1. TEMA 22 EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y CÁLCULO NUMÉRICO NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO INTERVENCIÓN EDUCATIVA

2. introducción Este tema centra la mayor parte de la enseñanza de las matemáticas en primaria. Los contenidos de números son la base de posteriores aprendizajes, además de tener una aplicación a la vida cotidiana evidente. Partiremos del RD1513/2006 y del D126/2007 Canarias para abordar los objetivos, contenidos y criterios de evaluación Introduciremos conjuntos numéricos, veremos distintos tipos de modelos y materiales. También nos detendremos en cálculo mental, estimado y uso de calculadora. Estudiaremos el concepto de sistemas de numeración, y realizaremos indicaciones sobre la intervención educativa.

3. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y CÁLCULO NUMÉRICO DECRETO 126/2007 de 24 de mayo El bloque 1, «Números y operaciones», pretende esencialmente el desarrollo del sentido numérico, entendido como el dominio reflexivo de las relaciones numéricas que se expresan en la habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas, para realizar mentalmente cálculos; todo ello apoyado en la manipulación de materiales (regletas de cuisenaire u otras, bloques base diez, cinta métrica, calculadora, ábaco…).

4. 1.1.CONTRIBUCIÓN AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Se logra mediante el carácter instrumental de los números y cálculo numérico, que permite resolver la mayoría de los problemas que se presentan en la vida cotidiana. En el bloque números y operaciones Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico Permite un comprensión mejor del entorno en múltiples contextos: medidas de temperatura, cálculos monetarios..

5. Competencia en tratamiento de la información y competencia digital Los números proporcionan destrezas asociadas a su uso, como la comparación, la aproximación… facilitando la comprensión de informaciones que incluyen cantidadesO medidas. Competencia en autonomía e iniciativa personal Mediante la planificación, gestión de recursos y valoración de los resultado, necesarios para hacer frente a la resolución de verdaderos problemas para los niños.

6. Competencia para aprender a aprender Es también necesario incidir desde el área en los contenidos relacionados con la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo para abordar situaciones de creciente complejidad, la sistematización, la mirada crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo Competencia en comunicación lingüística Incorporando lo esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su uso

7. RD1513 1.2. OBJETIVOS Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas

8. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES El desarrollo de la humanidad ha ido al desarrollo de los conceptos numéricos y su uso. Todas las culturas y épocas han sentido la necesidad de desarrollar herramientas que permitieran resolver problemas cotidianos asociado a las cantidades y sus operaciones. 2.1.NÚMEROS NATURALES Las técnicas de contar son universales y surgen ligadas a la necesidad de : Comunicar información relativa al tamaño de las colecciones de objetos. Indicar el lugar que ocupa un objeto dentro de una colección ordenada de objetos.

9. CONTAR ES Poner en correspondencia uno a uno los distintos elementos de un conjunto con un subconjunto de otro conjunto. Godino 2004 Los número naturales son cualquier sistema de objetos, perceptibles o pensados, que se usan para informar del cardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro del conjunto.

10. 2.1.1. Formalizaciones matemáticas de los números naturales. Un conjunto de objetos N, se dice que está naturalmente ordenado si cumple los siguientes axiomas Formalización de PEANO A cada objeto le corresponde otro que se llama su siguiente o sucesor. Existe un primer elemento 0, que no es sucesor de ningún otro elemento. Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo sucesor. Todo subconjuto de N que contiene el O y que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos coincide con N.

11. Formalización a partir de la idea de clases de equivalencia Dos conjuntos de objetos que tienen el mismo cardinal son equivalentes y todos los conjuntos equivalentes forman una misma clase de conjuntos. El conjunto de estas clases está naturalmente ordenado. 2.1.2.Operaciones entre números naturales. SUMA Dados dos conjuntos finitos A y B disjuntos, con cardinales: N(A)= a y n(B)=b Definimos la suma de a y b como el cardinal del conjunto A U B. Propiedades Una operación interna Conmutativa Asociativa Poseedora de un elemento neutro. La suma es

12. PRODUCTO Dados dos conjuntos A Y B con cardinales a y b, e define el producto de a x b, como el cardinal del producto cartesiano A X B: a x b = n(AXB)= n(A) x n(B) Propiedades Una operación interna Conmutativo Asociativo Poseedor de una elemento neutro. El producto es RESTA Sean A y B dos conjuntos tales que B c A y con cardinales a y b, Se define la diferencia a-b como el cardinal del conjunto A-B= [x/x EA y x E B]

13. 2.1.NÚMEROS ENTEROS Conjunto de los números naturales más los negativos. Modelos para representar los nº enteros y sus operaciones. El modelo de recta numérica El modelo de fichas Consiste en usar fichas blancas y negras Una blanca se anula con una negra. Blancas + Negras -

14. 2.3.NÚMEROS FRACCIONARIOS Generalmente un par ordenado de números enteros con la condición de que el segundo sea distinto de cero. A numerador B denominador 2.3.1. Significados de una fracción Razón Simbolización decimal Partes de un todo Operador Cociente de enteros

15. 2.3.2. Representaciones y modelos para fracciones Modelo lineal Modelo de área

16. Fracción equivalente, nº racional

17. 2.4.NÚMEROS DECIMALES Los números decimales pueden escribirse de dos maneras: como fracción o bien en notación decimal. Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse 2.4.1 Contextos de los números decimales. Calculadora y pcs. medida Aproximación Notación científica División entera Porcentajes Didáctica

18. 2.4.2. Representaciones y modelos de decimales. Las fracciones decimales son la base de los decimales. Los significados y representaciones de las fracciones son útiles para los decimales. Inicialmente a los niños les resulta más fácil usar la anotación fraccionaria que decimal. Modelos de los números decimales Papel cuadriculado Bloques multibase

19. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas y convenios que nos permiten expresar verbal y gráficamente los números mediante palabras y signos. 3.1.SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOS Primeramente se usan cifras para denotar 1,n,n2,n3… donde n es la base del sistema de numeración. Para representar un número se acumulan los símbolos necesarios en cada uno de los órdenes. SISTEMA EGIPCIO

20. Luego, se usan cifras para 1,a,n,an,n2,an2... Donde a<n es un divisor privilegiado de n que recibe el nombre de base auxiliar del sistema. SISTEMA ROMANO 3.2.SISTEMAS DE NUMERACIÓN HÍBRIDOS Las distintas potencias de la base n. Son de tipo aditivo-multiplicativo. Dos tipos de símbolos: Los que representan A los multiplicadores de dichas potencias.

21. SISTEMA CHINO

22. 3.3.SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES Se basan en el valor relativo a sus cifras, ya que una misma cifra representa distintos valores según el valor que ocupe. SISTEMA BABILÓNICO SISTEMA MAYA

23. Se basa en los siguientes supuestos: 3.4.SISTEMAS DE NUMERACIÓN DECIMAL Valor de posición Base 10. Valor relativo Unidades de orden superior Multiplicadores Materiales y recursos para la enseñanza del sistema decimal - Objetos corrientes que sirvan como contadores - Regletas Cuisenaire - Bloques multibase de Dienes - Ábacos.

24. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...} Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), ={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

25. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO CÁLCULO ESCRITO En todo algoritmo está implicadas dos cuestiones relacionadas: anotación y procedimiento. Anotación Es la anotación indo-arábiga Procedimiento Está basado en el valor posicional de las cifras y es diferente en cada operación aritmética. El algoritmo debe poseer las siguientes propiedades: Nitidez Eficacia Universalidad

26. El algoritmo de la suma o adición Se necesita prestar atención ala correcta colocación de los sumandos y el resultado, de manera que unidades, decenas, centenas… se alineen para evitar errores. Dificultades y errores ERRORES Operar como si se tratara de dígitos. Error en la segunda columna Confundir el papel del cero. Muchas dificultades se deben más a los errores en las sumas básicas que a la falta de comprensión de las fases del algoritmo usual.

27. CÁLCULO MENTAL Y ESTIMACIÓN Los algoritmos que se desarrollan en la aritmética del cálculo mental y estimado Tienen unas características que los diferencian de los llamados lápiz y papel. Son flexibles, personales y el resultado no tiene por qué ser exacto. De sumas Basados en la descomposición de uno o ambos sumandos: Convirtiendo en 10 a uno de los sumandos Separando las distintas unidades de cada sumando. De productos Descomposición de unos de los factores: a veces de tipo aditivo y otras de tipo multiplicativo.

30. INTERVENCIÓN EDUCATIVA 6.1. PERÍODO DE 6 A 8 AÑOS CONTENIDOS OBJETIVOS Utilización de números ordinales. Cálculo de sumas y restas utilizando algoritmos estandar. Elaborar estrategias de cálculo mental. Reconocer situaciones de suma, resta, multiplicación y división EVALUACIÓN ACTIVIDADES 3. Comparar cantidades pequeñas de objetos en hechos o situaciones familiares, interpretando y expresando los resultados de la comparación de forma numérica; y ser capaz de redondear, en función del contexto, a la decena más cercana. Cálculo mental de sumas Observación del calendario e interpretación de su lenguaje.

31. 6.2. PERÍODO DE 8 A 10 AÑOS CONTENIDOS OBJETIVOS 3.1. Composición y descomposición aditiva y multiplicativa de los números, y construcción y memorización de las tablas de multiplicar. 2.1. Comprensión en situaciones familiares de la multiplicación como suma abreviada, y su utilización en disposiciones rectangulares y problemas combinatorios; y empleo de la división para repartir y agrupar. Establecer equivalencias entre la suma y la resta y entre la multiplicación y división. Identificar regularidades numéricas y escribir series ordenadas de números. ACTIVIDADES EVALUACIÓN Comentar de manera lúdica el nombre De los números: cardinales, ordinales y romanos. Plantear problemas con números decimales. 2. Realizar cálculos numéricos de números naturales con fluidez, utilizando el conocimiento del sistema de numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

32. CONTENIDOS 6.3. PERÍODO DE 10 A 12 AÑOS OBJETIVOS 1.4. Usos de los números decimales habituales en la vida cotidiana. Fracciones decimales, porcentajes y su equivalencia con los números decimales hasta el elemento de 2.º orden (centésimas Conocer los nº enteros y su aplicación para representar algunas situaciones de la vida cotidiana. Calcular sumas y restas de fracciones y realizar operaciones con nº decimales. ACTIVIDADES EVALUACIÓN Planteamiento y resolución de problemas en los que intervengan operaciones combinadas. Realización de series de nº proporcionales 2. Realizar operaciones y cálculos numéricos mentales y escritos en situaciones de resolución de problemas habituales en la vida cotidiana, mediante erentes algoritmos alternativos para cada operación, y automatizarlos a partir de la comprensión de cómo operan en ellos las propiedades de los números y de las operaciones.

33. Bibliografía TemarioCenOposiciones09 conclusión En este tema: Hemos estudiado distintos aspectos del aprendizaje de los números y el cálculo en primaria. Vimos que el bloque de números y operaciones contribuye al desarrollo de las CCBB. Hemos hecho un recorrido histórico sobre los distintos Sistemas de numeración. Repasado los distintos procedimientos de cálculo. Establecido una intervención educativa por ciclos.