El documento trata sobre el cálculo diferencial y cómo usar las derivadas para localizar valores máximos y mínimos de funciones. Explica que una función tiene un máximo o mínimo absoluto si su valor es mayor o menor que en todos los otros puntos de su dominio, mientras que un máximo o mínimo local se da cuando es mayor o menor que los valores cercanos. También introduce conceptos como números críticos, concavidad y puntos de inflexión.

1. Cálculo diferencial
(arq)
Máximos y mínimos de
una función.
Concavidad y puntos de
inflexión

2. Introducción:
Ahora que conocemos las reglas de derivación
nos encontramos en mejor posición para
continuar con las aplicaciones de la derivada.
Veremos cómo afectan las derivadas la forma
de la gráfica de una función y en particular
cómo nos ayudan a localizar valores máximos
y mínimos de las funciones
Expliquemos con exactitud qué queremos
decir con valores máximos y mínimos.

3. Definición:
Una función f tiene un máximo absoluto (o
máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para toda x
en D donde D es el dominio de f. El número
f(c) se llama valor máximo de f en D.
De manera análoga, f tiene un mínimo
absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para toda x en D;
el número f(c) se denomina valor mínimo de
f en D.
Los valores máximo y mínimo de f se
conocen como valores extremos de f.

4. x
y
a d
f(a)
f(d)
b c e
En la figura se muestra una función f con
máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a.
Si sólo consideramos valores de x cercanos a b,
entonces f(b) es el mas grande de esos valores de
f(x) y se conoce como máximo local de f.

5. Definición:
Una función f posee un máximo local (o
máximo relativo) en c si f(c) ≥ f(x) cuando x
está cercano a c. [Esto significa que f(c)≥f(x)
para toda x en algún intervalo abierto que
contiene a c.]
De manera análoga, f tiene un mínimo local
en c si f(c)≤f(x) cuando x está cerca de c.
En la figura anterior...¿dónde se presentan
extremos locales?

6. Ejemplo:
Determine los extremos locales y globales de
la gráfica de f(x)=x3.
x
y
y = x3

7. Ejemplo:
Determine los extremos locales y globales de
la gráfica de f(x)=3x4
-16x3
+18x2
en el
intervalo –1 ≤ x ≤4.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
y

8. Teorema del valor extremo:
Si f es continua sobre un intervalo cerrado
[a; b], entonces f alcanza un valor máximo
absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d)
en algunos números c y d de [a; b].
x
y
a c d b

9. x
y
a c d=b
x
y
a c1 d c2 b

10. −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
−1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y

11. Teorema de Fermat:
Si f tiene un máximo o un mínimo local en c
y si f ´(c) existe, entonces f ´(c) = 0.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Pero...
qué pasa con
y = x3
??

12. −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
x
y

13. Definición:
Un número crítico de una función f es un
número c en el dominio de f tal que f ´(c)=0
o f ´(c) no existe.

14. Ejemplo:
Encuentre los números críticos de f(x) =
x3/5
(4 - x).
Si f tiene un extremo local en c, entonces c
es un número crítico de f.

15. Método del intervalo cerrado para hallar
los valores máximo y mínimo absolutos de
una función continua f sobre un intervalo
cerrado [a; b]:
1. Encuentre los valores de f en los
números críticos de f en (a; b).
2. Halle los valores de f en los puntos
extremos del intervalo.
3. El mas grande de los valores de los
pasos 1 y 2 es el valor máximo
absoluto; el mas pequeño es el valor
mínimo absoluto.

16. Ejemplo:
Encuentre los valores máximo y mínimo
absolutos de la función f(x) = x3
- 3x2
+ 1,
para - ½ ≤ x ≤ 4.
−2 −1 1 2 3 4 5 6
−5
5
10
15
x
y

17. ¿Cómo afectan las
derivadas la forma de
una gráfica?

18. Introducción:
Numerosas aplicaciones del cálculo
dependen de nuestra capacidad para
deducir hechos relativos a la función f a
partir de información concerniente a sus
derivadas. Como f′(x) representa la
pendiente de la curva y = f(x) en el punto
(x; f(x)), nos dirá cuál es la dirección de
crecimiento de la curva. Entonces f′(x) nos
ayuda a saber más de f(x).

19. x
y
Prueba creciente / decreciente
a) Si f′(x) > 0 sobre un intervalo, entonces f
es creciente en ese intervalo.
b) Si f′(x) < 0 sobre un intervalo, entonces f
es decreciente en ese intervalo
A
B
C
D

20. Ejemplo
Determinar dónde es creciente y dónde es
decreciente la función f(x) = 3x4
-4x3
-12x2
+5
−1 1 2 3
−30
−20
−10
10
x
y

21. Prueba de la primera derivada
Si c es un número crítico de una función
continua f.
1. Si f′(x) cambia de positiva a negativa en
c, entonces f tiene un máximo local en c.
2. Si f′(x) cambia de negativa a positiva en
c, entonces f tiene un mínimo local en c.
3. Si f′(x) no cambia de signo en c (esto es,
f′ es positiva en ambos lados de c o
negativa en ambos lados), entonces f
carece de extremo local en c.

22. x
y
0)(' >xf 0)(' <xf
c
Máximo local
x
y
c
0)(' <xf 0)(' >xf
Mínimo local

23. x
y
c
0)(' >xf
0)(' >xf
x
y
c
0)(' <xf
0)(' <xf
Sin extremo
Sin extremo

24. Ejemplo:
Halle los valores máximos y mínimos locales
de la función
g(x) = x + 2 sen x 0 ≤ x ≤ 2π

25. ¿Qué dice f’’ acerca de f?

26. x
y
A
B
f
a b x
y
A
B
g
a b
(a) (b)
La figura muestra las gráficas de dos funciones
que unen A con B, pero se ven distintas porque
se tuercen, la primera hacia arriba y la segunda
hacia abajo.
¿Qué características de las funciones f y g nos
permiten establecer diferencias entre sus
comportamientos?

27. x
y
A
B
f
a b
(a)
x
y
A
B
g
a b
(b)
Al trazar las tangentes vemos que en (a), la
curva queda arriba de las tangentes y se dice
que f es cóncava hacia arriba en (a; b).
En (b) la curva esta abajo de sus tangentes, y se
dice que g es cóncava hacia abajo en (a; b)
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

28. Definición
Si la gráfica de f está arriba de sus tangentes
en un intervalo I, se dice que es cóncava
hacia arriba en I. Si queda debajo de sus
tangentes en I, se llama cóncava hacia abajo
en I.
x
y
a b c d e p q
A
B C
D E
P
Q
x
y
a b c d e p q
A
B C
D E
P
Q
CAB CAB CABCAR CAR CAR

29. Prueba de concavidad
a) Si f′′(x) > 0 para toda x en I, entonces la
gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
b) Si f′′(x) < 0 para toda x en I, entonces la
gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.
Definición
Un punto P de una curva se llama punto de
inflexión si en él la curva tiene recta
tangente única y pasa de cóncava hacia
arriba a cóncava hacia abajo y viceversa.

30. Ejemplo
Dibuje una gráfica posible para una
función f sujeta a las siguientes
condiciones:
i. f′(x) > 0 en (-∞; 1), f′(x) < 0 en (1; ∞)
ii. f′′(x) > 0 en (-∞; -2) y (2; ∞), f′′(x) < 0
en (-2; 2)
iii. 0)(lim,2)(lim =−=
∞→∞−→
xfxf
xx

31. Prueba de la segunda derivada
Si f′′ es continua en la vecindad de c:
a) Si f′ (c) = 0 y f′′ (c) > 0, f tiene un mínimo
local en c.
b) Si f′ (c) = 0 y f′′ (c) < 0, f tiene un máximo
local en c.