Este documento presenta los productos notables en álgebra, que son resultados de multiplicaciones algebraicas especiales que se pueden obtener sin efectuar los pasos de la multiplicación. Explica los productos notables más comunes como el binomio al cuadrado, la diferencia de cuadrados, el trinomio al cuadrado, y resuelve ejercicios de aplicación.

1. Formación Básica – 2013 - 0A
PRODUCTOS NOTABLES
Curso Introductorio

2. Curso Introductorio
Cuando tenemos un par de polinomios M(x) y N(y) de variables reales
podemos generar otro polinomio real P(x,y) llamado producto.
Multiplicación Algebraica
de Polinomios
Si multiplicamos
RECORDAND
O
Por ejemplo:
El producto P(x,y)
se obtiene así:
= (5x2-x+3)


 


 

4)
-
)(7y
5
( 2



 x
x
P(x, y) = 35x2y-7xy +21y -20x2+4x-12
Otro ejemplo:


 


 

5y)
-
)(4x
( 



 x
xy
P(x, y) = 8x2y+12x4 -10xy2-15x3y
N (y)= 7y – 4
M (x)= 5x2-x+3
(5x2-x+3)
+ (– 4)
( 7y)
Si multiplicamos M (x;y)= 2xy +3x3 N (x;y)= 4x-5y
El producto P(x,y)
se obtiene así:
= (2xy +3x3)( 4x) + ( 2xy +3x3)(– 5y)

3. Curso Introductorio
Los productos notables también conocidos como productos especiales
son el resultado de determinadas multiplicaciones algebraicas. Éstos
productos tienen las siguientes características:
Productos
Notables
 Se obtienen sin efectuar los pasos de la multiplicación.
 Cada producto notable tiene una estructura básica que la hace
fácil de identificar por simple inspección.
 Se pueden recordar fácilmente.
Los Productos
Notables son los
siguientes

4. Curso Introductorio
PARTE I

5. Curso Introductorio
Binomio al cuadrado
Primer término Segundo término
Cuadrado del
primer término
Dos veces el producto del primer
término por el segundo término
Cuadrado del
segundo término
Cuadrado de la suma de dos números
Cuadrado de la diferencia de dos números

6. Curso Introductorio
Equivalencias
de Legendre
Equivalencias
de Steven
Algunas equivalencias

7. Curso Introductorio
Ejercicios resueltos de la guía
2 2
(4 3 ) (4 3 )
x y x y
xy
  
4(4 )(3 )
x y
xy
xy
48xy
48
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d a b c d
      
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
a b a b c d c d
      
4ab  4cd
)
(
4 ab cd

16
4  4
Paso 1: Aplicando en el numerador la segunda
equivalencia de Legendre.
Paso 2:
Simplificando el numerador
Obtenemos finalmente:
Ejercicio 9 – a Simplificar
Paso 1: Reordenando los términos de la expresión
Paso 2: Identificamos la estructura de la segunda
equivalencia de Legendre, luego reducimos así:
Paso 3: Factorizando el número 4:
Obtenemos finalmente:
Reemplazando
Ejercicio 19 Cuando ab+cd=4 calcular

8. Curso Introductorio
Ejercicios resueltos de la guía
Paso 1: Piden:
Paso 2:
Haciendo un cambio de variable
Ejercicio7– q Efectuar
     2
2
2
2
2
3
2
2
6
1
6 





 x
x
x
x
x
     
9
6
2
2
6
1
6 2
2
2
2
2







 x
x
x
x
x
x
a
x
x 
 6
2
Paso 3:
Reemplazando      
9
2
2
1
2
2




 a
a
a
Paso 4:
Efectuando: 18
2
)
4
4
(
1
2 2
2






 a
a
a
a
a
21
: 
Rpta

9. Curso Introductorio
PARTE II

10. Curso Introductorio
Diferencia
de cuadrados
Primer
término
Segundo
término
Cuadrado del primer término
Cuadrado del segundo
término
Binomio al
cubo
Suma y
diferencia de
cubos
Otros productos notables

11. Curso Introductorio
Trinomio
al cuadrado
Primer término Segundo término
Tercer término Doble de la suma de los
productos de dos en dos
Trinomio
al cubo
Equivalencias
de Lagrange
Suma de
cuadrados

12. Curso Introductorio
Ejercicios resueltos de la guía
2 2 4 4 8 8 16
5(3 2 )(3 2 )(3 2 ) 2
   
2 2 4
2 4 8 8 16
2
(3 2 )(3 2 )(3
3 2
( )
) 2
2    

16
8
8
4
4
4
4
2
)
2
3
)(
2
3
)(
2
3
( 



Paso 1: Tranformando el número 5 en (32-22).
Paso 2:
Aplicamos la diferencia de cuadrados
Aplicamos sucesivamente la diferencia de cuadrados
Ejercicio 11 – a Hallar el valor de
16
8
8
8
8
2
)
2
3
)(
2
3
( 


16
16
16
2
)
2
3
( 
 16
3

Luego de simplificar, obtenemos: 8
3

13. Curso Introductorio
Ejercicios resueltos de la guía
Paso 1:
Paso 2:
Ejercicio 17 Si x + y = 3 ; x . y = 1, hallar :
...( )
 


3 3
2 2
x y 4
x y
3 3 3 3 3
: ( ) 3 , tenemos: 3 ( ) 3
Desarrollando x y x y xy x y
     
3 3
: 18...(1)
Dedonde x y
 
2 2 2 2 2
: ( ) 3 , tenemos: 2 3
Desarrolando x y x y xy
    
2 2
: 7...(2)
Dedonde x y
 
14
Re (1) (2) ( ), : .
7
mplazando y en tenemos

 
18 4
7
Rpta: 2

14. Curso Introductorio
Ejercicios resueltos de la guía
Paso 1: Desarrollando
Paso 2: Multiplicando por el MCM(16;9)=144
Ejercicio 29 Al desarrollar la ecuación
se obtiene una expresión equivalente a:
De modo que tenga coeficientes enteros, hallar A, B, C, D y E
Arreglando:
Rpta: A=9 B=16 C=-36 D=-160 E=292
    1
3
5
4
2
2
2
2
2



 y
x
0
2
2




 E
Dy
Cx
By
Ax
1
9
25
10
16
4
4 2
2





 y
y
x
x
144
400
160
16
36
36
9 2
2





 y
y
x
x
0
292
160
36
16
9 2
2




 y
x
y
x

15. Curso Introductorio
Ejercicios resueltos de la guía
Finalmente, en (*), se obtiene N = 1.
Paso 1:
Paso 2:
Ejercicio 16
Hallar el valor de
Rpta: N=1
11
...( )
bc
N
ab ac

 

2 2
2 2 2
(1) , : ( ) 5
: 2( ) 25...(3)
Elevando al cuadrado tenemos a b c
a b c ab ac bc
  
     
Dedonde
2 2 2
: 5...(1) 3...(2)
Si a b c y a b c
     
Remplazando (2) en (3), tenemos: 3 2( ) 25
Re , : 11
: 11
ab ac bc
solviendo se obtiene ab ac bc
De donde ab ac bc
   
  
  

16. Curso Introductorio
Casos Especiales
Para x, y, z reales se cumple que:
2 2 2
)
a x y z xy xz yz x y z
       
3 3 3
) 3 0
c x y z xyz x y z ó x y z
        
2 2 2
) 0 0
b x y z x y z
      
2 2
) 2
d x y xy x y
   
) 2 0 0
x y
e x y x y
y x
       
2 2 3 3 4 2 2
2 3 4
1 1 1 1
) 2; 3 ; ( 2) 2
f x a x a x a a x a
x x x x
            