Este documento trata sobre conjuntos y técnicas de conteo. Explica conceptos básicos de conjuntos como elementos, subconjuntos, uniones e intersecciones. También cubre operaciones con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce técnicas de conteo como el diagrama de árbol y el principio de multiplicación para contar resultados de experimentos sin enumerarlos directamente.
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTASIPN
Este documento presenta 16 problemas relacionados con distribuciones de probabilidad como chi cuadrada, t de Student, F y normal. Los problemas cubren temas como calcular valores críticos para diferentes niveles de significancia, encontrar probabilidades asociadas a estas distribuciones y realizar pruebas de hipótesis para comparar varianzas. El objetivo general es practicar conceptos estadísticos fundamentales como descripciones de datos, distribuciones de muestreo y pruebas de hipótesis.
La teoría de probabilidades asigna números a los posibles resultados de experimentos aleatorios para cuantificar la probabilidad de que ocurran ciertos sucesos. Un suceso es cada resultado posible y un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. La regla de adición establece cómo calcular la probabilidad de la unión de sucesos y la regla de multiplicación se usa para sucesos condicionados. El teorema de Bayes calcula probabilidades condicionales cuando se conocen las causas y efectos de diferentes resultados.
El documento describe las aplicaciones de las derivadas en economía. Las derivadas permiten realizar cálculos marginales para medir el cambio en una variable dependiente debido a pequeños cambios en una variable independiente. Esto es útil para analizar conceptos como costos marginales, ingresos marginales, y maximizar ganancias. Por ejemplo, las derivadas pueden usarse para encontrar el punto de equilibrio en funciones de oferta y demanda, y maximizar ingresos al igualar el ingreso marginal con el costo marginal.
El documento define las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables. Explica que las derivadas parciales de primer orden representan las pendientes de la función en las direcciones de cada variable cuando las demás se mantienen constantes. También establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales para funciones continuas. Finalmente, presenta algunos ejemplos para calcular derivadas parciales.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
El documento presenta dos ejemplos de transformación de bases a bases ortonormales en el espacio euclidiano R3 mediante el proceso de Gram-Schmidt. En el primer ejemplo se transforma la base B1 = {(1,0,1), (0,0,1), (-1,1,0)} a la base ortonormal B1' = {(0,0,1), (-1,1,0), (1/√2,1/√2,0)}. En el segundo ejemplo se transforma la base B2 = {(1,0,1), (0,1,-1), (1,0
Este documento introduce la aproximación normal a la distribución binomial. Explica que cuando el tamaño de la muestra (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) no está extremadamente cerca de 0 o 1, la distribución normal proporciona una buena aproximación. Presenta ejemplos para ilustrar cómo la distribución binomial se aproxima a la normal a medida que n aumenta o p se acerca a 1/2. También muestra cómo calcular probabilidades binomiales usando áreas bajo la curva normal.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
Tarea 15 de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA CON RESPUESTASIPN
Este documento presenta 16 problemas relacionados con distribuciones de probabilidad como chi cuadrada, t de Student, F y normal. Los problemas cubren temas como calcular valores críticos para diferentes niveles de significancia, encontrar probabilidades asociadas a estas distribuciones y realizar pruebas de hipótesis para comparar varianzas. El objetivo general es practicar conceptos estadísticos fundamentales como descripciones de datos, distribuciones de muestreo y pruebas de hipótesis.
La teoría de probabilidades asigna números a los posibles resultados de experimentos aleatorios para cuantificar la probabilidad de que ocurran ciertos sucesos. Un suceso es cada resultado posible y un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. La regla de adición establece cómo calcular la probabilidad de la unión de sucesos y la regla de multiplicación se usa para sucesos condicionados. El teorema de Bayes calcula probabilidades condicionales cuando se conocen las causas y efectos de diferentes resultados.
El documento describe las aplicaciones de las derivadas en economía. Las derivadas permiten realizar cálculos marginales para medir el cambio en una variable dependiente debido a pequeños cambios en una variable independiente. Esto es útil para analizar conceptos como costos marginales, ingresos marginales, y maximizar ganancias. Por ejemplo, las derivadas pueden usarse para encontrar el punto de equilibrio en funciones de oferta y demanda, y maximizar ingresos al igualar el ingreso marginal con el costo marginal.
El documento define las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables. Explica que las derivadas parciales de primer orden representan las pendientes de la función en las direcciones de cada variable cuando las demás se mantienen constantes. También establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales para funciones continuas. Finalmente, presenta algunos ejemplos para calcular derivadas parciales.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
El documento presenta dos ejemplos de transformación de bases a bases ortonormales en el espacio euclidiano R3 mediante el proceso de Gram-Schmidt. En el primer ejemplo se transforma la base B1 = {(1,0,1), (0,0,1), (-1,1,0)} a la base ortonormal B1' = {(0,0,1), (-1,1,0), (1/√2,1/√2,0)}. En el segundo ejemplo se transforma la base B2 = {(1,0,1), (0,1,-1), (1,0
Este documento introduce la aproximación normal a la distribución binomial. Explica que cuando el tamaño de la muestra (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) no está extremadamente cerca de 0 o 1, la distribución normal proporciona una buena aproximación. Presenta ejemplos para ilustrar cómo la distribución binomial se aproxima a la normal a medida que n aumenta o p se acerca a 1/2. También muestra cómo calcular probabilidades binomiales usando áreas bajo la curva normal.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de derivadas, incluyendo derivadas de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones a problemas de máximos y mínimos. Finalmente, proporciona los contactos del autor para cualquier consulta.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo diferencial e integral para estudiantes de ingeniería. El libro contiene la solución detallada de los ejercicios presentados en un libro de teoría de cálculo diferencial e integral para el mismo nivel. Los capítulos cubren temas como números reales, funciones, límites, continuidad, derivadas, integración y optimización. El objetivo es proporcionar a los estudiantes las herramientas matemáticas necesarias para su formación en ingeniería
El documento presenta la resolución de varios ejercicios de álgebra lineal. En el primer ejercicio, se calcula la matriz -2(B.At)-5/2C. En el segundo, se resuelve un sistema de ecuaciones lineales y se determina su conjunto de soluciones. En el tercer ejercicio, se plantea y resuelve un problema de programación lineal para determinar la cantidad óptima de muebles a fabricar semanalmente aprovechando al máximo el tiempo disponible en las mesas de trabajo.
Este documento introduce los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con diez propiedades relacionadas con la suma y multiplicación de vectores. Presenta varios ejemplos de conjuntos que son y no son espacios vectoriales. Finalmente, anticipa la discusión de subespacios vectoriales en la próxima sección.
Este documento explica el diagrama de tallos y hojas, una técnica de análisis exploratorio de datos que consiste en separar cada valor numérico en un tallo y una hoja para ordenar y resumir los datos de manera gráfica. Incluye ejemplos de cómo construir este diagrama separando los dígitos de la derecha como hojas y los de la izquierda como tallos, y ordenando los valores resultantes. Finalmente, presenta un ejemplo del uso de este método para representar la edad de 20 personas.
El documento introduce los conceptos de magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares solo requieren un número y unidad para definirse, mientras que las magnitudes vectoriales también necesitan dirección y sentido. Los vectores pueden representarse gráficamente mediante flechas y se definen por su magnitud, dirección y sentido. Existen métodos para sumar vectores gráfica y analíticamente.
Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la distribución binomial, hipergeométrica y de Poisson. Explica cada distribución con ejemplos y ejercicios resueltos. También cubre conceptos como probabilidades acumuladas y de éxito/fracaso. El objetivo principal es explicar estas distribuciones comúnmente usadas en probabilidad y estadística.
Este documento define los conceptos clave de una prueba de hipótesis estadística, incluyendo la hipótesis nula y alternativa, los errores tipo 1 y 2, y la zona de riesgo y regla de decisión. La hipótesis nula es la afirmación que podría ser rechazada por los hechos, mientras que la hipótesis alternativa niega a la hipótesis nula. El error tipo 1 ocurre cuando se rechaza incorrectamente a la hipótesis nula, mientras que el error tipo 2 ocurre cuando no se re
Integración mediante fracciones parcialesAbraham Aj
Este documento explica el método de integración mediante fracciones parciales. Divide la función racional en una suma de fracciones simples haciendo coincidir los factores del numerador y denominador. Explica cuatro casos: 1) factores lineales distintos, 2) factores lineales iguales, 3) factores cuadráticos distintos, y 4) factores cuadráticos iguales. En cada caso asigna una forma fraccional y determina las constantes para descomponer la función original.
4.1 definición del espacio vectorial y sus propiedadesbreerico
Este documento define un espacio vectorial y sus propiedades fundamentales. Un espacio vectorial es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío con dos operaciones: suma de vectores y multiplicación de un escalar por un vector. Para que un conjunto sea un espacio vectorial, debe cumplir con 8 propiedades como la cerradura bajo la suma, conmutatividad, asociatividad y existencia de inversos aditivos.
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
Es la distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las muestras de un determinado tamaño muestra de la población. EJERCICIOS DE APLICACION
METODO DUAL : EJERCICIOS RESUELTOS DE INVESTIGACIONES DE OPERACIONESJuanMiguelCustodioMo
1. El documento presenta la resolución de varios problemas de programación lineal y sus duales. Se convierten los problemas a su forma estándar y se resuelven usando el método simplex. Se obtienen las soluciones óptimas de los problemas primal y dual.
2. Se pide estimar el intervalo del valor objetivo óptimo para dos problemas de PL presentados.
3. En uno de los ejemplos, la solución dual no es factible a pesar de que z=w, por lo que la solución primal es la óptima.
1) El documento presenta tres ejemplos de espacios vectoriales: Rn, el espacio de los polinomios de grado ≤ 2 (P2), y el conjunto G de polinomios de grado exactamente 3. Rn y P2 cumplen las propiedades de un espacio vectorial, mientras que G no lo es debido a que la suma de dos elementos puede dar como resultado un polinomio de grado distinto a 3.
El documento define conceptos básicos relacionados con variables aleatorias, incluyendo la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. Explica cómo calcular la función de probabilidad, función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica para variables aleatorias discretas y cómo definir la función de densidad de probabilidad para variables continuas. También presenta ejemplos comunes de distribuciones de probabilidad como la uniforme, normal y exponencial.
Este documento presenta tres ejercicios resueltos sobre distribuciones conjuntas de probabilidad. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que haya al menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra para un supermercado con dos cajas. El segundo ejercicio determina el número esperado de solicitudes rechazadas diariamente para una financiera. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de éxito después de tres meses y la utilidad mensual esperada y su varianza para una empresa que vende dos tipos de chancadoras.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
Tarea 10 de probabilidad y estadistica con respuestaIPN
TEMAS: PROBABILIDAD DISCRETA (DISTRIBUCION GEOMETRICA Y DISTRIBUCION BINOMIAL, DISTRIBUCION DE POISSON Y NEGATIVA) Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Este documento trata sobre aplicaciones de la integral para calcular áreas, longitudes de curvas, volúmenes y centroides. Explica cómo usar la integral definida para calcular el área bajo la gráfica de una función, entre gráficas de funciones, y de sólidos de revolución. También cubre el cálculo de la longitud de una curva, volúmenes de sólidos y coordenadas del centro de masa usando integrales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cada aplicación.
Este documento describe diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y su interpretación geométrica. Explica que los sistemas se pueden representar gráficamente mediante rectas en un plano cartesiano, y clasifica los sistemas en incompatible (rectas paralelas), compatible y determinado (recta secante), y compatible (recta coincidente). También proporciona ejemplos de cómo resolver sistemas mediante reducción, igualación y sustitución.
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre combinaciones y permutaciones utilizando números, letras y otros elementos. Los ejercicios involucran el cálculo de las posibles formas de organizar, seleccionar y ordenar grupos de elementos de acuerdo a diferentes criterios, usando conceptos matemáticos como permutaciones, combinaciones y factoriales.
El documento presenta información sobre permutaciones. Explica que una permutación es el ordenamiento de los elementos de un conjunto. Describe tres tipos de permutaciones: lineal, circular y con elementos repetidos. Proporciona fórmulas para calcular cada tipo de permutación y presenta ejemplos y problemas de aplicación.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de derivadas, incluyendo derivadas de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones a problemas de máximos y mínimos. Finalmente, proporciona los contactos del autor para cualquier consulta.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo diferencial e integral para estudiantes de ingeniería. El libro contiene la solución detallada de los ejercicios presentados en un libro de teoría de cálculo diferencial e integral para el mismo nivel. Los capítulos cubren temas como números reales, funciones, límites, continuidad, derivadas, integración y optimización. El objetivo es proporcionar a los estudiantes las herramientas matemáticas necesarias para su formación en ingeniería
El documento presenta la resolución de varios ejercicios de álgebra lineal. En el primer ejercicio, se calcula la matriz -2(B.At)-5/2C. En el segundo, se resuelve un sistema de ecuaciones lineales y se determina su conjunto de soluciones. En el tercer ejercicio, se plantea y resuelve un problema de programación lineal para determinar la cantidad óptima de muebles a fabricar semanalmente aprovechando al máximo el tiempo disponible en las mesas de trabajo.
Este documento introduce los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con diez propiedades relacionadas con la suma y multiplicación de vectores. Presenta varios ejemplos de conjuntos que son y no son espacios vectoriales. Finalmente, anticipa la discusión de subespacios vectoriales en la próxima sección.
Este documento explica el diagrama de tallos y hojas, una técnica de análisis exploratorio de datos que consiste en separar cada valor numérico en un tallo y una hoja para ordenar y resumir los datos de manera gráfica. Incluye ejemplos de cómo construir este diagrama separando los dígitos de la derecha como hojas y los de la izquierda como tallos, y ordenando los valores resultantes. Finalmente, presenta un ejemplo del uso de este método para representar la edad de 20 personas.
El documento introduce los conceptos de magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares solo requieren un número y unidad para definirse, mientras que las magnitudes vectoriales también necesitan dirección y sentido. Los vectores pueden representarse gráficamente mediante flechas y se definen por su magnitud, dirección y sentido. Existen métodos para sumar vectores gráfica y analíticamente.
Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la distribución binomial, hipergeométrica y de Poisson. Explica cada distribución con ejemplos y ejercicios resueltos. También cubre conceptos como probabilidades acumuladas y de éxito/fracaso. El objetivo principal es explicar estas distribuciones comúnmente usadas en probabilidad y estadística.
Este documento define los conceptos clave de una prueba de hipótesis estadística, incluyendo la hipótesis nula y alternativa, los errores tipo 1 y 2, y la zona de riesgo y regla de decisión. La hipótesis nula es la afirmación que podría ser rechazada por los hechos, mientras que la hipótesis alternativa niega a la hipótesis nula. El error tipo 1 ocurre cuando se rechaza incorrectamente a la hipótesis nula, mientras que el error tipo 2 ocurre cuando no se re
Integración mediante fracciones parcialesAbraham Aj
Este documento explica el método de integración mediante fracciones parciales. Divide la función racional en una suma de fracciones simples haciendo coincidir los factores del numerador y denominador. Explica cuatro casos: 1) factores lineales distintos, 2) factores lineales iguales, 3) factores cuadráticos distintos, y 4) factores cuadráticos iguales. En cada caso asigna una forma fraccional y determina las constantes para descomponer la función original.
4.1 definición del espacio vectorial y sus propiedadesbreerico
Este documento define un espacio vectorial y sus propiedades fundamentales. Un espacio vectorial es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío con dos operaciones: suma de vectores y multiplicación de un escalar por un vector. Para que un conjunto sea un espacio vectorial, debe cumplir con 8 propiedades como la cerradura bajo la suma, conmutatividad, asociatividad y existencia de inversos aditivos.
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
Es la distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las muestras de un determinado tamaño muestra de la población. EJERCICIOS DE APLICACION
METODO DUAL : EJERCICIOS RESUELTOS DE INVESTIGACIONES DE OPERACIONESJuanMiguelCustodioMo
1. El documento presenta la resolución de varios problemas de programación lineal y sus duales. Se convierten los problemas a su forma estándar y se resuelven usando el método simplex. Se obtienen las soluciones óptimas de los problemas primal y dual.
2. Se pide estimar el intervalo del valor objetivo óptimo para dos problemas de PL presentados.
3. En uno de los ejemplos, la solución dual no es factible a pesar de que z=w, por lo que la solución primal es la óptima.
1) El documento presenta tres ejemplos de espacios vectoriales: Rn, el espacio de los polinomios de grado ≤ 2 (P2), y el conjunto G de polinomios de grado exactamente 3. Rn y P2 cumplen las propiedades de un espacio vectorial, mientras que G no lo es debido a que la suma de dos elementos puede dar como resultado un polinomio de grado distinto a 3.
El documento define conceptos básicos relacionados con variables aleatorias, incluyendo la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. Explica cómo calcular la función de probabilidad, función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica para variables aleatorias discretas y cómo definir la función de densidad de probabilidad para variables continuas. También presenta ejemplos comunes de distribuciones de probabilidad como la uniforme, normal y exponencial.
Este documento presenta tres ejercicios resueltos sobre distribuciones conjuntas de probabilidad. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que haya al menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra para un supermercado con dos cajas. El segundo ejercicio determina el número esperado de solicitudes rechazadas diariamente para una financiera. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de éxito después de tres meses y la utilidad mensual esperada y su varianza para una empresa que vende dos tipos de chancadoras.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
Tarea 10 de probabilidad y estadistica con respuestaIPN
TEMAS: PROBABILIDAD DISCRETA (DISTRIBUCION GEOMETRICA Y DISTRIBUCION BINOMIAL, DISTRIBUCION DE POISSON Y NEGATIVA) Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Este documento trata sobre aplicaciones de la integral para calcular áreas, longitudes de curvas, volúmenes y centroides. Explica cómo usar la integral definida para calcular el área bajo la gráfica de una función, entre gráficas de funciones, y de sólidos de revolución. También cubre el cálculo de la longitud de una curva, volúmenes de sólidos y coordenadas del centro de masa usando integrales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cada aplicación.
Este documento describe diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y su interpretación geométrica. Explica que los sistemas se pueden representar gráficamente mediante rectas en un plano cartesiano, y clasifica los sistemas en incompatible (rectas paralelas), compatible y determinado (recta secante), y compatible (recta coincidente). También proporciona ejemplos de cómo resolver sistemas mediante reducción, igualación y sustitución.
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre combinaciones y permutaciones utilizando números, letras y otros elementos. Los ejercicios involucran el cálculo de las posibles formas de organizar, seleccionar y ordenar grupos de elementos de acuerdo a diferentes criterios, usando conceptos matemáticos como permutaciones, combinaciones y factoriales.
El documento presenta información sobre permutaciones. Explica que una permutación es el ordenamiento de los elementos de un conjunto. Describe tres tipos de permutaciones: lineal, circular y con elementos repetidos. Proporciona fórmulas para calcular cada tipo de permutación y presenta ejemplos y problemas de aplicación.
Este documento presenta varios problemas de combinatoria y probabilidad resueltos paso a paso. Incluye cálculos de factoriales, permutaciones sin y con repetición, arreglos, y pruebas ordenadas. Explica conceptos como permutaciones circulares y cómo contar arreglos cuando hay restricciones como la agrupación de elementos.
Este documento presenta 25 ejercicios de combinatoria y permutaciones. Los ejercicios involucran el cálculo de número de posibilidades para formar números, palabras, equipos, y otros escenarios que involucran la selección y ordenamiento de elementos de un conjunto. Las respuestas a los ejercicios se proveen junto con ayudas breves sobre los conceptos matemáticos aplicados en cada caso.
Este documento presenta varios ejercicios de probabilidad y estadística relacionados con temas como: lanzar dados y monedas, extraer bolas de urnas, probabilidades condicionadas y el teorema de Bayes. Los ejercicios incluyen cálculos de probabilidades simples y combinadas, así como problemas con información condicionada. El documento proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los 16 ejercicios planteados.
Técnicas de conteo.
Principio fundamental del conteo
Notación factorial
Permutaciones
Combinaciones
Diferencias entre permutación y combinación
Diagramas de árbol
Introducción a la Probabilidad.
Operaciones
Axiomas de Probabilidad
Este documento introduce el concepto de permutación y presenta varios problemas de permutaciones. Explica que una permutación es un arreglo de objetos distintos y muestra ejemplos de permutaciones de chips. Luego, resuelve dos problemas: 1) cuántas formas pueden sentarse 5 hombres y 4 mujeres en fila si las mujeres ocupan los asientos pares y 2) cuántas formas pueden sentarse 10 personas en un banco con capacidad para 4 personas.
Fórmula para encontrar la suma total de las n combinaciones posibles com m dí...Ernesto Silva
El documento presenta la fórmula para calcular la suma de las n combinaciones posibles con m dígitos consecutivos. Se demuestra la fórmula para m=3 y m=5 dígitos, obteniendo 666*(X+1) y 1333320*(A+2) respectivamente. Finalmente, se calcula la suma de las 3628800 combinaciones posibles de los dígitos 0123456789 como 99999999990000000000.
Este documento explica cómo calcular el número de permutaciones (posibles arreglos) en diferentes situaciones. Explica cómo usar fórmulas para permutaciones sin repetición, con repetición y circulares para determinar el número de formas en que se pueden formar números, sentar personas en filas o alrededor de una mesa redonda.
Este documento presenta el contenido de las asignaturas evaluadas en el examen de admisión y la prueba de aptitud vocacional de la Universidad Nacional de Ingeniería. Incluye temas de razonamiento matemático, razonamiento verbal, cultura general sobre comunicación, lenguaje, literatura, historia del Perú y del mundo. Evaluará aptitud académica en áreas como análisis de figuras, sucesiones numéricas, tablas y gráficos estadísticos, así como razonamiento verbal sobre analogías, definiciones y compre
El documento presenta una serie de problemas de probabilidad y estadística con sus respectivas soluciones. Se describen eventos aleatorios como lanzamientos de dados, exámenes con preguntas de opción múltiple y true-false, y se calculan probabilidades asociadas a estos eventos usando conceptos como espacio muestral, funciones de probabilidad y distribución. También se resuelven algunos problemas relacionados con variables aleatorias continuas.
Tecnicas de conteo, principio multiplicativo y aditivoCecilia Loeza
El documento explica dos principios de conteo: el principio aditivo, que se usa cuando una actividad tiene alternativas para realizarse, y el principio multiplicativo, que se usa cuando una actividad consta de varios pasos sucesivos. También presenta ejemplos de cómo aplicar estos principios para contar el número de maneras posibles de realizar diferentes actividades como comprar una lavadora o construir una casa.
El documento describe dos tipos de permutaciones: permutaciones con repetición, donde los elementos pueden aparecer múltiples veces en diferentes órdenes, y permutaciones sin repetición, donde cada elemento aparece exactamente una vez y el orden importa. Proporciona fórmulas y características para cada tipo de permutación, así como un ejemplo de calcular las permutaciones de 6 elementos.
Este documento presenta un problemario para la asignatura Ingeniería de Métodos de la carrera de Ingeniería Industrial de la Universidad Nacional Abierta. El problemario contiene cinco capítulos que cubren diferentes temas como diagramas de actividades múltiples, balance de líneas de producción, normalización y cronometrado, tiempo normal y tiempo estándar. Cada capítulo incluye una síntesis teórica, problemas resueltos y propuestos con sus respuestas al final para que los estudiantes puedan autoevaluarse. El objetivo es
Este documento presenta 12 problemas resueltos de conjuntos. Los problemas involucran conjuntos, diagramas de Venn y operaciones lógicas para determinar el número de elementos que pertenecen a uno o más subconjuntos dentro de un conjunto mayor.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...Roza Meza
El documento describe diferentes métodos de conteo como diagramas de árbol, permutaciones, combinaciones y sus principios multiplicativo y aditivo. Los diagramas de árbol se usan para identificar tareas necesarias, y los métodos de conteo determinan el número de posibilidades en un experimento. Las permutaciones cuentan arreglos con orden, mientras que las combinaciones no consideran el orden.
Solucionario Montgomery Probabilidad y Estadistica Seguna Edicion 2daCésar Alejandro
Solucion a problemas propuestos del libro de Probabilidad y estadistica Montgomery segunda edicion, es un solucionario muy completo con algunos errores faciles de corregir.
1) Se calcula la probabilidad de que la temperatura máxima en junio esté entre 21° y 27° dado que sigue una distribución normal con media 23° y desviación típica 5°.
2) Se calculan varias probabilidades relacionadas con los pesos de 500 estudiantes dados sus parámetros normales.
3) Se calculan varias probabilidades relacionadas con la vida de ratones dados sus parámetros normales.
Esto resume los cálculos de probabilidad requeridos para varias situaciones dadas sus distribuciones normales.
Este documento presenta 100 ejercicios resueltos de estadística básica organizados en capítulos sobre estadística descriptiva, probabilidad, variables aleatorias y vectores aleatorios. El prólogo explica que los ejercicios han sido desarrollados y depurados a lo largo de años de impartir la asignatura de Estadística I en la Facultad de Economía y Empresa de la Universitat Autònoma de Barcelona. Los ejercicios están dirigidos a estudiantes de grados de economía y empresa y buscan aplicaciones est
El documento habla sobre las matemáticas. Explica que las matemáticas dependen de la lógica y la creatividad, y sirven para propósitos prácticos y por su interés intrínseco. También dice que las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna y es indispensable comprender conceptos básicos de matemáticas para la educación científica.
El documento habla sobre las matemáticas. Explica que las matemáticas dependen de la lógica y la creatividad, y sirven para propósitos prácticos y por su interés intrínseco. También dice que las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna y es indispensable comprender conceptos básicos de matemáticas para la educación científica.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como la noción de conjunto, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos, operaciones entre conjuntos y el álgebra de conjuntos. También define conjuntos especiales como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto potencia.
El documento presenta un taller matemático que cubre temas sobre conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección y complemento. También introduce conceptos como subconjuntos, conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto de las partes. Finalmente, explica que el álgebra de Boole de las partes de un conjunto verifica propiedades como idempotencia, conmutatividad, asociatividad, absorción y distribución.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de conjuntos y probabilidad. En la primera sección, define conceptos como conjuntos, elementos, pertenencia a un conjunto, igualdad de conjuntos, subconjuntos, operaciones básicas de conjuntos como unión e intersección, y tipos de conjuntos como conjuntos finitos y contables. La segunda sección lista varias referencias bibliográficas sobre probabilidad y estadística.
Este documento resume los principales conceptos de la teoría de conjuntos y los conjuntos numéricos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y propiedades como ser finito o infinito. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego introduce los conjuntos numéricos de naturales, enteros, racionales y reales junto con sus propiedades. Finalmente, cubre temas como números primos, divisibilidad y cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
El documento presenta información sobre conjuntos, números reales, valor absoluto y desigualdades. Define conjuntos como colecciones de elementos únicos y describe formas de representarlos. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define números reales, sus propiedades y ejemplos de operaciones con ellos. Finalmente, introduce el valor absoluto y cómo se usan desigualdades con este concepto para comparar expresiones algebraicas.
Este documento presenta un taller sobre conceptos matemáticos básicos como conjuntos, operaciones con conjuntos, subconjuntos, unión e intersección. Explica los conjuntos vacío y unitario, y define el conjunto de partes de un conjunto. Finalmente, describe cómo el álgebra de Boole se aplica a los subconjuntos de un conjunto universal al verificar propiedades como conmutatividad, asociatividad, distribución y complementariedad.
Este documento describe los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, relaciones de pertenencia, diagramas de Venn, subconjuntos, uniones, intersecciones, diferencias, complementos y productos cartesianos. También define tipos específicos de conjuntos como conjuntos universales, potencias y particiones, y explica operaciones como la cardinalidad.
Este documento describe los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, relaciones de pertenencia, diagramas de Venn, subconjuntos, uniones, intersecciones, diferencias, complementos y productos cartesianos. También define tipos específicos de conjuntos como conjuntos universales, potencias y particiones.
El documento describe los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, relación de pertenencia, conjuntos universales, diagramas de Venn, subconjuntos, unión, intersección, diferencia, complemento, conjuntos potencia, igualdad de conjuntos, productos cartesianos y operaciones generalizadas. También define conceptos como cardinalidad, partición y presenta leyes y teoremas sobre operaciones de conjuntos.
Este documento describe los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, relaciones de pertenencia, conjuntos universales, diagramas de Venn, subconjuntos, uniones, intersecciones, diferencias, complementos, conjuntos potencia, productos cartesianos y operaciones generalizadas. También define conceptos como particiones, cardinalidad y enumera las leyes del álgebra de conjuntos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos y números naturales. Introduce los conjuntos, incluyendo subconjuntos, intersección, unión y diferencia. Explica que los números naturales (N*) forman un conjunto modelo para contar objetos. Define números primos como aquellos solo divisibles por 1 y sí mismos, y presenta un método para determinar si un número es primo.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos bien definidos y diferenciables llamados elementos. Explica formas de definir conjuntos, operaciones entre conjuntos como la unión e intersección, y conceptos como el subconjunto, complemento y cardinalidad. También describe la relación entre la teoría de conjuntos y la lógica proposicional.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También explica relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y el complemento de un conjunto.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También explica relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y conjuntos numéricos como ejemplos.
Este documento presenta los objetivos y conceptos básicos de matemáticas generales. Cubre temas como operaciones con números reales, regla de tres simple, uso de calculadora, porcentajes y teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos finitos e infinitos, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
George Cantor, el creador de la teoría de conjuntos, nació en 1845 en Rusia y vivió en Alemania. Introdujo conceptos fundamentales sobre conjuntos como potencia de conjuntos, números transfinitos y tipos ordinales. La teoría de conjuntos estudia nociones como elementos de un conjunto, pertenencia, cardinalidad, determinación, relaciones e intersecciones. Incluye los conjuntos numéricos naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.
Este documento trata sobre los conjuntos y operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento. Explica que un conjunto es una agrupación de elementos y define cada operación con ejemplos. También cubre números reales, desigualdades, valor absoluto y ejercicios de desigualdades con valor absoluto.
Curso introductorio a la teoría de conjuntos, basado en lógica matemática y cálculo proposicional, dirigido a estudiantes de tecnologías de la información.
1. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
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CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO
INTRODUCCIÓN
El origen de la teoría de la probabilidad se encuentra en el trabajo motivado por los juegos de azar de los matemáticos Pedro
de Fermat (1601- 1665), Blas Pascal (1623- 1662). De este trabajo surgió el concepto primitivo de probabilidad. Posteriormente existe
una larga lista de matemáticos que han contribuido a desarrollar la Teoría de Probabilidad, de entre ellos cabe mencionar a:
Bernoulli (1654- 1705) Bayes (1751-1800)
Laplace (1749-1827) Gauss (1777- 1855)
Poisson (1781 -1840) Chebyshev (1821 -1894)
Markov (1856 -1922)
“La Teoría de Probabilidad tiene por objetivo el análisis matemático de los eventos aleatorios”.
Clasificamos a los eventos que manifiesta la naturaleza en Determinísticos y Aleatorios.
Eventos determinísticos: Son aquellos que ofrecen exclusivamente un solo resultado.
Por ejemplo, el combinar (bajo condiciones apropiadas) dos partes de Hidrógeno con una de oxígeno, necesariamente resulta agua.
Eventos aleatorios: Son aquellos que ofrecen dos o más resultados.
Por ejemplo, en la lotería nacional el premio mayor se ofrece a las 50,000 personas que participan en el sorteo.
La vida en años de un componente electrónico es de 6, entonces un evento aleatorio puede ser que el componente falle antes de que
finalice el sexto año.
Claro esta que al efectuarse un evento aleatorio se presenta solamente un resultado, pero en repeticiones sucesivas del mismo evento
aleatorio los resultados pueden ser distintos.
Un evento determinístico carece de importancia para la teoría de probabilidad, por que se reduce a un caso trivial de esta. En realidad la
teoría de probabilidad siempre se ha dirigido al análisis de los eventos aleatorios.
Para entender la probabilidad necesitamos recordar conjuntos y técnicas de conteo.
DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS.
Lo que aquí se mencionará sobre conjuntos serán solo algunos principios elementales, se presentará la notación referente a
ellos y se hará una presentación axiomática de aspectos referentes a conjuntos.
Al iniciar este trabajo con conjuntos establezcamos que la idea conjunto es un concepto primitivo. No se da una definición de conjunto.
Nos basta, inicialmente, con cualquier idea intuitiva que tengamos. Respecto al la concepción primitiva de conjuntos aceptamos la
relación de pertenencia, para un conjunto cualquiera y un objeto indistinto: El objeto pertenece al conjunto o el objeto no pertenece
al conjunto.
Si un objeto pertenece a un conjunto. Diremos que tal objeto es un elemento de dicho conjunto.
Notación: b A ; b es un elemento de A
Axioma: Todo conjunto debe estar bien definido
El axioma anterior establece que si un supuesto conjunto no esta bien definido, no es conjunto.
Existen dos maneras de definir un conjunto, la primera se llama forma enumerativa a la segunda se llama representación descriptiva.
Forma enumerativa o por extensión del conjunto:
Es cuando se listan los elementos, se utiliza cuando el conjunto es pequeño o no existe una correlación en común para definir el
conjunto.
p.e.: U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; A = { 1,2,3,5,7 }; B = { 0,2,4,6,8 }
2. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
Forma descriptiva o por comprensión:
Existe una regla que permite describir los elementos del conjunto.
p.e. : A = { x | x es un numero primo } ó B = { x | x es un numero par }
* La línea | significa tal que.
SUBCONJUNTOS
Existen conjuntos tales que todos sus elementos pertenecen a otro conjunto.
Por ejemplo: A = a, i, o están en el conjunto B = a, e, i, o, u
Todos los elementos del conjunto múltiplos de tres pertenecen al conjunto de los enteros.
Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B decimos que el conjunto A es subconjunto del conjunto B o
que A están contenidos en B.
Notación : Si un conjunto A es subconjunto de un conjunto B escribimos : A B
Un conjunto A no es subconjunto de B, si existe un elemento de A que no este en B: A B
Ejemplo: Sea A = {1,2,3,4,5 } y sea B = {1,3,5 }, C = { 2,4 }, D = {1,4 } y E = { 3,4,5,6 }.
Los conjuntos B, C y D son subconjuntos del conjunto A, E A
Sea A = { 1,3,5,7,9 } y sea p(x) = {x |x es par }, entonces el conjunto formado por los elementos de A que hacen verdadera a la
proposición p(x) es {x A | p(x) es verdadera }, pero como en A no hay números pares entonces en dicho conjunto no hay elementos ,
pero es un conjunto y como no tiene elementos le llamamos conjuntovacío.
Notación: Al conjunto vacío lo denotaremos con el símbolo .
Como consecuencia de la definición de subconjunto podemos concluir que todo conjunto es subconjunto de si mismo y que el conjunto
vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Teorema: Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
Teorema: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Axioma: Existen conjuntos cuyos elementos son también conjuntos.
Definición: Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto se le llama Potencia de dicho conjunto.
Ejemplo: Si S = {1,2,3 } la potencia de S es: P ( S ) = { , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }
En forma general para encontrar cuantos subconjuntos tiene un conjunto dado se usa la expresión 2n, donde n es el número de
elementos del conjunto.
3. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
GLOSARIO
Termino Definición
Conjunto
Elemento
Diagrama de Venn Euler
Conjuntos
Mutuamente excluyentes
Conjuntos
Colectivamente exhaustivo
Cardinalidad de un
conjunto
Conjunto universo
Conjunto vacío
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Sean A y B conjuntos arbitrarios.
La Unión de A y B, expresada por A B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A y/o B:
A B = x | x A / x B
Ay B son disjuntos A y B no son disjuntos B A
Mutuamente excluyentes No M. E.
A = 1,2,3 A = 1,2,3 A = 1,2,3,4
B = 4,5,6 B = 2,4,6 B = 3,4
A B = {1,2,3,4,5,6} A B = 1,2,3,4,6 A B = {1,2,3,4}
(A B) = (A) + (B) (A B) = (A) + (B) - (A B) (A B) = (A) + (B) - (A B)
4. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
(A B) = (A) + (B) - (B)
(A B) = (A)
La Intersección de A y B, expresada por A B , es el conjunto de elementos comunes a A y B:
A B = x | x A x B
A y B son ajenos ó M.E. A y B no son ajenos B A
A = 1,2,3 A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3,4 }
B = 4,5,6 B = { 2,4,5 } B = { 3,4 }
A B = A B = { 2 } A B = { 3,4 }
(A B) = 0 (A B) = (A) + (B) - (A B) (A B) = (A) + (B) - (A B)
(A B) = (A) + (B) - (A)
(A B) = (B)
La Diferencia de A y B o el complemento relativo de B con respecto a A expresada por A – B (se lee que tiene A diferente de B), es el
conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B: A - B = xx A x B
A = 1,2,3 A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3,4 }
B = 4,5,6 B = { 2,4,5 } B = { 3,4 }
A - B = { 1,2,3 } A - B = { 1,3 } A - B = { 3,4 }
(A - B) = (A) (A - B) = (A) - (A B) (A - B) = (A) -(B)
El complemento absoluto o, simplemente complemento de A, expresado por A , es el conjunto de elementos que no pertenecen a A:
A = x xU x A
Sea: U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y A = { 1,2,3 }, entonces A = 4,5,6,7,8,9
O sea que A es la diferencia entre el conjunto universal U y el conjunto A. U - A = A = A‟
5. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
(A‟) = (U) - (A)
LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
1a. A A = A ; A A = A Leyes de igual potencia
2a. ( A B ) C = A ( B C ); ( A B ) C = A ( B C ) Leyes asociativas
3a. A B = B A; A B = B A Leyes conmutativas
4a. A (B C) = (A B) (A C) ; A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Leyes distributivas
5a. A = A; A = ; A U = U; A U = A Leyes de identidad
6a. A A = U; A A = ; (A) = A; U = Leyes de complemento
7a. ( A B ) „ = A‟ B‟; ( A B ) = A B Leyes de De Morgan
6. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
TÈCNICAS DE CONTEO
Cuando el estadístico necesita considerar o evaluar la posibilidad asociada a una ocurrencia de eventos cuando se realiza un
experimento,en muchos casos debe de ser capaz de resolver un problema mediante el conteo del número de puntos en el espacio
muestral, sin listar cada uno de los elementos, para ello utilizamos las técnicas de conteo.
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Es un gráfico que presenta todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en
un número finito de maneras.
Ejemplos
Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un dólar. El hombre empieza con un dólar
y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana tres dólares. Esto es, si tiene cuatro. Hallar el número de
casos en que la apuesta puede ocurrir.
Observar del diagrama de árbol que se suspenderá la apuesta en solamente tres casos.
Cuántas maneras hay para contestar un examen de 4 preguntas cuya opción es F y V si una persona contesta al azar el examen.
7. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
24 = 16 Maneras
Cuantos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4 sin repetición.
Como se ve algunos experimentos generan demasiados resultados en donde el diagrama de árbol resulta inconveniente; por esta razón
se necesitan utilizar las técnicas de conteo.
Técnicas de conteo.- Son métodos que nos permiten conocer el número total de resultados de un experimento, sin enumeración
directa.
Principio de multiplicación.- Supongamos que un experimento, designado como 1 puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un
segundo procedimiento designado como 2 se puede hacer de n2 maneras diferentes y así sucesivamente entonces el total de resultados
posibles de un experimento viene dado por n1 x n2 x n3 x … nk.
8. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
PRINCIPIO
MULTIPLICATIVO
Si
n1 ≠ n2≠ n3≠ n4≠…nk
Entonces
principio multiplicativo
n1 * n2* n3* n4*…nk
Si
n1 = n2=n3= n4=…nk
Entonces
principio multiplicativo
n1 * n2* n3* n4*…nk
= nk
Si
n2= n1-1, n3= n2-1…nk=
nk-1 -1
Entonces:
Permutaciones
En donde el orden es
importante
Algunos Simples
Todos
Simples
Repetición
Circulares
Entonces:
Combinaciones
En donde no importa el orden
Ejemplo:
1) Si no se permiten repeticiones cuantos números de 3 dígitos diferentes se pueden formar con los siguientes 6 dígitos 2-3-5-6-7-9
6 5 4 120 Números diferentes con los 6 dígitos
¿ Cuántos números son pares ? 5 4 2 40 Números pares
¿ Cuantos números son impares ? 5 4 4 80 Números impares
2) Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que solo pueden abrirse por dentro. ¿De cuantas formas puede una
persona entrar y salir de la tienda?
n1=7 ; n2=12 ; n1n2 = 7 x 12 = 84 maneras
3) De cuantas formas diferentes se puede responder un examen que consta de 4 preguntas de falso y verdadero si un estudiante
contesta el examen al azar.
n1=2 n2=2 n3=2 n4=2 ; n1=n2=n3=n4 ; nk=24=16
4) Cuantos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4 sin repetición.
n1=4 n2=3 n3=2 ; n2=n1-1 ; n3=n2-1 ; 4*3*2=24
Para aplicar las técnicas de conteo de permutaciones y combinaciones se hace necesario recordar el concepto de:
NOTACIÓN FACTORIAL
El factorial de un número es el producto de los enteros positivos desde uno hasta n, se emplea con mucha frecuencia y se denota por
símbolo n! que se lee “n factorial” por otra parte se define el cero factorial como:
0!=1; 1!=1; 2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6; 4!=1*2*3*4=24
9. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
Calcular:
a)
13
11
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
13 12 156
!
!
b)
16!
14
16 15 14
14
16 15 240
!
!
!
c)
7
10!
7
10 9 8 7
1
10 9 8
1
720
! !
!
PERMUTACIONES
DEFINICIÓN: Una permutación es un arreglo de todos ó algunos elementos, en donde una permutación es diferente de otra si el arreglo
ó el contenido es diferente.
Ejemplos:
-Permutaciones diferentes en arreglo: 123 132
-Permutaciones diferentes en contenido: 123 124
a) Se puede permutar los n elementos tomándolos todos a la vez.
b) O bien se puede permutar los n elementos tomando parte de ellos a la vez donde (r n).
PERMUTACIONES SIMPLES:
a) Tomando todos los elementos de un conjunto a la vez.
Teorema 1: Si S es un conjunto y (s) = entonces el número de permutaciones posibles utilizando todos los elementos de S a la
vez, es : P (n,n) se lee permutaciones de n elementos tomando n a la vez.
Ejemplo 1: Hay cinco personas que se van a formar en una fila. De cuantas maneras diferentes se pueden formar ?
P ( 5,5 ) = 5! ó 5*4*3*2*1= 120 maneras
Ejemplo 2: Debe asignarse a siete hombres a siete trabajos diferentes de cuantas formas se puede hacer ?
P ( 7,7 ) = 7! ó 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 maneras
Ejemplo 3: En una operación de manufactura, una pieza se produce por maquinado, pulido y pintado. Si hay tres herramientas de
maquinado, cuatro herramientas de pulido y tres herramientas de pintado, ¿cuántas rutas diferentes para una pieza son posibles?
Por la regla de multiplicación: 3 4 3 36
b) Tomando parte de los n elementos a la vez.
Teorema 2: Sea S un conjunto y (S) =entonces el número de subconjuntos ordenados de S, cada uno con r elementos donde ( r
n ) es:
P ( n,r ) = n( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ..... ( n - r+1 )
La notación P ( n,r ) se lee “ El número de permutaciones de n elementos tomando r a la vez ”
ó bien:
P n r
n
n r
( , )
!
( )!
10. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
Ejemplo : Sea S = Pérez, López, González, Moreno de este conjunto se escogerán 2 personas para los puestos de gerente y
supervisor, de cuantas maneras se puede hacer.
( S ) = 4 ; r = 2 ; P ( 4,2 ) = 4 x 3 = 12
P( , )
!
( ) !
4 2
4
4 2
24
2
12
Ejemplo : La presidencia, la vicepresidencia y la tesorería de una compañía, están vacantes y hay ocho candidatos.
¿De cuantas maneras pueden ser ocupadas las vacantes?
( S ) = 8 ; r = 3 ; P ( 8,3 ) = 8 x 7 x 6 = 336 formas diferentes
P ( , )
!
( ) !
!
!
8 3
8
8 3
8
5
336
Teorema 3: Permutaciones con repetición
Si de los objetos , n1 son iguales , n2 son iguales...nk son iguales, entonces el número de permutaciones de los n objetos en donde n1
pertenece a la clase 1, n2 pertenece a la clase 2 y así sucesivamente.
!!...!.!.
!
)...,,(
321
321
k
k
nnnn
n
nnnnP ; donde : n1 + n2 + n3 + ...+ nk = n ; De otra manera n ni
n
k
i
1
Ejemplo 1: Cuantas palabras diferentes de cinco letras se pueden formar con las letras de la palabra TATTY ?
n = 5 ; n1 = 3T ; n2 = 1A ; n3 = 1Y ; P ( 3,1,1 ) = 20 palabras diferentes.
20
6
120
!1!1!3
!5
)1,1,3(
P
Ejemplo 2 :Cuantas señales diferentes, cada una de seis banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas
azules y dos verdes idénticas.
n = 6 ; n1 = 4A ; n2 = 2V ; P ( 4,2 ) = 15 señales.
P
x
( , )
!
! !
4 2
6
4 2
720
48
15
PERMUTACIONES CIRCULARES
Teorema 4: n objetos pueden distribuirse en un circulo de (n-1)(n-2)...(n-1)! maneras.
Ejemplo 1: ¿De cuantas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor de una mesa redonda ?
Si estamos de acuerdo en que estas dos maneras de sentarse son iguales, entonces:
la primera persona que se siente puede escoger cualquiera de los asientos y solo servirá como referencia.
Por lo tanto la solución al problema anterior será:
11. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
Una persona puede sentarse en cualquier puesto en la mesa redonda. Las otras seis personas pueden acomodarse de 6 x 5 x 4 x 3 x 2
x 1 = 6! maneras alrededor de la mesa.
En general, n objetos pueden distribuirse en un circulo de (n-1) (n-2) ...(n-1)! maneras.
Ejemplo 2: ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 ingleses, 2 italianos pueden sentarse en una mesa redonda de modo
que los de la misma nacionalidad se sienten juntos ?
(4-1)! x 3! x 4! x 4! x 2! = 41472 maneras. Observar que los de cada nacionalidad se consideran un paquete por ello (4-1)!
COMBINACIONES
Si “A” es un conjunto de n elementos, los subconjuntos de “A” que constan de “r” elementos se llaman también combinaciones de n
elementos de “A” tomados de “n” en “r”.
Cnrel número de combinaciones de “n” elementos tomados de “n” en “r”; es decir, el número de subconjuntos con “r” elementos de un
conjunto de “n” componentes se denota por Cnr.
C
n n n n r
r
r
n
( )( ).....( )1 2 1
!
así 1...21 rnnnnP
r
n y Pn=n!
Entonces C
O
P
C
n n n n r
n
r
n r
n
n
r
n
;
( )( )...( )
* * ....
1 2 1
1 2 3
Finalmente C
n
r n r
r
n
!
!( )!
Esta es nuestra formula de combinaciones. A los números de la formula Cnrse les acostumbra llamar coeficientes binomiales
pues aparecen como coeficientes en el desarrollo de la formula del binomio de Newton.
a b C a C a C a b C b
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
0 1 1 2 2 2
....
(C0r= 1), pues es el número de subconjuntos de “A” que no tienen elementos de los cuales hay uno solo, el conjunto vacío
Ejemplo . Un examen consta de 13 preguntas, si se tienen que contestar 10 de estas preguntas cuantas formas diferentes existen de
contestarlas:
a)
C 13 10
13
10 13 10
286,
!
! !
maneras posibles
b) Cuantas maneras si las 5 primeras son obligatorias: C
x
8 5
8
5 3
56,
!
! !
maneras
Ejemplo . Una clase consta de 9 niños y 3 niñas
a) De cuantas maneras se puede escoger un comité de 4
C
x x x
x x x
12 4
12 11 10 9
1 2 3 4
11880
24
4954
12
, comités
b) Cuantos comités contarán con una niña exactamente
12. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
252384
6
504
321
7893
1
9
3
xx
xx
xCC comités
c) Cuantos comités contarán al menos con una niña
Ejemplo:Un lote de 140 chips semiconductores se inspecciona escogiendo una muestra de cinco chips. Suponer que 10 de los chips no
cumplen con los requerimientos del cliente.
a)¿Cuántas muestras diferentes son posibles?
b)¿Cuántas muestras de cinco chips contienen exactamente uno no satisfactorio?
c)¿Cuántas muestras de cinco chips contienen al menos uno no satisfactorio?
Solución:
a) El número de muestras de tamaño 5 es 5
140 140
5 135
416965528
!
! !
b) Hay 10 chips no conformes y hay 4
130 130
4 126
11358880
!
! !
formas de seleccionar 4 chips conformes. Por lo tanto, el número de muestras
que contiene exactamente un chip no conforme es 10
4
130
113588800
c) El número de muestras que contienen al menos un chip no conforme es el total del número de muestras
5
140
menos el número de muestras que contienen chips no conformes 5
130
. Esto es 5
140
- 5
130
=
140
5 135
130
5 125
130721752
!
! !
!
! !
Ejemplo : En un torneo de ajedrez se jugaron 66 partidas, de tal manera que cada participante se enfrentó a otro ¿Cuántas personas
participaron en este torneo?
Solución:
12 personas; 12C2 = 66
!
)1)...(2)(1(
! r
rnnnn
r
P
C rn
rn
para el caso:
13. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
0132132)1(66
!2
)1( 2
2
nnnn
nn
Cn
Personas120)11)(12( nnn
Ejemplo: Un profesor de probabilidad y estadística posee cuatro mansiones, las cuales están en bosques de Las Lomas, en
Cuernavaca, en la zona residencial de Acapulco y en la bahía de Miami. Cada una de sus mansiones tiene lugar para dos autos tipo
limosina y tres de tamaño normal. Un auto normal puede quedarse en un lugar para limosina, pero lo contrario no es posible. Si el
profesor es dueño en total de tres limosinas Mercedes Benz, además de siete autos tamaño normal (cuatro Ferraris, dos Jaguares, y un
Mercedes Benz deportivo), ¿de cuántas maneras puede guardar 10 vehículos en sus cuatro casas?
Solución:
Las 3 limosinas las puede guardar en cualquiera de los 8 sitios grandes (4 mansiones * 2 sitios grandes / mansión). Una vez hecho esto,
dispone de 17 lugares (5 grandes pues de los 8 disponibles se ocuparon 3 y 12 sitios normales, “4 mansiones * 3 sitios normales /
mansión”), mismos que pueden ser ocupados por los restantes 7 autos. Por eso, 8 C3 * 17 C7 = 56 * 19448 = 1’089,088 maneras de
guardar 10 vehículos en sus cuatro casas.