Cálculo ii-práctica-6-fx9860 g

¿Cómo resolver problemas sobre trabajo y presión de líquidos
con la ayuda de la calculadora Casio fx – 9860G?
Cálculo II – Práctica 6 Prof. Robinson Arcos
OBJETIVOS:
Al culminar esta práctica el usuario estará en capacidad de plantear y resolver mediante Integrales definidas
problemas sobre trabajo mecánico y presión de líquidos con la ayuda de la calculadora CASIO fx – 9860G.
RESUMEN:
El concepto de fuerza se puede considerar como la entidad física que
describe la acción de empujar o arrastrar un objeto. Por ejemplo, para empujar
o arrastrar muebles sobre un piso, para levantar un objeto o para mover una
partícula cargada eléctricamente a través de un campo electromagnético, se
requiere aplicar una fuerza sobre el objeto o partícula.
Si un objeto o partícula tiene masa m su peso viene dado por G = mg
(fuerza de gravedad, g módulo de la aceleración de gravedad) entonces la
fuerza que se requiere como mínimo para levantarlo (o sostenerlo en el aire)
es igual a G (en kilogramos fuerza, etc.).
El concepto de trabajo mecánico en física se origina cuando se traslada una partícula a lo largo de una
trayectoria de un punto A hacia otro punto B a través de un campo de fuerzas. La siguiente definición se aplica en el
caso más simple en que el objeto se desplaza a lo largo de una línea recta en la misma dirección que la fuerza:
Si una fuerza constante F se aplica a un objeto y lo desplaza una distancia d en el mismo sentido de la
fuerza, entonces el trabajo mecánico W realizado sobre el objeto es dFW ⋅= .
En física la presión p a una profundidad h en un fluido (líquido o gas) se define como el peso del fluido
contenido en una columna de altura h cuya sección transversal tiene un área de una unidad cuadrada. La
presión puede considerarse como la fuerza ejercida por el fluido por unidad de área.
Si el peso específico (peso por unidad de volumen) de un fluido se denota por γ , entonces la presión p
a una profundidad h es hp ⋅γ= .
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
El estudiante debe estar familiarizado con las siguientes unidades físicas y propiedades:
• En física suelen emplearse dos unidades para la fuerza, una del sistema CGS (centímetro-gramo-
segundo) y otra del MKS (metro-kilogramo-segundo). En el primero se define la dina (din) como la
fuerza que aplicada a una masa de 1 g (gramo) le produce una aceleración de 2s/cm1 . Si F se expresa
en dinas y d en centímetros, entonces la unidad de trabajo es la dina-centímetro ( cmdin ⋅ ) o ergio. En
el sistema MKS se define el newton (N) como la magnitud de la fuerza que se requiere para impartir una
aceleración de 2s/m1 a una masa de kg1 .
• Un kilogramo fuerza (kgf) es la fuerza con que la gravedad atrae a una masa de kg1 . Como la
gravedad produce una aceleración (en la localidad normal) de aproximadamente 2s/m81,9 a todos
los cuerpos, resulta que kgf1 es igual a N81,9 . Si F se expresa en newtons y d en metros,
entonces la unidad de trabajo es el newton-metro ( mN⋅ ) o joule (J). Se puede determinar que
ergios10J1 7= .
• Si F se expresa en kilogramos fuerza y d en metros, entonces la unidad de trabajo es el
kilográmetro ( mkgf ⋅ ), equivalente a J81,9 .
• El sistema MKS se llama ahora universalmente Sistema Internacional de Unidades (SI).
105

• En el sistema inglés, cuando la fuerza F se mide en libras (fuerza) (lb) y la distancia en pies, la
unidad de trabajo es la libra-pie ( pielb ⋅ ). Se tiene la siguiente equivalencia pielb74,0J1 ⋅≈ .
• Si F se expresa en libras y d en pulgadas, entonces la unidad de trabajo es la libra-pulgada (
lgpulb ⋅ ).
• El módulo de la aceleración de gravedad es 2s/m81,9g = .
• El peso específico γ es el producto de la densidad ρ (masa por unidad de volumen) y la
aceleración de gravedad g; es decir, g⋅ρ=γ . En hidrostática interviene γ y no ρ.
• La unidad SI para medir la presión en newtons por cada metro cuadrado es el pascal (
Pa1m/N1 2 = ). Como es una unidad pequeña a menudo se usa el kilopascal ( Pa1000kPa1 = ).
Propiedades Fundamentales del Trabajo Mecánico. Designemos con )f(Wb
a , el trabajo realizado por una
fuerza f al mover una partícula desde a hasta b. Tal trabajo tiene las siguientes propiedades:
• Propiedad aditiva: Si bca << , entonces )f(W)f(W)f(W b
c
c
a
b
a += .
• Propiedad monótona: si fg ≤ en [ ]b,a , entonces )f(W)g(W b
a
b
a ≤ . Esto es, una fuerza
mayor realiza un trabajo mayor.
• Fórmula elemental: Si f es constante; es decir, c)x(f = para cada x en el intervalo abierto
)b,a( , entonces )ab(c)f(Wb
a −⋅= .
INTRODUCCIÓN:
En esta práctica trataremos el cálculo del trabajo donde la fuerza y el desplazamiento tienen la misma
dirección. Más aun, trataremos problemas donde la fuerza es variable.
• Veamos primeramente ejemplos donde la fuerza que se aplica es constante:
1. Situación problemática:
a) Calcule el trabajo realizado al empujar un
automóvil sobre una carretera horizontal desde un
punto A hasta un punto B a 10 metros de A, con
una fuerza constante de 50 kgf.
b) Calcule aproximadamente el trabajo realizado
para al elevar verticalmente un objeto de 20 kg de
masa a una altura de 8 m.
Figura 1
• Solución a la situación problemática planteada en a):
Como la fuerza es constante F = 50 kgf y la distancia que el automóvil recorre es d = 10 m, de acuerdo con la
definición anterior, el trabajo realizado es:
J9054mkgf500m10kgf50dFW =⋅=⋅=⋅= .
• Solución a la situación problemática planteada en b):
La fuerza requerida F está dada por la segunda ley de Newton en la versión amF ⋅= , donde m es la masa y
a es la aceleración del objeto. Si la masa m se mide en kilogramos y la aceleración a se mide en 2
s/m , entonces
F resulta expresada en newtons. En este ejemplo, a es la aceleración de gravedad g, que en el sistema MKS (o SI),
es aproximadamente 2s/m81,9g = . Entonces,
N2,196s/m81,9kg20gmF 2 =⋅≈⋅= .
Por la definición anterior y en este sistema de unidades:
J6,1569m8N2,196dFW =⋅=⋅= .
106

¿Cómo calcular el trabajo realizado por una fuerza variable?
Cualquiera que haya empujado un vehículo o algún otro objeto sabe que
la fuerza aplicada normalmente varía de un punto a otro. Si el vehículo está
detenido, hay que aplicarle una fuerza mayor para que empiece a moverse
que para mantenerlo en movimiento. La fuerza también puede variar debido a
la fricción que podamos encontrar en el movimiento, una parte del camino
puede ser lisa y otra áspera o rugosa. Las fuerzas que no son constantes se
denominan fuerzas variables. Otro ejemplo es la fuerza necesaria para
impulsar un cohete que quema combustible durante el vuelo. Puesto que su
masa no es constante, tampoco lo es la fuerza ejercida por la gravedad sobre
el cohete.
Supongamos que estamos aplicando una fuerza variable a un cuerpo
mientras el mismo recorre una determinada distancia en el mismo
sentido de la fuerza, entonces para calcular el trabajo se requiere aplicar
métodos de cálculo.
En esta práctica supondremos que el movimiento del objeto se realiza a lo largo de una recta L (movimiento
unidimensional). Supongamos que la recta L está dotada de un sistema coordenado (eje OX) y que el objeto se
mueve, por la acción de una fuerza, desde un punto A con coordenada a hasta un punto B con coordenada b,
donde a < b.
Figura 2
Para calcular el trabajo realizado es necesario conocer la fuerza en cualquier punto P con coordenada x (
bxa ≤≤ ). Esta fuerza la denotaremos por )x(f y supondremos que f es continua en [ ]b,a . Consideremos en
la coordenada x un “desplazamiento muy pequeño” de magnitud dx > 0, entonces como f es continua, los
valores de f variarán muy poco el intervalo [ ]dxx,x + . De manera que f es prácticamente constante en
[ ]dxx,x + y el trabajo realizado por la fuerza en este intervalo viene dado por dx)x(fdW ⋅= . Dado que el
trabajo es aditivo, al sumar todos estos trabajos desde ax = hasta bx = por medio de una integral, se obtiene
el trabajo total realizado por f al trasladar el objeto desde el punto A hasta el punto B; esto es,
∫∫ ==
b
a
b
a
b
a dx)x(fdWW .
En consecuencia tenemos la siguiente definición:
Si f(x) es la fuerza en el punto de coordenada x sobre una recta coordenada L, donde f es continua en
[ ]b,a , el trabajo total realizado por f, al mover un objeto del punto con coordenada a al punto con
coordenada b, es:
∫=
b
a
b
a dx)x(fW .
Esta nueva definición puede ayudarnos a calcular el
trabajo realizado al estirar o comprimir un resorte.
Probablemente se ha observado que cuanto más se
comprime un resorte (o se estire), desde su posición de
reposo natural, más fuerza se requiere para comprimirlo
(o estirarlo).
Según la ley de Hooke, la fuerza para mantener en
una posición dada el resorte es proporcional a la
distancia que recorre al comprimirlo (o estirarlo).
La fuerza f(x) que se requiere para estirar (o
comprimir) un resorte x unidades a partir de su
longitud natural es xk)x(f ⋅= , donde k es una
constante llamada constante del resorte.
Figura 3
107

Para estirar un resorte de su longitud natural de 8 cm a una de
10 cm se requiere de una fuerza de 6 dinas. Encuentre el trabajo
realizado al estirar el resorte:
a) De su longitud natural a una de 15 cm.
b) De una longitud de 11 cm a una de 17 cm.
Comenzamos por introducir un eje OX como se muestra en la
Figura 3, con uno de los extremos del resorte sujeto a un apoyo a la
izquierda del origen, y el extremo movible colocado en el origen.
De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza f(x) que se requiere para
estirar el resorte x unidades a partir de su longitud natural es
xk)x(f ⋅= para alguna constante k. Figura 4
Dado que la longitud natural del resorte es de 8 cm y al estirarlo a una longitud de 10 cm se requiere una fuerza
de 6 din, tenemos un estiramiento efectivo de longitud x = 2 cm. Obtenemos de din6cm2k)2(f =⋅= el valor
de la constante del resorte es entonces: cm/din3k = .
Por lo tanto, la fuerza variable viene dada por x3)x(f = y el trabajo realizado al estirar el resorte desde su
longitud natural a una de 15 cm es:
( ) ergios5,73
4
147
49
2
3
2
x
3dxx3dWW
7
0
27
0
7
0
7
0 ====== ∫∫ .
En este caso el trabajo realizado para estirar el resorte de una longitud de 11 cm a una de 17 cm es:
( ) ergios5,82
2
165
964
2
3
2
x
3dxx3dWW
8
3
28
3
8
3
8
3 ==−==== ∫∫ .
3. Comentario.
Al estirar un resorte se le transfiere energía potencial elástica. Al liberar el resorte, éste recupera la
posición de reposo y convierte la energía potencial elástica en energía cinética. Del problema precedente se
observa que al estirar el resorte x unidades a partir de su longitud natural la energía potencial elástica
almacenada es:
2
x
0
2x
0
x
0
x
0 xk
2
1
2
x
kdxkxdWEP ⋅⋅==== ∫∫ .
Una partícula se mueve a lo largo del eje OX mediante una fuerza impulsora dada por bxax)x(f 2 +=
newtons:
a) Determine las constantes a y b si se sabe que se precisan 900 joules de trabajo para desplazar la
partícula 10 m a partir del origen y que la fuerza es de 65 newtons cuando 5x = m.
b) Si la partícula se encuentra en la posición 2x = m, ¿hasta que posición aproximadamente puede
ser desplazada si la fuerza puede realizar un trabajo de 1500 joules?
108

Dado que J900W10
0
= , tenemos que J900
2
bx
3
ax
dx)bxax(W
10
0
2310
0
210
0 =+=+=∫ .
Esto nos conduce a la ecuación:
900b50
3
a1000
=+ (1)
Por otra parte, N65)5(f = . De modo que obtenemos la segunda ecuación:
65b5a25 =+ (2)
Para determinar a y b debemos resolver el sistema lineal:




=+
=+
65b5a25
900b50a
3
1000
Al resolver el sistema se obtiene: 3a = y 2b −= .
• Veamos cómo se resuelve el sistema con la calculadora fx-9860G.
5. Observaciones: Antes de continuar, es importante señalar que el usuario debe realizar las actividades
propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción.
Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la mera transmisión de información, estás
se destacarán con los iconos , , o una barra gris en el margen izquierdo de la página. El primer
icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, anunciará al usuario que se
abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora para ejecutar las instrucciones que se
indican. El segundo icono le anunciará que se está planteando una situación problemática que será resuelta o
que está propuesta para que la desarrolle. El último le anunciará que debe reportar por escrito la respuesta a la
situación problemática formulada.
El menú ECUA dispone de comandos para resolver sistemas lineales (menú [SIML]), ecuaciones de segundo y
tercer grado (menú [POLY]) y el menú [SOLV] para resolver otros tipos de ecuaciones.
6. Operación con la calculadora:
1. Presione para encender la calculadora.
2. Presione . Seleccione el menú [EQUA] y presione .
3. De ser necesario presione tantas veces hasta obtener el cuadro
de diálogo mostrado en la Figura 5.
4. Presione para seleccionar el menú de los sistemas de
ecuaciones lineales [SIML].
5. Presione nuevamente para indicar el número de incógnitas del
sistema a resolver (en este caso es 2).
6. En el cuadro de diálogo presione para limpiar la matriz
mostrada.
7. Presione para registrar el
primer coeficiente de la primera ecuación.
Figura 5
Figura 6
109

8. Presione para registrar el segundo coeficiente de la
primera ecuación.
9. Presione para registrar el término del segundo
miembro de la primera ecuación.
10. De manera análoga registre los coeficientes de la segunda ecuación
(Figura 7).
11. Para obtener el conjunto solución del sistema presione . Esto
activa el comando [SOLV].
• Se obtiene una matriz columna que nos indica en nuestro caso
que los valores de las incógnitas a y b son: 3a = (1ra. fila) y 2b −=
(2da. fila).
• En consecuencia la fuerza viene dada por x2x3)x(f 2 −= newtons.
Figura 7
Figura 8
De acuerdo a lo planteado, debemos encontrar x de manera que J1500W x
2 = . Esto es,
15004xxdt)t2t3(W 23x
2
2x
2 =−−=−= ∫ .
La ecuación 15004xx 23
=−− es equivalente a 01504xx 23
=−− .
• Resolvamos esta ecuación en el menú [EQUA]:
12. Presione varias veces hasta obtener el cuadro de diálogo principal
mostrado en la Figura 5.
13. Presione para seleccionar el menú [POLY]. Presione
nuevamente para indicar el grado de la ecuación (en nuestro caso
es 3).
14. Presione para registrar el coeficiente de
3x .
15. Presione para registrar el coeficiente de
2x .
16. Presione para registrar el coeficiente de x .
17. Presione para registrar el término
independiente.
18. Presione para activar el comando [SOLV].
• Se obtiene 8,11x ≈ m.
Figura 9
Figura 10
• La partícula puede ser impulsada desde 2x = m hasta 8,11x ≈ m, si la fuerza puede realizar un
trabajo de 1500 joules.
7. Observaciones: El menú [RUN-MAT] dispone del comando [Solve] para resolver numéricamente
ecuaciones del tipo 0)x(f = para una función f bajo determinadas condiciones.
El comando [Solve] está disponible en el menú [CALC] del menú de opciones [OPTN]. La sintaxis del
comando es la siguiente: Solve(f(x), n, a, b)
Donde,
• )x(f : es la función (primer miembro de la ecuación 0)x(f = ).
• n : es una aproximación inicial.
• a : Límite inferior de la gama de soluciones.
• b : Límite superior de la gama de soluciones.
110

OBS: Los límites a y b pueden ignorarse en determinados casos.
• Veamos cómo se resuelve la ecuación 01504xx 23
=−− usando el comando [Solve]:
Aquí la función es 1504xx)x(f 23 −−= . Tomaremos como aproximación inicial el valor 2x = que
representa la posición inicial de la partícula.
19. Presione . Seleccione el menú [RUN-MAT] y presione
.
20. Configure el menú [Run-Mat] en el modo [Math].
21. Borre la pantalla.
22. Presione para activar el menú de opciones.
23. Presione para activar el comando [Solve].
24. Edite seguidamente la función 1504xx 23
−− .
25. Presione para introducir la aproximación 2x = .
26. Presione para resolver la ecuación.
• Se obtiene 8,11x ≈ m.
Figura 11
Figura 12
Suponga que los valores de la Tabla 1 se obtuvieron experimentalmente para la fuerza f(x) que actúa
sobre un punto con coordenada x en un eje OX. Use la regla de Simpson para calcular aproximadamente el
trabajo (en joules) realizado a lo largo del intervalo [ ]5,0 .
)pie(x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
)lb(y 7.4 8.1 8.4 7.8 6.3 7.1 5.9 6.8 7.0 8.0 9.2
Tabla 1
• Solución a la situación problemática planteada:
Utilicemos el menú estadístico [STAT] para calcular, por la regla de Simpson,
)10(SIMPdx)x(fW
5
0
5
0 ≈=∫ .
• Recordemos como se realiza este cálculo:
27. Presione .
28. Seleccione para acceder al menú estadístico [STAT].
29. Presione .
30. Aparecen un arreglo rectangular en filas y columnas. Las filas están
numeradas desde 1 hasta 999 y las columnas está identificadas como List
1, List 2, hasta List 26.
Figura 13
31. Para borrar el contenido de una columna (lista) utilice la tecla direccional elíptica para desplazar el cursor en
cualquier fila de la lista y presione las teclas .
32. Borre todas las listas presionando . Al terminar su calculadora debe mostrar la pantalla de la
111

Figura 13.
• En la lista 1 ingresaremos los datos ky de la Tabla 1 que se reproduce a continuación:
)pie(x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
)lb(y 7.4 8.1 8.4 7.8 6.3 7.1 5.9 6.8 7.0 8.0 9.2
33. Con el cursor el la primera fila de la lista List1 (ver Figura 13) presione
.
• Con esto queda editado el primer valor en la primera fila de List1 y el
cursor se ubica en la segunda fila de List1.
34. Presione .
35. Edite de la misma manera cada uno de los 9 datos restantes. Si se
equivoca ubique el cursor en el dato erróneo y sobrescriba el nuevo dato.
36. Desplace el cursor a la fila 12 de List2.
• Este se ubicará en la primera fila de List2.
• En List2 editaremos los coeficientes kc :
1,4,2,4,2,4,2,4,2,4,1 .
37. Edite en List2 los 11 coeficientes 1,4,2,4,2,4,2,4,2,4,1 .
• Calcularemos ahora los productos kkyc .
38. Desplace el cursor a la fila 12 de List3.
39. Presione para ubicar el cursor sobre nombre de lista List3 (vea la
Figura 15).
40. Presione
.
• Aparecerán actualizados en List3 los productos kkyc para
10,,2,1,0k = .
41. Para calcular SIMP(10) presione , seleccione el menú [RUN-
MAT] y presione .
42. Borre la pantalla.
• Comencemos asignando valores a las variables A, B, N y D:
43. Presione .
44. Presione .
45. Presione .
46. Presione la secuencia de teclas para calcular x∆ y asignar el valor a
la variable D:
.
• Calcularemos el valor aproximado de la integral:
3SumList)3D()10(SIMP ×÷=
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Figura 17
Figura 18
Figura 19
112

47. Presione la siguiente secuencia de teclas:
.
48. Presione .
• Se obtiene que pielb17.37)10(SIMPdx)x(fW
5
0
5
0 ⋅=≈=∫ .
49. Presione .
• Se obtiene un trabajo total aproximado de
J23.50dx)x(fW
5
0
5
0
≈=∫ .
Figura 20
10. Resuelva cada una de las siguientes situaciones problemáticas:
1. Suponga que los valores de la Tabla 2 se obtuvieron experimentalmente para la fuerza f(x)
que actúa sobre un punto con coordenada x en un eje OX. Use la regla de Simpson para calcular
aproximadamente el trabajo (en joules) realizado a lo largo del intervalo [ ]9,1 .
)m(x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
)N(y 125 120 130 146 165 157 150 143 140
Tabla 2
2. Un pozo tiene 30 m de profundidad. Un cubo que pesa 1,5 kgf tiene un volumen de 60
litros. El cubo se llena de agua en el fondo del pozo, y se levanta hasta arriba con una velocidad
constante de 2 metros por segundo. Despreciando el peso de la cuerda, encuentre el trabajo
realizado al levantar el cubo, si se sabe que el agua sale del cubo a razón constante de 0,3 litros por
segundo.
3. Un elevador de carga (montacargas) que tiene una masa de 1500 kg está sostenido por un
cable de 4 m de largo y una masa de 7 kg por metro lineal. Calcule aproximadamente el trabajo que se
requiere para hacer subir el ascensor 3 m.
4. Para estirar un resorte desde una longitud de 6 cm hasta una de 7 cm se requiere un
trabajo de 60 ergios, y para deformarlo de 7 a 8 cm se requieren de 120 ergios. Calcule la constante
del resorte y su longitud natural.
5. Una cadena de 20 pies, que pesa 5 lb/pie, yace en el suelo. ¿Cuánto trabajo se precisa
para elevar uno de sus extremos hasta 20 pies de altura de manera que quede toda extendida?
6. Una cadena de 15 pies de largo y que pesa 3 lb/pie está suspendida verticalmente desde
15 pies de altura. ¿Cuánto trabajo hace falta para elevar toda la cadena hasta 15 pies de altura?
7. La fuerza (en dinas) con la que dos electrones se repelen, es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia (en cm) que los separa. Calcule el trabajo realizado al mover un electrón a lo
largo del:
a) Eje OX desde el origen hasta el punto (3,0) mientras otro se mantiene fijo en el punto (5,0).
b) Eje OX desde el origen hasta el punto (3,0) mientras otros dos electrones se mantienen
fijos uno en el punto (- 5,0) y el otro en el punto (5,0).
c) Eje OY desde el punto (- 2,4) hasta el punto (1,4) mientras otro se mantiene fijo en el punto
(2,4).
8. El peso de un cuerpo varía inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al
centro de la Tierra. El radio aproximado de la tierra es 4000 millas. Si un satélite pesa 15 toneladas en
la superficie terrestre; entonces, despreciando la resistencia del aire, ¿cuánto trabajo exige elevarlo
113

hasta una altura de 800 millas.
9. La fuerza de atracción entre dos masas cualesquiera es igual al producto de las masas
dividido por el cuadrado de la distancia que las separa. Si una varilla homogénea de espesor
uniforme tiene 1,2 m de longitud y una masa de 15 kg, determine la fuerza de atracción que ejerce
sobre un punto material P de masa 1kg situado a distancia 0,2 m de un extremo de la varilla, en la
dirección de ésta.
¿Cómo calcular el trabajo requerido para bombear un líquido por encima de la parte superior de un tanque?
Como hemos visto, el trabajo requerido para elevar un objeto de masa m kg a una
altura de h m está definido por el producto hgmW ⋅⋅= . Para elevar un objeto de masa
50 kg hasta una altura de 10 m se requiere un trabajo de
J4905m10s/m81,9kg50W 2 =⋅⋅= .
• Cuando todas las partes de un objeto son elevadas hasta una misma altura, el
trabajo es simplemente el producto de estos tres números. Ahora queremos
calcular el trabajo requerido para elevar un objeto a un mismo punto, cuyas
partes diferentes se encuentran a alturas distintas. Tal es el caso de bombear
un fluido líquido que yace en un depósito, hasta una altura determinada.
11. Resuelva la siguiente situación problemática:
Un depósito esta lleno de un fluido líquido de densidad volumétrica ρ. El líquido es bombeado hacia
afuera por encima del nivel del líquido. ¿Cuánto trabajo se requiere para vaciar completamente el depósito?
El tratamiento físico-matemático del problema es el
siguiente:
Introduzcamos un eje vertical OY (generalmente con
la parte positiva por encima del origen (Figura 21)).
Sean a y b los niveles que delimitan el líquido en el
depósito con a < b y k el nivel (por encima del nivel del
líquido) por donde debe descargarse el fluido
bombeado.
Consideremos un nivel y con bya ≤≤ y el plano
perpendicular al eje OY que pasa por y, entonces este
plano define una sección transversal del líquido en el
depósito de área )y(A . Sea dy un “número positivo
muy pequeño” que representará el espesor de la
sección transversal en el nivel y.
Con esto hemos construido, en el nivel y, una
sección de líquido que se encuentra aproximadamente a
la misma altura y cuyo volumen es dy)y(A . Figura 21
Como la masa de la sección es dy)y(Aρ , el trabajo necesario para elevarla desde el nivel y hasta el nivel
k, donde se encuentra el punto de descarga, viene dado por (ver Figura 21):
)yk(gdy)y(AhgmdW −⋅⋅ρ=⋅⋅=
Integrando estos elementos diferenciales desde el nivel ay = hasta el nivel by = (niveles entre los que se
encuentra el líquido), obtenemos el trabajo total de bombear todo el líquido hasta el nivel de descarga ky = :
dy)y(A)yk(gdWW
b
a
b
a
b
a ∫∫ −ρ==
114

12. Observaciones:
• El producto g⋅ρ=γ es el peso específico del líquido.
• En el caso particular donde las paredes del depósito o tanque tienen la forma de una superficie de
revolución generada al girar una curva de ecuación )x(fy = alrededor del eje OY, el área de la
sección transversal del líquido en el tanque viene dada por 21 ))y(f()y(A −π= .
El tanque de la Figura 22 tiene 8 pies de altura y 2 pies de radio en su parte superior. Si se llena de hasta
una altura de 6 pies con un aceite que tiene un peso específico de 3pie/lb60=γ , encuentre el trabajo
requerido para bombear todo ese aceite por el borde superior del tanque.
• Solución a la situación problemática
planteada:
Consideremos el aceite subdividido en
secciones de espesor dy, entonces el trabajo
necesario para bombear cada sección es:
)yk(dy)y(AdW −⋅γ=
)y8(dyx60dW 2 −π⋅=
dy)y8(y30dy)y8(
2
y
60dW −π=−π= .
Integrando desde el nivel 0y = hasta el nivel
6y = , obtenemos el trabajo total para bombear
todo el aceite por la parte superior del tanque.
=−π=−π= ∫
6
0
3
26
2
6
0 )
3
y
y4(30dy)y8(y30W
pielb84,67852160W6
0
⋅≈π= .
Figura 22
Un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido está lleno de un determinado líquido.
Dos hombres deben bombear el líquido hasta arriba del tanque, haciendo cada uno la mitad del trabajo
mecánico. Sea z la razón entre la profundidad del líquido que queda en el tanque cuando el primer hombre
ha terminado su trabajo y la profundidad inicial.
a) Demuestre que z se determina por la ecuación 01z8z6 34
=+− .
b) Calcule el valor de z con dos decimales.
115

Sea H la altura del tanque y R el radio de la parte
superior. El tanque se genera haciendo girar la curva de
ecuación x
R
H
y = para Rx0 ≤≤ (Figura 23). Sea γ el
peso específico del líquido. El elemento diferencial de trabajo
viene dado por:
dy)yH(
H
Ry
)yk(dy)y(AdW
2
−





γπ=−⋅γ= .
Integrando estos diferenciales en el intervalo [ ]H,0 se
tiene el trabajo total para bombear todo el líquido por la parte
superior del tanque.
12
HR
dy)yH(y
H
R
W
22H
0
2
2
H
0
γπ
=−





γπ= ∫ . Figura 23
Sea h la profundidad del líquido que queda en el tanque cuando se ha efectuado la mitad del trabajo total,
entonces la cantidad de trabajo que queda por realizar es:
24
HR
dy)yH(y
H
R
2
W
W
22h
0
2
2H
0h
0
γπ
=−





γπ⇒= ∫
24
HR
4
h
3
Hh
H
R 22432
γπ
=








−





γπ
24
1
H
h
4
1
H
h
3
1
24
1
4
h
3
Hh
H
1
43434
=














−





⇒=








−





, haciendo
H
h
z = tenemos:
01z8z6
24
1
4
z
3
z 34
43
=+−⇒=−
Utilicemos el comando [Solve] para resolver la ecuación 01z8z6 34
=+− en la variable x:
50. En el menú [RUN_MAT] borre la pantalla.
53. Edite seguidamente la función 1x8x6 34
+− .
• Dado que la función es positiva para 0x = y negativa para
1x = , tomemos como aproximación inicial 1x = .
• Se obtiene 61,0x ≈ .
Figura 24
Figura 25
Con esto tenemos que la razón entre la profundidad del líquido que queda en el tanque cuando el primer
hombre ha terminado su trabajo y la profundidad inicial, es igual 61,0
H
h
z ≈= . De modo que H61,0h ⋅≈ , esto
116

significa que cuando el primer hombre termina su parte del trabajo, aún queda por bombear líquido cuya
profundidad representa el 61% de la profundidad inicial.
• Muestre que sin embargo, falta por bombear aproximadamente un 23% del total del líquido.
¿Qué relación existe entre el trabajo realizado para vaciar completamente un tanque cilíndrico acostado y el
centroide de su base?
Consideremos un tanque cilíndrico acostado cuya base es una región R del plano (no necesariamente
circular). La longitud del cilindro es h y se encuentra completamente lleno con un líquido de peso específico
γ . Demuestre que el trabajo requerido para bombear todo el fluido hasta una altura por encima del nivel
superior del líquido, es igual al peso del líquido en el tanque multiplicado por la distancia vertical entre el
punto de descarga y el centroide de R.
De acuerdo con la Figura 26, tenemos que el
elemento diferencial de trabajo es:
dy)yk)(y(Lh)yk(dy)y(AdW −γ=−γ=
Donde h es la longitud del cilindro y L(y) es la
longitud de la sección transversal de la región R en el
nivel y, Luego, el trabajo total requerido para vaciar
completamente el tanque por el punto de descarga es:
=−γ== ∫∫ dy)y(L)yk(hdWW
b
a
b
a
b
a
=γ−γ ∫∫ dy)y(Lyhdy)y(Lkh
b
a
b
a Figura 26
)yk(G)yk)(R(Ah)
)R(A
)R(M
k)(R(Ah)R(hM)R(kAh x
x −⋅=−γ=−γ=γ−γ
Donde G representa el peso total del líquido en el tanque y yk − es la distancia vertical entre el nivel del
punto de descarga y el centroide de la base R del tanque.
17. Observación:
El líquido en el tanque es una masa homogénea que adopta la forma del tanque cilíndrico que lo
contiene, la posición vertical de su centro de masa (centroide en este caso) es en realidad y , la misma
posición vertical del centroide de R. Si consideramos el peso total G del líquido concentrado en su centroide
y yk − la distancia vertical del centroide hasta el nivel del punto de descarga, tendremos que el trabajo
requerido para trasladar esta partícula hasta el punto de descarga es:
)yk(GmghW −⋅== .
El tanque mostrado en la Figura 27 se encuentre completamente lleno de agua. Si el peso específico del
agua es 3m/kgf1000=γ y la base del tanque es un triángulo equilátero, encuentre el trabajo requerido
para bombear toda el agua por la espiga que se encuentra en la parte superior.
117

Como la región R es un triángulo equilátero de lado
m3l = , se puede deducir que su altura es m
2
33
a = .
Por otra parte, se sabe que el centroide de cualquier triángulo
se aloja a una distancia del lado igual a un tercio de la altura.
Para el tanque dado, el centroide de R estará a m
2
3
a
3
1
=
de su fondo. La distancia vertical entre el centroide y el nivel
del punto de descarga será m)34(d += . Figura 27
El volumen del tanque es igual al producto del área de la región R por la longitud del cilindro: h)R(AV ⋅= .
El área de R viene dada por 2
m
4
39
)R(A = y el volumen por 3
m
2
345
h)R(AV =⋅= . Por lo tanto, el
peso total del líquido en el tanque es kgf971.38m
2
345
m/kgf1000VG 33 ≈⋅=γ= .
El trabajo que se requiere para bombear toda el agua del tanque por el punto de descarga será:
J4031912mkgf223385)34(kgf322500dGW ≈⋅≈+⋅=⋅= .
1. Para cada uno de los tanques mostrados en la Figuras 28 y 29, encuentre el trabajo
requerido para vaciar cada uno si ambos están llenos de agua.
La base de la pirámide es cuadrada y el punto de descarga se
encuentra a dos metros de esta base.
Figura 28
El tanque consiste de un cilindro circular recto coronado por una
semiesfera con el punto de descarga en la parte superior.
Figura 29
2. En las siguientes situaciones problemáticas encuentre el trabajo requerido para bombear
el agua de cada uno de los tanques de las figuras 30, 31, 32 y 33, si inicialmente se encuentran llenos
de agua:
Figura 30
Figura 31
118

Figura 32 Figura 33
3. Un depósito lleno agua tiene la forma de un sólido generado al hacer girar alrededor del
eje OY la región limitada por la gráfica de la función )x(fy = y el eje OY en el primer cuadrante.
Para las funciones dadas a continuación, determine el trabajo requerido para bombear toda el agua
contenida en el depósito hasta un nivel que se encuentra a 1 m de la parte superior del mismo.
Considere todas las medidas en metros.
a) )1x(Ln)x(f 2 −= ;
6x2 ≤≤
b) 1e)x(f x −= ; 2x0 ≤≤
c)
16
x
)x(f
4
= ; 3x0 ≤≤
4. Se requiere bombear por su borde toda el agua de una cisterna semiesférica de radio R.
La bomba está accionada por dos hombres sucesivamente, y cada uno de ellos realiza la mitad del
trabajo. ¿Cuál será la profundidad h del agua en el centro del tanque cuando el primer hombre ha
terminado el trabajo que le corresponde?
5. Un tanque semiesférico de 6 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800
kilogramos por metro cúbico. El petróleo se bombea, hasta un nivel 3 m más alto que el borde del
tanque, mediante un motor de medio caballo de vapor (es decir, el motor realiza un trabajo de 2250
mKgf ⋅ por minuto). ¿Cuánto tiempo se tardará en vaciar el tanque?
6. Un tanque para agua tiene la forma de un hemisferio de 8 m de diámetro coronado por un
cilindro del mismo diámetro y de 3 m de altura. Encuentre el trabajo que se hace al vaciarlo con una
bomba cuando está lleno hasta 1,5 m debajo del borde.
¿Cómo calcular la fuerza ejercida por un fluido sobre una pared?
Cuanto más profundamente se sumerge un objeto, mayor
es la presión que sufre (entendiendo aquí presión como
fuerza sobre cada unidad de área). Esta noción viene descrita
por la fórmula explícita:
hp ⋅γ=
donde p representa la presión del fluido, h la altura bajo la
superficie (profundidad) y γ el peso específico del fluido por
unidad de volumen.
El peso específico del agua es 3pie/lb4,62 , y por
tanto a una profundidad de 20 pies, la presión sobre un buzo
sumergido es:
23 pie/lb1228pie20pie/lb4.62p =⋅= .
Esta presión corresponde al peso de la columna de agua de
20 pies de altura que soporta sobre sí cada pie cuadrado de área
del buzo.
Además de acuerdo con el principio de Pascal:
La presión ejercida por un fluido a una determinada
profundidad es igual en todas las direcciones.
119

En consecuencia la presión contra una compuerta de una
represa, a cierta profundidad, es igual que la ejercida sobre un
objeto sumergido a la misma profundidad.
Resulta sorprendente comprobar que la fórmula de la presión ejercida es independiente del recipiente. La
presión queda determinada únicamente por la profundidad; cualquier otra dimensión del recinto que la contiene es
irrelevante.
En esta práctica nuestro interés en la presión de fluidos se centrará en el cálculo de la fuerza total ejercida por
un fluido sobre las paredes de su contenedor.
Para un contenedor de paredes verticales y fondo horizontal es fácil calcular la fuerza total sobre su fondo. La
presión en dicho fondo es constante y la fuerza total es simplemente el producto de esa presión por el área del
fondo.
En general, para una región plana sumergida horizontalmente, se tiene:
Fuerza total sobre una región plana = (presión) (área de la región) = (peso específico)(profundidad)(área)
Esto es,
AhF ⋅⋅γ= .
Pero si se desea calcular la fuerza total sobre las paredes verticales del contenedor, el problema es más difícil,
puesto que la presión no es constante en cada punto de las paredes, sino que aumenta con la profundidad.
Considere una región plana R sumergida verticalmente en un fluido de peso específico γ , como se ve
en la Figura 34. Determine fuerza total que actúa sobre esa región, desde la profundidad ah − hasta bh − .
Introduzcamos un eje vertical OY (generalmente con
la parte positiva por encima del origen (Figura 34)).
Sean a y b los niveles que delimitan la región R con
ba < .
Consideremos un nivel y con bya ≤≤ . Sea dy un
“número positivo muy pequeño” que representará el
espesor de la sección transversal de R en el nivel y.
Entonces en este nivel tenemos un rectángulo de ancho
dy y longitud L(y). La fuerza que actúa sobre este
elemento diferencial es aproximadamente:
dy)y(L)yh()área)(dprofundida(dF −γ=γ=
Como la fuerza es aditiva, al integrar estos
elementos entre ay = y by = obtenemos la fuerza
total sobre la región vertical R:
∫ −γ=
b
a
dy)y(L)yh(F .
Figura 34
Por lo tanto tenemos el siguiente resultado físico-matemático:
La fuerza F ejercida por un fluido de peso específico constante γ sobre una región plana R, sumergida
verticalmente entre ay = y by = , viene dada por
∫ −γ=
b
a
dy)y(L)yh(F
120

donde h denota la profundidad total del fluido y L(y) la longitud horizontal de la sección de R en y.
El fondo de una piscina es un plano inclinado. La piscina tiene 2 m de profundidad en un extremo y 10 m
en el otro. Si la misma mide 40 m de largo y 30 m de ancho, y sus paredes son verticales, ¿cuál es la fuerza
hidrostática que actúa sobre una de las paredes laterales de 40 m?
Dispongamos los ejes del sistema coordenado OXY como se presenta en la Figura 35.
Figura 35
La ecuación que representa el fondo de la piscina es y5x = para 8y0 ≤≤ . Cuando 10y8 ≤≤ , x es
constante e igual a 40. Luego el diferencial de fuerza sobre el elemento rectangular de longitud x viene dado por:



≤≤−γ
≤≤−γ
=−γ=
10y8para,dy)40)(y10(
8y0para,dy)y5)(y10(
dyx)y10(dF
En consecuencia, la fuerza hidrostática sobre la pared es:
3
2480
)y10(20y25
3
y5
dy)y10(40ydy)y10(5F
10
8
2
8
0
2
310
8
8
0
γ=










−−+−γ=−γ+−γ= ∫∫ .
Como el peso específico del agua es 3m/kgf1000=γ , tenemos:
N6001098kgf67,826666m
3
2480
.m/kgf1000F 33 === .
• ¿Cuál es la fuerza hidrostática que actúa sobre las demás paredes y el fondo de la piscina?
La compuerta de una represa que tiene la forma de un segmento parabólico. Mide 120 pies de largo en
su parte superior y 40 pies en su parte más ancha.
a) Calcule la fuerza hidrostática que actúa sobre la compuerta, si la superficie libre del agua
se encuentra a 25 pies de altura medida desde su parte más profunda.
b) Encuentre el nivel 25y0 ≤≤ para el cual la fuerza hidrostática en [ ]y,0 es igual a la
fuerza hidrostática en [ ]25,y .
121

Figura 36
Dispongamos el sistema de ejes coordenados de modo que el eje OY sea el eje de simetría del segmento
parabólico y el origen )0,0( se encuentre en el punto más bajo. Con esta disposición los puntos )40,60( y
)40,60(− serán los extremos de la parte superior y la ecuación del fondo tomará la forma
90
x
y
2
= . El peso
específico del agua es 33 pie/lb4,62m/kg1000 ==γ .
Para un nivel y dado, el elemento diferencial (rectángulo) tendrá un ancho y106y902x2 == y el
diferencial de fuerza viene dado por dyy106)y25(4,62xdy2)y25(dF ⋅−⋅=⋅−⋅γ= . Además y varía en el
intervalo [ ]25,0 .
La fuerza hidrostática contra la compuerta es:
libras6,603.986dy)yy25(104,374dyy)y25(104,374dFF
25
0
2/32/125
0
25
0
≈−=−== ∫∫∫ .
• Calculemos la integral en el menú [RUN-MAT]:
57. Active la plantilla integral.
58. Edite la expresión )xx25( 2/32/1
− .
59. Edite los límites de integración 0 y 25.
60. Presione .
61. Multiplique este resultado por 104.374 .
• Se obtiene: libras6,986630F ≈
Figura 37
Debemos encontrar el nivel 25y0 ≤≤ para el cual [ ] [ ]25,yy,0 FF = . Esto es equivalente a resolver la
ecuación:
[ ]
[ ]
2
6,603.986
2
F
dy)yy25(104,374F
25,0y
0
2/32/1
y,0 ≈=−= ∫
O bien,
067,416y
5
2
y
3
50
67,416y
5
2
y
3
50
67,416dy)yy25( 2/52/32/52/3y
0
2/32/1
=−−⇔=−⇔=−∫
• Resolvamos la ecuación en el menú [RUN-MAT]:
122

65. Edite seguidamente la función 67,416
5
x2
3
x50 2/52/3
−− .
• Tomemos como aproximación inicial el nivel intermedio 12x = .
• Se obtiene pies34,10x ≈ .
Figura 38
Podríamos esperar que la fuerza hidrostática fuese mayor en la parte superior que en la parte inferior, pero
recuerde que la fuerza aumenta proporcionalmente con la profundidad.
1. Encuentre la fuerza hidrostática que actúa sobre un lateral vertical de un depósito, si dicho
lateral tiene la forma de un:
a) Rectángulo de base 4 m y altura 3 m.
b) Triángulo de base 4 m y altura 3 m.
c) Trapecio isósceles de base inferior 2 m, base superior 4 m y altura 3 m.
d) Semicírculo de 4 m de largo en su parte superior.
e) Segmento parabólico de 4 m de largo en su parte superior y 4 m de altura en su parte más ancha.
f) Segmento semielíptico de 4 m de largo en su parte superior y 3m de altura en su parte más ancha.
2. Un depósito cilíndrico de gasolina está colocado de modo que su eje esta dispuesto
horizontalmente. Si el depósito está lleno hasta la mitad, encuentre la fuerza ejercida sobre uno de los
laterales circulares, sabiendo que el diámetro es de 3 pies y la gasolina pesa 3pie/lb50
3. Calcule la fuerza total sobre cada una de las siguientes placas verticales que se indican, si
las mismas están sumergidas en agua:
a) Un cuadrado cuya lado superior se encuentra a 2 m de profundidad.
b) Un rombo de 2 m de lado cuyo vértice superior se encuentra a 1m profundidad.
c) Un triángulo rectángulo de altura 9m y base 3m. Su vértice superior se encuentre a 3m de
profundidad.
d) Un rectángulo de base 1 m y altura 5 m cuyo lado superior se encuentra a 1 m de profundidad.
4. Una lámina rectangular tiene una base de b metros y una altura de h metros. La lámina se
encuentra sumergida verticalmente en un líquido de peso específico 3m/kgfγ . El depósito que
contiene al líquido tiene una profundidad de k metros ( kh ≤ ). Demuestre que la fuerza total ejercida
sobre la lámina viene dada por:
)yk()hb(F −⋅⋅⋅γ=
Donde yk − es la profundidad del centroide de la lámina.
BIBLIOGRAFÍA:
123

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