Este documento contiene 21 páginas de un libro de matemáticas para 5o grado primario. Cubre temas como la división de monomios y polinomios, productos notables, factorización de polinomios utilizando factor común y diferencia de cuadrados. Incluye ejemplos y ejercicios prácticos de cada tema, así como breves biografías de Leibniz y Fibonacci.

1. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 1

2. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 2

3. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 3
RESEÑA HISTÓRICA DE LEIBNIZ

4. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 4
DIVISIÓN DE MONOMIOS
òPara dividir monomios, procedemos a dividir los coeficientes y aplicamos la
teoría de exponentes (división de bases iguales) para la parte literal.
Ejemplo:
RACTIQUEMOS

Efectúa las siguientes divisiones:
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO
El procedimiento para dividir un polinomio entre un
monomio es el mismo que realizamos en la división
entre monomios sólo que ahora el monomio dividirá a
cada término del polinomio.
Ejemplo:
   
7 3 9 8 4 2 3 5 6
16 14 2 8 7
x y x y x y x y x y
   
8 3 4
3 2 2
5 2
39
13
3
m y z
m y z
m yz


5. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 5
RACTIQUEMOS

Efectúa las siguientes divisiones:

Efectúa las siguientes divisiones:
RABAJEMOS EN CASA

6. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 6
PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos productos que al presentar cierta forma particular, evita que se
efectúe la operación de multiplicación escribiendo directamente el resultado.
I. Cuadrado de un Binomio
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2
a b a ab b
a b a ab b
   
   
Ejemplos:
1.
        
2 2 2
2
5 2 5 5
10 25
x x x
x x
   
  
2.
        
2 2
2
2
3 2 3 3
6 9
y y y
y y
   
  
3.
        
2 2 2
3 3 3
6 3
2 2 2 2
4 4
z z z
z z
   
  
4.
        
2
2 2
2 2 2
4 2
2 3 2 2 2 3 3
4 12 9
x x x
x x
   
  
5.
        
2 2 2
2 2
3 8 3 2 3 8 8
9 48 64
x y x x y y
x xy y
   
  
6.
        
2 2 2
4 3 4 4 3 3
8 4 3 6
3 5 3 2 3 5 5
9 30 25
x y x x y y
x x y y
   
  

7. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 7
RACTIQUEMOS

Efectuar:
1.
 2
4
x  
2.
 2
7
x  
3.
 
2
3
8
m  
4.
 
2
8
9
x  
5.  2
2 8
x y
 
6.
 
2
4
3 6
a  
7.
 
2
3 5
10 8
m y
 
8.
 
2
4 2
2 3
a b
 
9.
 
2
10 12
10
a b
 
10.
 
2
2 3
3 8
x b
 

8. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 8
RABAJEMOS EN CASA

Resolver:
II. Cubo de un Binomio
Ejemplos:

9. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 9

Efectuar:
1.
 3
2
a 
=
2.
 3
4
a 
=
3.
 3
4x 5

=
4.
 3
2
a 
=
5.
 3
3
m 
=
6.
 3
4
a 
=
7.
 3
2 1
x 
=
8.
 3
4
b 
=
9.
 
3
6
1
x 
=
10.  3
4 1
x 
=
RABAJEMOS EN CASA


Resolver:
RACTIQUEMOS

10. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 10

11. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 11
RESEÑA HISTÓRICA DE FIBONACCI

12. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 12
8 + 6 – 10 = 2 ( 4 + 3 – 5 )
x y x yz xy w xy x x z yw
2 3 2 2
FACTOR COMÚN
2
* Dividimos 8 2 = 4
x y xy x
÷
3
2
* Dividimos 6 2 = 3
x yz xy x z
÷
* Dividimos 10 2 = 5
xy w xy yw
÷
2
FACTORIZACIÓN
El fin primordial de la factorización es transformar un polinomio en una
multiplicación de dos o más factores:
I. FACTOR COMÚN MONOMIO :
Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio,
está formado por el M.C.D de los coeficientes y las variables comunes
elevadas a su menor exponente.
Ejemplos:
Factorizar :
1. 8x2
y + 6x3
yz – 10xy2
w
Solución : a) Hallamos el M.C.D de 8, 6 y 10
M.C.D = 2
b) El menor exponente con el que aparecen las variables comunes
x e y son 1,1 respectivamente. Por lo tanto el FACTOR
COMÚN es : 2xy
c) El factor común divide a cada término del polinomio
8 6 10 2
4 3 5
 
 
8 + 6 – 10 = 2 ( 4 + 3 – 5 )
x y x yz xy w xy x x z yw
2 3 2 3

13. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 13
2.
8 5 3 7
4 6
a y a y

Solución: a) Hallamos el M.C.D. de 4 y 6.
MCD = 2
b) El menor exponente de las variables comunes a e y
son 3 y 5 respectivamente por lo tanto el FACTOR
COMÚN es:
3 5
2a y
RACTIQUEMOS
Factoriza:
1)
3 2 3 2
2 6 4
x y xy xy
  
2)
4 5 2 6
12 4
m n m n
 =
3)
3 3 5
a a a
  
4 6 2
2 3



14. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 14
4)
6 7 4 6
5 20
x y x y
 
5)
2 3 2
2 4
x y x y
 
6)
2 3
6 4
d d
 
7)
4 6 2
7 14
x y x y
 
8)
2 3
4 10
ab ab
 
9)
2 6 3
x x x
  
10)
2 3 2
5 15
a b c abc
 

15. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 15
RABAJEMOS EN CASA
II.FACTOR COMÚN POLINOMIO
Consiste en factorizar el factor en común, es decir, aplicando la propiedad distributiva.
Ejemplos :
Factoriza :
1.
3 ( – 2 ) + 5 ( – 2 ) = ( – 2 ) ( 3 + 5 )
a x y b x y x y a b
2 2
2 2
FACTOR COMÚN : ( – 2 )
x y
* Dividimos 3 ( – 2 ) ( – 2 ) = 3
a x y x y a
* Dividimos 5 ( – 2 ) ( – 2 ) = 5
b x y x y b

16. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 16
2.
3
(2 3 ) 2 3
ab x y x y
  
RACTIQUEMOS
Factoriza :
1. 3a (x – 2) – 2b (x – 2) =
2. b(x – y) + (x – y) =
3. b (n + 1) – c(n + 1) – (n + 1) =
2 2
3 ( 2 ) 5 ( 2 ) ( 2 )(3 5 )
a x y b x y x y a b
      
FACTOR COMÚN : (2 + 3 )
x y
ab x y x y x y ab
(2 + 3 ) + (2 + 3 ) = (2 + 3 ) ( + 1 )
* Dividimos (2 + 3 ) (2 + 3 ) =
ab x y x y a b

* Dividimos (2 + 3 ) (2 + 3 ) = 1
x y x y

3
3
3
3

17. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 17
4. a2
+ 1 – b(a2
+1) =
5. 4y(m – b) + m – b =
6. x(a + 2) – y(a + 2) + 3(a + 2) =
7. x(a+1) + a + 1 =
8. 5a(m – n) + m – n =
9. 2x (a – 1) – 3y(a – 1) =

18. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 18
10. a2
(x – y + 1) + b2
(x – y + 1) =
RABAJEMOS EN CASA
III. DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de cuadrados es igual a la multiplicación de la suma de los términos por
la diferencia de los mismos.
  
2 2
2
a b a b a b
a
 
   
2
b
a b
Ejemplos:
Factoriza:
1)
  
2
2
49 7 7
49
7
x x x
x
x
 
   

19. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 19
2)
RACTIQUEMOS
Factoriza :
1. x2
– 25 =
2. 100 – a2
b8
=
3.
4.
4 16
36 25
a b
 
5. 1 – c2
=
  
2 4 2 2
2 4
2
25x 5 5
25
5 y
y x y x y
x y
x
 
   
2
1
25
x
 
¡Que fácil!

20. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 20
6. 16a2
– 16 =
7.
2
1 4
4
a
 
8. x2
y8
– z4
=
9. x4
– y8
=
10. 36 – 25m4
=
Factoriza :
RABAJEMOS EN CASA

21. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 21
1. x2
– 16 2. m2
– n2
3. a2
– 1
4. a2
– 9 5. 9 – x2
6. 1 – 4c2
7. 1 – 9x2
y4
8. 9. m4
– n6
10. 25 – a4
2 6
49 36
x y


22. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 22
RESEÑA HISTÓRICA DE PAOLO RUFFINI

23. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 23
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Términos:
Variable
o
incógnita
Para resolver una ecuación se utilizará el método de “TRANSPOSICIÓN DE
TÉRMINOS”.
Ejemplos:
1)
2do.
1er.
miembro
miembro
56 96
x  
33 12 13 8
33 13 8 12
20 20
20
20
1
x x
x x
x
x
x
  
  



 
5 4 2
3
5 4 3 2
5 4 3 6
5 3 6 4
2 10
10
2
5
x x
x x
x x
x x
x
x
x
  
  
  
  




24. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 24
3)
RACTIQUEMOS
   
5 1 2 5
5 5 2 10
5 2 10 5
3 15
15
3
5
x x
x x
x x
x
x
x
  
  
  




25. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 25
RABAJEMOS EN CASA
I. Resuelve las siguientes ecuaciones:

26. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 26

27. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 27
RESEÑA HISTÓRICA DE RENÉ DESCARTES

28. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 28
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
También es conocida con el nombre de desigualdad.
El procedimiento para resolver las inecuaciones es el mismo que se
realiza en las ecuaciones, sólo que ahora se obtendrá el conjunto solución
(C.S.)
Los símbolos de desigualdad que usaremos son:
Ejemplo 1
2 5 11
2 11+ 5
2 16
16
2
8
 




x
x
x
x
x
Ejemplo 2
 
. . 9; 10; 11;...
C S 

29. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 29
4 3 17
4 17+ 3
4 20
20
4
5
x
x
x
x
x
 




Ejemplo3
RACTIQUEMOS
2 1 7
5
2 7 1
5
2 8
5
2 8,5
2 40
40
<
2
< 20
 
 



x
x
x
x
x
x
x
 
C.S.= 5; 4; 3; 2; 1; 0
 
C.S.= 0; 1; 2; 3;...19

30. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 30
RABAJEMOS EN CASA
Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

31. LOGICO MATEMATICO 5º PRIM
SACO OLIVEROS Página 31