezas más que la tensora; y la
tensora se vende el triple que la de cartucho. ¿Cuántas piezas de
cada tipo deben fabricarse cada mes?
7. Las instalaciones de montaña “Jacob Cháirez”, que dan servicio
a los esquiadores en invierno, estuvieron parcialmente
atendidas por estudiantes durante el verano. En dicho verano
hubo una cantidad de estudiantes trabajando que era el triple
de la cantidad de empleados permanentes. Cuando terminaron
las vacaciones de verano, 40 de loes estudiantes regresaron a
la escuela y se contrató a 30 trabajadores permanentes (no
estudiantes) para el invierno. Si en esta situación había el doble de no estudiantes que de
estudiantes, ¿cuántas personas en total atendieron las instalaciones en invierno?
8. El químico Jorge García tiene dos soluciones, la primera contiene 20% de
ácido, y la segunda, 35%. ¿Cuántos ml de cada solución deben mezclarse
para obtener 50 ml de solución con 30% de ácido?
9. Jimena Ruvalcaba dispone de $15,000 para invertir. Piensa depositar una
parte en una cuenta de ahorros que produce el 5% de interés, y el resto en un
fondo de inversiones que ofrece el 8.5% de interés. ¿Cuánto debe invertir en
cada instrumento para obtener una ganancia de $1000?
10. Eliut Reséndiz tiene un negocio de compra – venta de teléfonos
celulares usados. Mediante un contacto pudo comprar 120 teléfonos
Nokia nuevos, aunque descontinuados, a muy buen precio: la mitad de
ellos del modelo A (más avanzado) con un costo $180 mayor que el
modelo B (más sencillo), y la otra mitad del modelo B.
Estos teléfonos, a pesar de estar descontinuados son muy populares, por lo que en una
semana vendió la mitad de los teléfonos que compró del modelo A, con una ganancia de $600
en c/u; y tres cuartas partes de los teléfonos que compró del modelo B, con una ganancia de
$280 en c/u; y calculó que solamente necesitaba tener ingresos por otros $7200 para
recuperar la inversión. ¿Cuántos teléfonos de cada modelo compró?, ¿Cuántos teléfonos de
cada modelo vendió en la primera semana?, ¿Cuánto invirtió en total?, si la tendencia de
venta sigue igual, ¿En cuánto tiempo venderá todos los teléfonos?, ¿Cuánto será su ganancia
cuando esto suceda?

13. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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Modelos matemáticos en los problemas resueltos.
En cada problema resuelto se llevó a cabo un proceso de abstracción; se simplificó la información del mundo
real y se representó como un problema matemático.
Después, se resuelve el problema matemático y nos da como resultado el valor de la incógnita.
Este valor es la respuesta del modelo, no del problema original, por lo que debe ser interpretado en términos
de la realidad que representa.
Explica las etapas del modelado matemático empleadas en los problemas 1 al 10:
1. Abstracción: Nos permite transitar de la situación real al modelo matemático.
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2. Análisis: Planteamiento y resolución del modelo
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3. Interpretación: Del valor arrojado por el modelo, pasamos al resultado del problema
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Lecturas recomendadas.