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Aplicación de las integrales
- 1. Aplicación de las integrales Laura Liliana Becerra Parra Fundación universitaria de Sangil Unisangil Facultad ingeniería sistemas Calculo integral Yopal (Casanare) 2017
- 2. Aplicación de las integrales Laura Liliana Becerra Parra Trabajo de investigación Presentado a: Quevin Yohan Barrera Ingeniero electrónico Fundación universitaria de Sangil Unisangil Facultad ingeniería sistemas Calculo integral Yopal (Casanare) 2017
- 3. Resumen Hasta ahora únicamente hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.
- 4. Tabla de contenido Aplicación de las integrales Aplicación de las integrales en el trabajo Aplicación de las integrales en los momentos, centros de masa Aplicación de las integrales en la presión y fuerza de fluidos Bibliografía
- 5. Aplicación de las integrales Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometría, en Física, en Economía e incluso en Biología. Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral: 1. Hallar el área de regiones planas. 2. Obtener los volúmenes de sólidos de revolución. 3. Calcular volúmenes de sólidos con secciones conocidas. 4. Determinar la longitud de arco de una curva. 5. Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad probabilidad). 6. Conocer el valor promedio de una función. 7. Hallar momentos (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa o centro de (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente). 8. Encontrar la presión ejercida por un fluido. 9. Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro. 10. Obtener velocidades y aceleraciones de móviles. 11. Conocer el superávit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar un artículo a un precio dado). 12. Determinar el flujo sanguíneo (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco (volumen de sangre bombeado por el corazón por unidad de tiempo. A continuación se profundiza en las primeras dos aplicaciones enlistadas.
- 6. Aplicación de las integrales en el trabajo Una partícula se mueve a lo largo del eje x mediante una fuerza impulsora f(x) = 3x2 + 4x newtons. Calcular cuántos joules de trabajo se realizan con esa fuerza para trasladar la partícula. a) desde x = 0 hasta x = 7 m. b) desde x = 2 m hasta x = 7 m. Un peso de 150 libras se fija en un extremo de una cadena cuyo peso es de 2 libras por pie. Inicialmente el peso se suspende con 10 pies de cadena sobre el borde de un edificio de 100 pies de altura. Considerando sólo la fuerza de la gravedad, calcular el trabajo realizado cuando el peso se baja hasta una posición de 10 pies sobre el suelo. 1) Determinar la función fuerza de acuerdo a la posición del cuerpo: Tenemos una fuerza fija equivalente a 150 libras mas otra fuerza variable correspondiente al peso de la cadena f(x)= 150+ 2x , la cadena tiene un peso de 2libras/pie 2) El trabajo realizado es la suma de las fuerzas ejecutadas en el intervalo (10,90)
- 7. En el ejercicio anterior, suponer que la cadena sólo tiene 60 pies de longitud y que el peso y la cadena se dejan caer al suelo, partiendo de la misma posición inicial que antes. Calcular el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad cuando el peso alcanza el suelo. Tenemos que: f(x)= 150 +2x , cuando 0<= x <= 60. Hasta los 60m de caída el peso de la cadena aumenta a razón de 2 libras por metro. Después ya va en caída libre y su peso es constante lo que da lugar a que: f(x)= 150 + 120 =270 , cuando 60 < x <= 100 Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es:
- 8. Aplicación de las integrales en los momentos, centros de masa Muchas estructuras y sistemas mecánicos modelados en ingeniería se comportan como si sus masas estuviesen concentradas en un solo punto, llamado centro de masa. Cuando las masas de los objetos son puntuales (caso discreto), el centro de masa es un cociente de sumatorias, pero en el caso de cuerpos sólidos, que tienen (al menos en el nivel macroscópico) una distribución continua de materia (caso continuo), las sumatorias se reemplazan por integrales y nuestro propósito en este módulo es usar la integral para determinarlo en el caso de varillas delgadas, láminas planas delgadas y sólidos de revolución. Centro de masa de una varilla o de un alambre Supongamos un conjunto de n masas m1, m2 m3…….mn situadas en el eje x en los puntos de abscisas x1 x2 x3……xn el momento de cada masa m, con respecto n al origen será mi,xi y su momento total será ∑ mi,xi i=1 Se llama centro de masa al punto p de abscisa ẋ dada por n n ẋ = m1x1+ m2 x2+ m3 x3+…….mnxn = ∑ m1x1 / ∑ m1 m1+ m2+m3+…….mn i=1 i+1 El centro de masa P tiene la siguiente propiedad fisca: si las masas son puntuales o sea que ocupa solo un punto y están colocadas sobre una varilla ideal sin peso o de peso despreciable, el sistema queda en equilibrio cuando se les suspende de P Ejemplo: cuatro masas de 3, 5, 6 y 8 gramos están colocadas sobre el eje x en las abscisas -2, 3, 5 y -4, respectivamente. Halle el centro de la masa del sistema Solución: 4 4 ẋ=∑ m1x1 / ∑ m1 = 3(-2)+5.3+6.5+8(-4) = 7 i=1 i=1 3+5+6+8 22
- 9. Aplicación de las integrales en la presión y fuerza de fluidos Trabajo realizado por una fuerza variable Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x = a hasta x = b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a = x0≤ x1≤ x2≤ x3≤….≤ xn-1≤ xn= b donde ∆ xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo, es decir ∆ xi = xi - xi-1. Para cada i escogemos ci tal que xi-1 ≤ ci ≤xi. En ci la fuerza está dada por F(ci). Dado que F es continúa y suponiendo que n es grande, ∆ xi es pequeño. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [xi- 1, xi] y podemos concluir que el trabajo realizado wi al mover el objeto por el subintervalo i-ésimo (desde xi-1 hasta xi) es aproximadamente el valor F(ci). ∆ xi Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por w @ = . Esta aproximación mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el límite de esta suma cuando n ® ¥ resulta w = = Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza que varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x = a hasta x = b está dado por w = . Presión y fuerza ejercidas por un fluido Presión de un fluido Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior porque la presión ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presión de un fluido se emplea una ley física importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la
- 10. presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto depende únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido por la profundidad, p = w . h. Definimos la presión como la fuerza que actúa por unidad de área sobre la superficie de un cuerpo. fuerza ejercida por un fluido sobre una superficie con profundidad constante Dado que la presión de un fluido aparece en términos de fuerza por unidad de área, p = , la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal se puede calcular multiplicando el área de la base por la presión sobre ella F = p . A = presión . área . Teniendo en cuenta la fórmula para calcular la presión resulta el valor de la fuerza F = w . h . A fuerza ejercida por un fluido sobre una superficie con profundidad variable Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplaza desde y = a hasta y = b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es F = w . donde h(y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.