Este documento presenta un módulo sobre álgebra lineal. Introduce los conceptos básicos de vectores en R2 y R3, incluyendo nociones de distancia, segmentos dirigidos, definición algebraica de vectores y operaciones con vectores. También cubre matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. El objetivo general es que los estudiantes comprendan los fundamentos teóricos y aplicativos de vectores, matrices y determinantes y puedan contextualizarlos en sus campos de estudio.
Este documento presenta el módulo de Fundamentos de Matemáticas para el acceso a ciclos formativos de Grado Superior. El módulo se divide en 4 bloques: Aritmética y Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Estadística y Probabilidad. Cada bloque incluye los contenidos y los indicadores de conocimiento correspondientes. El objetivo del módulo es proporcionar las herramientas matemáticas básicas necesarias para los estudios profesionales.
Este documento presenta el sílabo de la asignatura Matemática I para el primer ciclo de la carrera de Ingeniería Comercial en la Universidad Católica de Cuenca. Incluye información sobre el profesor, objetivos, contenidos, metodología y evaluación. El objetivo general del curso es modelar matemáticamente los aspectos económicos, administrativos y contables. Se utilizarán estrategias como ejemplos prácticos y software de graficación para facilitar el aprendizaje de conceptos como ecuaciones, funciones
Este documento presenta la introducción y contenidos de un módulo de álgebra para estudiantes de primer nivel de la Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario de la Universidad Politécnica Estatal del Carchi. Incluye la misión y visión de la universidad y la escuela, los objetivos del módulo, y describe brevemente los temas que serán cubiertos como conjuntos de números, exponentes, ecuaciones algebraicas y lineales.
En 3 oraciones o menos:
El documento presenta un instrumento de registro para una estrategia centrada en el aprendizaje de geometría y trigonometría. Incluye las intenciones formativas, actividades de aprendizaje, y competencias a desarrollar, abarcando conceptos como figuras geométricas, ángulos, y sistemas de medición. El tema integrador es el deporte y relaciona la asignatura con otras como álgebra y física. El instrumento guía las actividades a realizar en un periodo de 20 horas para distint
La realización de este “Dossier de Cálculo I y II” pretende servir como soporte o apoyo a la metodología del Plan de Estudios de la Carrera de Química Farmacéutica en búsqueda de nuevas alternativas que mejoren el método habitual de enseñanza utilizado por los docentes de matemáticas, relacionando más la asignatura con el perfil que tiene la carrera y hacer esa relación matemática − química − farmacia, haciendo uso de las tecnologías, para así lograr clases más atractivas, prácticas y experimentales.
Este material didáctico vendrá a facilitar al estudiante la comprensión de los diferentes contenidos impartidos en las clases de cálculo, auxiliándose de clases experimentales y el uso de recursos tecnológicos, que facilitan los cálculos numéricos y algebraicos. El dossier sigue paso a paso el programa analítico de la clase, presentando teoría básica elemental por tema, acompañada de una serie de ejemplos explicativos que contienen tanto modelos sencillos como los que involucren un mayor análisis, de igual forma se presentan variedad de ejercicios para ser desarrollados por los educandos durante clases prácticas y laboratorios.
Un vector es una cantidad orientada que tiene magnitud y dirección. Tiene elementos como módulo (longitud), dirección (recta que lo contiene), sentido (orientación) y punto de aplicación (origen). R2 es el conjunto de vectores (x1, x2) donde x1 y x2 son números reales. Dos vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y sentido, como dos segmentos de recta dirigidos PQ y DF. La magnitud de un vector es la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección es la dirección de sus representaciones.
1) Los estados financieros son informes que utilizan las instituciones para informar su situación económica y financiera en un periodo determinado. 2) Están elaborados de acuerdo a principios contables y son útiles para la administración, accionistas y acreedores. 3) Incluyen el balance general, estado de resultados, estado de flujos de efectivo y notas a los estados financieros.
Esta lección introduce el concepto de distancia entre dos puntos en el plano y en el espacio. Se explica que la distancia entre dos puntos en el plano puede calcularse usando el Teorema de Pitágoras. Luego, se extiende este concepto al espacio tridimensional donde la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de sus coordenadas. Finalmente, se introduce formalmente la noción de vector posición para representar la distancia y dirección entre dos puntos.
Este documento presenta el módulo de Fundamentos de Matemáticas para el acceso a ciclos formativos de Grado Superior. El módulo se divide en 4 bloques: Aritmética y Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Estadística y Probabilidad. Cada bloque incluye los contenidos y los indicadores de conocimiento correspondientes. El objetivo del módulo es proporcionar las herramientas matemáticas básicas necesarias para los estudios profesionales.
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Este documento presenta la introducción y contenidos de un módulo de álgebra para estudiantes de primer nivel de la Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario de la Universidad Politécnica Estatal del Carchi. Incluye la misión y visión de la universidad y la escuela, los objetivos del módulo, y describe brevemente los temas que serán cubiertos como conjuntos de números, exponentes, ecuaciones algebraicas y lineales.
En 3 oraciones o menos:
El documento presenta un instrumento de registro para una estrategia centrada en el aprendizaje de geometría y trigonometría. Incluye las intenciones formativas, actividades de aprendizaje, y competencias a desarrollar, abarcando conceptos como figuras geométricas, ángulos, y sistemas de medición. El tema integrador es el deporte y relaciona la asignatura con otras como álgebra y física. El instrumento guía las actividades a realizar en un periodo de 20 horas para distint
La realización de este “Dossier de Cálculo I y II” pretende servir como soporte o apoyo a la metodología del Plan de Estudios de la Carrera de Química Farmacéutica en búsqueda de nuevas alternativas que mejoren el método habitual de enseñanza utilizado por los docentes de matemáticas, relacionando más la asignatura con el perfil que tiene la carrera y hacer esa relación matemática − química − farmacia, haciendo uso de las tecnologías, para así lograr clases más atractivas, prácticas y experimentales.
Este material didáctico vendrá a facilitar al estudiante la comprensión de los diferentes contenidos impartidos en las clases de cálculo, auxiliándose de clases experimentales y el uso de recursos tecnológicos, que facilitan los cálculos numéricos y algebraicos. El dossier sigue paso a paso el programa analítico de la clase, presentando teoría básica elemental por tema, acompañada de una serie de ejemplos explicativos que contienen tanto modelos sencillos como los que involucren un mayor análisis, de igual forma se presentan variedad de ejercicios para ser desarrollados por los educandos durante clases prácticas y laboratorios.
Un vector es una cantidad orientada que tiene magnitud y dirección. Tiene elementos como módulo (longitud), dirección (recta que lo contiene), sentido (orientación) y punto de aplicación (origen). R2 es el conjunto de vectores (x1, x2) donde x1 y x2 son números reales. Dos vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y sentido, como dos segmentos de recta dirigidos PQ y DF. La magnitud de un vector es la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección es la dirección de sus representaciones.
1) Los estados financieros son informes que utilizan las instituciones para informar su situación económica y financiera en un periodo determinado. 2) Están elaborados de acuerdo a principios contables y son útiles para la administración, accionistas y acreedores. 3) Incluyen el balance general, estado de resultados, estado de flujos de efectivo y notas a los estados financieros.
Esta lección introduce el concepto de distancia entre dos puntos en el plano y en el espacio. Se explica que la distancia entre dos puntos en el plano puede calcularse usando el Teorema de Pitágoras. Luego, se extiende este concepto al espacio tridimensional donde la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de sus coordenadas. Finalmente, se introduce formalmente la noción de vector posición para representar la distancia y dirección entre dos puntos.
El módulo se estructura básicamente en tres unidades didácticas. La primera contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones
Lineales, Rectas, Planos y la tercera Espacios Vectoriales.
Este documento presenta el syllabus de la asignatura de Álgebra para estudiantes de ingeniería en gas y petróleo. El syllabus describe los objetivos generales y el programa analítico de la asignatura, incluyendo seis temas principales y las actividades que los estudiantes realizarán como parte de un proyecto sobre la aplicación e importancia de las ciencias exactas. El documento también detalla los métodos de evaluación de los aprendizajes de los estudiantes.
Este documento presenta el plan de estudios de la asignatura Algebra I en el Instituto Universitario de Tecnología "Antonio José de Sucre". La asignatura se compone de tres unidades que cubren lógica proposicional, procesos de inferencia y teoría de conjuntos durante 15 semanas. La unidad I introduce conceptos como proposiciones, tablas de verdad y álgebra de proposiciones. La unidad II cubre procesos de inferencia como demostración condicional y cuantificadores. La unidad III examina conjuntos
Este documento presenta el contenido didáctico del curso 90178 - Sistemas Digitales Secuenciales de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia. El curso introduce conceptos básicos sobre almacenamiento y procesamiento de información digital mediante el estudio de registros, contadores, máquinas de estado y memorias. El contenido está dividido en dos unidades, la primera cubre unidades básicas de almacenamiento como latches y multivibradores, mientras que la segunda cubre flip-flops, aplicaciones y diseño de máquinas de estado. El
Este documento presenta los objetivos y contenidos de un curso de geometría descriptiva. El curso cubre los sistemas perspectiva caballera y cónico, incluyendo puntos, rectas, planos, intersecciones, paralelismo, perpendicularidad, distancias, abatimientos y ángulos. El objetivo es desarrollar la capacidad de los estudiantes para resolver problemas tridimensionales mediante representaciones gráficas bidimensionales usando AutoCAD. El documento incluye varios ejemplos de problemas para cada tema.
Este documento presenta el plan de estudios para la asignatura de Cálculo Vectorial de la carrera de Ingeniería Industrial en el Instituto Tecnológico de Tapachula. El documento describe los objetivos generales y específicos de la asignatura, las unidades temáticas, las actividades de aprendizaje y enseñanza, y los instrumentos de evaluación. La asignatura se divide en cinco unidades temáticas que cubren conceptos como vectores en el espacio, curvas planas, funciones vectoriales de una variable real, y funciones reales de vari
Este documento presenta el silabo de la asignatura de Matemática Básica para estudiantes de Ingeniería Civil. El curso cubre temas como lógica proposicional, teoría de conjuntos, inducción matemática, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, vectores en R2, R3 y Rn, y geometría analítica plana y del espacio a lo largo de 15 semanas. El objetivo general es que los estudiantes aprendan y apliquen los principios y leyes matemáticas elementales para anal
Este documento provee una guía de estudio para un examen de conocimientos y habilidades disciplinarias para la contratación temporal de profesores de asignatura interinos de Cibernética y Computación I y II. La guía incluye una parte teórica con 55 preguntas sobre diferentes temas de las asignaturas, y una parte práctica con 2 problemas que deben resolverse aplicando el ciclo completo de desarrollo de programas. El propósito del examen es evaluar los conocimientos y habilidades de los aspirantes para enseñar estas
Este documento presenta un módulo de matemáticas sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. El módulo está estructurado en tres unidades principales que cubren ecuaciones e inecuaciones, funciones, trigonometría y geometría analítica. La introducción destaca la importancia de las matemáticas y las diferentes áreas que cubre el curso, el cual busca desarrollar conocimientos sólidos en los estudiantes.
Este documento presenta un módulo de matemáticas sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. El módulo está estructurado en tres unidades, cada una con varios capítulos y lecciones. La primera unidad cubre ecuaciones y desigualdades. La segunda unidad trata temas de funciones, trigonometría y hipernometría. La tercera unidad abarca geometría analítica, sumatorias y productorias. El objetivo del curso es que los estudiantes adquieran conocimientos só
Este documento presenta un módulo de matemáticas sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. El módulo está estructurado en tres unidades, cada una con varios capítulos y lecciones. La primera unidad cubre ecuaciones y desigualdades. La segunda unidad trata temas de funciones, trigonometría y hipernometría. La tercera unidad abarca geometría analítica, sumatorias y productorias. El objetivo del curso es que los estudiantes adquieran conocimientos só
Este documento presenta un módulo de matemáticas sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. El módulo está estructurado en tres unidades, cada una con varios capítulos y lecciones. La primera unidad cubre ecuaciones y desigualdades. La segunda unidad trata temas de funciones, trigonometría y hipernometría. La tercera unidad abarca geometría analítica, sumatorias y productorias. El objetivo del curso es que los estudiantes adquieran conocimientos só
Este documento presenta el syllabus de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales impartida en la Universidad Técnica del Norte en Ecuador. El syllabus incluye información general sobre la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales, los objetivos y contenidos de la asignatura, la bibliografía recomendada y los criterios de evaluación. La asignatura busca que los estudiantes aprendan a aplicar los conceptos de ecuaciones diferenciales para modelar y resolver problemas relacionados a la ingeniería de sistemas computacionales.
ECUADOR
SYLLABUS DE ASIGNATURA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
Sistema Informático Integrado UTN
Telf: 2955884 - Fax: EXT - 7001
www.utn.edu.ec
D1001280625Usuario: Fecha de Emisión: Domingo , 28 de Abril del 2013
ECUACIONES DIFERENCIALES
Página 5 de 8
03.1.- Movimiento rectilíneo uniforme.
03.2.- Movimiento rectilíneo
Este documento presenta el syllabus de la asignatura de Cálculo con una Variable impartida en la Universidad Técnica del Norte. El syllabus incluye información general sobre la carrera de Ingeniería Textil, la asignatura, los objetivos, bibliografía, criterios de evaluación, temas a cubrir y su relación con los resultados de aprendizaje de la carrera.
Este documento presenta el syllabus de un curso de Fundamentos de Matemáticas que se ofrece a distancia. El curso dura 8 semanas y otorga 3 créditos. Cubre temas como sistemas de numeración, álgebra elemental, ecuaciones, funciones, geometría plana y geometría en el espacio. El propósito es fortalecer el pensamiento matemático de los estudiantes mediante el análisis de situaciones problemas. Se espera que los estudiantes desarrollen competencias para aplicar conceptos matemáticos bás
El componente de Análisis Estadístico y Probabilístico pretende desarrollar en el profesional en formación la capacidad de modelar probabilísticamente los problemas prácticos que aparecen en su área de especialización, utilizando como base una poderosa herramienta que es la teoría de las variables aleatorias y los procesos estocásticos.
Planificador de proyectos resistencias 24 02_2015leidysjcp
Este documento presenta un proyecto educativo sobre la resistencia eléctrica dirigido a estudiantes de grado 11 en tres áreas: electrónica, física y electricidad. El proyecto busca que los estudiantes comprendan el funcionamiento de la resistencia eléctrica, aprendan a medirla y resolver circuitos resistivos. Se detallan los contenidos, habilidades, estrategias y actividades a desarrollar, así como la evaluación formativa y sumativa del aprendizaje de los estudiantes.
Este documento presenta el sílabo de la asignatura de Matemáticas Básicas impartida en la Facultad de Ingeniería Electrónica e Informática de la Universidad Nacional Federico Villarreal. El curso se divide en 4 unidades que cubren temas como vectores, geometría analítica, sistemas de coordenadas y superficies. La asignatura busca desarrollar habilidades matemáticas y razonamiento lógico en los estudiantes para que puedan aplicar estos conceptos a problemas relacionados con su especialidad.
Instructivo ambientes virtuales de aprendizaje avatutoraamparo
Este documento provee instrucciones para estudiantes sobre cómo navegar y usar las diferentes secciones de un entorno de aprendizaje virtual. Explica que hay secciones para información inicial, material de estudio, aprendizaje colaborativo, práctica, evaluación y gestión de cursos. Proporciona detalles sobre los tipos de recursos disponibles en cada sección como foros, presentaciones, guías y rúbricas, y fechas límite en la agenda.
El módulo se estructura básicamente en tres unidades didácticas. La primera contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones
Lineales, Rectas, Planos y la tercera Espacios Vectoriales.
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Este documento presenta los objetivos y contenidos de un curso de geometría descriptiva. El curso cubre los sistemas perspectiva caballera y cónico, incluyendo puntos, rectas, planos, intersecciones, paralelismo, perpendicularidad, distancias, abatimientos y ángulos. El objetivo es desarrollar la capacidad de los estudiantes para resolver problemas tridimensionales mediante representaciones gráficas bidimensionales usando AutoCAD. El documento incluye varios ejemplos de problemas para cada tema.
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Este documento presenta el silabo de la asignatura de Matemática Básica para estudiantes de Ingeniería Civil. El curso cubre temas como lógica proposicional, teoría de conjuntos, inducción matemática, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, vectores en R2, R3 y Rn, y geometría analítica plana y del espacio a lo largo de 15 semanas. El objetivo general es que los estudiantes aprendan y apliquen los principios y leyes matemáticas elementales para anal
Este documento provee una guía de estudio para un examen de conocimientos y habilidades disciplinarias para la contratación temporal de profesores de asignatura interinos de Cibernética y Computación I y II. La guía incluye una parte teórica con 55 preguntas sobre diferentes temas de las asignaturas, y una parte práctica con 2 problemas que deben resolverse aplicando el ciclo completo de desarrollo de programas. El propósito del examen es evaluar los conocimientos y habilidades de los aspirantes para enseñar estas
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Este documento presenta un módulo de matemáticas sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. El módulo está estructurado en tres unidades, cada una con varios capítulos y lecciones. La primera unidad cubre ecuaciones y desigualdades. La segunda unidad trata temas de funciones, trigonometría y hipernometría. La tercera unidad abarca geometría analítica, sumatorias y productorias. El objetivo del curso es que los estudiantes adquieran conocimientos só
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Este documento presenta un módulo de matemáticas sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. El módulo está estructurado en tres unidades, cada una con varios capítulos y lecciones. La primera unidad cubre ecuaciones y desigualdades. La segunda unidad trata temas de funciones, trigonometría y hipernometría. La tercera unidad abarca geometría analítica, sumatorias y productorias. El objetivo del curso es que los estudiantes adquieran conocimientos só
Este documento presenta el syllabus de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales impartida en la Universidad Técnica del Norte en Ecuador. El syllabus incluye información general sobre la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales, los objetivos y contenidos de la asignatura, la bibliografía recomendada y los criterios de evaluación. La asignatura busca que los estudiantes aprendan a aplicar los conceptos de ecuaciones diferenciales para modelar y resolver problemas relacionados a la ingeniería de sistemas computacionales.
ECUADOR
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
Sistema Informático Integrado UTN
Telf: 2955884 - Fax: EXT - 7001
www.utn.edu.ec
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Página 5 de 8
03.1.- Movimiento rectilíneo uniforme.
03.2.- Movimiento rectilíneo
Este documento presenta el syllabus de la asignatura de Cálculo con una Variable impartida en la Universidad Técnica del Norte. El syllabus incluye información general sobre la carrera de Ingeniería Textil, la asignatura, los objetivos, bibliografía, criterios de evaluación, temas a cubrir y su relación con los resultados de aprendizaje de la carrera.
Este documento presenta el syllabus de un curso de Fundamentos de Matemáticas que se ofrece a distancia. El curso dura 8 semanas y otorga 3 créditos. Cubre temas como sistemas de numeración, álgebra elemental, ecuaciones, funciones, geometría plana y geometría en el espacio. El propósito es fortalecer el pensamiento matemático de los estudiantes mediante el análisis de situaciones problemas. Se espera que los estudiantes desarrollen competencias para aplicar conceptos matemáticos bás
El componente de Análisis Estadístico y Probabilístico pretende desarrollar en el profesional en formación la capacidad de modelar probabilísticamente los problemas prácticos que aparecen en su área de especialización, utilizando como base una poderosa herramienta que es la teoría de las variables aleatorias y los procesos estocásticos.
Planificador de proyectos resistencias 24 02_2015leidysjcp
Este documento presenta un proyecto educativo sobre la resistencia eléctrica dirigido a estudiantes de grado 11 en tres áreas: electrónica, física y electricidad. El proyecto busca que los estudiantes comprendan el funcionamiento de la resistencia eléctrica, aprendan a medirla y resolver circuitos resistivos. Se detallan los contenidos, habilidades, estrategias y actividades a desarrollar, así como la evaluación formativa y sumativa del aprendizaje de los estudiantes.
Este documento presenta el sílabo de la asignatura de Matemáticas Básicas impartida en la Facultad de Ingeniería Electrónica e Informática de la Universidad Nacional Federico Villarreal. El curso se divide en 4 unidades que cubren temas como vectores, geometría analítica, sistemas de coordenadas y superficies. La asignatura busca desarrollar habilidades matemáticas y razonamiento lógico en los estudiantes para que puedan aplicar estos conceptos a problemas relacionados con su especialidad.
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El documento presenta datos sobre el consumo diario de diferentes fuentes de energía (petróleo, carbón, energía nuclear, combustible) en cuatro regiones de un país. Se pide organizar los datos en una matriz, determinar para cada región cuál es el combustible más consumido, para cada fuente de energía identificar la región con mayor consumo, y responder dos preguntas específicas sobre el consumo de carbón en el occidente y energía nuclear en el norte.
El documento presenta datos sobre el consumo diario de diferentes fuentes de energía (petróleo, carbón, energía nuclear, combustible) en cuatro regiones de un país. Se pide organizar los datos en una matriz, determinar para cada región cuál es el combustible más consumido, para cada fuente de energía identificar la región con mayor consumo, y responder dos preguntas específicas sobre el consumo de carbón en el occidente y energía nuclear en el norte.
1. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 1 -
MODULO
ALGEBRA LINEAL
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Bogotá D. C., 2010
2. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 2 -
A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso
mundo de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis
empresas.
4. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 4 -
5. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 5 -
AL ESTUDIANTE
El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos
teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para
contextualizarlos en su campo de formación disciplinar.
El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un
significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en
diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo
del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las
más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes
significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en
tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el
análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.
El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera
contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones
Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales.
A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación
cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la
articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los
diferentes campos de formación disciplinar.
Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de
los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de
aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su
desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información
en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de
acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información
disponible en la plataforma virtual de la universidad.
La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se
tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu
investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones
documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son
obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material
impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.
6. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 6 -
TABLA DE CONTENIDO
Pag.
UNIDAD 1- Vectores, Matrices y Determinantes
1.1 CAPITULO 1: VECTORES EN 2
R …………………………………………….10
Lección 1: NOCION DE DISTANCIA ……………………………………….12
Lección 2: SEGMENTOS DIRIGIDOS……………………………………….15
Lección 3: DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR…………………..21
Lección 4: ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES………………24
Lección 5: PROYECCIONES……………………………………………………53
1.2. CAPITULO 2: VECTORES EN 3
R …………………………………………….59
Lección 6: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS…………………………..63
Lección 7: VECTORES BASE…………………………………………………..67
Lección 8: PRODUCTO VECTORIAL………………………………………..73
1.3 CAPITULO 3: MATRICES……………………………………………………...82
Lección 9: OPERACIONES CON MATRICES…………………………….84
Lección 10: SUMA DE MATRICES……………………………………………85
Lección 11: MULTIPLICACION DE MATRICES…………………………..89
Lección 12: OPERACIONES SOBRE MATRICES………………………….93
Lección 13: MATRICES ELEMENTALES……………………………………106
1.4 CAPITULO 4: DETERMINANTES…………………………………………..132
Lección 14: ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES…..139
Lección 15: INVERSAS………………………………………………………………141
Lección 16: INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO
CRUZ…………………………………………………………………….148
UNIDAD 2 – Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y
Espacios Vectoriales
2.1 CAPITULO 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………….164
Lección 17: PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: ELIMINACION GAUSSIANA………………………………………….187
Lección 18: SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: METODO DE GAUSS – JORDAN…………………………………..190
Lección 19: TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: REGLA DE CRAMER…………………………………………………….196
Lección 20: CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……………………………199
Lección 21: QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA……………………………….204
Lección 22: SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS…………………………207
7. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 7 -
2.2 CAPITULO 6: RECTAS EN 3
R ……………………………………………….209
Lección 23: RECTAS EN 3
R ……………………………………………………….209
Lección 24: ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA……………………….211
Lección 25: ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA…………….......214
Lección 26: ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA……………………….215
2.3 CAPITULO 7: PLANOS……………………………………………………….222
Lección 27: ECUACION DEL PLANO……………………………………………222
Lección 28: PLANOS PARALELOS……………………………………………….225
Lección 29: ECUACION DE LA RECTA DE INTERSECCION DE
DOS PLANOS NO PARALELOS………………………………….226
2.4 CAPITULO 8: ESPACIOS VECTORIALES………………………………..230
Lección 30: DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE ESPACIOS
VECTORIALES………………………………………………………..230
8. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 8 -
UNIDAD 1
VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES
9. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 9 -
OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los
fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores,
matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y
situaciones particulares en diferentes campos del saber.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el
entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo
pertinente de las operaciones con los mismos.
Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a
espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas
especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas
operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas
como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver
a futuro sistemas lineales.
10. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 10 -
CAPITULO 1
11. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 11 -
12. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 12 -
LECCION 1
1.1 NOCION DE DISTANCIA
Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre
ellos.
Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que
nos establece que:
13. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
- 13 -
100
100
86
2
222
a
a
a
Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,
10a unidades.
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LECCION 2
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LECCION 3
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LECCION 4
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LECCION 5
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CAPITULO 2
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LECCION 6
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LECCION 7
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70. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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LECCION 8
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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 251
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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 263
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77. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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80. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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CAPITULO 3
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LECCION 9
85. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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LECCION 10
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LECCION 11
90. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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LECCION 12
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100
011
001
1E , por lo tanto
100
011
001
1
1E
100
0
6
1
0
001
2E , por lo tanto
100
060
001
1
2E
100
010
021
3E , por lo tanto
100
010
021
1
3E
160
010
001
4E , por lo tanto
160
010
001
1
4E
3
1
00
010
001
5E , por lo tanto
300
010
001
1
5E
100
010
3
5
01
6E , por lo tanto
100
010
3
5
01
1
6E
100
6
1
10
001
7E , por lo tanto
100
6
1
10
001
1
7E
Ahora realicemos el siguiente producto
1
7
1
6
1
2
1
1
EEEE
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Seguimos
100
6
1
10
001
360
3
5
41
3
5
21
Finalmente
260
141
221
En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su
inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las
inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.
119. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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120. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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CAPITULO 4
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LECCION 16
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154. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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162. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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UNIDAD 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y
ESPACIOS VECTORIALES
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OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de
los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del
complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes
bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del
conocimiento.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el
entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio.
Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son
obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.
Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de
ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia
en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad
los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en
el caso en que sea posible)
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CAPITULO 5
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LECCION 20
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LECCION 21
5.5. QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA
El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX (con A de nn ), donde A es
invertible.
Partiendo del sistema bAX , podemos multiplicar a izquierda por 1
A (Que existe,
dado que A es invertible), con lo que nos queda:
bAAXA 11
Agrupando obtenemos
bAXAA 11
Simplificando
bAXI 1
Finalmente
bAX 1
La ultima afirmación, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solución
del sistema lineal bAX , la encontramos de la forma bAX 1
.
Ejemplo
Dado el sistema lineal
17457
114
211032
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su
inversa y úsela para resolver el sistema.
Solución
Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su
determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única
solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)
Encontremos el determinante:
225
457
114
1032
DetA
Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa:
1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán
2. Empleando determinantes ( AdjA
A
A *
det
11
)
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Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la
invitación a realizarlo también por el otro método.
Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones
elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa
de A.
Es decir,
1
2
1
f 12 4 ff
13 7 ff
2
7
1
f
21
2
3
ff
23
2
11
ff 3
225
14
f
31
14
13
ff
32
7
19
ff
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225
14
225
11
25
3
225
38
225
62
25
1
225
13
225
38
25
1
1
A
Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación bAX 1
.
Donde,
17
11
21
b
Por tanto,
17
11
21
225
14
225
11
25
3
225
38
225
62
25
1
225
13
225
38
25
1
X
2
1
2
X
Es decir, la solución es 2;1;2 321 xxx
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LECCION 22
SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS
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209. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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CAPITULO 6
LECCION 23
210. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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LECCION 24
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LECCION 25
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LECCION 26
216. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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CAPITULO 7
LECCION 27
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LECCION 29
Para ver que 1n y 2n son paralelos, puede emplear cualquiera de las dos siguientes
condiciones
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CAPITULO 8
LECCION 30
231. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
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