Este documento trata sobre la variación de funciones y la determinación de extremos. Explica conceptos como funciones crecientes y decrecientes, valores críticos, y el uso del criterio de la primera derivada para encontrar máximos y mínimos relativos. Además, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y teoremas como el teorema del valor medio y de Rolle.

1. 1
PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo 5. Variación de funciones. Extremos
En múltiples problemas de ingeniería se requiere optimizar
una o varias de las variables que intervienen en problemas.
Se dice que el ingeniero es un resolvedor de problemas de
optimización tales como: la determinación de volúmenes
máximos, superficies mínimas, máximos rendimientos, costos
mínimos, áreas máximas, alturas mínimas, resistencias
máximas, tiempos mínimos, velocidades máximas, fuerzas
mínimas, intensidades de corriente máximas, esfuerzos
mínimos y gastos hidráulicos máximos, entre otros.
TEOREMAS DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DE WEIERSTRASS
x
 y f x
y
2b x
 1M f x
 2m f x
 M m f x 
a b
 y f x
1a x
M
m
y
x
x
 y f x
y
a b1x 2x
 1M f x
 2m f x
m
y
 M f a
 m f b
M
m
1x a 2x b
M
 y f x
x

2. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
TEOREMA DE ROLLE
Se cumple para 1 2 3, ,x x x , donde la derivada vale cero.
TEOREMA DE LAGRANGE (DEL VALOR MEDIO DEL C D)
       
   
1 2 3 4' ' ' '
f b f a
f x f x f x f x
b a

   

Ejemplo. Verificar para las siguientes funciones que se
cumple el teorema mencionado y obtener el o los valores de
" "x que satisfacen la hipótesis:
 
3
) en x -2 3,2 3 T. de Rolle
12
x
i y x    
 
 3
) 2 5 en 2,3 T. de Lagrangeii y x x x      
x
y
 y f x
 1' 0f x 
1x 2x 3x
   f a f b
a b
 2' 0f x 
 3' 0f x 
4x
 y f x
y
x
b a
   f b f a
1x 2x 3x
 f b
 f a
a b

3. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
Ejemplo. Comprobar que se cumple el teorema del Valor
medio del Cálculo diferencial para la función  
4
3
f x x en el
intervalo 1,1   y obtener el o los valores de " "x que lo
satisfacen.

4. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
4
Ejemplo. Investigar si la función  f x sen x cumple las
condiciones del teorema de Rolle en el intervalo 0,2   y en
caso de hacerlo, obtener los valores de " "x en los que se
satisface el teorema. Hacer una gráfica aproximada de la
función en el intervalo considerado, señalando, si existen, los
valores en los cuales se satisface el teorema.

5. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
5
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
DEFINICIÓN. Una función es creciente si para dos valores
cualesquiera 1 2x y x de su dominio, se cumple que:
   2 1 2 1x x f x f x  
DEFINICIÓN. Una función es decreciente si para dos valores
cualesquiera 1 2x y x de su dominio, se cumple que:
   2 1 2 1x x f x f x  
TEOREMA. Sea  y f x una función continua en el intervalo
cerrado ,a b  , derivable en el intervalo abierto  ,a b y tal
que  ' 0f x  en el intervalo  ,a b . Entonces la función es
creciente en el intervalo  ,a b .
x
y
f
 1f x
1x 2x
 1' 0f x 
x
y
f
 1f x
 1f x
1x 2x
 1' 0f x 
 2f x
x
y
f
 2f x
 1f x
1x 2x
 1' 0f x 
x
y
f
 2f x
 1f x
1x 2x
 1' 0f x 

6. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
6
TEOREMA. Sea  y f x una función continua en el intervalo
cerrado ,a b  , derivable en el intervalo abierto  ,a b y tal
que  ' 0f x  en el intervalo  ,a b . Entonces la función es
decreciente en el intervalo  ,a b .
Ejemplo. Investigar para qué intervalos de " "x la siguiente
función es creciente y decreciente. Hacer una gráfica
aproximada.
  3 29
6 1
2
f x x x x   

7. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
7
SIGNO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA
   
2
) Sea la función: 1 ; : 0, 1,
2
x
i f x f       

2
2
1 2 2 2 2 1, 0
2
x
y x y x y y           
    
2
1 ' 0 0,
2
x
f x f x x x       
  2
) Sea la función: 4 ; : 0, 2 0,4ii f x x f        
2
4 4 0,4y x x y y         
   2
4 ' 2 0 0, 2f x x f x x x         
2
1
2
x
y  
x
y
 0, 1
 0,fD  
 1,f fR C   
   ' 0 crecientef x 
 0, 4f fR C 
x
y
  2
4f x x  0, 4
 2, 0
 0,2fD 
   ' 0 decrecientef x 

8. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
8
EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS
DEFINICIÓN. Una función  f x tiene un máximo relativo  0f x
para un valor 0x x en un intervalo ,a b  , si se cumple que:
   0 ,f x f x x a b    
DEFINICIÓN. Una función  f x tiene un mínimo relativo  0f x
para un valor 0x x en un intervalo ,a b  , si se cumple que:
   0 ,f x f x x a b    
 0 mínimo
relativo
f x   0 mínimo
relativo
f x 
f
y
 0' 0f x 
x
a b0x
 a
f
 0'f x  
y
a b0x
x
 b
f
y
 0' 0f x 
x
a b0x
 a
f
 0'f x  
y
a b0x
x
 b
 0 máximo
relativo
f x 
 0 máximo
relativo
f x 

9. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
9
DEFINICIÓN. Se conocen como valores críticos de la variable
independiente " "x a los valores del eje de las abscisas
donde la derivada es cero o no existe.
f
 0'f x  
y
x
a 0x b
f
 0' 0f x 
y
x
a 0x b
asíntota
rM
rM
rM
rM
rm
rm rm
f
x
y
AM
Am
1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x
x
y
 ' 0f x 
 'f x  
 ' 0f x 
 ' no existef x
 picorm
no hay
f
r AM M
no hay
asíntota
no hay máximos ni mínimos relativos

10. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
10
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
1. Se calcula la derivada de la función.
2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale
cero o no existe.
3. Se analiza el posible cambio de signo de la derivada,
antes y después de cada punto crítico, lo que manifestaría la
presencia de un extremo relativo. Si la función no está
definida o si la derivada no cambia de signo, no hay
extremos relativos. Si la función está definida, entonces se
pueden presentar los siguientes casos:
 Si la derivada cambia de positiva a negativa, quiere
decir que la función cambia de creciente a decreciente
y se tiene un máximo relativo.
 Si la derivada cambia de negativa a positiva, quiere
decir que la función cambia de decreciente a creciente
y se presenta un mínimo relativo.
Ejemplo. Obtener los máximos y mínimos relativos de las
funciones siguientes por medio del método de la primera
derivada y hacer un trazo aproximado de sus gráficas a partir
de los resultados obtenidos:
 
4 3 2
3
) ; ) 2 2 ; 0 2
4 6 2
x x x
i f x ii y senx sen x x       
 
2
3
2
2
) ; ) 3iii y iv f x x x
x
  
   
2
2
4 2
2) ; ) 2 3
1 2
2
x
si x
v f x vi f x x x
x
si x

 
   
  


11. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
11

12. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
12

13. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
13
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
TEOREMA.      0 0; ' 0 '' 0 M ry f x f x y f x   
TEOREMA.      0 0; ' 0 '' 0 ry f x f x y f x m   
Secuela de pasos del criterio de la segunda derivada:
1. Se calcula la derivada de la función.
2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale
cero o no existe.
3. Se calcula la segunda derivada de la función y se sustituye
en ella cada uno de los valores críticos.
 Si la segunda derivada es negativa, la función presenta
un máximo relativo en ese valor crítico.
 Si la segunda derivada es positiva, la función presenta un
mínimo relativo en ese valor crítico.
Nota. Si la segunda derivada es cero o no existe, entonces
habría que utilizar el criterio de la primera derivada para ver
si se presentan extremos relativos.
Ejemplo. Determinar los extremos relativos de las siguientes
funciones mediante el criterio de la segunda derivada y
hacer un trazo aproximado de sus gráficas, utilizando los
resultados obtenidos:
  4 3 2
) 4 4 1 ; ) 1i f x x x x ii y x x     
 
5 24
3 3
) ; ) 3 10
16
x
iii f x iv y x x  

14. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
14

15. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
15
Extremos absolutos
Ejemplo. Determinar los extremos relativos y absolutos de la
siguiente función, definida en el intervalo
3 5
,
2 2
 
 
 
. Hacer un
trazo aproximado de su gráfica.
  3
3 3f x x x  

16. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
16
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
DEFINICIÓN. Se dice que una curva es cóncava hacia arriba
cuando las rectas tangentes a todos sus puntos están
situadas por debajo de su gráfica, y cóncava hacia abajo
cuando las rectas tangentes están por encima de su gráfica.
DEFINICIÓN. Al punto en el que una curva cambia su
concavidad se le conoce como Punto de Inflexión y es en

17. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
17
este punto el único lugar en el cual la tangente corta a la
curva sin tocar su gráfica en otro lugar.
Relación entre la concavidad y la segunda derivada
TEOREMA. Sea la función  y f x y considérese que su
segunda derivada existe y es positiva en el punto  0 0,P x y , es
decir,  0'' 0f x  . Entonces su gráfica es una curva " "C
cóncava hacia arriba en dicho punto.
TEOREMA. Sea la función  y f x y considérese que su
segunda derivada existe y es negativa en el punto  0 0,P x y ,
es decir,  0'' 0f x  . Entonces su gráfica es una curva " "C
cóncava hacia abajo en dicho punto.
TEOREMA. Sea la función  y f x cuya representación es la
curva " "C . Y considérese que para 0x x se cumple que:
   0 0'' 0 ''' 0f x y f x 
Entonces el punto  0 0,P x y es un punto de inflexión de la
curva " "C .
PI
x
y
f
concavidad
hacia arriba
concavidad
hacia abajo
PI (Punto de inflexión)

18. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
18
Criterio para determinar los puntos de inflexión y el sentido de
la concavidad. Secuela de pasos:
1. Se calculan la primera, segunda y tercera derivadas.
2. Se iguala cero o se analiza la no existencia de la segunda
derivada para determinar los valores " "x donde es posible
que haya puntos de inflexión.
y senx
Máximo
relativo
Punto de
Inflexión
mínimo
relativo
y
x
x
4

2
 3
4
  5
4
 3
2
 7
4

2
x' cosy x






 
x
''y senx 
''' cosy x 

19. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
19
3. En los valores donde puede haber punto de inflexión se
analiza la tercera derivada que si es diferente de cero
garantiza la existencia de punto de inflexión lo que se hace
también al investigar si hay cambio de signo en la segunda
derivada o cambio en la concavidad. Se hace el siguiente
razonamiento:
Si
2
2
d y
dx
cambia de negativa a positiva, entonces, si la
función existe, se presenta un punto de inflexión y la
gráfica de la función cambia de cóncava hacia abajo a
cóncava hacia arriba.
Si
2
2
d y
dx
cambia de positiva a negativa, entonces, si la
función existe, se presenta un punto de inflexión y la
gráfica de la función cambia de cóncava hacia arriba a
cóncava hacia abajo.
Ejemplo. Dada la siguiente función, investigar dónde es
creciente o decreciente, determinar sus extremos relativos,
calcular sus puntos de inflexión, decir en qué intervalos es
cóncava hacia arriba y en cuáles hacia abajo, y hacer un
trazo aproximado de su gráfica:
 
3
5 3 5 20
) 3 5 ; )
3
x
i f x x x ii y x    
Se resolverá el primero.

20. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
20
x y y’ y’’ característica

21. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
21
SECUELA SUGERIDA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE EXTREMOS
- Leer cuidadosamente el enunciado para comprender la
problemática presentada y ver qué se pretende optimizar.
- Construir, cuando sea posible, un modelo geométrico del
problema, que considere magnitudes constantes y variables.
- Establecer un modelo matemático preliminar, que exprese
como función al concepto que se desea optimizar.
- Si este modelo matemático tiene más de una variable
independiente, acudir a una o más ecuaciones auxiliares.
- Sustituir las ecuaciones auxiliares en el modelo matemático
preliminar y obtener el modelo matemático definitivo.
- Se aplica cualquiera de los criterios para calcular extremos
al modelo matemático definitivo y se resuelve el problema.
- Cuando se obtienen los puntos críticos, alguno evidencia
de inmediato el máximo o mínimo de la función y si se desea
verificar su naturaleza, lo que no es indispensable, se
prosigue con el criterio que se elija para ello.
Ejemplo. La suma de dos números positivos es 40. Obtener
los números tales que:
)i Su producto sea máximo.
)ii La suma de sus cuadrados sea mínima.
)iii El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del
otro sea máximo.

22. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
22

23. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
23
Ejemplo. Un viaje de prácticas para realizar estudios
geológicos, subsidiado por una escuela de ingeniería,
costará a cada estudiante $15,000 si viajan no más de 150
estudiantes. Sin embargo, el costo por estudiante se reducirá
en $ 50 por cada uno que exceda los 150. ¿Con cuántos
estudiantes los ingresos de la escuela serían los máximos?
Construir también una gráfica de los ingresos en función del
número de estudiantes.

24. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
24
Ejemplo. Se tienen dos postes de 7 10m y m de altura,
separados una distancia de 15 m en un piso horizontal.
Deben sujetarse con cables que van de sus puntas a un solo
punto en el suelo. ¿En qué lugar se deben fijar los dos cables
al suelo para que la longitud total de cable sea mínima?
¿Cuál es la longitud mínima de cable?

25. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
25
Ejemplo. Una empresa petrolera desea construir un
depósito en forma de cilindro circular recto, con tapa. El
tanque debe contener 500,000 litros de crudo. El material
para la superficie lateral tiene un costo de $ 400 por 2
m , para
la tapa de $ 300 por 2
m y para base de $ 500 por 2
m . ¿Qué
dimensiones debe tener el tanque para que el costo de los
materiales empleados en su construcción sea el mínimo?
Calcular también el costo mínimo del material.

26. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
26
Ejemplo. Un abrevadero de 6 m de largo tiene su sección
transversal en forma de triángulo isósceles invertido, cuyos
lados iguales miden 1.2 m c/u. Determinar el ancho en la
parte superior de la sección, tal el volumen del abrevadero
sea máximo. Calcular el valor de este volumen máximo.

27. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
27
Ejemplo. ¿Qué dimensiones tiene el cono circular recto de
volumen máximo que se inscribe en una esfera de radio R?

28. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
28
Ejemplo. Una lámpara está colgada sobre el centro de una
mesa redonda de radio igual a 1.4 m. Se requiere saber a
qué altura deberá estar la lámpara para que la iluminación
de un objeto en el borde sea la máxima. Considérese que la
iluminación es directamente proporcional al coseno del
ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz.

29. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
29
Ejemplo. Se cuenta con 40 m de alambre para cercar un
seto de flores en un jardín. El seto debe tener la forma de un
sector circular. ¿Cuál será el radio y la longitud del arco del
círculo si se desea que el seto tenga área máxima y cuál es
el valor del área máxima?

30. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
30
Ejemplo. De un tronco recto de sección circular, de diámetro
100 cm, es necesario cortar una viga de sección rectangular.
¿Qué ancho y qué peralte (altura) debe tener la sección
para que la viga ofrezca la resistencia máxima posible a la
compresión y a la flexión? La resistencia de una viga a la
compresión es proporcional al área de su sección transversal
y a la flexión es proporcional al producto de su ancho por el
cuadrado de su peralte.

31. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
31
Ejemplo. Determinar la base y la altura del triángulo de
mínima área que en el primer cuadrante se puede formar al
cortar los ejes coordenados una recta que pasa por el punto
 3,4P .

32. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
32
VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN
El estudio de la variación de una función consiste en analizar
sus características geométricas como sus intersecciones con
los ejes, sus simetrías, la existencia de asíntotas verticales y
horizontales, sus extremos relativos, puntos de inflexión y
sentido de la concavidad, concluyendo con el trazado
aproximado de su gráfica.
Se pretende estudiar la variación de la función:
2
12
9
x
y
x


1. Intersecciones
a) Con el eje " "x : 0 0y x    la curva interseca al
eje " "x en el origen.
b) Con el eje " "y : 0 0x y    la curva interseca al
eje " "y en el origen.
2. Simetrías
a) Con el eje " "x : Se cambia y por –y y se tiene 2
12
9
x
y
x
 

.
Como se altera la función, no hay simetría.
b) Con el eje " "y : Se cambia x por –x y se tiene 2
12
9
x
y
x



.
Como se altera la función, no hay simetría.
c) Con el origen: Se cambia x por –x y y por –y y se tiene que
2 2
12 12
9 9
x x
y y
x x

   
 
. Como no se altera la función, sí
hay simetría con respecto al origen.
3. Asíntotas. Estas, si existen, se localizan como se vio en el
tema II.

33. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
33
a) Asíntotas verticales. No tiene ya que no existe ningún
valor real al cual tienda la " "x que haga que el límite de la
función no exista.
b) Asíntotas horizontales. Se calcula el valor numérico del
límite de la función cuando la variable " "x tiende a  y,
2
12
lim 0
9x
x
x


por lo que la recta 0y  (el eje x) es una asíntota horizontal
de la función.
4. Extensión. Se despeja cada una de las variables y se
obtiene su dominio. De esta manera,
a) Extensión en " "x : 2
12
9
x
y x
x
  

.
b) Extensión en " "y :
2
2 12 144 36
12 9 0
2
y
yx x y x
y
 
    
  2
144 36 0 12 6 12 6 0y y y     
Primera posibilidad:
12 6 0 2
12 6 0 2
y y
y y
   

    
Segunda posibilidad:
12 6 0 2
12 6 0 2
y y
y y
   

    
Por lo tanto, la extensión en " "y es:  2, 2 0y      .
5. Extremos relativos, intervalos de creciente y decreciente,
puntos de inflexión y concavidad.
Se obtienen la primera, segunda y tercera derivadas y se
procede como ya se estudió en el presente capítulo.
2 20
x
1 1
x
2 1 1 20

34. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
34
   
   
2 2
2 2 2
2 2
9 12 12 212 108 12
9 9 9
x x xx dy dy x
y
dx dxx x x
  
    
  
 
2
12 2
2
2
2
3108 12
0 108 12 0 9
39
xx
x x
xx
 
       

        
 
2
2 2 22
2 4
2
9 24 108 12 2 9 2
9
x x x x xd y
dx x
    


   
2 3 3 2 3
2 3 2 3
2 2
24 216 432 48 24 648
9 9
d y x x x x d y x x
dx dxx x
    
  
 
 
 
33
2
43
2
5
3 3
24 648
0 24 27 0 0
9
3 3
x
x x
x x x
x
x
  

    
 

que son los posibles puntos de inflexión.
       
 
3 2
2 2 3 23
3 6
2
9 72 648 24 648 3 9 2
9
x x x x x xd y
dx x
    


    
 
2 2 33
2 3
2
9 72 648 6 24 648
9
x x x x xd y
dx x
   


 
3 4 2
3 3
2
72 3888 5832
9
d y x x
dx x
  


 
3
3 3
3 3 0 3 3, 3
d y
x PI
dx
      
 
3
4 3
0 0 0, 0
d y
x PI
dx
   
 
3
3 3
3 3 0 3 3, 3
d y
x PI
dx
   
En ocasiones puede resultar muy difícil calcular la tercera
derivada para garantizar la existencia de un punto de
inflexión cuando  '' 0f x  o no existe, por lo que es suficiente
con saber si la función cambia su concavidad o bien, si su
segunda derivada cambia de signo.

35. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
35
Ahora se construye la correspondiente tabla y,
x y 'y ''y característica
 , 3 3  decrece  
3 3x   PI 0  3 3, 3PI  
 3 3, 3  decrece  
3x   mínimo 0  3, 2rm  
 3, 0 crece  
0x  PI 0  0, 0PI
 0, 3 crece  
3x  máximo 0  3, 2rM
 3, 3 3 decrece  
3 3x  PI 0  3 3, 3PI
 3 3,  decrece  
De acuerdo con la tabla, es posible decir que la curva que
representa a la función dada:
Es creciente en el intervalo  3, 3
Es decreciente en los intervalos    , 3 3,y  
Es cóncava hacia arriba en    3 3, 0 3 3,y 
Cóncava hacia abajo en    , 3 3 0, 3 3y 
Tiene un máximo relativo en el punto  3, 2
Tiene un mínimo relativo en  3, 2 
Tiene tres puntos de inflexión en los puntos
     3 3, 3 ; 0, 0 ; 3 3, 3 

36. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
36
Cabe decir que a pesar de que la curva corta a los ejes
coordenados en el origen, al crecer " "x en los dos sentidos,
el eje de las abscisas, esto es, 0y  , se convierte en asíntota
de la curva, por lo que no se contradice el análisis realizado.
Ejemplo. Estudiar la variación de las siguientes funciones:
2
2
1 4
) ; )
1
x x
i y ii y
x x

 

y
x
 3, 2rM
 0, 0PI
 3 3, 3PI
 3 3, 3PI
 3, 2rm  

37. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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38. PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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