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Movimientos de partículas

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MOVIMIENTOS Cinem ática:  Estudio del movimiento, usando los conceptos de espacio y tiempo, sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Definición de vector posición y desplazamiento Desplazamiento  es el  cambio  del  vector de posici ón  de un objeto.  El desplazamiento es una  magnitud relativa:  depende del sistema de referencia escogido Posici ón  de una partícula se describe con un  vector  posición  , que dibujamos desde el origen de un  sistema de referencia  hasta la ubicación de la partícula.
Definición de velocidad media de una partícula (una dimensión) Movimiento de una part ícula queda totalmente especificado si conocemos su posición en el espacio en todo instante.  Por ejemplo:
Definición de velocidad media de una partícula (una dimensión) En el intervalo de tiempo  El desplazamiento de la part ícula se describe como  Velocidad media La velocidad media es independiente del recorrido que siga la part ícula entre los dos puntos  (es proporcional al desplazamiento que sólo depende de las posiciones inicial y final) Gr áfica de posición-tiempo o gráfica de posición como función del tiempo
Interpetración gráfica de la velocidad media de una partícula  Asumimos que la velocidad es constante durante cada uno de esos peque ños incrementos  El desplazamiento de una partícula durante el intervalo de tiempo que va desde  t i   hasta  t f  es igual al área situada bajo la curva entre los puntos inicial y final en la gráfica velocidad-tiempo Gr áfica velocidad en función del tiempo Dividimos el intervalo de tiempo en peque ños incrementos de duración  Desplazamiento en cada uno de esos peque ños incrementos  Desplazamiento total Área de uno de los rectángulos estrechos
Transición de velocidad media a velocidad instantánea  ¿Cuál de estas dos líneas representa mejor la velocidad instantánea en el puno A? Pendiente negativa  => Velocidad media negativa (contrario al sentido de la velocidad en el punto A, en el que el coche se mueve hacia la derecha ¿Cómo cambia la velocidad media del coche a medida que el punto B se aproxima al A? La línea azul se aproxima a la línea verde (tangente a la curva en el punto A) Velocidad instant ánea de una partícula en una dimensión Velocidad media calculada en el intervalo que va desde A hasta B Velocidad media calculada en el intervalo que va desde A hasta F

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  • 1. MOVIMIENTOS Cinem ática: Estudio del movimiento, usando los conceptos de espacio y tiempo, sin tener en cuenta las causas que lo producen.
  • 2. Definición de vector posición y desplazamiento Desplazamiento es el cambio del vector de posici ón de un objeto. El desplazamiento es una magnitud relativa: depende del sistema de referencia escogido Posici ón de una partícula se describe con un vector posición , que dibujamos desde el origen de un sistema de referencia hasta la ubicación de la partícula.
  • 3. Definición de velocidad media de una partícula (una dimensión) Movimiento de una part ícula queda totalmente especificado si conocemos su posición en el espacio en todo instante. Por ejemplo:
  • 4. Definición de velocidad media de una partícula (una dimensión) En el intervalo de tiempo El desplazamiento de la part ícula se describe como Velocidad media La velocidad media es independiente del recorrido que siga la part ícula entre los dos puntos (es proporcional al desplazamiento que sólo depende de las posiciones inicial y final) Gr áfica de posición-tiempo o gráfica de posición como función del tiempo
  • 5. Interpetración gráfica de la velocidad media de una partícula Asumimos que la velocidad es constante durante cada uno de esos peque ños incrementos El desplazamiento de una partícula durante el intervalo de tiempo que va desde t i hasta t f es igual al área situada bajo la curva entre los puntos inicial y final en la gráfica velocidad-tiempo Gr áfica velocidad en función del tiempo Dividimos el intervalo de tiempo en peque ños incrementos de duración Desplazamiento en cada uno de esos peque ños incrementos Desplazamiento total Área de uno de los rectángulos estrechos
  • 6. Transición de velocidad media a velocidad instantánea ¿Cuál de estas dos líneas representa mejor la velocidad instantánea en el puno A? Pendiente negativa => Velocidad media negativa (contrario al sentido de la velocidad en el punto A, en el que el coche se mueve hacia la derecha ¿Cómo cambia la velocidad media del coche a medida que el punto B se aproxima al A? La línea azul se aproxima a la línea verde (tangente a la curva en el punto A) Velocidad instant ánea de una partícula en una dimensión Velocidad media calculada en el intervalo que va desde A hasta B Velocidad media calculada en el intervalo que va desde A hasta F
  • 7. Modelo analítico para el movimiento rectilíneo y uniforme Si la velocidad de la part ícula es constante, su velocidad instantánea en cualquier momento de un determinado intervalo de tiempo es igual a la velocidad media en dicho intervalo Si ahora tomamos la definici ón de velocidad media Si y
  • 8. Representación gráfica para el movimiento rectilíneo y uniforme Si y
  • 9. Definición de aceleración Cuando la velocidad de una part ícula varía con el tiempo, se dice que está sometida a una aceleración. La velocidad es una magnitud vectorial, que tiene un m ódulo, una dirección y un sentido Por lo tanto, el cambio en la velocidad, puede ser un cambio en: 1. En el m ódulo (ejemplo, al pisar el acelerador o el freno) 2. En la dirección o el sentido (ejemplo, al girar el volante)
  • 10. Definición de aceleración media en una dimensión Supongamos una part ícula que se mueve a lo largo del eje x varía su velocidad Instante Velocidad Aceleraci ón media El m ódulo de la aceleración tiene dimensiones de longitud/tiempo 2
  • 11. Definición de aceleración instantánea en una dimensión En algunas situaciones, la aceleraci ón media puede ser diferente para diferentes intervalos de tiempo. Entonces es conveniente definir la aceleración instantánea. Pendiente de la gr áfica velocidad con respecto del tiempo Tambi én puede definirse como la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo
  • 12. Modelo analítico para el movimiento rectilíneo, uniformemente acelerado Si la aceleraci ón de la partícula es constante, su aceleración instantánea en cualquier momento de un determinado intervalo de tiempo es igual a la aceleración media en dicho intervalo Si ahora tomamos la definici ón de aceleración media Si y
  • 13. Desplazamiento como función del tiempo en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado El desplazamiento de una partícula durante el intervalo de tiempo que va desde t i hasta t f es igual al área situada bajo la curva entre los puntos inicial y final en la gráfica velocidad-tiempo
  • 14. Velocidad media en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Velocidad media de una part ícula con aceleración constante Como
  • 15. Posición como función del tiempo en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Si y
  • 16. Posición como función del tiempo en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Sustituyendo el valor de la velocidad final como funci ón de la aceleración y del tiempo Despejando el valor del tiempo Si y
  • 17.
  • 18. Tiro parabólico : aproximaciones fundamentales La aceleraci ón de caída libre , g , es constante a lo largo de todo el movimiento y tiene dirección descendente (hacia el centro de la Tierra) El efecto de la resistencia del aire es despreciable Equivalente a suponer: - la velocidad inicial del objeto es peque ña (para que el efecto del rozamiento sea despreciable). - rango de movimiento pequeño comparado con el radio de la Tierra (podemos considerar que la Tierra es plana dentro de ese rango). - la altura máxima del objeto es también pequeña comparada con el radio de la Tierra (g varía con la altura). - la Tierra está en reposo.
  • 19. Tiro parabólico : condiciones iniciales Posici ón inicial: en t = 0, la partícula está en el origen ( x i = y i = 0) Sistema de referencia: eje y sea vertical y sentido positivo hacia arriba Velocidad inicial:
  • 20. Tiro parabólico : velocidad y posición como función del tiempo Posici ón Velocidad Tiro parabólico : origen del nombre Despejando t de la primera ecuaci ón y sustituyendo en la segunda Ecuaci ón de una parábola
  • 21. Tiro parabólico : Alcance horizontal y altura máxima Punto de altura m áxima Alcance horizontal ¿Cómo se puede aumentar h? Aumentando m ódulo de la velocidad inicial Lanzando con un ángulo mayor Lanzando en un sitio con aceleración de caída libre menor (la Luna) En el punto de altura m áxima, la componente de la velocidad a lo largo de y se anula La part ícula llegará al punto de altura máxima en el instante t 1 Durante este tiempo, la part ícula se habrá desplazado una distancia h a lo largo de y
  • 22. Tiro parabólico: Alcance horizontal y altura máxima (cont.) ¿Cómo se puede aumentar R ? Aumentando m ódulo de la velocidad inicial Lanzando en un sitio con aceleración de caída libre menor (la Luna) Punto de altura m áxima Alcance horizontal Sólo para movimientos simétricos En alcance R es la distancia horizontal recorrida. En el punto de alcance m áximo y f = 0 Como
  • 23. Partícula con movimiento circular uniforme: definición Se dice que una part ícula se mueve con un movimiento circular uniforme cuando se desplaza siguiendo una trayectoria circular con celeridad constante v Aunque un objeto se mueva con una velocidad constante en una trayectoria circular, tambi én tiene una aceleración, ya que varía la dirección del vector velocidad. E l vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria del objeto y perpendicular al radio de la trayectoria circular. El vector aceleraci ón en un movimiento circular uniforme siempre es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo. Si no fuera así, habría una componente de la aceleración paralela a la trayectoria, es decir, paralela al vector velocidad. Esta componente contribuiría a aumentar la celeridad, contradiciendo nuestra hipótesis
  • 24. Partícula con movimiento circular uniforme: módulo de la aceleración Los dos tri ángulos son similares (dos triángulos son similares si el ángulo entre cualquiera de dos de sus lados es igual en ambos triángulos y si la relación entre las longitudes de dichos lados es la misma). M ódulo de la velocidad v SE LLAMA ACELERACIÓN CENTRÍPETA su módulo es constante pero su dirección cambia de manera continua según se desplaza el objeto: siempre apunta hacia el centro del círculo. El ángulo entre los dos vectores posición es igual al ángulo entre los dos vectores velocidad (el vector velocidad siempre es perpendicular al vector posición) Aceleraci ón instantánea Tomando l ímite cuando
  • 25. Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y radial Imaginemos una part ícula que se mueve a lo largo de una trayectoria curva, donde el vector velocidad varía tanto en dirección como en módulo El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria El vector aceleraci ón forma un ángulo con la misma Modelo geom étrico: se sustituye la trayectoria real en cada punto por una trayectoria circular, cuyo radio es el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto. Sustituimos peque ñas porciones de la trayectoria real por trayectorias circulares (líneas discontinuas).
  • 26. Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y radial Expresamos la aceleraci ón en cada punto mediante dos componentes, en función de un origen situado en el centro de cada círculo. Componente radial a lo largo del c írculo. Componente tangencial perpendicular a dicho radio La aceleraci ón tangencial produce el cambio del módulo del vector velocidad de la partícula. Su módulo es: La aceleraci ón radial se debe al cambio de la dirección del vector velocidad de la partícula. Su módulo es: Radio del c írculo Signo menos de la aceleraci ón centrípeta es porque se dirige hacia el centro del círculo modelo, y éste es opuesto al vector unidad en la dirección radial
  • 27.
  • 28. Partícula con movimiento circular Un radi án representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Equivalencia entre grados y radianes Definición de radián El desplazamiento lineal es igual al radio por el ángulo Definimos el m ódulo de la velocidad instantánea como Grados   0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Radianes 0 π /6 π /4 π /3 π /2 π 3π /2 2π
  • 29. Módulo de la aceleración angular Se define la aceleraci ón angular como: Se define a la velocidad angular como Unidades: (rad/s)
  • 30. Partícula con movimiento circular uniforme: velocidad angular constante Se define el periodo T como el tiempo necesario para completar una vuelta. El periodo se mide en segundos. Se define la frecuencia  como el n úmero de vueltas que la partícula completa en un segundo. La frecuencia se mide en (revoluciones/segundo) = Hertz Velocidad angular Por definici ón  integrando En un periodo la partícula recorre una distancia de Por lo tanto, el módulo de la velocidad de la partícula vendrá dada por De donde
  • 31. Partícula con movimiento circular uniformemente acelerado: aceleración angular constante
  • 32. Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleración tangencial y radial en el movimiento circular
  • 33. Vector velocidad angular Vector velocidad angular M ódulo: valor de la velocidad angular Dirección: perpendicular al plano del movimiento Sentido: tornillo a derechas Derivando el vector velocidad, obtenemos la aceleraci ón R α Como sugiere que
  • 34. Bibliografía F ísica, Volumen 1, 3° edición Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson ISBN: 84-9732-168-5 Capítulos 2 y 3 F ísica, Volumen 1 R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. Sands Ed. Pearson Eduación ISBN: 968-444-350-1 Capítulo 8