Administracion de riesgos

DATOS DEL AUTOR
Economista y contador público egresado de la UNAM, actual-
mente es catedrático con 14 años de experiencia docente en las
áreas de Finanzas y Economía de la Universidad Tecnológica de
México (UNITEC), Campus Sur.
Ha sido asesor de tesis en tópicos financieros y sinodal en exá-
menes profesionales en la propia UNITEC.
Cuenta con más de 28 años de experiencia en el sector finan-
ciero (banca, seguros y otros intermediarios auxiliares de crédito),
se ha desarrollado como consultor empresarial en temas de pla-
neación estratégica, elaboración de planes de negocio, así como
reingeniería de procesos administrativos y financieros.
Actualmente, se desempeña como Director de Riesgos y Pro-
cesos, así como Oficial de Cumplimiento en una empresa microfi-
nanciera orientada a canalizar créditos productivos a segmentos de
escasos recursos, la cual tiene posicionamiento en la península de
Yucatán.

INTRODUCCION
El riesgo es uno de los principales fenómenos que enfrentan
todos los agentes financieros, ya sean instituciones financieras
(bancos, casas de bolsa, SOFIPOS, SOFOMES, arrendadoras, fac-
toraje, casas de cambio, etc.), así como los propios participantes
de los mercados financieros, tanto personas físicas como personas
morales.
Existen diversas modalidades de riesgos a los que se enfrentan
los agentes financieros, entre los que destacan: riesgos de mer-
cado, riesgos de crédito, riesgos de liquidez, riesgos operativos y
riesgos legales.
Esta obra tiene como objetivo brindar herramientas teórico-prác-
ticas a los estudiosos del apasionante mundo de la gestión de ries-
gos, por lo tanto, va dirigida a estudiantes de las licenciaturas de
economía, finanzas, contaduría pública y administración de empre-
sas, principalmente, así como a aquellos profesionales que se dedi-
quen a estas ramas del conocimiento y quehacer financiero actual.
El libro pretende ser una guía de referencia rápida que dé res-
puestas a las interrogantes básicas que plantea la administración
de los riesgos en forma integral, por lo tanto, se busca que la obra
tenga un enfoque teórico-práctico que ayude al lector interesado a
plantear y resolver diversos tópicos que son inherentes a la gestión
de riesgos financieros.
Esta obra consta de 11 capítulos, a través de los cuales se hacen
planteamientos teóricos que se acompañan de ejemplos prácticos
que permitan al lector corroborar y comprobar lo expuesto en los
modelos teóricos que se presentan en cada capítulo.
El primer capítulo aborda la panorámica actual de la adminis-
tración de riesgos en el contexto del sistema financiero nacional
e internacional, para ello se plantea el concepto de la gestión de
riesgos dentro de la ciencia financiera moderna.
En el segundo capítulo se aborda el teorema fundamental de la
moderna teoría de la gestión de riesgos, es decir, la relación ries-
go-rendimiento, la cual se explica a través de herramientas estadís-
ticas como la varianza, covarianza, correlación y el planteamiento
de un modelo de bandas para el control de riesgos.

Para entender la gestión de riesgos financieros, en el capítulo
tercero se explica el funcionamiento de la teoría del portafolios de
inversión, para lo cual se hace referencia al ya clásico modelo de
Markowitz, así como de los modelos de programación lineal me-
diante el método simplex. Este capítulo es fundamental para la
construcción de carteras de inversión que permitan encontrar el
punto en donde se minimice el riesgo y se maximice el rendimiento
a través de la construcción de una frontera eficiente.
El cuarto capítulo aborda el tema de la volatilidad, que como es
bien sabido dentro de la teoría financiera moderna, ésta represen-
ta una variable clave dentro de los mercados financieros actuales.
Aquí se presentan varios modelos que ayudan a medir la volatilidad
a la que se hallan expuestos los principales activos financieros que
integran el patrimonio de empresas e inversionistas.
En el quinto capítulo se presentan las famosas reglas de Basilea,
las cuales se han convertido en una necesidad operativa y legal pa-
ra los participantes de los mercados financieros modernos, ya que
el apego a dichas reglas es de observación obligatoria tanto para
las autoridades e instituciones financieras mexicanas.
El capítulo sexto trata sobre los cinco tipos de riesgo a los que se
enfrentan los diferentes participantes de los mercados financieros y
su diferenciación para el tratamiento correspondiente de acuerdo al
tipo de riesgo que se presente.
Dentro del séptimo capítulo se aborda el riesgo de mercado, el
cual afecta principalmente a las tasas de interés y al tipo de cambio,
aquí se abordan tópicos fundamentales como el calce financiero, la
inmunización financiera, la duración y la convexidad.
La medición del riesgo crediticio se expone en el octavo capítulo,
dando inicio a través del análisis de las metodologías tradicionales,
para que posteriormente se presenten los modelos de Merton, VaR,
Credit Risk y KMV. Por último, se utilizarán las pruebas de estrés
correspondientes, mismas que permitirán realizar un análisis pa-
ra ver qué tan blindada puede estar una institución financiera ante
eventos económicos y financieros catastróficos.
El capítulo noveno trata sobre la exposición al riesgo cuando se
presentan condiciones de escasez de fondos prestables, lo cual
tiene un impacto directo sobre el capital neto y el Indice de capitali-
zación necesarios para la generación de un proceso de intermedia-
ción financiera lo más sano posible.
A través del capítulo décimo, se explica la importancia que tiene
la medición del riesgo operativo, ya que éste es un tema importantí-
simo dentro de la agenda de Basilea II y III, incluso se ha convertido

en un punto medular en la gestión de riesgos, ya que muchas de las
fallas internas de las instituciones financieras han propiciado serios
quebrantos que han puesto en peligro el patrimonio de los ahorra-
dores e inversionistas que participan dentro de dichas instituciones.
Por último, en el onceavo capítulo se aborda el tratamiento del
riesgo legal al que están expuestos tanto las instituciones financie-
ras como los clientes, accionistas e inversionistas que forman parte
de éstas.

MODELOS PRACTICOS DE ADMINISTRACION 15
CAPITULO 1
LA ADMINISTRACION DE RIESGOS,
¿ES UNA MODA O UNA NECESIDAD?
1.1. Entendiendo el Concepto de Riesgo
Las condiciones actuales que se viven en los mercados financie-
ros se traducen en un común denominador, es decir, el elemento
riesgo.
El riesgo va asociado directamente con la volatilidad que experi-
mentan las diferentes variables económicas y financieras, llámense
tipo de cambio, tasas de interés, inflación, etcétera.
En este sentido, el tener un conocimiento lo más amplio posible
sobre el comportamiento de dichas variables hace que la adminis-
tración de riesgos se convierta en una necesidad, ya que la iden-
tificación, medición y control de los riesgos permitirá mitigar, en la
medida de los posible, los impactos que podrían sufrir los partici-
pantes de los mercados financieros.
A continuación, se esbozarán varios elementos que permitirán
entender la naturaleza del riesgo y la forma de llevar a cabo su ges-
tión.
1.1.1. ¿Qué es el riesgo en general?
El riesgo es un elemento al que el género humano se ha enfren-
tado durante años, tal es el caso de los agricultores cuando llegan
a perder sus cosechas a causa de algún evento adverso de la natu-
raleza, llámese huracán, tornado, sequía, etcétera.
El riesgo se puede definir como la vulnerabilidad ante un daño o
perjuicio potencial que puede afectar a personas, organizaciones o
entidades.
El concepto de riesgo evoca la posibilidad de que ocurra un
contratiempo o se produzca un daño, pero también como verbo
define el arriesgarse, atreverse, supone una elección con incerti-

EDICIONES FISCALES ISEF16
dumbre. Asimismo, la etimología del término riesgo proviene del
latín RISCARE, lo que significa atreverse o transitar por un sendero
peligroso.1
El adentrarse a la gestión del riesgo implica comprenderlo, esto
es: saber medirlo y valorarlo; establecer límites de riesgo acepta-
ble y cuáles riesgos deben ser evitados; gestionarlo introduciendo
cambios, si fuera necesario, en los planes originales de gestión y
controlarlo mediante procedimientos previamente establecidos.
Ante esta perspectiva, la Administración de Riesgos es una dis-
ciplina compleja en la que los gestores deben tratar con los involu-
crados, ya sean individuales o institucionales.
En este sentido, se entenderá por Administración de Riesgos,
al conjunto de objetivos, políticas, procedimientos y acciones que
se implementen para identificar, medir, vigilar, limitar, controlar,
informar y revelar los riesgos a que se encuentran expuestos los
agentes que participan dentro de los mercados financieros y eco-
nómicos actuales.
1.1.2. La administración de riesgos como una disciplina es-
pecial de la ciencia financiera
La administración de riesgos es una disciplina que empezó a po-
nerse en boga durante los años ochenta del siglo pasado; al res-
pecto, hay que recordar la situación que vivieron las economías de
los países emergentes, entre las que destaca la economía mexica-
na.
Durante la gestión presidencial de José López Portillo de finales
de la década de los setentas y principios de los ochentas del siglo
pasado, la economía de nuestro país atravesó por momentos de
alta volatilidad, sobre todo por los altos niveles de endeudamiento
externo, tanto del gobierno como del sector privado, lo cual desató
una fuerte especulación contra el peso mexicano hasta llevarlo a
niveles devaluatorios cercanos al 100%.
Por otra parte, la hiperinflación que se empezó a desatar pro-
vocó que los niveles de volatilidad en los mercados económicos y
financieros se convirtieran en el común denominador, tal situación
representó elevados riesgos para el gobierno y los particulares.
A partir de ese hito en la historia económica de nuestro país, se
marcó la pauta para que los estudiosos de las finanzas empezaran
a plantear modelos que permitieran una gestión objetiva de los ries-
gos para poder identificarlos, prevenirlos y mitigarlos.
1. De Lara Haro, Alfonso. Medición y Control de Riesgos Financieros. México, Limu-
sa, 2013, pág. 13.

El riesgo siempre ha sido un elemento que se encuentra pre-
sente en el quehacer humano, sobre todo en la economía y las
finanzas, ya que en estas disciplinas se trabaja con variables que
se enfrentan a diversas oscilaciones, las cuales son el ingrediente
principal para estudiar las causas que propician tales movimientos.
Ante esta panorámica, los estudiosos de las finanzas han pro-
puesto innumerables modelos para la gestión de riesgos y dentro
de los desarrollos teóricos que marcaron la pauta en esta disciplina
figura el trabajo pionero de Harry Markowitz.
Harry Markowitz es uno de los economistas norteamericanos
más prestigiados de la Universidad de Chicago, quien se hizo cé-
lebre con su trabajo denominado PORTFOLIO SELECTION que fue
publicado por la revista Journal of Finance en 1952. En este estudio,
Markowitz utilizó herramientas estadísticas para generar portafolios
de inversión que permitan minimizar riesgos y optimizar el rendi-
miento de los instrumentos que forman una cartera de inversión.2
Después que Markowitz publicó su famosa teoría de la selección
de portafolios de inversión, recibió en 1990 el premio Nobel de Eco-
nomía.
1.1.3. ¿Por qué se requiere la administración de riesgos, tan-
to para empresas, gobierno, instituciones financieras e inver-
sionistas?
En el controvertido mundo financiero en que vivimos, la volatili-
dad de los mercados se ha traducido en riesgos para los diferentes
agentes económicos y financieros que participan en los mismos.
De manera muy concisa, la utilidad de la administración de
riesgos para empresas, gobierno, instituciones financieras e inver-
sionistas se puede resumir con algunos tipos de riesgos de la si-
guiente manera:
AGENTE
FINANCIERO
IDENTIFICACION
DEL RIESGO
IMPACTO
DEL RIESGO
Empresas • Riesgo legal. • Por el no cumplimiento
en tiempo y forma de las
obligaciones legales.
• Riesgo operativo. • Asociado a fallas en
los sistemas y errores
humanos dentro de los
procesos de gestión de
la empresa.
2. Markowitz, Harry. Portfolio Selection. Journal of Finance, USA, 1952.

Gobierno • Riesgo cambiario. • Movimientos en el ti-
po de cambio pueden
afectar la planeación del
presupuesto guberna-
mental para un ejercicio
fiscal.
Instituciones
Financieras
• Riesgo de crédito. • Incumplimiento en las
obligaciones de los
acreditados.
• Riesgo de liquidez. • Insuficiencia de fondeo
para realizar operacio-
nes crediticias.
Inversionistas • Riesgo de mercado. • Se puede tener una
afectación negativa que
pueda poner en peligro
el patrimonio personal y
familiar del inversionis-
ta.
Esta es sólo una muestra de los tipos de riesgo a los que se
pueden enfrentar los agentes financieros que participan en los di-
ferentes mercados financieros, lo cual puede dar una idea sobre el
impacto que puede causar cualquiera de estos riesgos cuando no
se le identifica y corrige de manera anticipada.

CAPITULO 2
LA RELACION RIESGO-RENDIMIENTO
COMO ELEMENTO FUNDAMENTAL
DENTRO DE LA ADMINISTRACION DE RIESGOS
2.1. El Riesgo y el Rendimiento dentro de la Teoría Financiera
En la teoría financiera existe un teorema fundamental que explica
la relación existente entre el nivel de riesgo y el rendimiento que
inherentemente está asociado a cualquier instrumento financiero.
En este sentido, se puede afirmar que a todo instrumento finan-
ciero le corresponde un determinado nivel de riesgo y rendimiento,
es decir, que en todo momento esta correspondencia opera en dife-
rentes entornos y circunstancias y que finalmente están obligados
los analistas financieros a establecer estrategias que permitan redu-
cir la exposición al riesgo y optimizar el rendimiento del instrumento
financiero en cuestión, sobre todo si se va a formar un portafolio
que contenga una combinación de varios instrumentos.
2.2. La Medición del Riesgo y el Rendimiento
Antes de entrar en materia, es importante recordar al científico
inglés del siglo XIX de nombre Lord Kelvin, quien se hizo famoso
por sus estudios para la medición de escalas para la temperatura,
pero sobre todo, una frase célebre que acuñó este hombre dice lo
siguiente: “Cuando se puede medir aquello de lo que se habla y se
puede expresar en números, se conoce algo del tema, pero cuando
no se puede medir, cuando no se puede expresar en números, el
conocimiento es pobre e insatisfactorio”.
En este sentido, para poder administrar el riesgo es necesario,
como un primer paso, realizar su medición, para que posteriormen-
te se pueda controlar y a partir de ese momento se adquiera el
conocimiento necesario que permita, en la medida de lo posible,
mitigar los efectos de la volatilidad a la que están expuestos los ins-
trumentos o variables económicas y financieras en cuestión.

2.2.1. Medidas estadísticas de tendencia central y dispersión
Para poder medir el riesgo de un activo financiero se requiere
de la utilización de medidas estadísticas, lo cual es la base funda-
mental para poder saber de qué tamaño es el nivel de riesgo que
se está midiendo.
Dichas medidas son de dos categorías, es decir las de tendencia
central y las de dispersión.
En este sentido, las principales medidas de tendencia central a
utilizar en el análisis de riesgo son: media, moda y mediana. Al res-
pecto, la medida de tendencia central que más se utiliza dentro del
análisis de riesgo es la media y es sobre la que nos enfocaremos.
La media se puede definir como una medida del centro de gra-
vedad de un conjunto de datos, la cual es afectada por los valores
extremos de la serie en cuestión3, cuya fórmula es la siguiente:
n
X = ∑ X (Fórmula 2.1)
n
i = 1
Donde:
X = Promedio de variable aleatoria “X”
X = Variable aleatoria
n = Número de observaciones de la variable aleatoria
Por otra parte, la mediana es otra medida de tendencia central
y se define como la observación que cae en el centro cuando las
observaciones se ordenan de manera creciente. Si el número de
observaciones es par, se selecciona como mediana el valor medio
entre las dos observaciones que caen justamente en medio de la
serie estadística observada4.
Para ejemplificar lo anterior, se tomará la siguiente serie estadís-
tica impar, misma que a su vez se ordenará de manera creciente:
3. Mendenhall y Reinmuth. Estadística para Administración y Economía. México,
Grupo Editorial Iberoamérica, 2000, capítulo 3.
4. Ibid.

SERIE IMPAR
SIN ORDENAR ORDENADA
12 12
17 17
19 19
21 21
24 24
Por lo tanto, en este caso la mediana será el número 19.
Si la serie fuera par, digamos con los siguientes números:
SERIE PAR
SIN ORDENAR ORDENADA
12 12
16 16
17 17
19 19
21 21
24 24
En este caso, los valores medios de la serie son 17 y 19, por lo
que su valor medio será: (17 + 19)/2 = 18, es decir que 18 es la
mediana de la serie.
Otra medida de tendencia central que se utiliza en el análisis es-
tadístico es la moda, misma que se define como el valor que ocurre
con mayor frecuencia, por ejemplo, la serie estadística siguiente:
SERIE ORIGINAL MEDIANA
19
17
12
17
21
24
17
12
17

En este caso, 17 es el valor que ocurre con mayor frecuencia en
la serie estadística, por lo tanto, este es el valor de la moda.
Una vez definidas las medidas de tendencia central para una va-
riable aleatoria, se debe trabajar con las medidas de dispersión, las
cuales van a mediar en cuanto cambia o se aleja de su valor central;
generalmente, la medida que mayormente se utiliza dentro de las
medidas de dispersión es la media.
Las medidas de dispersión que se utilizan en el análisis de ries-
gos son: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación,
curtosis y asimetría.
En este sentido, por la importancia que reviste cada una de es-
tas medidas de dispersión se realizará el análisis detallado de las
mismas.
La varianza se define como el promedio del cuadrado de las
desviaciones con respecto a su media, es decir, cuánto se mueve
la variable observada en relación a su centro de gravedad5.
La fórmula que define a la varianza es la siguiente:
n
σ2 = ∑
(X - X)2
(Fórmula 2.2)
n
i = 1
Donde:
σ2 = Varianza de la variable aleatoria “X”
n = Número de observaciones de la variable aleatoria
Debido a que la varianza se expresa en unidades al cuadrado
y como las variables económicas y financieras no podemos repre-
sentarlas bajo estos términos, se requiere expresar dichas unidades
en unidades lineales, en este sentido, se debe utilizar la desviación
estándar, la cual se define como el cuadrado de la varianza y su
fórmula es la siguiente:
σ = √σ2 (Fórmula 2.3)
5. Mendenhall y Reinmuth. Op. Cit., capítulo 3.

Mediante el siguiente ejemplo se podrá observar mejor lo antes
expuesto.
Se tienen los precios de las acciones de la emisora “B” del pe-
ríodo enero 2014 a febrero de 2015, lo cual se muestra a continua-
ción:
Cuadro 2.1 Precios de cierre de acciones
de “B”
Fecha Precio de
cierre
(X - X) (X - X)2
03/01/2014 47.07 -10.87 118.08
03/02/2014 46.19 -11.75 137.98
03/03/2014 47.79 -10.15 102.95
01/04/2014 47.99 -9.95 98.93
01/05/2014 55.81 -2.13 4.52
02/06/2014 57.99 0.05 0.00
01/07/2014 58.56 0.62 0.39
01/08/2014 62.53 4.59 21.10
01/09/2014 66.91 8.97 80.52
01/10/2014 68.50 10.56 111.59
03/11/2014 65.00 7.06 49.89
01/12/2014 61.94 4.00 16.03
01/01/2015 61.15 3.21 10.33
02/02/2015 63.68 5.74 32.99
Sumatorias 0.00 785.31
Aplicando las fórmulas 2.2 y 2.3 se tiene lo siguiente:
14
σ2 = ∑
(785.31)2
= 56.0914
i = 1
σ = √ 56.09 = 7.49

Continuando con las medidas de dispersión, ahora se abordará
el coeficiente de variación, mismo que se define como el cociente
que resulta de dividir la desviación estándar entre el promedio de
la serie estadística. Sirve para medir la dispersión relativa respecto
al promedio.
La fórmula del coeficiente de variación es la siguiente:
CV =
σ (Fórmula 2.4)
X
Aplicando esta fórmula para el ejemplo del precio de las acciones
de “B”, el coeficiente de variación arroja el siguiente resultado:
CV =
7.49
= 12.9%
57.94
Para concluir con las medidas de dispersión, se abordará a con-
tinuación el concepto de asimetría y curtosis.
La asimetría es una medida que indica la simetría de la distribu-
ción de una variable aleatoria respecto a su promedio, esto es sin la
necesidad de realizar la representación gráfica de la misma.
En este sentido, se dice que una distribución es simétrica cuan-
do las medidas de tendencia central, la media, mediana y moda
tienen el mismo valor, por otra parte, cuando la media supera a
la mediana y a la moda se dice que la distribución está sesgada
positivamente, mientras que si la moda supera a la mediana y a
la media se dice entonces que la distribución está sesgada nega-
tivamente, lo anteriormente expuesto se puede representar de la
siguiente manera:
Cuadro 2.2. Sesgamiento de las distribuciones
Distribución
Simétrica
Distribución
sesgada
positivamente
Distribución
sesgada
negativamente
X = Md = Mo X > Md > Mo Mo > Md > X
Donde:
X = Promedio

Md = Mediana
Mo = Moda
Para medir la asimetría se utiliza una fórmula que se conoce co-
mo tercer momento respecto al promedio de la distribución, la cual
queda de la siguiente manera:
α3 =
n
1 ∑ (X - X)3
n
(Fórmula 2.5)
i=1
σ3
Donde:
α3 = Coeficiente de asimetría
X = Promedio de variable aleatoria “X”
σ3 = Desviación estándar elevada al cubo
Para el ejemplo del precio de las acciones de “B”, el coeficiente
de asimetría arroja el siguiente valor:
α3 = = -0.3918
1 * (-2,304.25)3
14
420.11
Esto significa que la distribución está sesgada negativamente.
Por último, la curtosis es una medida de dispersión que se de-
fine a partir del cuarto momento respecto al promedio de la distri-
bución, la cual indica qué tan plana o puntiaguda será la forma de
dicha distribución, esto significa que si la punta es muy aguda se
le denomina LEPTOCURTICA, mientras que si la forma es achatada
se le conoce como distribución MESOCURTICA.

La curtosis indica qué tan concentrados se encuentran los valo-
res alrededor del promedio, en este caso, una distribución leptocúr-
tica indica que los valores están más concentrados hacia la media,
mientras que una distribución mesocúrtica indica que los valores
están más dispersos respecto a la media.
La fórmula que define a la curtosis es la siguiente:
α4 =
n
1 ∑ (X - X)4
n
(Fórmula 2.6)
i=1
σ4
Donde:
α4 = Coeficiente de curtosis
Las demás variables ya se definieron previamente.
Utilizando la misma información de los precios de las acciones
de “B”, se obtiene el valor del coeficiente de la curtosis:
α4 = = 1.7414
1 * (5,479.31)14
3,146.45
Debido a que el coeficiente de curtosis arroja un valor bajo, se
concluye que la distribución es achatada, es decir, de tipo meso-
cúrtica.
2.2.2. Distribución de probabilidad normal para medir el ries-
go y el rendimiento
Dentro del análisis de riesgo, una de las distribuciones de proba-
bilidad que más se utiliza es la distribución normal o también cono-
cida como campana de Gauss. Esta distribución probabilística es la
más utilizada por los analistas, tanto en el campo de la economía,
como en las finanzas y la investigación de operaciones.
La distribución normal tiene varias características que permiten
adaptarla para el análisis de diferentes fenómenos económicos y
financieros, se puede decir que es una distribución de utilización
estándar dentro de dichos tópicos, debido a ello muchos analistas
la aplican dentro de la formulación de los modelos de riesgo.

La distribución normal estándar tiene las siguientes característi-
cas:
•• Es simétrica respecto a la media.
•• Tiene media cero.
•• Tiene varianza unitaria.
N ≈ (µ = 0, σ = 1) (Fórmula 2.7)
Esta fórmula indica que la distribución normal estándar tiene me-
dia cero y varianza unitaria.
Para estandarizar los valores de cualquier variable aleatoria, ya
sean tasas de interés, precios de acciones, tipo de cambio, etc., se
requiere transformar los valores originales de dichas variables en
algo que se denomina valores estándar.
La estandarización de estos valores se realiza mediante la si-
guiente fórmula:
Z =
(X - µ)
(Fórmula 2.8)
σ
Donde:
Z = Variable aleatoria estandarizada
X = Variable aleatoria original
µ = Media
σ = Desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza)
Para aplicar lo anteriormente expuesto, se mostrarán varios
ejemplos que aplican a probables casos que se pudieran presentar
dentro de la gestión de riesgos.
Utilizando la información presentada en el cuadro 2.1, se quiere
saber cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de
“B” supere el precio de $ 63.68 que se registró en marzo de 2015,
para lo cual se tiene un precio promedio de $ 57.94 y una desvia-
ción estándar de $ 7.49.

Con esta información se procede primeramente a estandarizar la
variable precio mediante la fórmula (2.8):
Z =
(63.68 - 57.94)
= 0.77
7.49
Este valor se representará con la información original a través del
siguiente gráfico:
Gráfico 2.1. Distribución normal cola derecha
µ = 57.94 63.68 X (Precio acción)
0 0.77 Z (Variable estándar)
El paso siguiente consiste en encontrar en la tabla de distribu-
ción normal el valor 0.77, al cual le corresponde 0.2794 como el
número en el área bajo la curva.
Con el número 0.2794 se procede a calcular la probabilidad de
que el precio de la acción de “B” supere los $ 63.88, lo cual queda
de la siguiente manera:
Pr (Z ≥ 0.77) = Pr (Z ≥ 0) – Pr (0 ≤ Z ≤ 0.77)
= 0.5 – 0.2794 = 22.06%
Esto significa que hay un 22.06% de probabilidad de que el pre-
cio de la acción de “B” supere los $ 63.88 al cierre de marzo de
2015.
Continuando con otro ejemplo, se desea estimar la probabilidad
de que el precio de la acción de “B” sea menor a $ 47.07 que se
registró en enero de 2014, para lo cual se tiene que el valor estan-
darizado de la variable aleatoria sería:

Z =
(47.07 - 57.94)
= -1.45
7.49
Nuevamente, este valor se representa en el siguiente gráfico:
Gráfico 2.2. Distribución normal cola izquierda
47.07 µ = 57.94 X (Precio acción)
-1.45 0 Z (Variable estándar)
Buscando el valor de -1.45 en la tabla de distribución normal, a
éste le corresponde el número 0.4265 del área bajo la curva.
Haciendo un procedimiento similar al anterior, se tiene que la
probabilidad es la siguiente:
Pr (Z ≤ –1.45) = Pr (Z ≥ 0) – Pr (–1.45 ≤ Z ≤ 0)
= 0.5 – 0.4265 = 7.35%
Por lo tanto, la probabilidad de que el precio de la acción de “B”
caiga por debajo de $ 47.07 es del 7.35%.
Por último, se quiere saber cuál es la probabilidad de que el pre-
cio de la acción de “B” se ubique entre $ 63.68 y $ 70, para lo cual
hay que estandarizar primeramente ambos valores de la siguiente
manera:
Z =
(63.68 – 57.94)
= 0.77 Z =
(70 – 57.94)
= 1.61
7.49 7.49

Posteriormente, se ubicarán ambos valores en la curva de distri-
bución normal:
Gráfico 2.3. Distribución normal con intervalos
µ = 57.94 63.68 70 X (Precio acción)
0 0.77 1.61 Z (Variable estándar)
El valor en la tabla normal para 0.77 y 1.61 es 0.2794 y 0.4463
respectivamente, por lo que el cálculo de la probabilidad queda de
la siguiente manera:
Pr (0.77 ≤ Z ≤ 1.61) =
Pr (0 ≤ Z ≤ 1.61) – Pr (0 ≤ Z ≤ 0.77)
= 0.4463 – 0.2794 = 16.69%
Concluyendo, la probabilidad de que el precio de la acción de
“B” caiga entre $ 63.68 y $ 79 es del 16.69%.
2.2.3. Covarianza y correlación
Otros conceptos estadísticos que son de vital importancia dentro
de la gestión de riesgos son la covarianza y la correlación, ya que
su aplicación práctica sirve para medir los impactos que experimen-
ta la variable aleatoria frente a la volatilidad en la que está inmersa.
La covarianza se puede definir como un indicador que permi-
te medir el nivel de variación conjunta de dos variables aleatorias,
asimismo sirve para determinar si existe dependencia entre ambas
variables.

La covarianza puede arrojar valores positivos o negativos, en
este sentido, cuando la covarianza es positiva las variables aleato-
rias muestran un comportamiento similar en su trayectoria, mientras
que una covarianza negativa indica un comportamiento opuesto
entre las variables.
La fórmula que define a la covarianza es la siguiente:
n
COVXY = ∑
(X - X)(Y - Y)
n (Fórmula 2.9)i=1
Donde:
X e Y = Variables aleatorias
X e Y = Promedio de X e Y
n = Número de observaciones
Para aplicar la fórmula de la covarianza, se tomará como ejem-
plo el precio de dos acciones, “C” y “D” para el período de enero
2014 a febrero 2015:
COVXY =
–7.94
= −0.57
14
Esta covarianza negativa significa que los precios de las accio-
nes de “C” y “D”siguen o tienen un comportamiento opuesto.
El cálculo de la covarianza se puede obtener directamente en
Excel mediante la función: =COVAR(A1:A20, B1:B20), lo cual faci-
lita la obtención de esta operación; para el ejemplo antes expuesto
se tiene lo siguiente:

Cuadro 2.3. Precios y rendimientos de
“C” y “D”
PERIODO “C” “D” (X – X ) (Y – Y ) (X – X ) (Y – Y )
31/01/2014 16.53 35.53 0.13 –2.84 –0.36
03/02/2014 17.34 34.75 0.94 –3.62 –3.39
03/03/2014 16.50 35.24 0.10 –3.13 –0.30
01/04/2014 16.73 36.14 0.33 –2.23 –0.73
01/05/2014 16.56 37.20 0.16 –1.17 –0.18
02/06/2014 17.18 38.07 0.78 –0.30 –0.23
01/07/2014 16.58 40.61 0.18 2.24 0.39
01/08/2014 17.37 41.16 0.97 2.79 2.69
01/09/2014 17.50 38.94 1.10 0.57 0.62
01/10/2014 16.59 39.39 0.19 1.02 0.19
03/11/2014 17.27 39.11 0.87 0.74 0.64
01/12/2014 15.04 40.70 –1.36 2.33 –3.18
01/01/2015 13.31 38.14 –3.09 –0.23 0.72
02/02/2015 15.15 42.22 –1.25 3.85 –4.82
SUMAS 16.40 38.37 –0.57
Y con esta información se puede obtener la conocida matriz
de varianza-covarianza, la cual tiene la característica de que en la
diagonal principal se obtiene directamente la varianza del título en
cuestión, cuya estructura se muestra a continuación:
Cuadro 2.4. Especificación teórica de la matriz
VARIANZA-COVARIANZA
MATRIZ VARIANZA - COVARIANZA
COVxx = σ 2
COVxyX
COVyx COVyy = σ 2
Y

Lo anterior significa que la covarianza de un título sobre sí mis-
mo, por ejemplo, COVxx o COVyy se define como la varianza del
propio título. Los resultados de la matriz VARIANZA-COVARIANZA
se muestran en el cuadro siguiente:
Cuadro 2.5. Resultados de la matriz
VARIANZA-COVARIANZA
MATRIZ
VARIANZA - COVARIANZA
1.26 -0.57
-0.57 5.17
Como se puede observar en la matriz de varianza-covarianza,
el valor de la covarianza coincide con el cálculo de la fórmula, es
decir, -0.57.
Por otra parte, el coeficiente de correlación sirve para medir el
grado de asociación o relación entre dos variables aleatorias, en
este sentido, se puede hablar de correlación positiva o negativa;
para clarificar estos conceptos, el coeficiente de correlación puede
definirse como el cociente que resulta de dividir la covarianza entre
el producto de la desviación estándar de las dos variables, mate-
máticamente el coeficiente de correlación se obtiene de la siguiente
manera:
ρ =
COVXY
(Fórmula 2.10)
(σX)(σY)
Donde:
ρ = Coeficiente de correlación
COVXY = Covarianza de XY
σX = Desviación estándar de la variable “X”
σY = Desviación estándar de la variable “Y”

Asimismo, es importante señalar que el coeficiente de correla-
ción siempre tendrá un valor entre -1 y 1:
-1 < ρ < 1 (Fórmula 2.11)
Para entender mejor cuál es la naturaleza del coeficiente de co-
rrelación, con los siguientes gráficos se podrá aclarar mejor el pa-
norama.
Gráfico 2.4. Coeficientes de correlación
ρ = −1 ρ = 0 ρ = 1
El coeficiente de correlación sirve para determinar la estructura
de riesgo a la que están expuestos los instrumentos financieros,
lo cual significa que aquellos títulos que tengan un coeficiente de
correlación entre 0 y -1 tendrán una menor exposición al riesgo. La
afirmación de este teorema se expondrá de manera práctica en el
capítulo tres, el cual trata sobre la teoría de los portafolios de inver-
sión.
Utilizando la información del cuadro 2.3 se procederá a calcular
el coeficiente de correlación, para ello se tienen los siguientes da-
tos:
La desviación estándar de “C” y “D” se puede calcular directa-
mente de la matriz varianza-covarianza, en este sentido se tomará la
raíz cuadrada de la diagonal principal, lo cual queda de la siguiente
manera:
1.26 −0.57
−0.57 5.17
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x

σX = √1.26 = 1.12 è
Desviación estándar de
“C”
σY = √5.17 = 2.27 è
Desviación estándar de
“D”
Aplicando la fórmula (2.10) se obtiene el coeficiente de correla-
ción:
ρ =
−0.57
= -0.22
(1.12)(2.27)
Esto significa que la correlación entre “C” y “D” cae en el rango
de 0 y -1, lo cual significa que ambas acciones son buenos pros-
pectos para formar un portafolio de inversión con una exposición
moderada de riesgo.
2.2.4. Modelo de bandas de control del riesgo
Dentro de la administración de riesgos existe una interrogan-
te que de manera permanente se hacen los analistas financieros
y económicos respecto a la trayectoria que siguen las principales
variables aleatorias (tasas de interés, tipo de cambio, precio de las
acciones, etc.) que integran a los propios sistemas económicos y
financieros.
En este sentido, el modelo de bandas de control de riesgo sirve
para ver si la variable aleatoria en cuestión se encuentra dentro de
un rango de control, el cual permite a los analistas financieros el
tomar decisiones que permitan hacer una planeación financiera lo
más objetiva posible.
El modelo de bandas de control de riesgo tiene su fundamento
teórico en el control estadístico de calidad de la ingeniería industrial,
sólo que su aplicación es para variables económicas y financieras.
Para desarrollar el modelo se requiere seguir los siguientes pa-
sos:
1. Recolectar información de la variable aleatoria en cuestión.
2. Obtener el promedio de la serie.
3. Calcular la varianza y la desviación estándar.

4. Generar el gráfico con los datos de la serie.
5. Calcular un límite de control superior y otro inferior.
6. Por último, calcular el coeficiente de variación correspon-
diente.
7. Detectar los puntos fuera de control de la serie y analizar
las posibles causas que hicieron que la variable aleatoria se
saliera del rango de control.
El cálculo del promedio, varianza, desviación estándar y coefi-
ciente de variación se realiza de acuerdo con las fórmulas (2.1),
(2.2), (2.3) y (2.4), sin embargo, para calcular los límites de control
inferior y superior se hará uso de las siguientes fórmulas:
LCI = X −
3σ (Fórmula 2.12)
√N
LCS = X +
3σ (Fórmula 2.13)
√N
Donde:
LCI = Límite de control inferior
LCS = Límite de control superior
Las demás variables ya se definieron previamente.
Para clarificar esto, se aplicará este modelo al tipo de cambio
spot para el período de diciembre 2014 a marzo de 2015, cuya infor-
mación se presenta en el siguiente cuadro así como los resultados
de las fórmulas antes mencionadas.

Cuadro 2.6. Modelo de bandas de control de riesgo
PERIODO DATOS VA-
RIANZA
DESVIA-
CION
ESTANDAR
LCS LCI CV
31/12/2014 14.73
0.06 0.24 15.08 14.69 1.64%
07/01/2015 14.85
15/01/2015 14.56
21/01/2015 14.65
22/01/2015 14.70
23/01/2015 14.61
30/01/2015 14.84
06/02/2015 14.75
13/02/2015 14.92
20/02/2015 14.96
27/02/2015 14.96
06/03/2015 15.17
13/03/2015 15.40
20/03/2015 15.30
PROMEDIO 14.89
Para validar los resultados de las fórmulas (2.10) y (2.11), se tiene
lo siguiente:
LCI = 14.89 −
3(0.24)
= 14.69
√14
LCI = 14.89 +
3(0.24)
= 15.08
√14
Para vislumbrar mejor los resultados antes obtenidos, en la si-
guiente gráfica se muestran los límites inferior y superior.

Gráfico 2.5. Bandas de control
15.80
15.60
15.40
15.20
15.00
LCS
14.80
14.60
LCI
14.40
14.20
14.00
31/12/2014
07/01/2015
15/01/2015
21/01/2015
22/01/2015
23/01/2015
30/01/2015
06/02/2015
13/02/2015
20/02/2015
27/02/2015
06/03/2015
13/03/2015
20/03/2015Como se podrá observar, la variable tipo de cambio se encuentra
fuera de control, sobre todo a partir de la primera semana de marzo
de 2015, lo cual debe alertar a los analistas financieros sobre la po-
sible trayectoria alcista que podría tener el tipo de cambio durante
las siguientes semanas para que tomen las medidas de prevención
de riesgo cambiario que se consideren pertinentes.

CAPITULO 3
PORTAFOLIOS DE INVERSION
BAJO UN ENTORNO DE RIESGO
3.1. Modelo de Markowitz
El modelo de Markowitz plantea que al momento de tener dos o
más títulos se puede formar una cartera o portafolio de inversión;
si se combinan, el resultado a obtener será una disminución en el
nivel de riesgo y una optimización del rendimiento a obtener, lo cual
no podría obtenerse si se dedicaran los recursos a invertir los títu-
los de manera independiente; en otras palabras, no sería eficiente
tener todos recursos financieros en un solo instrumento financiero,
por el contrario, Markowitz sugiere diversificar dichos instrumentos
para reducir, en la medida de lo posible, la exposición al riesgo y
maximizar el rendimiento de los mismos.
El modelo de portafolio de inversión también se le conoce dentro
del campo de las finanzas como MODELO DE VARIANZA MINIMA y
como se verá más adelante, la varianza y la covarianza jugarán un
papel preponderante para la formación del portafolio de inversión
en cuestión.
3.1.1. Construcción de un portafolio de inversión con dos ins-
trumentos financieros
Para entender la metodología referente a la construcción de un
portafolio de inversión, partiremos del caso más simple, es decir, a
partir de dos títulos, los cuales generalmente se refieren a acciones.
Para formar un portafolio de inversión, se deben seleccionar los
precios de las dos emisoras que integrarán el portafolio de inver-
sión, posteriormente se deberá obtener el rendimiento de ambos
títulos, mismo que se obtiene a través de la siguiente fórmula:
π =
Pt
−1 * 100 (Fórmula 3.1)
Pt-1

Donde:
Pt = Precio actual
Pt-1 = Precio anterior
Una vez obtenido el rendimiento de cada título, se procede a
calcular el promedio, la varianza y la desviación estándar, cuyas
fórmulas se revisaron en el capítulo 2.
Para ejemplificar lo anterior, se tomará el precio de las acciones
de “C” y “B” del período de enero 2014 a febrero 2015, cuyos ren-
dimientos se muestran en el cuadro siguiente:
Cuadro 3.1. Rendimiento de las acciones
PERIODO
PRECIOS RENDIMIENTO
“D” “B” “D” “B”
ENE 2014 35.530 47.07
FEB 2014 34.750 46.19 -0.02195 -0.01870
MAR 2014 35.240 47.79 0.01410 0.03464
ABR 2014 36.140 47.99 0.02554 0.00418
MAY 2014 37.200 55.81 0.02933 0.16295
JUN 2014 38.070 57.99 0.02339 0.03906
JUL 2014 40.610 58.56 0.06672 0.00983
AGO 2014 41.160 62.53 0.01354 0.06779
SEP 2014 38.940 66.91 -0.05394 0.07005
OCT 2014 39.390 68.50 0.01156 0.02376
NOV 2014 39.110 65.00 -0.00711 -0.05109
DIC 2014 40.700 61.94 0.04065 -0.04708
ENE 2015 38.140 61.15 -0.06290 -0.01275
FEB 2015 42.220 63.68 0.10697 0.04137
0.001912484 0.000293308
0.000293308 0.002956512

Con esta información se procederá a calcular el rendimiento pro-
medio, la varianza y la desviación estándar de cada título, lo cual se
muestra en el cuadro siguiente:
Cuadro 3.2. Rendimiento y riesgo de “D” y “B”
ACCION E(P) VAR(P) DST(P)
“D” 1.43% 0.19% 4.37%
“B” 2.49% 0.30% 5.44%
Donde:
E(P) = Rendimiento promedio del título
VAR(P) = Varianza del título
DST(P) = Desviación estándar del título (representa el riesgo)
Para poder observar la relación existente entre el riesgo y el ren-
dimiento, en la siguiente gráfica se muestran los resultados antes
obtenidos:
Gráfico 3.1. Relación Riesgo – Rendimiento
R
E
N
D
I
M
I
E
N
T
O
2.60%
2.40%
2.20%
2.00%
1.80%
1.60%
1.40%
1.20%
1.00%
4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00%
RIESGO

Este gráfico prueba el teorema que afirma que a mayor nivel de
riesgo de un instrumento financiero, le corresponde un mayor nivel
de rendimiento.
Los resultados antes obtenidos se refieren al riesgo y rendimien-
to que de manera individual obtendrían las acciones de “D” y “B”.
Siguiendo la metodología de Markowitz, lo que se buscará ahora
será el rendimiento esperado o promedio del portafolio bajo el plan-
teamiento de la combinación de los dos títulos.
En este sentido, para obtener el rendimiento esperado del porta-
folio combinado, se plantea la siguiente fórmula:
E(P) = w * E(D) + (1 - w) * E(B)
(Fórmula 3.2)
Donde:
E(P) = Rendimiento esperado del portafolio combinado
w = ponderador
E(D) = Valor esperado de “D”
E(B) = Valor esperado de “B”
0 < w < 1
El ponderador es un parámetro que puede tomar un valor entre
cero u uno, lo cual significa que se pueden esperar diversas combi-
naciones que generarán a su vez una gama de posibilidades para
establecer la relación riesgo-rendimiento.
Para ejemplificar lo anterior, se utilizarán los resultados de los
cuadros 3.1 y 3.2 y para calcular el rendimiento esperado del porta-
folio combinado se tomará como ponderador un valor del 50%, es
decir, que se invertirá la mitad de los recursos en cada título.
E(P) = (0.5) * (0.0143) + (1 - 0.5) * (2.49) = 0.0196 * 100 = 1.96%
Continuando, ahora se procederá a realizar el cálculo del riesgo
del portafolio combinado, cuya fórmula es la siguiente:
σ2(P)=w2 * σ2(X)+ 2w * (1 - w) * COVXY + (1 - w)2 * σ2(Y)
(Fórmula 3.3)

Donde:
σ2(P) = Varianza del portafolio combinado
σ2(X) = Varianza del título “X” (Para el ejemplo sería “D”)
σ2(Y) = Varianza del título “Y” (Para el ejemplo sería “B”)
σ2(P) = (0.5)2 * (0.0019) + 2(0.5) * (1 - 0.5)
* (0.000293308) + (1 – 0.5)2 * (0.003)
= 0.0014
Para obtener el riesgo del portafolio combinado, sólo hay que
extraer la raíz cuadrada de la varianza, lo cual queda así:
σ(P) = √σ2 = √0.0014 = 0.037 * 100 = 3.7%
En el siguiente gráfico se resumen los resultados obtenidos.
Gráfico 3.2. Portafolio combinado
R
E
N
D
I
M
I
E
N
T
O
2.60%
2.40%
2.20%
2.00%
1.80%
1.60%
1.40%
1.20%
1.00%
3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00%
RIESGO
Lo anterior significa que al canalizar el 50% de los recursos del
portafolio en cada título, se reduce el riesgo y se optimiza el rendi-
miento esperado.
B
D
PORTAFOLIO
COMBINADO

A continuación se presenta un ejercicio con varias combinacio-
nes de los dos títulos que forman el portafolio de inversión, cuyo
objetivo fundamental es abrir un abanico de posibilidades para el
inversionista, lo cual depende del grado de aversión al riesgo, más
adelante se expondrán alternativas que permitan obtener una com-
binación de instrumentos financieros que permita precisamente op-
timizar el portafolio que se esté analizando.
Cuadro 3.3. Combinaciones riesgo-rendimiento.
PONDERACION
RENDIMIENTO RIESGO
“D” “B”
0.0 1.0 2.49% 5.44%
0.1 0.9 2.39% 4.97%
0.2 0.8 2.28% 4.54%
0.3 0.7 2.17% 4.18%
0.4 0.6 2.07% 3.89%
0.5 0.5 1.96% 3.69%
0.6 0.4 1.86% 3.61%
0.7 0.3 1.75% 3.64%
0.8 0.2 1.64% 3.79%
0.9 0.1 1.54% 4.04%
0.0 1.0 1.43% 4.37%
Gráfico 3.3. Combinaciones riesgo-rendimiento
R
E
N
D
I
M
I
E
N
T
O
2.60%
2.40%
2.20%
2.00%
1.80%
1.60%
1.40%
1.20%
1.00%
3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00%
RIESGO

3.1.2. Construcción de un portafolio de inversión con tres
instrumentos financieros
Hasta este momento se ha trabajado con el caso más simple
para formar un portafolio de inversión, pero en el mundo real de las
inversiones financieras es bien conocido que para optimizar dicho
portafolio se requiere utilizar más de dos instrumentos financieros
para reducir la exposición al riesgo y maximizar el rendimiento.
En este sentido, se utilizará un modelo de Markowitz con tres
instrumentos financieros y posteriormente se hará un ejercicio para
formar un portafolio de inversión mayor a tres títulos.
Para hacer más eficiente la aplicación del modelo, se trabajará
directamente con la matriz VARIANZA-COVARIANZA, esto permitirá
calcular de manera más rápida los elementos de dicha matriz.
Retomaremos nuevamente los precios y rendimientos de “D” y
“B”, pero se adicionará una acción más, que en este caso sería “L”.
Cuadro 3.4. Precios y rendimientos de
“D”, “B” y “L”
PERIODO PRECIOS RENDIMIENTO
“D” “B” “L” “D” “B” “L”
ENE 2014 35.530 47.07 146.00
FEB 2014 34.750 46.19 140.00 -0.02195 -0.01870 -0.04110
MAR 2014 35.240 47.79 138.50 0.01410 0.03464 -0.01071
ABR 2014 36.140 47.99 141.00 0.02554 0.00418 0.01805
MAY 2014 37.200 55.81 149.00 0.02933 0.16295 0.05674
JUN 2014 38.070 57.99 156.00 0.02339 0.03906 0.04698
JUL 2014 40.610 58.56 151.32 0.06672 0.00983 -0.03000
AGO 2014 41.160 62.53 153.91 0.01354 0.06779 0.01712
SEP 2014 38.940 66.91 154.00 -0.05394 0.07005 0.00058
OCT 2014 39.390 68.50 155.00 0.01156 0.02376 0.00649
NOV 2014 39.110 65.00 159.00 -0.00711 -0.05109 0.02581
DIC 2014 40.700 61.94 153.00 0.04065 -0.04708 -0.03774
ENE 2015 38.140 61.15 153.00 -0.06290 -0.01275 0.00000
FEB 2015 42.220 63.68 168.00 0.10697 0.04137 0.09804

Con esta información se obtendrá el rendimiento, la varianza y la
desviación estándar de cada acción en particular, cuyos resultados
son:
Cuadro 3.5. Rendimiento, varianza y desviación estándar
“D” 1.43% 0.19% 4.37%
“B” 2.49% 0.30% 5.44%
“L” 1.16% 0.14% 3.80%
Asimismo, a partir de la información del cuadro 3.4 se genera la
matriz VARIANZA-COVARIANZA, cuyos resultados son los siguien-
tes:
Cuadro 3.6 Matriz VARIANZA-COVARIANZA
0.00191248 0.00029331 0.0006823
0.00029331 0.00295651 0.00102945
0.0006823 0.00102945 0.00144277
A partir de la matriz VARIANZA-COVARIANZA se definirá otra ma-
triz, a la cual se denominará como matriz de PONDERACIONES,
misma que se define de la siguiente manera:
Cuadro 3.7. Matriz VARIANZA-COVARIANZA
para tres instrumentos
(COVxx)(Wx)(Wx) (COVxy)(Wx)(Wy) (COVxz)(Wx)(Wz)
(COVyx)(Wy)(Wx) (COVyy)(Wy)(Wy) (COVyz)(Wy)(Wz)
(COVzx)(Wz)(Wx) (COVzy)(Wz)(Wy) (COVzz)(Wz)(Wz)
Donde:
(Wx), (Wy) y (Wz) son las ponderaciones de los tres títulos y las
covarianzas ya fueron definidas.

Al igual que el portafolio con dos títulos, se partirá de una posi-
ción balanceada, es decir, se combinarán las tres acciones en el
portafolio en una proporción del 33.3333% para cada una y poste-
riormente se realizarán otras combinaciones. Esto arroja el siguien-
te resultado:
Cuadro 3.8. Valores de la matriz de ponderaciones
MATRIZ DE PONDERACIONES
0.00021207 3.2525E-05 7.5887E-05
3.2525E-05 0.00032784 0.0001145
7.5887E-05 0.0001145 0.00016095
Para obtener el rendimiento esperado del portafolio combinado
se utilizará la siguiente fórmula:
E(P) = w1 * E(X) + w2 * E(Y) + ... + wn * E(Z)
(Fórmula 3.4)
Donde:
wn = ponderador los “n” títulos que forman el portafolio
E(P) = Rendimiento esperado del portafolio combinado
E(X), E(Y) y E(Z) = Rendimiento individual de cada título
Con la fórmula 3.4 se obtendrá el rendimiento esperado del por-
tafolio combinado, cuyo resultado es el siguiente:
E(P) = (0.3333) * (0.143) + (0.3333) * (0.0249) + (0.3333) * (0.0116)
= 0.0169 * 100 = 1.69%
Para obtener el riesgo del portafolio diversificado lo que debe ha-
cerse es calcular la raíz cuadrada de la sumatoria de cada elemento
que integra la matriz de ponderaciones, lo que da el siguiente re-
sultado:

σ(P) =
n
√
∑ σ2 = √0.0011 = 0.0339 * 100 =3.39%i=1
El paso siguiente consistirá en realizar un ejercicio similar al del
portafolio con dos instrumentos financieros que permita ver las po-
sibles combinaciones del portafolio de inversión, que en este caso
quedaría de la siguiente manera:
Cuadro 3.9. Riesgo y rendimiento de
“D”, “B” y “L”
PONDERACION
RENDIMIENTO RIESGO
“D” “B” “L”
0.00 0.00 1.00 0.01% 0.04%
0.10 0.10 0.80 1.32% 3.54%
0.20 0.20 0.60 1.48% 3.39%
0.30 0.30 0.40 1.64% 3.37%
0.33 0.33 0.33 1.69% 3.39%
0.00 1.00 0.00 0.02% 0.05%
0.40 0.50 0.10 1.93% 3.65%
0.30 0.40 0.30 1.77% 3.49%
0.20 0.30 0.50 1.61% 3.44%
0.10 0.20 0.70 1.45% 3.52%
1.00 0.00 0.00 0.01% 0.04%

Gráfico 3.4. Combinaciones riesgo-rendimiento
2.50%
2.00%
1.50%
1.00%
0.50%
0.00%
0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00%
En este cuadro se muestran 33 de las 5,456 posibles combina-
ciones que se podrían obtener con estos parámetros que aquí se
definieron; en este sentido, resulta obvio que los factores de pon-
deración pueden tomar una gama mayor de valores, aunque para
fines didácticos se consideraron sólo estos posibles rangos.
Lo anterior surge de la conocida fórmula de las combinaciones:
nCr =
n!
(Fórmula 3.5)
r!(n − r)!
Donde:
nCr = Combinaciones de “n” en “r”
n = Número de elementos a considerar para la combinación
r = Número de combinaciones deseadas.
En el ejemplo que se está considerando, el número de elemen-
tos dentro de la combinación sería en este caso 33, cuyo valor de
los posibles ponderadores a considerar oscila entre 0.00 y 1.00:
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Por lo tanto, el cálculo queda de la siguiente manera:
nCr =
33!
=
33*32*31
= 5,456
3!(33 − 3)! 3*2*1
Como se podrá observar, las posibilidades de combinación son
enormes, más adelante se verá otro modelo que hace un plantea-
miento de optimización del portafolio de inversión a través de las
técnicas de la programación lineal, mejor conocidas como el méto-
do simplex.
3.2. Modelo de Programación Lineal para Optimizar un Porta-
folio de Inversión
3.2.1. El método gráfico para un portafolio de dos instrumen-
tos financieros
Un modelo alternativo para formar un portafolio de inversión es
a través de la programación lineal y forma parte de las conocidas
técnicas de investigación de operaciones.
La investigación de operaciones es una de las ramas de las ma-
temáticas aplicadas a los negocios que tiene un amplio uso en la
economía, las finanzas y la administración en general.
Para los fines que se persiguen en esta obra, se utilizará lo que
se denomina método gráfico, el cual es el preámbulo del llamado
METODO SIMPLEX.
El método gráfico ayudará para maximizar el rendimiento y re-
ducir la exposición al riesgo del portafolio de inversión, para ello se
utilizarán los datos de “D” y “B” que se trabajaron en el punto 3.1.1.
Primeramente se retomarán los datos del cuadro 3.2:
“D” 1.43% 0.19% 4.37%
“B” 2.49% 0.30% 5.44%
Los pasos a seguir para utilizar el método gráfico son los siguien-
tes:
1. Plantear una función objetivo que permita maximizar el ren-
dimiento esperado.

2. Establecer restricciones para la función objetivo.
3. Las restricciones se deberán presentar como un sistema de
ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, que en este ca-
so corresponden a las acciones “D” y “B”.
4. El valor obtenido de las incógnitas corresponderá a la pro-
porción que deberá invertirse en cada título.
5. El valor de cada título se sustituirá en la función objetivo y
el resultado obtenido corresponderá a la maximización del
portafolio de inversión.
La función objetivo se plantea de la siguiente manera:
max Z = 1.43 “D” + 2.49 “B”
Las restricciones quedarían así:
1. Se deberán invertir todos los recursos en ambas acciones:
1X + 1Y = 1 (1)
2. Establecer el nivel de riesgo que se quiere asumir, el cual
dependerá del perfil de riesgo del inversionista, el cual po-
demos clasificar como bajo, medio y alto. Este perfil de
riesgo se definirá en función al rango de riesgo que registra-
ron de manera independiente ambos títulos. En este caso,
“D” tiene el perfil de riesgo más bajo y sobre esta base se
podría proponer la siguiente estructura de riesgo:
PERFIL DE RIESGO RIESGO A ASUMIR
BAJO 4.5%
MEDIO 4.9%
ALTO 5.3%
Como se podrá observar, los rangos de riesgos se encuentran en
una escala que no podrá ser menor al riesgo más bajo ni mayor al
riesgo más alto que registraron ambos títulos:
4.37% < σ(P) < 5.44%
La escala del riesgo a asumir estará en función al perfil del inver-
sionista.

Continuando, la segunda restricción se planteará considerando
un riesgo medio que no podrá exceder el 4.9% y quedaría de la
siguiente manera:
0.0437X + 0.0544Y ≤ 0.049 (2)
Una vez obtenidas las dos restricciones, se plantearán como un
sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, mismas
que se representan así:
1X + 1Y = 1
0.0437X + 0.0544Y = 0.049
Este sistema de ecuaciones simultáneas se puede resolver por
cualquiera de los cuatro métodos tradicionales algebraicos cono-
cidos, en este caso, se utilizará el método de reducción (suma y
resta).
-0.0437X - 0.0437Y = -0.0437
0.0437X + 0.0544Y = 0.0439
Eliminando “X”, se obtiene “Y”
Y =
0.0002
= 000187
0.0107
Sustituyendo el valor de “Y” en la ecuación (1) se obtiene lo si-
guiente:
X = 1 − 000187 = 0.9813
La suma de ambos valores da la unidad o el 100% de los recur-
sos que se deberán invertir en el portafolio.
Sustituyendo los valores de “X” e “Y” en la función objetivo se
obtendría el siguiente resultado:
max Z = 1.43 (0.9813) + 2.49 (0.00187) = 1.41%
Este resultado indica que se deberán invertir el 98.13% de los re-
cursos en acciones “D” y el 0.187% en acciones de “B” de acuerdo
a este perfil de riesgo.
Este problema se puede resolver mediante un software de mode-
los de investigación de operaciones denominado QSB que son sus
siglas en inglés y significan QUANTITATIVE SYSTEM BUSINESS,
mismo que se plantea de la siguiente manera:

En este caso, se utilizará dentro de este software la opción de
resolución a través del método gráfico, cuyo resultado queda así:
Mediante este software se pueden obtener otras combinaciones
que permitirán obtener diferentes perfiles de riesgo.
3.2.2. El método simplex para construir portafolios de inver-
sión con más de dos instrumentos financieros
El método simplex es una herramienta muy poderosa dentro de
la investigación de operaciones y sirve para resolver problemas de
optimización de portafolios de inversión que involucren más de dos
títulos.
Este método utiliza tablas denominadas simplex así como co-
lumnas y renglones pivote y mediante iteraciones se van obtenien-
do los valores que optimizan a la función objetivo.

La explicación del método simplex excedería y desviaría los lími-
tes de esta obra, por lo cual se le recomienda al lector que acceda
al manual de referencia del software QSB, mismo que es gratuito y
puede bajarse de Internet a través de TARINGA.
Para aplicar el método simplex a tres títulos, se tomará el ejemplo
descrito en el cuadro 3.4 para “D”, “B” y “L” .
“D” 1.43% 0.19% 4.37%
“B” 2.49% 0.30% 5.44%
“L” 1.16% 0.14% 3.80%
3. Planteamiento de la función objetivo:
max Z = 1.43 D + 2.49 B + 1.16 L
4. Sujeto a las siguientes restricciones:
1X + 1Y + 1Z = 1 (1)
0.0437X + 0.0544Y + 0.038Z ≤ 0.053 (2)
En este caso, se está considerando un perfil de riesgo alto.
Ambas restricciones se plantearán como un sistema de ecuacio-
nes simultáneas con tres incógnitas y su representación matemáti-
ca se muestra con el software QSB.

Aplicando los valores de las variables a la función objetivo se
tiene:
max Z = 1.43 (0) + 2.49 (0.9146) + 1.16 (0.0854) = 2.38%
Este resultado señala que para maximizar este portafolio se de-
berá invertir:
“B” = 91.46%
“L” = 8.54%
Más adelante se verán las ventajas y desventajas de los modelos
de Markowitz y el de Programación Lineal.
3.3. La Frontera Eficiente
3.3.1. ¿Qué es la frontera eficiente para un portafolio de in-
versión?
Dentro de la metodología de Markowitz, la frontera eficiente se
puede definir como la curva de riesgo-rendimiento que representa
el conjunto de portafolios de inversión que se consideran como óp-
timos, lo cual significa que se espera obtener el máximo rendimien-
to con un mínimo de riesgo.
Para aplicar este concepto, se hará un planteamiento sobre un
portafolio de inversión que contenga cuatro títulos, esto con la fi-
nalidad de aplicar la metodología de Markowitz, para lo cual se re-
querirá de elementos básicos de Algebra Lineal, sobre todo porque
este planteamiento teórico requiere del manejo de operaciones ma-
triciales.
Como punto de arranque se tomarán los precios y los rendimien-
tos de cuatro acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valo-
res, que en este caso serían: “D”, “B”, “L” y “T”.

Cuadro 3.10. Precios y rendimientos de cuatro acciones
PERIODO
PRECIOS RENDIMIENTO
“D” “B” “L” “T” “D” “B” “L” “T”
ENE 2014 35.530 47.07 146.00 77.82
FEB 2014 34.750 46.19 140.00 77.90 -0.02195 -0.01870 -0.04110 0.00103
MAR 2014 35.240 47.79 138.50 87.07 0.01410 0.03464 -0.01071 0.11772
ABR 2014 36.140 47.99 141.00 85.82 0.02554 0.00418 0.01805 -0.01436
MAY 2014 37.200 55.81 149.00 86.85 0.02933 0.16295 0.05674 0.01200
JUN 2014 38.070 57.99 156.00 89.01 0.02339 0.03906 0.04698 0.02487
JUL 2014 40.610 58.56 151.32 94.26 0.06672 0.00983 -0.03000 0.05898
AGO 204 41.160 62.53 153.91 97.29 0.01354 0.06779 0.01712 0.03215
SEP 2014 38.940 66.91 154.00 91.10 -0.05394 0.07005 0.00058 -0.06362
OCT 2014 39.390 68.50 155.00 97.32 0.01156 0.02376 0.00649 0.06828
NOV 2014 39.110 65.00 159.00 101.29 -0.00711 -0.05109 0.02581 0.04079
DIC 2014 40.700 61.94 153.00 100.59 0.04065 -0.04708 -0.03774 -0.00691
ENE 2015 38.140 61.15 153.00 97.56 -0.06290 -0.01275 0.00000 -0.03012
FEB 2015 42.220 63.68 168.00 101.61 0.10697 0.04137 0.09804 0.04151
Con esta información se procede a calcular los riesgos y ren-
dimientos de cada una de las acciones, cuyos resultados son los
siguientes:
“D” 1.43% 0.19% 4.37%
“B” 2.49% 0.30% 5.44%
“L” 1.16% 0.14% 3.80%
“T” 2.17% 0.20% 4.49%
El paso siguiente consiste en generar la matriz VARIANZA-COVA-
RIANZA que ya se había definido previamente, la cual queda de la
siguiente manera:

Cuadro 3.11. Matriz VARIANZA-COVARIANZA
de 4 acciones
MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA
ACCION “D” “B” “L” “T”
“D” 0.0019 0.0003 0.0007 0.0010
“B” 0.0003 0.0030 0.0010 0.0000
“L” 0.0007 0.0010 0.0014 0.0001
“T” 0.0010 0.0000 0.0001 0.0020
Una vez obtenida la matriz VARIANZA-COVARIANZA se proce-
derá a obtener la matriz inversa y para ello se utilizará de manera
práctica algunas fórmulas directamente de la conocida hoja de
cálculo Excel.
Para obtener la matriz inversa, se procede en la mencionada hoja
de cálculo de la siguiente manera:
1. Añadir un renglón y una columna adicional a la matriz VA-
RIANZA-COVARIANZA que contenga el valor numérico uno
y en la última casilla el cero, que para efectos didácticos se
sombrean en la matriz:
ELEMENTOS PARA CALCULAR LA
MATRIZ INVERSA
0.0019 0.0003 0.0007 0.0010 1.0000
0.0003 0.0030 0.0010 0.0000 1.0000
0.0007 0.0010 0.0014 0.0001 1.0000
0.0010 0.0000 0.0001 0.0020 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000
2. Posteriormente, se calculará la matriz inversa mediante la
siguiente función:
=MINVERSA(C9:G13) en este caso se debe anotar el ran-
go de cinco columnas y cinco renglones directamente de la
matriz VARIANZA-COVARIANZA.
Una vez generado el valor aparecerá en una casilla de la hoja
de cálculo un solo valor de la matriz inversa, pero como se tienen
cuatro títulos, habrá que complementar los 24 valores restantes, lo
cual se realizará de la siguiente manera:

•• Seleccionar un rango de 5 renglones y 5 columnas a partir del
valor que se obtuvo con la función de la matriz inversa, esto
generará 25 posiciones en el mencionado rango y quedaría
así:
842.486738
•• Una vez seleccionado el rango, se deberá presionar la tecla
F2 y automáticamente Excel ubica la posición para calcular los
valores restantes de la matriz inversa:
•• El paso final consiste en presionar de manera simultánea las
teclas Ctrl+Shift+Enter:
•• Ya realizada esta operación, la hoja de cálculo muestra la ma-
triz inversa de manera completa:
842.486738 46.0376898 -464.947036 -423.577392 0.10052134
46.0376898 435.061852 -417.25376 -63.8457821 0.13054305
-464.947036 -417.25376 922.362192 -40.1613967 0.42094319
-423.577392 -63.8457821 -40.1613967 527.584571 0.34799241
0.10052134 0.13054305 0.42094319 0.34799241 -0.00085297
3. La matriz inversa servirá para resolver de manera simultánea
las cuatro proporciones de las acciones que forman el por-
tafolio, que de acuerdo a la nomenclatura del Algebra Lineal
se plantea a través de la siguiente fórmula:

X = C−1 B (Fórmula 3.6)
Donde:
X = Vector columna de incógnitas que contiene los valores a
encontrar para las cuatro acciones que en este caso forman el por-
tafolio.
C-1
= Matriz inversa.
B = Vector columna de los términos independientes.
4. La realización de la fórmula 3.6 se realiza a través de la fun-
ción =MMULT que es una multiplicación de matrices y para
complementar el vector columna de las incógnitas se pro-
cede de manera similar a lo antes expuesto en relación con
la matriz inversa tal como se describió en el numeral 2. Los
resultados del vector de incógnitas se muestran a continua-
ción:
842.4867 46.0377 -464.9470 -423.5774 0.1005 0 0.10052134
46.0377 435.0619 -417.2538 -63.8458 0.1305 0 0.13054305
-464.9470 -417.2538 922.3622 -40.1614 0.4209 0 0.42094319
-423.5774 -63.8458 -40.1614 527.5846 0.3480 0 0.34799241
0.1005 0.1305 0.4209 0.3480 -0.0009 1 -0.00085297
C-1 B X = C-1 B
Las proporciones finales se resumen de la siguiente manera:
ACCION PROPORCION
“D” 10.05%
“B” 13.05%
“L” 42.09%
“T” 34.80%
TOTAL 100.00%
Estos resultados muestran la combinación óptima que permitirá
maximizar el rendimiento y minimizar el riesgo del portafolio, para lo
cual se procederá a calcular ambas medidas.

Utilizando la fórmula 3.4 se obtiene el rendimiento esperado del
portafolio, cuyo resultado es el siguiente:
E(P) =(0.1005) * (0.0143) + (0.1305) * (0.0249) + (0.4209) *
(0.0116) + (0.3480) * (0.0217) = 1.71%
El riesgo del portafolio diversificado se calcula mediante la raíz
cuadrada de la sumatoria de cada elemento que integra la matriz de
ponderaciones, lo que da el siguiente resultado:
MATRIZ DE PONDERACIONES
0.000019 0.000004 0.000029 0.000034
0.000004 0.000050 0.000057 0.000001
0.000029 0.000057 0.000256 0.000018
0.000034 0.000001 0.000018 0.000245
σ(P) =
√
n
∑ σ2 = √ 0.000853 = 2.92%
i=1
Por lo tanto, el punto óptimo de este portafolio genera un rendi-
miento conjunto del 1.71% con un nivel de riesgo del 2.92%, adi-
cionalmente, ambas coordenadas pertenecen a la llamada frontera
eficiente.
Para la construcción de la frontera eficiente, se utilizará nueva-
mente la matriz VARIANZA-COVARIANZA, a la cual se le adiciona-
rán dos renglones y dos columnas que contengan los rendimientos
de los títulos, así como el valor numérico uno y en la última casilla
el cero, que para efectos didácticos se sombrean en la mencionada
matriz.
Cuadro 3.12. Frontera eficiente
CONSTRUCCION DE LA FRONTERA EFICIENTE
0.0019 0.0003 0.0007 0.0010 0.0143 1.0000
0.0003 0.0030 0.0010 0.0000 0.0249 1.0000
0.0007 0.0010 0.0014 0.0001 0.0116 1.0000
0.0010 0.0000 0.0001 0.0020 0.0217 1.0000
0.0143 0.0249 0.0116 0.0217 0 0.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0.0000

Por un procedimiento análogo se obtiene la matriz inversa, la
cual deberá multiplicarse por el vector de términos independientes
para generar a su vez las incógnitas que permitirán realizar varias
combinaciones a fin de poder construir la frontera eficiente.
Cuadro 3.13. Matriz inversa para construir la
frontera eficiente
MATRIZ INVERSA PARA CONSTRUIR FRONTERA EFICIENTE
823.698791 118.247836 -563.994734 -377.951893 -13.6431426 0.33400856 0 -13.3091341
118.247836 157.527269 -36.5709447 -239.20416 52.4364529 -0.76684852 0 51.6696044
-563.994734 -36.5709447 400.195174 200.370504 -71.9249338 1.65185845 0 -70.2730753
-377.951893 -239.20416 200.370504 416.785548 33.1316234 -0.21901848 0 32.912605
-13.6431426 52.4364529 -71.9249338 33.1316234 -9.90716747 0.16955015 1 -9.73761731
0.33400856 -0.76684852 1.65185845 -0.21901848 0.16955015 -0.00375463 1 0.16579552
C-1 B X = C-1
Para construir la frontera eficiente se utilizarán los valores del
vector de incógnitas “X”, el rendimiento esperado estimado que de-
berá ser creciente en relación al rendimiento óptimo ya calculado y
la última columna de la matriz inversa, quedando especificadas las
siguientes ecuaciones para las incógnitas:
X1 = −13.3091341 * E(P) + 0.33400856
X2 = 51.6696044 * E(P) − 0.76684852
X3 = −70.2730753 * E(P) + 1.65185845
X4 = 32.912605 * E(P) − 0.21901848
El valor esperado E(P) se estimará de manera creciente tal como
se había señalado a partir del 1.71% ya calculado, esto se podrá
apreciar mejor en el cuadro siguiente:

Cuadro 3.14. Frontera eficiente para las cuatro acciones
CONSTRUCCION DE LA FRONTERA EFICIENTE
PORTAFOLIO 1 2 3 4 5 6 7 8
RENDIMIENTO 0.0171 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.050 0.060
PROPORCIONES DENTRO DEL PORTAFOLIO
“D” 0.1005 0.0678 0.0013 -0.0653 -0.1318 -0.1984 -0.3314 -0.4645
“B” 0.1305 0.2665 0.5249 0.7832 1.0416 1.2999 1.8166 2.3333
“L” 0.4209 0.2464 -0.1050 -0.4563 -0.8077 -1.1591 -1.8618 -2.5645
“T” 0.3480 0.4392 0.6038 0.7684 0.9329 1.0975 1.4266 1.7557
SUMAS 1 1 1 1 1 1 1 1
VARIANZA 0.0009 0.0010 0.0014 0.0024 0.0039 0.0058 0.0111 0.0183
DESV.
ESTANDAR 0.0292 0.0308 0.0380 0.0492 0.0622 0.0762 0.1054 0.1353
Como se podrá apreciar en el cuadro anterior, el rendimiento es-
perado a partir del portafolio 2 se estimó de manera creciente para
que se pueda generar el gráfico de la frontera eficiente.
Gráfico 3.5. Frontera eficiente de las cuatro acciones
0.07000
0.06000
0.05000
0.04000
0.03000
0.02000
0.01000
0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600

3.3.2. Modelo CAPM
El modelo CAPM (Capital Assets Price Model) que traducido de
sus siglas en inglés significa Modelo de Precios de Activos de Capi-
tal, fue desarrollado y dado a conocer por William Sharpe en su ya
tradicional obra denominada INVESTMENTS.
Este modelo prueba el teorema fundamental de las finanzas
que establece que a mayor nivel de riesgo de un activo financiero
le corresponde un mayor nivel de rendimiento, en otras palabras,
existe una relación directamente proporcional entre el riesgo y el
rendimiento.
Para probar lo anterior, Sharpe vinculó el rendimiento de un acti-
vo financiero con el rendimiento del mercado de valores, este último
medido a través de un Indice accionario, que para el caso de Mé-
xico sería el Indice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana
de Valores.
Pt - Pt-1
= α + 
lt - lt-1 (Fórmula 3.7)
Pt-1 lt-1
Donde:
Pt = Precio actual de la acción
Pt-1 = Precio anterior de la acción
α = Rendimiento mínimo de la acción independiente al compor-
tamiento del IPyC
 = Riesgo de la acción que está correlacionado con el IPyC
It = Indice de precios y cotizaciones actual
It-1 = Indice de precios y cotizaciones anterior
La ecuación (3.7) sirve para determinar el riesgo inherente a la
acción en cuestión, que en este caso corresponde a la pendiente
de esta ecuación, es decir, a .
Es importante hacer las siguientes reflexiones respecto al pará-
metro:
 = 1è La acción obtendría el rendimiento del mercado accio-
nario.
 > 1è La acción estará por arriba del rendimiento del mercado
accionario.

 < 1è La acción registrará un rendimiento menor al del merca-
do accionario.
Una vez determinado el riesgo de la acción, Sharpe estableció
una ecuación que la vincula con una tasa libre de riesgo y con el
rendimiento ofrecido por el mercado accionario, cuya expresión
matemática se representa de la siguiente manera:
π = Rf + (Rm – Rf)  (Fórmula 3.8)
Donde:
π = Rendimiento esperado de la acción
Rf = Tasa de interés libre de riesgo
Rm = Rendimiento del mercado de valores
Utilizando la misma información de las emisoras “D”, “B”, “L” y
“T”, se obtendrá primeramente la ecuación CAPM, la cual servirá de
base para saber el nivel de riesgo de cada acción en particular, el
cálculo del CAPM se puede realizar directamente de Excel, QSB o
E-Views, en este caso, se utilizará el paquete econométrico E-Views,
cuyos resultados se muestran a continuación.

Resumiendo lo anterior, las Betas de cada acción quedarían así:
Cuadro 3.15. Ecuaciones CAPM de las cuatro acciones
ACCION ALFA BETA
(Riesgo de la acción)
“D” 0.0083 0.8938
“B” 0.0203 0.6977
“L” 0.0073 0.6434
“T” 0.0171 0.6860
Como podrá observarse, “B”, “L” y “T” representan un nivel de
riesgo moderado, mientras que “D” está por arriba de las tres ante-
riores, aun así ninguna de las cuatro acciones son altamente ries-
gosas y por lo tanto su rendimiento esperado se ubica por abajo
del rendimiento del mercado accionario tal y como se demuestra a
continuación.
Cuadro 3.16. Rendimientos esperados de las
cuatro acciones
ACCION
TASA
LIBRE
DE
RIESGO*
RENDIMIENTO
MERCADO
ACCIONARIO
BETA
RENDIMIENTO
ESPERADO
DE LA ACCION
“D”
2.96% 8.10%
0.894 7.55%
“B” 0.698 6.54%
“L” 0.643 6.27%
“T” 0.686 6.48%
* CETES 28 días.
3.4. Comparación de Resultados con los Modelos de Porta-
folio de Inversión
Después de la disertación presentada a lo largo de este capítulo,
se procederá a realizar una revisión entre los modelos de Markowitz
y el de Programación Lineal, para ello se utilizará un cuadro resu-
men en el que se muestren las ventajas y desventajas de ambos.

Cuadro 3.17. Rendimientos esperados de las
cuatro acciones
MODELO RENDIMIENTO RIESGO EFICIENCIA
DEL MODELO
MARKOWITZ Se optimiza a través de la resolu-
ción de la matriz inversa VARIAN-
ZA-COVARIANZA y un vector de
incógnitas.
Permite obtener
las ponderacio-
nes óptimas que
deberán inver-
tirse para mini-
mizar el riesgo
y maximizar el
rendimiento. Asi-
mismo, genera
la denominada
frontera eficiente
del portafolio de
inversión.
PROGRAMACION
LINEAL
Se optimiza me-
diante el plantea-
miento de una
función objetivo
sujeta a ciertas
restricciones.
El cálculo del
nivel de riesgo
se puede de-
terminar entre
el rango obser-
vado de cada
título dentro del
portafolio de in-
versión.
Se puede obte-
ner una relación
riesgo-rendimien-
to que estará en
función del nivel
de aversión o
aceptación de
riesgo que se
quiera asumir.
Esto significa que
hay un rango muy
amplio respecto
al nivel de ries-
go que se quiera
asumir, lo cual
puede contener
ciertos elementos
de subjetividad.

CAPITULO 4
ANALISIS DE LA VOLATILIDAD
La volatilidad es un término que se utiliza con mucha frecuen-
cia en las finanzas y que describe los cambios o fluctuaciones que
experimenta un activo respecto a su valor promedio ante diversos
elementos que pueden afectar su desempeño, generalmente se
asocia al precio de las acciones, sin embargo, la volatilidad se ex-
tiende a otras variables como el tipo de cambio y las tasas de inte-
rés, por citar algunas.
En este sentido, se estudiarán dos categorías de volatilidad, sien-
do éstas: la histórica y la dinámica.
4.1. Volatilidad Histórica
La volatilidad histórica trata sobre los cambios de la variable fi-
nanciera durante un horizonte temporal que puede abarcar varios
períodos históricos y generalmente se mide a través de la varianza
y la estándar.
Para calcular la volatilidad histórica, se tiene información históri-
ca de los rendimientos del precio de las acciones de “D” y “B”

Cuadro 4.1. Rendimiento de cuatro acciones
PERIODO
RENDIMIENTO
“D” “B” “L” “T”
FEB 2014 -0.02195 -0.01870 -0.04110 0.00103
MAR 2014 0.01410 0.03464 -0.01071 0.11772
ABR 2014 0.02554 0.00418 0.01805 -0.01436
MAY 2014 0.02933 0.16295 0.05674 0.01200
JUN 2014 0.02339 0.03906 0.04698 0.02487
JUL 2014 0.06672 0.00983 -0.03000 0.05898
AGO 2014 0.01354 0.06779 0.01712 0.03215
SEP 2014 -0.05394 0.07005 0.00058 -0.06362
OCT 2014 0.01156 0.02376 0.00649 0.06828
NOV 2014 -0.00711 -0.05109 0.02581 0.04079
DIC 2014 0.04065 -0.04708 -0.03774 -0.00691
ENE 2015 -0.06290 -0.01275 0.00000 -0.03012
FEB 2015 0.10697 0.04137 0.09804 0.04151
Aplicando las fórmulas (2.2) y (2.3) se obtienen la varianza y des-
viación estándar de las cuatro acciones, quedando de la siguiente
manera:
Cuadro 4.2. Volatilidad de las cuatro acciones
MEDIDA “D” “B” “L” “T”
VARIANZA 0.19% 0.30% 0.14% 0.20%
DESV. ESTANDAR 4.37% 5.44% 3.80% 4.49%
De acuerdo a los resultados anteriores, la acción que registra
mayor nivel de volatilidad y por ende mayor riesgo es “B”.
El inconveniente que tiene la medición de la volatilidad histórica
es que se le asigna el mismo peso específico a todas las observa-
ciones analizadas, para subsanar eso, se propone medir la volati-
lidad de manera dinámica a través del método de suavizamiento
exponencial, mismo que se detalla a continuación.

4.2. Volatilidad Dinámica
Para medir la volatilidad dinámica se utiliza un método estadísti-
co denominado suavizamiento exponencial, el cual tiene 2 variantes
que se utilizan en el análisis de riesgos, siendo éstas:
•• Suavizamiento exponencial simple.
•• Suavizamiento Holt-Winters no estacional.
Suavizamiento exponencial simple:
El suavizamiento exponencial simple es un método que consi-
dera un parámetro para suavizar o eliminar los picos y valles de
una serie histórica estadística, el cual puede tomar un rango entre
cero y uno, mismo que es a discrecionalidad del analista que esté
elaborando el pronóstico.
El suavizamiento exponencial simple se representa a través de la
siguiente fórmula:
Ŷ = α Yt + (1 − α)Ŷt -1 (Fórmula 4.1)
0 < α < 1
Donde:
Ŷ = Variable a estimar
Yt = Variable observada
α = Constante de suavizamiento
Ŷt-1 = Variable suavizada estimada del período anterior
Para aplicar este método, se utilizarán los datos del cuadro 4.1
para estimar la volatilidad dinámica de estas cuatro acciones.
De acuerdo a la evidencia empírica, el valor de α que resulta
más conveniente es 0.9, la aplicación del suavizamiento exponen-
cial simple se realizará a través del paquete econométrico E-VIEWS,
el cual resulta apropiado y eficiente para el cálculo de la volatilidad.

Las pantallas de acceso a E-VIEWS para poder estimar el sua-
vizamiento exponencial simple se muestran a continuación para el
caso de “D”:

El ingreso de información de las otras tres emisoras en E-VIEWS
generará pantallas similares.
Posteriormente, se generarán las volatilidades dinámicas suavi-
zadas e inmediatamente después se obtendrá la desviación están-
dar correspondiente. Los resultados de las volatilidades dinámicas
se muestran en el cuadro siguiente:
Cuadro4.3.Volatilidaddinámicadelascuatroacciones
PERIODO
RENDIMIENTOVOLATILIDADESDINAMICAS(ALFA=0.9)
“D”“B”“L”“T”“D”“B”“L”“T”
FEB2014-0.02195-0.01870-0.041100.00103-0.021950.042820.008150.03320
MAR20140.014100.03464-0.010710.117720.01410-0.01255-0.036180.00425
ABR20140.025540.004180.01805-0.014360.025540.02992-0.013260.10637
MAY20140.029330.162950.056740.012000.029330.006750.01492-0.00229
JUN20140.023390.039060.046980.024870.023390.147330.052560.01057
JUL20140.066720.00983-0.030000.058980.066720.049890.047540.02344
AGO20140.013540.067790.017120.032150.013540.01384-0.022250.05543
SEP2014-0.053940.070050.00058-0.06362-0.053940.062400.013180.03448
OCT20140.011560.023760.006490.068280.011560.069280.00184-0.05381
NOV2014-0.00711-0.051090.025810.04079-0.007110.028310.006030.05607
DIC20140.04065-0.04708-0.03774-0.006910.04065-0.043150.023830.04232
ENE2015-0.06290-0.012750.00000-0.03012-0.06290-0.04669-0.03158-0.00199
FEB20150.106970.041370.098040.041510.10697-0.01614-0.00316-0.02731
VOLATILIDADDINAMICATOTAL4.37%5.01%2.60%3.91%

Suavizamiento Holt-Winters no estacional:
El método de Holt-Winters no estacional aplica para series finan-
cieras, especialmente para el caso de las acciones, cuyos patrones
de comportamiento contienen un fuerte contenido aleatorio.
Este método es similar al de doble suavizamiento exponencial,
excepto que utiliza dos parámetros (Alfa y Beta).
Ŷt+k = α + bk (Fórmula 4.2)
b(t) = [α(t) - α(t - 1)] + 1 - b (t - 1) (Fórmula 4.3)
0 < α,  < 1
Donde:
α = Ordenada al origen de la ecuación de la recta
b = Pendiente y representa la pendiente de la recta
k = Variable en estudio
α,  = Constantes de suavizamiento

El cálculo de las volatilidades dinámicas mediante el método de
Holt-Winters arroja los siguientes resultados:
Las volatilidades generadas mediante la metodología de
Holt-Winters se muestran en el siguiente cuadro:

Cuadro4.4.VolatilidaddinámicacuatroaccionesconHolt-Winters
PERIODORENDIMIENTOVOLATILIDADESDINAMICAS
“D”“B”“L”“T”“D”“B”“L”“T”
FEB2014-2.195%-1.870%-4.110%0.103%-2.195%-1.870%-4.110%0.103%
MAR20141.410%3.464%-1.071%11.772%-1.604%-0.429%-3.140%0.622%
ABR20142.554%0.418%1.805%-1.436%-1.012%3.543%-1.135%1.140%
MAY20142.933%16.295%5.674%1.200%-0.421%2.953%1.305%1.659%
JUN20142.339%3.906%4.698%2.487%0.171%13.067%4.460%2.178%
JUL20146.672%0.983%-3.000%5.898%0.763%8.554%5.549%2.696%
AGO20141.354%6.779%1.712%3.215%1.354%5.074%2.245%3.215%
SEP2014-5.394%7.005%0.058%-6.362%1.946%7.624%2.949%3.734%
OCT20141.156%2.376%0.649%6.828%2.537%8.663%2.474%4.252%
NOV2014-0.711%-5.109%2.581%4.079%3.129%6.018%2.532%4.771%
DIC20144.065%-4.708%-3.774%-0.691%3.720%0.226%3.527%5.290%
ENE2015-6.290%-1.275%0.000%-3.012%4.312%-1.540%0.847%5.808%
FEB201510.697%4.137%9.804%4.151%4.903%0.074%1.394%6.327%
VOLATILIDADHOLT-WINTERS2.213%4.462%2.694%1.941%

4.3. Utilización de modelos ARCH y GARCH para medir vola-
tilidades
En el ámbito financiero y económico la mayoría de las variables
que se estudian en estos campos presentan una serie de patrones
de comportamiento irregular a lo largo del tiempo, tal es el caso del
precio de las acciones, el tipo de cambio y las tasas de interés por
mencionar algunas.
El elemento de volatilidad que se encuentra presente en las va-
riables financieras y económicas genera en términos estadísticos
un fenómeno denominado heterocedasticidad, el cual significa di-
ferente dispersión de los términos de error de las series históricas
que se están analizando.
Este fenómeno refleja dentro de la serie histórica un agrupamien-
to de volatilidades altas y bajas a lo largo del período observado, a
manera de ejemplo se muestra a continuación un patrón de com-
portamiento de tipo heterocedástico.
Gráfico 4.1. Esquemas de heterocedasticidad
Cambio%
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
55 60 65 70 75 80 85 90 95
Año
Fuente: Gujarati, Damodar. Econometría. Mc Graw Hill, 2007.

Fuente: Gujarati, Damodar. Econometría. Mc Graw Hill, 2007.
Debido a las perturbaciones altas y bajas que muestran las series
históricas económicas y financieras, el economista norteamericano
Robert Engle realizó una serie de trabajos de investigación sobre el
tratamiento de la heterocedasticidad, entre los que destacan:
•• Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with estimates
of the variance of United Kingdom Inflation. Econométrica, Vol.
50, pp 987-1008, 1982.
•• Dynamic conditional correlation−A simple class of multivariate
GARCH models. Journal of Business and Economic Statistics,
July 2002. (Este trabajo le valió para obtener el premio Nobel
de Economía en 2003).
Al respecto, Engle desarrolló lo que en la literatura econométrica
se conoce como los modelos ARCH y GARCH, cuyo significado en
español sería:
•• ARCH: Modelo autoregresivo de heterocedasticidad condicio-
nal.
•• GARCH: Modelo general autoregresivo de heterocedasticidad
condicional.
Ambos modelos sirven para determinar el impacto que podría te-
ner la volatilidad en el comportamiento de las variables económicas
y financieras que se estén analizando.
Los modelos ARCH y GARCH, ayudan para determinar el grado
de afectación que podría tener la variable en estudio ante perturba-
ciones de tipo aleatorio a las que se enfrenta, en otras palabras, la
volatilidad.
X1
X2
X3
X
Y
f(u)
1 + 2Xi
Densidadde
Probabilidaddeui

La estructura matemática del modelo ARCH que considera la vo-
latilidad del último período es la siguiente:
σ2
= α0 + α1 ε 2 (Fórmula 4.4)t t-1
Donde:
σt = Varianza del término de error
αn = Constantes
εt-n = Volatilidad rezagada
El modelo ARCH que considera la volatilidad para varios perío-
dos rezagados es el siguiente:
σ2
= α0 + α1 ε 2
+ α2ε2
+ α3ε2
+ ... + αnε2
t t-1 t-2 t-3 t-n
(Fórmula 4.5)
Para ejemplificar lo anteriormente expuesto, la teoría financiera
expresa que el rendimiento del mercado accionario, medido a tra-
vés del Indice de Precios y Cotizaciones, muestra una relación in-
versa respecto a las variaciones de la tasa de interés libre de riesgo,
en este caso los CETES a 28 días; en otras palabras, si la tasa de
interés aumenta, el rendimiento del mercado accionario tiende a
disminuir y si la tasa de interés baja, el rendimiento del mercado
accionario aumenta.
En este ejemplo se considera una muestra de 544 datos sema-
nales desde enero de 2005 a junio de 2015, tanto para el Indice de
Precios y Cotizaciones como para la tasa de CETES a 28 días.
Con esta información se especificará primeramente la relación
entre el rendimiento del Indice de Precios en función a la tasa de
CETES, quedando su función matemática de la siguiente manera:
IPyC = f(CETES) = I0 - π(CETES) (Fórmula 4.6)
Donde:
IPyC = Indice de Precios y Cotizaciones
CETES = CETES a 28 días
2
2

I0 = Rendimiento autónomo del IPyC
π = Elasticidad de la tasa de interés respecto al rendimiento del
IPyC
A continuación se muestra un cuadro a manera de resumen con
la información de estas dos variables financieras.
Cuadro 4.5. Indice de Precios y Cotizaciones
y CETES 28
PERIODO IPyC CETES 28
03/01/2005 12,453.33 8.59
02/01/2006 18,736.78 7.92
02/01/2007 26,135.60 7.02
07/01/2008 28,723.82 7.41
05/01/2009 21,741.29 7.70
03/05/2010 31,488.82 4.49
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
01/06/2015 44,561.94 2.97
08/06/2015 44,578.28 2.96
Introduciendo la información de estas variables en el paquete
econométrico E-VIEWS, se genera la siguiente información:

Gráfico 4.2. Evolución histórica del IPyC
(2005-2015)
Gráfico 4.3. Evolución histórica CETES 28 días
(2005–2015)
Como se podrá observar en los gráficos 4.2 y 4.3, la tendencia
del IPyC es al alza, mientras que la de CETES a 28 días es a la baja,
sin embargo, para determinar si estas series presentan evidencia
de heterocedasticidad, se hará una primera prueba aplicando dife-
rencia de logaritmos a las mismas, cuya representación matemática
sería la siguiente:

ln
IPCt
= ln IPCt - ln IPCt-1 (Fórmula 4.7)
IPCt-1
ln
CETESt
= ln CETESt - ln CETESt-1 (Fórmula 4.8)
CETESt-1
Una vez aplicados los logaritmos naturales a ambas series, se
tienen los siguientes resultados gráficos:
Gráfico 4.4. Diferencia de logaritmos IPyC 28 días
(2005-2015)

Gráfico 4.5. Diferencia de logaritmos CETES 28 días
(2005-2015)
Los resultados de los gráficos 4.4 y 4.5 muestran una clara pre-
sencia de heterocedasticidad en el IPyC y en los CETES a 28 días,
el paso siguiente para determinar el grado de influencia que tendría
la volatilidad de ambas series es aplicando primeramente un mode-
lo ARCH (1) cuyos resultados se muestran a continuación:

El resultado del anterior confirma la relación entre el IPyC y la
tasa de CETES a 28 días, cuya ecuación queda así:
IPyC = 56,705 – 4,550 (CETES)
Los coeficientes Io y π tienen los signos correctos que se plan-
tearon en la función teórica representada en la fórmula (4.6), por
otra parte, el coeficiente R significa que los cambios en el IPyC son
explicados casi en 80% por las variaciones en la tasa de interés; por
otra parte, los estadísticos “z” son estadísticamente significativos al
95% de confiabilidad.
Continuando con el análisis de estas variables y aplicando un
modelo ARCH (1) con un rezago en la volatilidad, se tiene la si-
guiente ecuación:
σ2
= 498,311 + 0.99 ε 2
t t-1
Para este modelo ARCH (1) los parámetros α0 y εt-1 son esta-
dísticamente significativos al 95% de confiabilidad, lo cual significa
que la volatilidad de un período anterior incide fuertemente en el
comportamiento de la variable a explicar, que en este caso es el
Indice de Precios y Cotizaciones.
Utilizando la estimación anterior para la relación existente entre
el rendimiento del mercado accionario y la tasa de CETES a 28
días, se puede estimar con los resultados del modelo ARCH (1) el
comportamiento del Indice de Precios y Cotizaciones ante un cam-
bio de tan solo 24 puntos base en la tasa libre de riesgo afectaría
negativamente en 253 puntos el rendimiento del Indice accionario,
ya que de 43,236.92 caería a 42,144.87 puntos.
En el siguiente gráfico se muestra el resultado del pronóstico.
2

Gráfico 4.6. Pronóstico del rendimiento del IPyC
Es importante señalar que el pronóstico es bueno, ya que de
acuerdo al coeficiente de desigualdad de Theil (CDT), se tiene un
resultado favorable, ya que mientras más bajo sea el valor de este
coeficiente el pronóstico será mejor.

El CDT cae en un rango entre 0 y 1, de acercarse a 1 el modelo
a pronosticar será poco eficiente:
0 < CDT < 1
Continuando con el análisis de volatilidades, se explicará el mo-
delo GARCH(1,1), que es el más simple de la familia de modelos
GARCH, el cual consiste en que la variable dependiente, es en este
caso la varianza del término de error, misma que es explicada por
la volatilidad del último período y por la varianza del término de
error del último período. La formulación matemática del modelo es
la siguiente:
σ2
= α0 + α1 ε 2
+ 1 σ 2 (Fórmula 4.9)t t-1 t-1
Donde:
σt = Varianza del término de error
αn = Constantes
εt-n = Volatilidad rezagada
σt-1= Varianza del término de error del último período
El modelo GARCH(m,n) que considera varios períodos rezaga-
dos de la volatilidad y la varianza tendría la siguiente fórmula ge-
neral:
σ2
= α0 + α1 ε 2
+ ... + αmε2
+ 1 σ2
+ ... + n σ2
t t-1 t-m t-1 t-n
Fórmula (4.10)
Siguiendo con el ejemplo del rendimiento del Indice accionario
en función de la tasa de CETES a 28 días y aplicando un modelo
GARCH(1,1), se tendrían los siguientes resultados que arroja el pa-
quete E-VIEWS.
2
2
2

Como se podrá apreciar en el cuadro resumen que emite
E-VIEWS, tanto la volatilidad como la varianza rezagadas del perío-
do anterior son estadísticamente significativas al 95% de confianza,
asimismo, se conserva el signo negativo del parámetro de la tasa
de CETES y el coeficiente de determinación R2, que en este caso
sigue cercano al 80%.
Por lo tanto, se puede concluir que la volatilidad y la varianza del
período anterior afectan directamente el desempeño del rendimien-
to del Indice accionario.

CAPITULO 5
EL PAPEL DE LAS REGLAS DE BASILEA
EN LA GESTION DE RIESGOS
5.1. Basilea I, II y III
Basilea es una ciudad suiza ubicada entre las fronteras de Ale-
mania y Francia, se ha hecho célebre debido a que en 1975 se es-
tableció un comité que se integra por los presidentes de los bancos
centrales del llamado Grupo de los Diez, cuya principal encomien-
da es sentar las bases para el manejo de los riesgos operativos,
de mercado, crediticios y legales a los que se enfrentan las insti-
tuciones financieras, así como fortalecer a los sistemas financieros
internacionales.
Las reglas de Basilea se refieren a una serie de lineamientos a los
que se deben adherir todas las instituciones que integran el sistema
financiero a nivel internacional en lo que se refiere a la exposición al
riesgo al que se enfrentan.
Las reglas de Basilea han tenido hasta la fecha tres versiones,
mismas que se presentan a continuación:
££ En el acuerdo de Basilea I se incluía una definición de capital
regulatorio, el cual establecía el sistema de ponderación de
exposiciones y recomendaba el capital mínimo que las entida-
des debían tener en relación con sus activos ponderados por
riesgo (crédito, mercado y tipo de cambio) en un 8 por ciento.
££ En el año 2004 se aprobó Basilea II. Este acuerdo desarrollaba
de manera más extensa el cálculo de los activos ponderados
por riesgo y permitía que las entidades aplicasen calificacio-
nes de riesgo basadas en sus modelos internos, lo cual incluía
el riesgo operativo, siempre que estuviesen previamente apro-
bados por el supervisor.

££ La crisis financiera internacional que se manifestó abrupta-
mente en el último trimestre de 2008, llevó a la cumbre del
G20 a establecer las bases para Basilea III, donde se exige
un aumento de la calidad del capital para asegurar su mayor
capacidad para absorber pérdidas; se modifica el cálculo de
los riesgos para determinadas exposiciones que la crisis ha
probado que estaban deficientemente valorados; se obliga a
constituir colchones de capital en momentos buenos del ciclo
económico; se introduce una nueva razón de apalancamiento;
y se aumenta el nivel de los requerimientos de capital, entre
otras recomendaciones.
En términos generales, se puede resumir la esencia de las reglas
de Basilea I y II de la siguiente manera:
BASILEA I è
INDICE DE
CAPITALIZACION
=
CAPITAL NETO
RIESGO CREDITICIO + RIESGO DE MERCADO
BASILEA II è
INDICE DE
CAPITALIZACION
=
CAPITAL NETO
RIESGO CREDITICIO + RIESGO DE MERCADO
+ RIESGO OPERATIVO
Como podrá observarse, el elemento central en Basilea I y II es el
Indice de capitalización, el cual es un cociente que resulta de dividir
el capital neto de un intermediario financiero entre los riesgos de
crédito, de mercado y operativo.
Tanto Basilea I y II consideraban como mínimo un Indice de ca-
pitalización del 8% para tener una situación de cobertura confiable
ante la exposición al riesgo en el que están inmersas las institucio-
nes financieras.
Debido a varios eventos financieros que han tambaleado a las
economías del orbe, como es el caso de la crisis global del año
2008, el Bank of International Settlements a través del Comité de
Supervisión Bancaria de Basilea emitió en diciembre de 2010 lo que
actualmente se conoce como las reglas de Basilea III.
Dentro de Basilea III se redefinieron nuevos tópicos referentes al
capital neto exigible a los intermediarios financieros, quedando de
la siguiente manera:

5.2. Capital Neto Exigible a las Instituciones Financieras
Como efecto del proceso de globalización de las economías a
nivel internacional, las autoridades monetarias (CNBV y Banco de
México) han adoptado diversas normativas para la regulación del
sistema financiero en materia de riesgos, en este sentido, dichas
autoridades están siguiendo las reglas establecidas por el Comité
de Supervisión Bancaria de Basilea, mejor conocidas en el medio
financiero como reglas de Basilea III.
La inclusión de las reglas de Basilea III es de vital importancia
en las instituciones financieras, ya que es parte fundamental de los
lineamientos para la canalización de los montos máximos de cré-
dito a otorgar, ya sea persona física o moral, lo cual permite que
la exposición al riesgo caiga dentro de los límites que establece la
autoridad, en este caso la CNBV.6
De manera resumida, Basilea III considera para las instituciones
financieras las siguientes medidas:
•• Nueva definición e integración del capital.
•• Redefinición del marco de alertas tempranas.
•• Criterios para la inclusión de obligaciones subordinadas en el
capital.
Nueva definición e integración del capital:
Se deberá integrar el capital neto en tres componentes:
CN = CC + CB = CC + (CB1 + CB2) (Fórmula 5.1)
CB = (CB1 + CB2) (Fórmula 5.2)
Donde:
CN = Capital Neto
£ (CC) Capital Complementario:
¡¡ Obligaciones subordinadas.
¡¡ Títulos representativos del capital social.
6. Ver: C.N.B.V. Circular única.

¡¡ Instrumentos de capital.
¡¡ Reservas admisibles (ya constituidas).
£ (CB1) Capital Básico 1:
¡¡ Títulos representativos del capital social.
¡¡ Aportaciones para futuros aumentos de capital.
¡¡ Reservas de capital.
¡¡ Resultados de ejercicios anteriores.
¡¡ Resultado neto.
¡¡ Resultado por valuación registrado en el capital.
£ (CB2) Capital Básico 2:
¡¡ Acciones preferentes.
Cabe señalar que las reservas admisibles se refieren
a la suma de las reservas específicas y generales que
se encuentren constituidas al mes correspondiente al
cómputo de capitalización para las Operaciones Suje-
tas a Riesgo de Crédito, con las personas cuyos reque-
rimientos de capital se obtengan a partir de métodos
basados en calificaciones internas, conforme a lo es-
tablecido en el artículo 2 Bis-93 de las disposiciones
de carácter general aplicables a las instituciones de
crédito.
Redefinición del marco de alertas tempranas:
Las alertas tempranas se refieren a un monitoreo permanente de
los componentes que integran el Indice de capitalización neto, el
cual se forma de la siguiente manera:
ICB1 =
CB1 (Fórmula 5.3)
APSRT

ICB =
CB
=
CB1 + CB2
(Fórmula 5.4)
APSRT APSRT
ICN =
CB + CC
(Fórmula 5.5)
APSRT
Donde:
ICB1 = Indice de capitalización básico 1
ICB = Indice de capitalización básico
ICN = Indice de capitalización neto
CB1 = Capital básico 1
CB2 = Capital básico 2
CC = Capital complementario
APSRT =Activos ponderados sujetos a riesgos totales
Asimismo, es importante señalar que una institución financiera
entrará en el esquema de alertas tempranas si incumple en lo si-
guiente:
ICB1 ≥ 7%
ICB =
CB
≥ 8.5%
APSRT
ICN =
CB + CC
≥ 10.5%
APSRT

Fuente: CNBV. Basilea III. Reglas de Capitalización.
Por otra parte, las medidas mínimas que las instituciones finan-
cieras deben cumplir en caso de haber entrado en el esquema de
alertas tempranas (a partir de la categoría II) son:
Medidas Mínimas
II. a. Presentar un informe detallado de evaluación integral de las cau-
sas de su situación financiera.
b. No celebrar operaciones que provoquen que el Indice de Capita-
lización se ubique por debajo del requerido.
c. Presentar un plan de conservación de capital.
d. Restricciones parciales al pago de dividendos, compensaciones
y bonos extraordinarios adicionales.
e. Abstenerse de incrementar los financiamientos otorgados a per-
sonas relacionadas relevantes.
III. a. Presentar Plan de Restauración de Capital.
b. Suspender el pago de dividendos.
c. Suspender los programas de recompra de acciones re-
presentativas del capital social del banco.
d. Diferir el pago de intereses y el pago de principal o con-
vertir anticipadamente en acciones las obligaciones su-
bordinadas que se encuentren en circulación.
e. Suspender el pago de las compensaciones y bonos ex-
traordiarios adicionales.
f. Abstenerse de convenir incrementos en los montos vi-
gentes en los créditos otorgados a personas relaciona-
das.
IV. y V. a. No podrán llevar a cabo nuevas inversiones
en activos no financieros, abrir sucursales
o realizar nuevas actividades distintas a las
operaciones que habituamente realiza.
Fuente: CNBV. Basilea III. Reglas de Capitalización.
ICAP≥10.5%
8%≤ICAP<10.5%
7%≤ICAP<8%
4%≤ICAP<8%
ICAP<4%
Cumplimiento
Incumplimiento
del
suplemento
de
conservación
Incumplimiento
de
coeficientes
mínimos
I II
II
II
II
II
III
III
IV
IV
IV
V
CB≥8.5%
8.5>CB≥7%
CB≥8.5%
CB<6%
8.5>CB≥6%
ICAP - Indice de Capitalización
Alertas
Tempranas
Resolución
Bancaria
CB1≥7%
7%>CB1≥4.5%
CB1<4%
Capital
Básico1
Capital
Básico

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