Guia ii periodo

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007
25
III. POLINOMIOS(continuación)
1.PRODUCTOS
NOTABLES
1.1. PRINCIPALES PRODUCTOS
NOTABLES
a) Binomio al Cuadrado
(a  b)2
= a2
 2ab+b2
Nota: (a-b) 2
=(b-a) 2
Corolario :"Identidades de Legendre"
(a+b)2
+ (a-b)2
=2(a2
+b2
)
(a+b)2
- (a-b)2
= 4ab
b) Diferencia de Cuadrados
(a+b)(a-b) =a2
-b2
c) Trinomio al Cuadrado
(a+b+c)2
= a2
+b2
+c2
+2ab+2bc+2ca
d) Binomio al Cubo
(a+b)3
= a3
+3a2
b+3ab2
+b3
= a3
+b3
+3ab(a+b)
(a-b)3
= a3
-3a2
b + 3ab2
- b3
= a
3
-b3
-3ab(a-b)
e) Suma y Diferencia de Cubos
(a+b)(a2
-ab+b2
) = a3
+b3
(a-b)(a2
+ab+b2
) = a3
-b3
f) Trinomio al Cubo
(a+b+c) 3
=
a3
+b3
+c3
+3a2
(b+c)+3b2
(c+a)+3c2
(a+b)+6abc
También:
(a + b + c) 3
=a3
+b3
+c3
+3(a + b)(b + c)(c +a)
(a+b+c) 3
= 3(a+b+c) (a2
+b2
+c2
) - 2(a3
+b3
+c3
)+6abc
(a+b+c) 3
= a3
+b3
+c3
+3(a+b+c) (ab+bc +ca) - 3abc
g) Producto de Binomios con un
Término Común
(x+a)(x+b) =x2
+(a+b)x+ab (Identidad de Stevin)
(x+a)(x+b)(x+c)=x3
+(a+b+c)x2
+(ab+bc+ca)x+abc
PROBLEMAS RESUELTOS
- Resuelve utilizando productos notables :
1) (x + 5)2
Solución :
x2
+ 2( x )( 5 ) + 52
= x2
+ 10x + 25
2) (x – 3)2
Solución :
x2
– 2(x) (3) + 32
= x2
– 6x + 9
3) (x+7) (x-7)
Solución :
x2
– 72
= x2
– 49
4( (2x + 5) (2x – 5)
Solución :
(2x)2
– 52
= 4x2
– 25
5) (x + 8) (x+10) =
Solución :
x2
+ (8+10) x + (8) (10) = x2
+ 18x + 80
6) (x – 3) (x + 9) =
Solución :
x2
+ (-3+9) x + (-3)(9)
x2
+ 6x – 27
7) Si a + b = 5 ; ab = 4
Calcula : a2
+ b2
:
Solución :
(a + b)2
= a2
+ b2
+ 2ab
52
= a2
+ b2
+ 2(4)
25 – 8 = a2
+ b2
17 = a2
+ b2
8) k = (-11 – y)2
Solución :
k = (-11)2 + 2(-11)(-y) + (y)2
k = 121 + 22y + y2
PROBLEMAS PROPUESTOS
I. Resuelve los siguientes productos
notables :
a) BINOMIO AL CUADRADO:
1. (a + 7)2
: ............................................
2. (m + 5)2
: ...........................................
3. (2x+2)2
: ...........................................
4. (m-9)2
: ...........................................
5. (x - 6)2
: ...........................................
b) IDENTIDADES DE LEGENDRE:
6. (x + 4)2
+ (x -4)2
: .......................................
7. (a + 5)2
+ (a - 5)2
: ......................................
8. (a +1)2
– (a -1)2
: .....................................
c) DIFERENCIA DE CUADRADOS:
9. (y + 6) (y – 6) : ..................................
10. (a + 1) (a – 1) : ..................................
11. (m – 4)(m + 4) : ..................................
12. (2x + 3) (2x – 3) : .................………......
13. (3x – 5)(3x + 5) : .............……….......
d) BINOMIO AL CUBO:
14. (x + 5)3
: .......................………..….......
15. (x – 3)3
: ..............................................
16. (y – 2)3
: ..............................................
17. (m + 2)3
: ..............................................
d) BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN
18. (x + 6)(x+5) : ............................................
19. (x-3)(x+7) : ...............................................
20. (m + 5)(m-8) : ...........................................
21. (x + 2)(x + 5) : …………………………….
22. (a – 2)(a - 4) : ………………………………
a2
+ 14a + 49
m 2
+ 10m + 25
4x2
+ 8x+ 4
m 2
- 18m + 81
x2
- 12x+ 36
2(x2
+16)
2(a2
+25)
4a
y2
-36
a2
-1
m2
-16
4x2
-9
9x2
-25
x3
+ 15x2
+ 75x+ 125
x3
-9x2
+ 27x-27
y3
-6y2
+ 12y-8
m3
+ 6m2
+ 12m + 8
x2
+ 11x+ 30
x2
+ 4x- 21
m 2
- 3m - 40
x2
+ 7x+ 10
a2
- 6a + 8

26
°[ D ]  °[ d ]
°[ q ] = °[ D ] - °[ d ]
° [ R ]Mínimo = 0
° [ R ]Máximo = °[ d ] - 1
II. Desarrolla los siguientes Productos
Notables :
1) ( 7 -2) ( 7 +2) =........................................
2) )
7
10
)(
7
10
( 
 = ................................
3) (7x+2)(7x-2) =...............................................
4) )
5
3
)(
3
5
( 
 =...........................................
5) (y + 4)2
=........................................................
6) (2x3
+ 1)2
=.....................................................
7) (2y - 3)2
=.......................................................
8) (4m + 6)2
= ....................................................
9) (x + 5 ) (x + 7) = ...........................................
10)(x – 3) (x + 4) =.............................................
II. Subraya la alternativa correcta :
1) Simplifica :
3( )
6
2
)(
2
6
(
5
)
2
3
)(
2
3
( 




a) 5 b) 12 c) -17
d) –20 e) -12
2) Calcula la diferencia entre :
2 )
1
2
)(
1
2
(
3
)
1
3
)(
1
3
( 



 y
3 )
1
2
)(
1
2
(
2
)
1
3
)(
1
3
( 




a) –1 b) 2 c) -5
d) –6 e) -7
3) Efectúa :
(t + 2)(t2
- 2t + 4) - (t - 2) (t2
+ 2 t + 4)
a) 8 b) 10 c) 16
d) 20 e) 24
4) Efectúa :
(x + 1)3
+ (x – 1)3
– 2x3
a) 5 b) 6X c) 2X
d) 4X e) N.A.
5) Efectúa :
(2x-1)(2x+1)(4x2
+1)(16x4
+1)+1-256 x 8
a) 5 b) 3 c) 1
d) 0 e) -1
6) Si : a + b = 5
ab = 2
Calcula : a2
+ b2
a) 21 b) 17 c) 5 17
d) 17 e) 25
7) Sabiendo que : x + y = 8; xy = 4
Halla el valor de : P = x2
+ y2
a) 3 2 b) 2 2 c) 52 d) 4 3 e) 56
8) Halla el equivalente de :
A = (a-1)(a+1)(a2
+1)(a4
+1)+1
a) 1 b) a c) a8
d) a4
e) -1
9) Efectúa :
(x + 1)(x + 2) - (x + 3)2
+ (x - 3)2
- (x - 4)(x - 5)
a) –14 b) –16 c) –18
d) –20 e) -22
10)Reduce :
(x + 3)2 - (x + 2)2 + (x + 4)2 - (x + 5)2
a) –4 b) –3 c) –2
d) –1 e) 0
11)Efectúa :
(5x + 4)(4x + 5) – 20 (x + 1)2
a) –3x b) –x c) 0 d) x e) 3x
CLAVES DE RESPUESTAS
1) c 2) a 3) c
4) b 5) d 6) a
7) e 8) c 9) c
10)a 11)d
2.DIVISIÓN DE
POLINOMIOS :
2.1. DEFINICIÓN :
Es la operación en la cual dadas dos
expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor, consiste en obtener
otras dos llamadas cociente y resto,
cumpliéndose la siguiente relación.
R = 0  D. Exacta
D = qd + R
R  0  D. Inexacta
D = Dividendo
d = Divisor
q = Cociente
R = Residuo o resto
2.2. PROPIEDADES DEL GRADO :
1) El grado del dividendo debe ser mayor o
igual que el grado del divisor.
2) El grado del cociente es igual al grado
del dividendo menos el grado del
divisor.
3) El grado del residuo varía desde cero
(0) hasta un grado menos que el grado
del divisor.
3
3
49x2
– 4
-4
y2
+ 8x + 16
4x6
+ 4x3
+ 1
4y2
– 12y + 9
16m2
+ 48m + 36
x2
+ 12x + 35
x2
+ x - 12

27
2.3. CASOS :
a) MONOMIO ENTRE MONOMIO :
3
2
4
6
3
12
y
x
y
x
= 4x4
y
b) POLINOMIO ENTRE MONOMIO :
2
2
5
3
8
4
5
6
2
12
16
8
y
x
y
x
y
x
y
x 

= 4x4
y3
– 8x2
y6
+ 6xy3
c) POLINOMIO ENTRE POLINOMIO :
*CRITERIO FUNDAMENTAL.- Los
polinomios dividendo y divisor deben
estar completos y ordenados
descendentemente respecto a la primera
variable.
2.4. MÉTODOS :
 Método Normal (clásico).
 Método de Coeficientes separados.
 Método de Horner.
 Método de Ruffini.
a) MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER :
Pasos a seguir :
1° Coeficiente del dividendo ordenado
decrecientemente en una variable,
completo o completado.
2° Coeficiente del divisor ordenado
decrecientemente en una variable,
completo o completado, con signo
contrario, salvo el primero.
3° Coeficiente del cociente que se obtiene
de dividir la suma de los elementos de
cada columna entre el primer coeficiente
del divisor. Cada coeficiente del cociente
se multiplica por los demás coeficientes
del divisor para colocar dichos resultados
a partir de la siguiente columna en forma
horizontal.
4° Coeficiente del residuo que se obtiene
de sumar las columnas finales una vez
obtenidos todos los coeficientes del
cociente.
ESQUEMA GENERAL :
OBSERVACIÓN :
La línea divisora se colocará separando
tantos términos de la parte final del
dividendo como grado del divisor.
b) MÉTODO DE PAOLO RUFFINI:
Se utiliza cuando el divisor es de primer
grado.
Pasos a seguir :
1° Los coeficientes del dividendo deben
estar ordenados decrecientemente,
completos con respecto a una variable.
2° El valor que se obtiene para la variable
cuando el divisor se iguala a cero.
3° Los coeficientes del cociente que se
obtienen de sumar cada columna, luego
que el coeficiente anterior se ha
multiplicado por 2 y colocado en la
siguiente columna.
4° Resto de la división que se obtiene de
sumar la última columna.
ESQUEMA GENERAL :
OBSERVACIÓN:
Si el coeficiente principal del divisor es
diferente de la unidad, el cociente
obtenido se deberá dividir entre este
valor.
3.1. TEOREMA DEL RESTO:
Se utiliza para obtener el resto de una
división. Consiste en igualar a cero al
divisor y despejar la mayor potencia de la
variable, para que sea reemplazada en el
dividendo.
OBSERVACIÓN:
Después de realizar el reemplazo, debe
comprobarse que el grado del polinomio
obtenido sea menor que el grado del
divisor.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Divide:
256y9
z15
 16y9
Solución:
256  16 y9 -9
z15
16z15
2).- Efectúa :
   
10
18
2
2
5 x
x 

Solución :
8
10
18
x
5
x
x
2
2
5



3).- 7
4
8
9
3
15
27
5 y
x
y
x 
)
(
Solución:
y
x
y
x
y
x 5
7
4
8
9
3
15
3
3
5
3
15
27
5 .

y
x
x y 5
5
3
15
3
15

4).- Divide:
(5x7
– 10x3
+ 15x2
)  (-5x2
)
Solución:
2
2
2
3
2
7
5
15
5
10
5
5
x
x
x
x
x
x






-x5
+ 2x – 3
5).- Divide:
4
3
11
10
15
28
10
7
9
63
36
27
b
a
b
a
b
a
b
a 

Solución:
4
3
11
10
4
3
15
28
4
3
10
7
9
63
9
36
9
27
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a


3a4
b6
+ 4a25
b11
– 7a7
b7
1
3
2
4
LÍNEA DIVISORA
3 4
2
1

28
6).- Divide:
2
2
4
x
2
1
x
3
7
x
4
x
6
x
8






Solución :
Ordenamos y completamos :
1
x
3
x
2
7
x
4
x
6
x
0
x
8
2
2
3
4






Método Normal :
8x4 + 0x3 - 6x2 + 4x + 7 2x2 – 3x + 1
-8x4
+ 12x3
- 4x2
4x2
+ 6x + 4
12x3
- 10x2
+ 4x
-12x3 + 18x2 - 6x
8x2
- 2x + 7
-8x2
+ 12x - 4
10x + 3
R(x)
Observaciones :
Q (x) = 4x2
+ 6x + 4
R(x) = 10x + 3
 El término cuadrático del cociente es : 4x2
 El término lineal del cocientes es : 6x
 El término independiente del cociente es: 4
 El término lineal de R(x) es : 10x
 El término independiente de R(x) es : 3
 El coeficiente del término cuadrático de
Q(x) es : 4
 El coeficiente del término lineal de Q(x) es : 6
 El coeficiente del término lineal de R(x)
es: 10
 La suma de los coeficientes de Q(x) es :
4 + 6 + 4 = 14
 La suma de los coeficientes de R(x) es:
10 + 3 = 13
Método Coeficientes Separados:
8 0 -6 4 7 2 -3 1
-8 12 -4 4 6 4
12 -10 4
-12 18 -6
8 -2 7
-8 12 -4
10 3
Q(y) = 4x2
+ 6x + 4
R(x) = 10x + 3
7).- Efectúa la siguiente división :
1
2
3
4
3
2
6
2
3
2
3
5
6








x
x
x
x
x
x
x
x
Solución :
Ordenamos y completamos :
1
2
3
4
3
2
0
6
2
3
2
3
4
5
6









x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 6 1 0 -2 3 -1 4
1
3
2
-4 -2
-2
3
1

-2 -1
-1
7
1


2 1
3
7

3
14
3
7
2 1 -1 -
3
7

3
5
3
14
3
19
Q(x) = 2x3
+ x2
– x -
3
7
R(x) =
3
19
3
14
3
5 2

 x
x
OBSERVACIONES :
- El término cúbico del cociente es : 2x3
- El término cuadrático del cociente es : x2
- El término lineal del cociente es : -x
- El término independiente del cociente es:-
7/3
- El coeficiente del término cúbico del
cociente es : 2
- El coeficiente del término cuadrático del
cociente es : 1
- El coeficiente del término lineal del cociente
es : -1
- La suma de los coeficientes del cociente es:
2 + 1 + -1 +
3
7
 =
3
1

De forma similar se obtiene para el residuo.
8).- Efectúa :
(8x4
- 6x2
+ 4x + 7)  (-3x + 1 + 2x2
)
Solución :
(8x4
– 0x3
– 6x2
+ 4x + 7)  (2x2
– 3x + 1)
2 8 0 -6 4 7
3 12 -4
-1 18 -6
12 -4
4 6 4 10 3
Q(x) = 4x2
+ 6x + 4
R(x) = 10x + 3
Completa :
- El término cuadrático del cociente es : 4x2
- El término lineal del cociente es : 6x
- El término independiente del cociente es: 4
- El termino lineal del residuo es : 10x
- El termino independiente del residuo es : 3
- Coeficiente del término cuadrático del
cociente es : 4
- Coeficiente del término lineal del cociente
es : 6
- Coeficiente del término lineal del residuo
es:10
- La suma de los coeficientes del cociente es:
4 + 6 + 4 = 14
- La suma de los coeficientes del residuo es:
10 + 3 = 13
9).- Divide:
2
2
8
4
2
5
2
2
2
3
4






x
x
x
x
x
x
Solución :
2 2 5 - 2 4 8
-1 -1 2
2 - 2 4
1 -2
1 2 -1 9 6
Q(x) = X2
+ 2X – 1
R(X) = 9X + 6
10).- Calcula el resto en:
2
2
7
3 8
2
7







x
x
x
x
x )
(
)
(
Solución :
x + 2 = 0
x = -2
Reemplazamos :
(x + 3)7
+ (x2
– x - 7)8
– x - 2
(-2+3)7
+ [(-2)2
– (-2) – 7]8
– (-2)-2
17
+ (-1)8
+ 2 – 2
Rpta : 2
11).- Al efectuar :
6
x
5
x
4
12
x
25
x
28
x
13
x
4
2
2
3
4






Indica su residuo:
Q(x)

29
Solución :
Por Horner:
4 4 13 28 25 12
-5 –5 –6
-6 –10 –12
-15 –18
1 2 3 -2 -6
 Residuo = -2x - 6
PROBLEMAS PROPUESTOS
I. Efectúa : (1 Pt. c/u)
1) (-16x4) ÷ (2x) = ............................................
2) (-8y10
) ÷ (-4y) =............................................
3) (40z10
) ÷ (5z7
) =...........................................
4) (15x7
y8
) ÷ (-3xy3
) = .....................................
5) (24m10
n20
) ÷ (-8m9
n11
) = ............................
6) (-42a8
b5
c7
) ÷ (-7abc6
) =.............................
7) (-144x25
y32
z) ÷ (6x13
y12
z) =........................
8) (1/7x8y8z8) ÷ (1/2x2y3z4) =..........................
9) (48m9
y7
) ÷ (16m7
y4
) = ...............................
10) (-18x8
+ 21x7
- 9x5
) ÷ (-3x2
)
........................................................................
11) (-100a10
+ 80a7
) ÷ (5a5
)
........................................................................
12) (20x4 0
y80
z100
-60x70
y3 0
+16x15
y1 8
)÷(-4x10
y1 8
)
........................................................................
13) (16a7 b5 c8 + 18a6 b10 c9 - 14a9 b1 2 ) ÷ (-2a4 b5 )
........................................................................
14) (14x4
y4
z4
- 56x6
y6
z6
- 78x8
y8
z8
)÷(-2x2
y2
z2
)
........................................................................
15) (3x + 6 - 3x3
+ 6x5
) ÷ (x + 1)
........................................................................
16) (5 + 2x4
+ 3x6
- 3x3
) ÷ (x - 2)
........................................................................
17) (x6
+ 1 + 3x8
- 5x2
) ÷ (x2
+ 2)
........................................................................
18) (6x3
- 4x + 6 - x6
- 2x5
- 7x2
) ÷ (2 + x4
- 3x2
)
........................................................................
19) (25x2
+7-12x-20x4
+6x5
-13x3
) ÷ (1+3x2
-x)
........................................................................
II. Resuelve :
1).- Halla el residuo en:
1
x
2
x
2
x
7
x
6
x
4
x
2
2
3
4






a) 1+11x b) 4x-1 c) 1-10x
d) 10x-2 e) 1-11x
2).- Divide :
1
x
3
x
3
x
1
x
5
x
10
x
10
x
5
x
2
3
2
3
4
5








Indica el cociente:
a) x2
-x-1 b) x2
+2x+1
c) x2+1 d) x2-2x-1 e) x2+2x-1
3).- Divide :
x
1
x
x
2
3
x
3
x
x
2
3
6
4
5






Indica el cociente:
a) x3
-3x-1 b) 3x2
+4x-1
c) 3x3
+2x2
+4x-1 d) 3x2
+2x-1
e) x3
+2x+1
4).- Indica el residuo:
2
x
12
x
2
x
4 3



a) 14 b) –16 c) -8
d) 6 e) 4
5).- Indica el resto en :
3
x
2
x
8
x
16
x
5
3
4




a) –2 b) –1 c) 10
d) 1 e) 4
1
1
3
2 5
7
8
12






x
x
x
x
x
x
a) 5 b) -1 c) x+2 d) x+1 e) x – 3
1
1
2
4 3
7
10
12
15







x
x
x
x
x
x
x
a) 2 b) 5 c) 12 d) 6 e) 23
CLAVES DE RESPUESTAS :
I.
1) –8x3
2) 2y9
3) 8z3
4) –5x6
y5
5) 3mn9
6) 6a7
b4
c
7) -24x12
y20
8) 2/7x6
y5
z4
9) 3m2
y3
10) 6x6
-7x5
+3x3
11) -20a5
+16a2
12) -5x30
y62
z100
+15x60
y12
-4x5
13) -8a3c8-9a2b5c9+7a5b7
14) -7x2
y2
z2
+28x4
y4
z4
+39x6
y6
z6
15) Q(x) = 6x4
-6x3
+3x2
-3x+6
16) Q(x) = 3x5
+6x4
+14x3
+25x2
+50x+100
R(x)= 205
17) Q(x) = 3x6
-5x4
+10x2
-2x-25
R(x) = 4x+50
18) Q(x) = -x2
-2x-3 R(x) = -14x2
+12
19) Q(x) = 2x3
-6x2
-7x+8 R(x) = 3x-1
II.
1) a 2) b 3) c
4) b 5) d 6) b
7) b
2y9
8z3
-5x6
y5
3mn9
-24x12
y20
2/7x6
y5
z4
3m2
y3
6x6
-7x5
+3x3
-20a5
+16a2
-5x30
y62
z100
+15x60
y12
-4x5
-8a3
c8
-9a2
b5
c9
+7a5
b7
-7x2
y2
z2
+28x4
y4
z4
+39x6
y6
z6
Q(x)=6x4
-6x3
+3x2
-3x+6
Q(x)=3x5
+6x4
+14x3
+25x2
+50x+100 R(x) = 205
Q(x)=3x6
-5x4
+10x2
-2x-25 R(x) = 4x+50
Q(x)=-x2
-2x-3 R(x) = -14x2
+12
Q(x)=2x3
-6x2
-7x+8 R(x) = 3x-1
-8x3
6a7
b4
c

30
IV. FACTORIZACIÓN.
1. FACTOR PRIMO :
Es aquel factor no constante que tiene
como único divisor a otra expresión idéntica
a ella.
Ejemplos :
x + 1  factor lineal
x2
+ 1  factor cuadrático
2. MÉTODOS :
2.1 Factor común y/o agrupación de
términos.
2.2 Factorización por identidades.
a) Trinomio cuadrado perfecto :
A2
 2AB + B2
= (A  B)2
b) Diferencia de cuadrados :
A2
– B2
=(A + B) (A - B)
c) Suma o diferencia de cubos :
A3
 B3
=(A  B)(A2
+ AB + B2
)
2.3 Método del aspa simple :
Ax2m
+ Bxm
yn
+ Cy2n
a) Aspa doble :
Ax2
+Bxy+Cy2
+ Dx + Ey + F
b) Aspa doble especial :
Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx + E
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Factoriza:
x5
+ 3x4
+ 3x3
+ x2
Solución:
x2
(x3
+ 3x2
+ 3x + 1)
x2
(x + 1)3
2).- Factoriza:
a2
b - b
Solución:
b(a2 - 1)
b(a + 1)(a - 1)
3).- Factoriza:
7ay2
-5bx3
+7by2
-5ax3
Solución:
7ay2
+ 7by2
- 5bx3
- 5ax3
7y2
(a + b) - 5x3
(b + a)
(a + b)(7y2
- 5x3
)
4).- Factoriza:
9 - 4a2
b4
c6
Solución:
Diferencia de cuadrados:
(3 + 2ab2
c3
)(3 - 2ab2
c3
)
5).- Factoriza:
9t2
+ c2
- 6tc
Solución:
9t2
- 6tc + c2
3t –c
3t –c
Luego:
(3t - c) (3t - c)
(3t - c)2
6).- Factoriza:
8t + t2
+ 15
Solución:
Aspa simple:
t2
+ 8t + 15
t 5
t 3
(t+5) (t+3)
7).- Factoriza :
4x5
y + 10x4
y – x3
y3
+ x3
y2
+ 6x3
y
Solución :
Factor común :
x3y(4x2 + 10x – y2 + y + 6)
aspa doble
x3
y(2x + y + 2) (2x – y + 3)
8).- Factoriza :
x6
– y6
Solución :
 Diferencia de cuadrados :
(x3
+ y3
) (x3
- y3
)
 Por identidades :
(x+y) (x2
– xy + y2
) (x-y) (x2
+ xy + y2
)
(x+y) (x-y) (x2 – xy + y2) (x2 + xy + y2)
9).- Resuelve:
x2
+12x +36 = ( x + 6 )( x + 6) = ( x + 6 )2
10.- Factoriza
2X2
– XY – 3X – 3Y2
+7Y – 2
Solución:
Ordenamos:
2X2
– XY – 3Y2
– 3X +7Y – 2
2X - 3Y 1
X Y - 2
PROBLEMAS PROPUESTOS:
I. Factoriza : (2 Pts. c/u)
FACTOR COMÚN :
1) ax – bx = …………………………………..
2) my – mz = …………………………………
3) x2
a + x2
b = .............................……………
4) a3
k – a2
y = ..............................................
5) x2
y -zy = ................................................
6) 2ab – 4ab4
– 6a4
b4
= ……………………..
7) 5a4
b4
+ 25a8
b3
- 30a9
b4
= .......................
8) (x – y) a + (x-y) b = ..................................
9) (a + 2b) x4
+ (2b +a) y3
= ........................
10) (x+y+z+w) a5
– (x+y+z+w) (b+c)
..................................................................
x(a-b)
m(y-z)
x2
(a+b)
a2(ak-y)
y(x2
-z)
2ab(1-2b3
-3a3
b3
)
5a4
b3
(b+5a4
-6a5
b)
(x-y)(a+b)
(a+2b)(x4
+y3
)
(x+y+z+a)(a5
-b-c)

31
AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS:
11)2m2
n + 2m2
+ n+1 = ………………………
12)ax + bx – cx + ay + by – cy = …………….
13)bm2
+ bn2
+ am2
+ an2
= ………………….
14)x2
m2
+ x2
t2
+ y2
m2
+ y2
t2
= ........................
15)ax – ay – cx + cy + bx – by = …………….
DIFERENCIA DE CUADRADOS :
16)1 – x2
= ..................................................
17)16 – y2
= ................................................
18)25x2
– 9y2
= ...........................................
19)(m-1)2
– n2
= ..........................................
20)(2a - 1)2 – 25 = ......................................
21) 9 – 4a2
b4
c6
= .........................................
22) 1 – (xyzw)2
= .........................................
23) (a+b-c)2
– 100 = ....................................
POR ASPA SIMPLE :
24) x2
+ 9x + 8 = ...........................................
25) m2
– 8m + 12 = .......................................
26) 21 + x2
– 10x = .......................................
27) c2
– 6c – 27 = ..........................................
28) 2x – 3 + x2
= ……………………………….
29) 14x2
+ 29x – 15 = ……………………….
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO :
30) x2
+ 10x + 25 =............................
31) x2
– 12x + 36 =.........................................
32) 4x2
– 4x + 1 =...........................................
33) 49a2
– 28a + 4 = ......................................
34) 48m3
+ 64m6
+ 9 = ..................................
35) 4x6
+ 9y4
– 12x3
y2
= .............................
36) 144 + a24
– 24a12
= ..................................
CLAVES DE RESPUESTAS
1) x(a-b) 2) m(y-z)
3) x2
(a+b) 4) a2
(ak-y)
5) y(x2
-z) 6) 2ab(1-2b3
-3a3
b3
)
7) 5a4
b3
(b+5a4
-6a5
b) 8) (x-y)(a+b)
9) (a+2b)(x4
+y3
) 10)(x+y+z+a)(a5
-b-c)
11) (n+1)(2m2
+1) 12) (x+y)(a+b-c)
13) (m2
+n2
)(a+b) 14) (m2
+t2
)(x2
+y2
)
15) (x-y)(a+b-c) 16) (1+x)( 1-x)
17) (4-y)(4+y) 18) (5x-3y)(5x+3y)
19) (m-1+n)(m-1-n 20) (2a-1+5)(2a-1-5)
21) (3+2ab2
c3
)(3-2ab2
c3
)
22) (1+xyzw)(1-xyzw)
23) (a+b-c+10)(a+b-c-10)
24) (x+8)(x+1) 25) (m-6)(m-2)
26) (x-7)(x-3) 27) (c-9)(c+3)
28) (x-1)(x+3) 29) (2x+5)(7x-3)
30) (x+5)2
31) (x-6)2
32) (2x-1)2
33) (7a-2)2
34) (8m3
+3)2
35) (2x3
-3y2
)2
36) (12-a12
)2
(n+1)(2m2
+1)
(x+y)(a+b-c)
(m2
+n2
)(a+b)
(m2
+t2
)(x2
+y2
)
(x-y)(a+b-c)
(1+x)( 1-x)
(4-y)(4+y)
(5x-3y)(5x+3y)
(m-1+n)(m-1-n)
(2a-1+5)(2a-1-5)
(3+2ab2
c3
)(3-2ab2
c3
)
(1+xyzw)(1-xyzw)
(a+b-c+10)(a+b-c-10)
(x+8)(x+1)
(m-6)(m-2)
(x-7)(x-3)
(c-9)(c+3)
(x-1)(x+3)
(2x+5)(7x-3)
(x+5)2
(x-6)2
(2x-1)2
(7a-2)2
(8m3
+3)2
(2x3
-3y2
)2
(12-a12
)2

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