El documento discute varios temas relacionados con la derivada, incluyendo su aplicación en funciones implícitas y la monotonía de funciones. También cubre extremos absolutos de funciones, el teorema del valor extremo, y criterios para determinar la concavidad y convexidad basados en la segunda derivada.

1. Elsaismar Santeliz
Aplicaciones de la derivada
Aplicación en la derivada implícita:
La derivada de la función implícita y = y(x) definida mediante la ecuación
F(x, y) = 0 puede calcularse: o bien despejando la y, o bien mediante la siguiente formula:
y′
=
Fx
Fy
, siempre que Fy ≠ 0
Aplicación en la momotonia de funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Se dice que una funcion f es creciente sobre un intervalo I si
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I
Se dice que es decreciente sobre I si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I
Crecimiento en un punto
Si f es derivable en a, f es estrictamente creciente en a si f '(a) > 0

2. 1
Decrecimiento en un punto
Si f es derivable en a f es estrictamente decreciente en a si f '(a) < 0
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos
de discontinuidad de la función original (si los hubiese).
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada
primera.
 Si f'(x0) > 0, entonces f es creciente en todos los puntos del intervalo al que
pertenece x0.
 Si f'(x0) < 0, entonces f es decreciente en todos los puntos del intervalo al que
pertenece x0.
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo:
Calcular puntos notables, intervalos de monotonía y curvatura de la función:
y =
x2
+ 1
x
D = R − 0
y′
=
2x . x – ( x2
+ 1)
x2
=
2 x2
− x2
− 1)
x2
=
x2
− 1
x2
y′
(x) = 0 ;
x2
− 1
x2
= 0 ; x2
− 1 = 0 ; x = ± 1 posibles máx. , min.
y′′
=
2x . x2
– ( x2
− 1) . 2x
x4 3
=
2x2
– 2x2
+ 2
x3
=
2
x3
y′′
(1) =
2
1
> 0 min.(1,2)

3. 2
y′′(−1) =
2
−1
< 0 máx. (−1, −2)
y′′
(x)
= 0 ;
2
x3
= 0 ; 2 = 0 ∄x ∈ R ∄ P. I.
Monotonía de f(x):
∀x ∈ (−∞, −1) x = −2 ; y′ (−2) > 0 Creciente
∀x ∈ (−1, 0) x = −0,5 ; y′ (−0,5) < 0 Decreciente
∀x ∈ (0, 1) x = 0,5 ; y′ (0,5) < 0 Decreciente
∀x ∈ (1, ∞) x = 2 ; y′ (2) > 0 Creciente
Por tanto f es Creciente ∀x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); Decreciente ∀x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1).
Definición de valor máximo absoluto en un intervalo
La función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo si existe algún número
c en el intervalo tal que f(c) ≥ f(x) para toda x del intervalo. El número f(c) es el valor
máximo absoluto de f en el intervalo.
Definición de valor mínimo absoluto en un intervalo
La función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo si existe algún número c
en el intervalo tal que f(c) ≤ f(x) para toda x del intervalo. El número f (c) es el valor
mínimo absoluto de f en el intervalo.
Extremo absoluto
Un extremo absoluto de una función en un intervalo es un valor máximo absoluto o
un valor mínimo absoluto de la función en el intervalo. Una función puede o no tener un
extremo absoluto en un intervalo particular. En cada uno de los ejemplos ilustrativos
siguientes se dan un intervalo y una función, y se determinan los extremos absolutos de la
función en el intervalo, si es que existe alguno.
Teorema del valor extremo
Si la función f es continua en el intervalo cerrado a, b , entonces f tiene un valor
máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en a, b .
El teorema del valor extremo establece que la continuidad de una función en un
intervalo cerrado es una condición suficiente para garantizar que la función tiene un valor

4. 3
máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo. Sin embargo, no es una
condición necesaria. Por ejemplo, la función de la gráfica, tiene un valor máximo absoluto
en x = c y un valor mínimo absoluto en x = d. Aunque la función es discontinua en el
intervalo abierto (−1, 1).
Un extremo absoluto de una función continua en un
intervalo cerrado debe ser un extremo relativo o un valor
de función en un extremo del intervalo. Debido a que una
condición necesaria para que una función tenga un extremo
relativo en un número c es que c sea un número crítico, de
modo que el valor máximo absoluto y el valor mínimo
absoluto de una función f continua en un intervalo cerrado
[a. b] puede determinarse mediante el procedimiento
siguiente:
 Determine los valores de la función en los
números críticos de f en (a, b).
 Determine los valores de f(a) y f(b).
 El mayor de los valores determinados en los
pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y
el menor de los valores es el valor mínimo
absoluto.
Ejemplo
a) Estime las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que pueda
inscribirse en un cono circular recto cuyo radio mide 5 cm y su altura es de 12 cm.
b) Confirme analíticamente las estimaciones del inciso (a).
Solución
a) Sean r centímetros la longitud del radio del cilindro, h centímetros su altura y v
centímetros cúbicos su volumen.
Si r = 0 y h = 12, se tiene un cilindro degenerado, el cual es el eje del cono. Si
r = 5 y h = 0, también se tiene un cilindro degenerado, el cual es la base del cono. El
número r está en el intervalo cerrado 0,5 , y el número h pertenece al intervalo cerrado
0, 12 .
La fórmula siguiente expresa V en términos de r y h.
V = πr2
h
A fin de expresar V en terminos de una variable se necesita otra ecuacion que
contenga a r y h. De los triangulos semejantes, se tiene:

5. 4
12 − h
r
=
12
5
h =
60 − 12r
5
Si se sustituye, se obtiene V como una función de r, lo que se escribe como
V(r) =
12
5
π(5r2
− r3) r ∈ 0,5
La grafica de V trazada en el rectangulo de inspeccion de 0,5 por 0, 150 . Se
determina que el punto mas alto es (3.33, 139.63). Por tanto, se estima que el radio del
cilindro circular recto mide 3.33 cm y, en consecuencia, se estima que su altura es de 4.01
cm. Para confirmar, se aplica el teorema del valor extremo ya que V, definida , es continua
en el intervalo cerrado 0, 5 Se desea determinar los valores de r y h que proporcionen el
valor maximo absoluto de V. Se tiene
V(r) =
12
5
π(10r − 3r2)
Con objeto de determinar los números críticos de V
, se considera V′
(r) = 0 y se despeja r:
r(10 − 3r) = 0
r = 0 r =
10
3
Como V′(r) existe para todos los valores de
r, los únicos números críticos de V son 0 y
10
3
, los
cuales están en el intervalo cerrado 0,5 debe
ocurrir en 0.
10
3
o 5. Se obtiene
V(0) = 0 V
10
3
=
400
9
π V(5) = 0

6. 5
Por tanto, el valor máximo absoluto de V es
400
9
π ≈ 139,63, el cual se obtiene
cuando r =
10
3
≈ 3.33. Cuando r =
10
3
, se obtiene h = 4 . Estos resultados confirman las
estimaciones anteriores y proporcionan los valores exactos de r y h.
Conclusión:
El cilindro circular recto de mayor
volumen inscrito en el cono dado tiene un
volumen de
400
9
π cm3
, lo que ocurre cuando
r =
10
3
cm y h = 4 cm.
Criterio de la primera derivada
Teorema:
Sea f una función que es continua en un intervalo cerrado a, b y derivable en el intervalo
abierto (a, b).
a) Si f′(x) > 0 para todo x en (a, b). Entonces f es creciente ( )en a, b
b) Si f′(x) < 0 para todo x en (a, b). Entonces f es decreciente ( )en a, b
Teorema: Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un
mínimo y un máximo por lo menos una vez en [a, b].
 Los valores extremos de una función también se llaman mínimo absoluto y máximo
absoluto de f en un intervalo.

7. 6
Criterio de concavidad y convexidad
Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma
cóncava.
Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad
y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle
tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser
confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más
precisa:
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los
puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

8. 7
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los
puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

9. 8
Razones de cambio relacionadas