El documento trata sobre varios conceptos fundamentales de la física como el movimiento rectilíneo, la velocidad, el desplazamiento, la distancia recorrida, el trabajo realizado por fuerzas constantes y variables, la presión ejercida por los fluidos, y la aplicación del cálculo integral a estas leyes físicas. Explica las relaciones matemáticas que describen estos conceptos y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos.

1. Aplicaciones a la Física
Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el
que estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII
existía poca diferencia entre ser un físico o un matemático.
ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función
velocidad, v(t), se relacionan por s(t)  .
De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene: 
 s(t2)  s(t1)
La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la
posición en el instante t2, la diferencia s(t2)  s(t1) es el cambio de posición o
desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].
Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha
en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa
que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t)  0 en todo el
intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva
solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) s(t1) es lo mismo que la
distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t)  0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en
la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) s(t1) es el
negativo de la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el
intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el
desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la
distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia
total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la
distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto
de la función velocidad, es decir:

2. distancia total
recorrida durante el
intervalo de tiempo
[t1, t2]
=
Problema
Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en
el instante t es v(t)  t2  2t metros por segundo. Halle:
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) la distancia recorrida durante ese tiempo.
a)    0.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t 
3 que en el instante t  0.
b) La velocidad puede escribirse como v(t)  t ( t  2) de modo que v(t)  0 si 2
 t  3 y la velocidad es negativa si 0  t  2.
La distancia recorrida es:

 
distancia recorrida   .
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.

3. TRABAJO
El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando
necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas
físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva
una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete
o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el lenguaje
cotidiano, coloquial, el término trabajo se una para indicar la cantidad total de
esfuerzo requerido para realizar una tarea. En física tiene un significado técnico
que está en relación con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una
fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de él. Decimos que se hizo
un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto
es constante, tenemos la definición siguiente de trabajo.
 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza constante
F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define
como w  F . d
Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza
cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas
gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida
correspondientes al peso de un objeto.
Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una
fuerza variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo
realizado ya que la fuerza varía según el objeto cambia de posición.
 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x  a
hasta x  b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos
una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por
a  x0  x1  x2  x3  .........  xn1  xn  b donde  xi indica la amplitud o
longitud del i-ésimo subintervalo, es decir  xi  xi  xi1. Para cada i escogemos
ci tal que xi1  ci  xi. En ci la fuerza está dada por F(ci). Dado que F es
continua y suponiendo que n es grande,  xi es pequeño. Los valores de f no
cambian demasiado en el intervalo [xi1, xi] y podemos concluir que el trabajo
realizado wi al mover el objeto por el subintervalo i-ésimo (desde xi1 hasta xi)
es aproximadamente el valor F(ci).  xi
Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el
trabajo total realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por w  
.

4. Esta aproximación mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el límite de
esta suma cuando n   resulta w  
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza
que varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza
conforme el objeto se mueve desde x  a hasta x  b está dado por w 
.
PRESIÓN Y FUERZA EJERCIDAS POR UN FLUIDO
 PRESIÓN DE UN FLUIDO
Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un
fluido mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se
construyen más gruesas en la base que en la parte superior porque la presión
ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presión
de un fluido se emplea una ley física importante que se conoce como el
principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y
carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados importantes.
El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a una
profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto
depende únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido
en reposo, la presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del
fluido por la profundidad, p  w . h. Definimos la presión como la fuerza que
actúa por unidad de área sobre la superficie de un cuerpo.
 FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE
CON PROFUNDIDAD CONSTANTE
Dado que la presión de un fluido aparece en términos de fuerza por unidad de
área, p  , la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente
con base plana horizontal se puede calcular multiplicando el área de la base
por la presión sobre ella F  p . A  presión . área . Teniendo en cuenta la
fórmula para calcular la presión resulta el valor de la fuerza F w . h . A

5. INTEGRALES APLICADAS A LA FÍSICA
Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el que
estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía poca
diferencia entre ser un físico o un matemático.
ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función
velocidad, v(t), se relacionan por s(t) = .
De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene: =
= s(t2) - s(t1)

6. Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el
instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está
más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo el intervalo de tiempo [t1, t2],
el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento
s(t2) - s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la
dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de
la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo
de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es
la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la
dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso
(distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la dirección
negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:
distancia total recorrida
durante el intervalo de
tiempo [t1, t2] =
Ejemplo:
Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el
instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) la distancia recorrida durante ese tiempo.
a) = = = 0.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en
el instante t = 0.

7. b) La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que v(t) ³ 0 si 2 £ t £ 3 y
la velocidad es negativa si 0 £ t £ 2.
La distancia recorrida es:
=
= =
distancia recorrida = = .
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.
CINEMÁTICA
Se conoce como la rama de la mecánica clásica, que estudia las leyes del movimiento
(cambios de posición) de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que lo producen,
limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.
La aceleración es el ritmo con que cambia su rapidez (módulo de la velocidad). La
rapidez y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia
su posición en función del tiempo.
CONCEPTO DE TRABAJO
El trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a la energía necesaria para
desplazar este cuerpo. El trabajo se conoce como una magnitud física escalar que se
representa con la letra W (del inglés Work) y se expresa en unidades de energía, esto es en
julios o joules (J) en el sistema internacional de unidades.
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento.

8. Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo
del vector desplazamiento dr, y q el ángulo que forma el vector fuerza con el vector
desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los
trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la
componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.
Ejemplo:
Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es
1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación.
El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J

9. Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la
fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft·s