Aplicaciones de la derivada

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea f una funci´on que es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el
intervalo (a, b)
1.) Si f (x) > 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f(x) es creciente en [a, b].
2.) Si f (x) < 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f(x) es decreciente en [a, b].
3.) Si f (x) = 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f(x) es constante en [a, b].

4. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
EJEMPLO
Determine los intervalos sobre los cuales f(x) = x3 − 3x2 − 24x es creciente
y los intervalos sobre los cuales f es decreciente.
f (x) = 3x2 − 6x − 24 = 3(x + 2)(x − 4)
Para determinar cu´ando f (x) > 0 y f (x) < 0, es necesario solucionar
(x + 2)(x − 4) > 0 y (x + 2)(x − 4) < 0 respectivamente.
Una manera de solucionar las desigualdades es averiguar los cambios de
signo de los factores (x + 2)(x − 4) sobre la recta real, limitada por los
puntos cr´ıticos de f (en este caso son x = −2 y x = 4), de esta manera, los
intervalos donde analizaremos cambios de signo de f son:
(−∞, −2]; [−2, 4]; [4, ∞) Ver figura.
As´ı f es creciente en (−∞, −2] ∪ [4, ∞) y decreciente en el intervalo [−2, 4]

5. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
suponga que c es un punto cr´ıtico de una funci´on continua f.
1.) Si f cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un m´aximo local
en c.
2.) Si f cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un m´ınimo local
en c.
3.) Si f no cambia de negativa a positiva o de positiva a negativa, entonces f
no tiene m´aximo o m´ınimo local en c.

6. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
EJEMPLO
Encontrar los extremos relativos de la funci´on f(x) = (x2
− 4)2/3
. Es importante encontrar
los valores cr´ıticos de esta funci´on.
f(x) = (x2
− 4)2/3
=
4x
3(x2 − 4)1/3
Por tanto, f (x) = 0 si x = 0. Adem´as, f (x) no existe en x = +2. De tal modo, los puntos
cr´ıticos son x = −2, x = 0, x = 2.
Intervalo −∞ < x < −2 −2 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < ∞
Valor de prueba x = −3 x = −1 x = 1 x = 3
Signo de f (x) f (−3) < 0 f (−1) > 0 f (1) < 0 f (3) > 0
Conclusi´on Decreciente Creciente Decreciente Creciente
Por el criterio de primera derivada: f posee un m´ınimo relativo en x = −2, un m´aximo
relativo en x = 0 y un m´ınimo relativo en x = 2.

7. CONCAVIDAD
CONCAVIDAD DE UNA FUNCI ´ON
La gr´afica de una funci´on diferenciable y = f(x) es
1.) c´oncava hacia arriba en un intervalo I si f es creciente en I.
2.) c´oncava hacia abajo en un intervalo I si f es decreciente en I.
La gr´afica de la funci´on es c´oncava hacia abajo en (−∞, 0) y c´oncava hacia
arriba en (0, ∞).

8. CONCAVIDAD
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA LA CONCAVIDAD
Sea f una funci´on cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a, b)
1.) Si f (x) > 0 ∀x ∈ (a, b), entonces la gr´afica de f es c´oncava hacia
arriba.
2.) Si f (x) < 0 ∀x ∈ (a, b), entonces la gr´afica de f es c´oncava hacia
abajo.
PUNTOS DE INFLEXI ´ON
Un punto c en la curva f recibe el
nombre de punto de inflexi´on si f es
continua ah´ı y la curva cambia de
c´oncava hacia arriba a c´oncava hacia
abajo o viceversa.

9. CONCAVIDAD
Si (c, f(c)) es un punto de inflexi´on de la gr´afica de f, entonces f (c) = 0 o
f no existe en x = c.
EJEMPLO
Sea f(x) = 6
x2+3
. Determine los intervalos abiertos donde la funci´on es c´oncava hacia arriba
y/o hacia abajo.
f(x) =
6
x2 + 3
f(x) = 6(x2
+ 3)−1
f (x) = (−6)(x2
+ 3)−2
(2x)
=
−12x
(x2 + 3)2
f (x) =
(x2
+ 3)2
(−12) − (−12x)(2)(x2
+ 3)(2x)
(x2 + 3)4
=
36(x2
− 1)
(x2 + 3)3

10. CONCAVIDAD
Como f (x) = 0 cuando x = +1 y f se define en todos los reales, se debe
probar f en los intervalos
Intervalo ∞ < x < −1 −1 < x < 1 1 < x < ∞
Valor de prueba x = −2 x = 0 x = 2
Signo de f (x) f (−2) > 0 f (0) < 0 f (2) > 0
Conclusi´on C. Arriba C. Abajo C. Arriba

11. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS LOCALES
Suponga que f es continua en un intervalo abierto que contiene a c.
1.) Si f (c) = 0 y f (c) < 0, entonces, f tiene un m´aximo local en x = c.
2.) Si f (c) = 0 y f (c) > 0, entonces, f tiene un m´ınimo local en x = c.
3.) Si f (c) = 0 y f (c) = 0, entonces, la prueba falla. La funci´on f puede
tener un m´ınimo o un m´aximo local en x = c pero el criterio no lo podr´a
decidir.

12. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
EJEMPLO
Encontrar los extremos locales de la funci´on f(x) = −3x5
+ 5x3
. Para ello, es necesario
encontrar los puntos cr´ıticos de f.
f(x) = −3x5
+ 5x3
f (x) = −15x4
+ 15x2
= 15x2
(1 − x2
)
Los puntos cr´ıticos de f son x = 0, x = 1, x = −1. Seg´un el criterio de la segunda derivada,
se tiene
Punto (−1, −2) (1, 2) (0, 0)
Signo de f (x) f (−1) > 0 f (1) < 0 f(0) = 0
Conclusi´on M´aximo relativo M´ınimo Relativo Falla la prueba

13. AN ´ALISIS DE FUNCIONES
PROCEDIMIENTO PARA EL AN ´ALISIS DE FUNCIONES
1. Dominio.
2. Intersecci´on con los ejes coordenados.
3. Sim´etrias.
4. As´ıntotas.
5. Intervalos donde la funci´on es creciente o decreciente.
6. Puntos cr´ıticos. Valores m´ınimo y m´aximo locales
7. Concavidad y puntos de inflexi´on.
8. Trace la curva