Articulo Científico - MODELO MATEMÁTICO DE ALGORITMO SOCIAL BASADO EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS PARA LA RECOLECCIÓN E IDENTIFICACIÓN DE INTERESES DE COLONIAS HUMANAS

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MODELO MATEMÁTICO DE ALGORITMO SOCIAL BASADO EN LA
TEORÍA DE CONJUNTOS PARA LA RECOLECCIÓN E IDENTIFICACIÓN DE
INTERESES DE COLONIAS HUMANAS
Jonathan Torres, Carlos Ramirez, Victor Tuesta, H. Ivan Mejia, Halyn Alvarez
Escuela de Ingeniería de Sistemas, Universidad Señor de Sipán – Perú
Empresa de tecnología Kionqo Inc. SAC - Perú
{avasquezh, vtuesta, hmejiac}@crece.uss.edu.pe, {Jonathan, cramirez}@kionqo.com
PALABRAS CLAVE: algoritmo social,
recolección e intereses, colonias humanas.
RESUMEN
La importancia de conocer los intereses
de las personas implica la necesidad de aplicar
una encuesta en el menor tiempo posible, esto es
difícil y sus costos son muy elevados.
Se puede inferir que el problema es la
recolección de datos, por esta razón se propone
el desarrollo de un método automatizado que
implemente un algoritmo social basado en
colonias humanas, estas colonias agruparán a
turistas con intereses comunes.
Haciendo uso de la teoría de conjuntos
[1], se formalizará los diferentes escenarios del
algoritmo social basado en colonias humanas, el
cual servirá de base para ser implementado en
sistemas computacionales haciendo uso de un
lenguaje de programación [2].
El algoritmo social cuenta con los
siguientes componentes: USUARIO_TURISTA,
COLONIA, MIEMBRO e INTERES; los
componentes USUARIO_TURISTA,
COLONIA y MIEMBRO pueden ser
considerados conjuntos, en donde los elementos
vendrían a ser los INTERESES.
El componente que desencadena el flujo
de intereses es el USUARIO_TURISTA, ya que
el podrá crear y unirse a una COLONIA y definir
inicialmente los intereses de la colonia, los cuales
también le pertenecerían y pasaría a formar parte
de él, convirtiéndose en un MIEMBRO de la
COLONIA; además de estos escenarios el
USUARIO_TURISTA podrá retirase, abandonar
o estar dentro del perímetro de la COLONIA,
causando también un flujo de interés en los
componentes.
En este estudio se formaliza el escenario
del algoritmo social, haciendo uso de la teoría de
conjuntos y se propone un modelo matemático
para calcular el valor moda del INTERES de
cada uno de los componentes que agrupan
intereses como son la COLONIA,
USUARIO_TURISTA y MIEMBRO.
I. INTRODUCCIÓN
En la actualidad la recolección de
información turística en el Perú se realiza a través
de encuestas y entrevistas a los turistas que
arriban a los diferentes destinos de nuestro país,
esta forma de recolección es ineficiente en costo
y tiempo, que implica realizar las encuestas y
procesarlas, para obtener resultados acerca de los
intereses de los turistas, saber que destinos son
más visitados, conocer la cantidad de visitantes
al año a nuestro país, etc.
En el transcurso de su vida las personas
sienten la necesidad de alejarse de todo por un
momento, dejando el medio que nos rodea,
prefiriendo algún ambiente agradable o algún
sitio turístico. Este motivo constituye la base de
la necesidad del deseo de viajar.
Si bien el turismo es importante,
también lo es la recolección y procesamiento de
datos para identificar principales necesidades de
actividades turísticas. Actualmente el método de
recolección de información turística se realiza
mediante encuestas y entrevistas, esta forma de
recolectar información no es eficiente, ya que
requiere tiempo para recolectar y procesar los
datos.
Por esta razón se desarrolló un modelo
de recolección de datos de los intereses de los
turistas, que haga más eficiente el proceso; esto
mediante la aplicación del algoritmo de colonias
humanas basado en la teoría de conjuntos, el cual
agrupa a los turistas por grupos de interés.
En este trabajo se aborda la
formalización del modelo matemático basado en
la teoría de conjuntos [3], propiedades
fundamentales de la matemática para definir los
diferentes conjuntos que intervienen, como
población de usuarios, intereses, miembros;
además la representación por extensión y
comprensión, e incluso la formalización en
cuanto a los diferentes escenarios en creación de
colonia, unir a colonia, generar empatía salir o
abandonar la colonia además se tiene en cuenta
el valor moda que se incrementa o disminuye
según la acción en los diferentes escenarios.

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II TRABAJOS REALIZADOS
N. Tello & J. Peña en su trabajo
Modelos matemáticos de la sociedad y
aplicaciones. [4]. Contribuir al análisis de las
redes sociales desde el punto de vista sociológico
y antropológico, y por otro lado el análisis
matemático de las redes sociales y la
construcción de modelos.
En la aplicación círculos sociales en las redes
sociales [5]. Los métodos, sistemas y aparatos,
incluyendo programas de ordenador codificados
en un medio de almacenamiento de ordenador,
para transmitir datos de contacto para la
visualización de representaciones gráficas de los
contactos para la visualización a un usuario, los
contactos son contactos del usuario dentro de un
servicio de red social implementado por
ordenador.
Dávila & Ramírez, desarrollaron un modelo
dinámico con programación lineal mixta [6], que,
de soporte a los administradores para diseñar sus
planes de abastecimiento, que permita optimizar
los costos de la cadena de suministro global,
maximizando los niveles de servicio.
El modelo propuesto, se muestra en
siguiente en la representación:
Fig. 1.- La ilustración muestra los escenarios
del algoritmo social basado en colonias
humanas, el cual se formaliza en base a la teoría
de conjuntos y que tiene por objetivo recolectar
de manera eficiente los intereses de los turistas.
III METODOLOGÍA
La noción de conjunto [7][8] intuitivamente se
dice que es una colección o reunión de objetos
abstractos o concretos (elementos), que guardan
una característica común como, por ejemplo, los
días de la semana, los países de América del Sur,
en la presente investigación los elementos serán
los usuarios que formaran colonias humanas
considerando sus diferentes intereses.
Generalmente se denota a un conjunto
con letras mayúsculas y a sus elementos
mediante letras minúsculas separados por comas
y encerrados con llaves.
La relación de pertenencia se establece
esta relación sólo de elemento a conjunto y
expresa si el elemento indicado forma parte o no
del conjunto considerado.
“. . . pertenece a. . .” : 
“. . . no pertenece a. . .” : 
La determinación de un conjunto
consiste en precisar correctamente que elementos
forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos
formas:
Por Extensión (forma tabular) cuando se
nombran todos y cada uno de los elementos. El
orden en el cual son listados los elementos del
conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a
él.
Por Comprensión (forma constructiva)
cuando se enuncia una propiedad que caracteriza
a todos los elementos del conjunto, de tal manera
que cada objeto que goza de la propiedad
pertenece al conjunto y todo elemento del
conjunto goza de la propiedad mencionada.
Respecto a los gráficos utilizamos los
diagramas de VENN-EULER.
Son regiones planas limitadas por
figuras geométricas cerradas que se utilizan para
representar gráficamente a los conjuntos, así:
. . . .
Fig. 2.-Ilustracion de representación de
conjuntos.
El número cardinal de un
conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos
diferentes que posee y se denota por: n(A).
La relación entre conjuntos como la
inclusión  nos dice que A está incluido en otro
conjunto B, si todos los elementos de A
pertenecen a B. Se denota: A  B el cual se lee
“A está incluido en B” o “A es subconjunto de
B” y su representación [9][10]:

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A  B   x  A: x  A  x  B
Gráficamente:
Fig. 3.-Ilustracion de la representación de
inclusión de conjuntos.
Observaciones:
*Todo conjunto está incluido en sí mismo o es
subconjunto de sí mismo.
 A: A  A
*El conjunto vacío está incluido en todo
conjunto.
 A:   A
Una extensión de la teoría clásica de
conjuntos, donde un elemento pertenece o no a
un conjunto, tal elemento tiene solo 2
posibilidades, pertenecer o no, un elemento es bi-
valuado y no se definen ambigüedades.
El Valor moda [11][12] de una variable es la
que más veces se repite.
IV COMPONENTES DEL MODELO:
Siendo “P” la población de turistas que tienen un
Smartphone, el cual viene siendo representado de
la siguiente manera.
𝑃 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑚𝑎𝑟𝑡𝑝ℎ𝑜𝑛𝑒}
El USUARIO_TURISTA,
Siendo “U” un subconjunto de “P”, el cual
representa a los turistas que tienen un
Smartphone y una cuenta activa en el sistema que
implementa el algoritmo social basado en teoría
de conjuntos, entonces podemos representar el
conjunto U tanto por compresión y por extensión
de la siguiente forma:
𝑈 = {x/x es un turista con smartphone y
cuenta activa en el sistema computacional
𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑏𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠}
COLONIA
Una colonia es un ente autónomo, creado por un
usuario_turista, con el objetivo de reunir a
personas con intereses comunes. Además, ocupa
una zona geográfica geo localizada.
𝐶 = {𝑥/x es una colonia creada en el
sistema computacional que implementa el
𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠}
MIEMBROS
El usuario_turista al crear o unirse a una colonia,
se convierte en un miembro de colonia, dándole
las facultades para interactuar con los demás
miembros.
𝑀 = {𝑥/x es un integrante único en cada colonia existente
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑖𝑎𝑠}
INTERESES
Los intereses son los elementos cuantificables
dentro del algoritmo que permitirán realizar
procesos estadísticos para identificar las
principales necesidades de actividades turísticas.
En el plano matemático, los intereses son
elementos de las colonias, miembros y usuarios,
los cuales se comportan como conjuntos dentro
del algoritmo social y a la vez son cuantificados
a través de valor moda.
Fig. 4.- Se observa que el interés “i5” es común
entre el Miembro “m111”, Miembro “m212” y
Miembro “m413”.
Se puede definir también que la intersección de
los tres miembros es el interés “i5”
𝐼 = {𝑥/x es un interés existente
en el sistema computacional}
Representación de un interés que pertenece a
una colonia 𝒄 𝒂𝒋
𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
∈ 𝐼 𝑎𝑗
Donde:
𝑖𝑗𝑙: Identificador único del interés 𝑖𝑙 dentro de la
colonia 𝒄 𝒂𝒋
𝑅: Orden del ingreso del interés 𝑖𝑙 a la colonia
𝒄 𝒂𝒋
𝑚: Valor moda del interés 𝑖𝑗𝑙
Fig. 5.-, Representación de un interés que
pertenece a una colonia 𝑐 𝑎𝑗
un miembro 𝒎 𝒂𝒋𝒌
𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑆 𝑛
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘
Donde:
𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙: Identificador único del interés 𝑖𝑙 dentro
del miembro 𝒎 𝒂𝒋𝒌
𝑖𝑗𝑙
𝑅
𝑚
A
B

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𝑆: Orden del ingreso del interés 𝑖𝑙 al miembro
𝒎 𝒂𝒋𝒌
𝑛: Valor moda del interés 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙
pertenece a un miembro 𝑚 𝑎𝑗𝑘
un usuario 𝒖 𝒂
𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
∈ 𝐼 𝑎
Donde:
𝑖 𝑎𝑙: Identificador único del interés 𝑖𝑙 dentro del
usuario 𝒖 𝒂
𝑃: Orden del ingreso del interés 𝑖𝑙 al usuario 𝒖 𝒂
𝑞: Valor moda del interés 𝑖 𝑎𝑙
pertenece a un usuario 𝑢 𝑎
V RESULTADOS EN LOS DIFERENTES
ESCENARIOS DEL ALGORITMO
SOCIAL
ESCENARIO 1: CREAR COLONIA
Para que un USUARIO_TURISTA cree una
COLONIA debe definir un título, una breve
descripción, definir los intereses iniciales de la
colonia y el área geo localizada donde se ubica.
Formalización del escenario crear
colonia:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
∈ 𝑈 → ∃! 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡′,𝑙𝑜𝑛𝑔′)
𝑟
∈ 𝐶
El usuario agrega intereses 𝑖𝑙 a la colonia, donde
𝑖𝑙 ∈ 𝐼 , estos mismos intereses son agregados al
miembro y son comparados con los intereses del
usuario, si no existen se agregan al usuario;
Entonces podemos definir por comprensión el
conjunto de intereses de la colonia representado
por 𝐼 𝑎𝑗, el conjunto de intereses del miembro
representado por 𝐼 𝑎𝑗𝑘 y el conjunto de intereses
del usuario representado por 𝐼 𝑎:
𝐼 𝑎𝑗 = { 𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
/ 𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
= 𝑖𝑙 ∧ 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡′,𝑙𝑜𝑛𝑔′) 𝑟
⊆ 𝐶} (1)
𝐼ajk = { 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑠 𝑛
/ 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑠 𝑛
= 𝑖𝑙 ∧ 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑠 𝑛
∈ 𝐼 𝑎𝑗} (2)
𝐼 𝑎 = { 𝑖 𝑎𝑙 𝑝 𝑞
/ 𝑖 𝑎𝑙 𝑝 𝑞
= 𝑖𝑙 ∧ 𝑖 𝑎𝑙 𝑝 𝑞
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘} (3)
Donde
𝑙𝑎𝑡′
: 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 ∧ 𝑙𝑜𝑛𝑔′
∶ 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 , tal que r > 0
Aplicación de creación de la colonia.
En las siguientes líneas se describe la ilustración
8 el cual permite entender el proceso que sigue el
algoritmo en el sistema cuando un
USUARIO_TURISTA crea una colonia.
La notación que usaremos para nombrar a un
miembro dentro de una Colonia es majk, la cual
indica que el usuario_turista “u1” es miembro
“m111” dentro de la colonia “c11”.
Fig. 8.-, Usuario Turista crea colonia.
El valor moda de los intereses tanto para la
colonia, miembro y usuario_turista se calcularán
a través de las siguientes formulas.
Calculando valor moda de los intereses de la
Colonia:
Siendo 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
∈ 𝐶 , ∃ 𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
∈ 𝐼 𝑎𝑗
entonces
𝑉𝑀𝐼(𝑖 𝑗𝑙 𝑅 𝑚
) = 𝑧𝑚 +
(−1)Ψ
𝑉𝑀𝐼(𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑆 𝑛
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑚 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑚 > 0
(4)
𝑖𝑗𝑙: Identificador único del interés 𝑖𝑙 dentro de
la colonia 𝒄 𝒂𝒋
𝒄 𝒂𝒋
𝑚: Valor moda actual del interés 𝑖𝑗𝑙
𝛹: Es par, para operaciones que incrementan el
valor moda de los intereses de la colonia e
impar en operaciones que disminuyen el valor
Moda de los intereses de la colonia (Para el
escenario de crear colonia 𝛹 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟). [13]
𝑧: {
0, 𝑠𝑖 𝑖𝑗𝑙∄ 𝐼 𝑎𝑗
1, 𝑠𝑖 𝑖𝑗𝑙 ∃ 𝐼 𝑎𝑗
(5)
𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙
𝑆
𝑛
𝑖 𝑎𝑙
𝑃
𝑞

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Calculando valor moda de los intereses del
Miembro:
Siendo 𝑚 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝑀 , ∃ 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑆 𝑛
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘 entonces
) = 𝑧𝑛 + d {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑛 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑛 > 0
(6)
𝒎 𝒂𝒋𝒌
𝑛: Valor moda actual del interés 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙
𝑑: Es “+1” cuando el miembro crea colonia, se
une a colonia o acepta un interés por empatía y
es “0” cuando el miembro se retira de colonia,
rechaza interés por empatía, entrar en perímetro
de colonia o abandona la colonia.
𝑧: 𝐸𝑠 0 𝑠𝑖 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 ∄ 𝐼 𝑎𝑗𝑘 ⋁ 1 𝑠𝑖 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 ∃ 𝐼 𝑎𝑗𝑘
Usuario:
Siendo
𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
∈ 𝑈 , ∃ 𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
∈ 𝐼 𝑎 entonces
𝑉𝑀𝐼(𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
) = 𝑧𝑞 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑞 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑞 > 0
(7)
Donde:
𝑖 𝑎𝑙: Identificador único del interés 𝑖𝑙 en el
usuario 𝒖 𝒂
𝑞: Valor moda actual del interés 𝑖 𝑎𝑙
𝛹: Es par para operaciones que incrementan el
valor moda de los intereses de la colonia e impar
en operaciones que disminuyen el valor moda de
los intereses de la colonia (Para el escenario de
crear colonia 𝛹 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
0 𝑠𝑖 𝑖 𝑎𝑙 ∄ 𝐼 𝑎
1 𝑠𝑖 𝑖 𝑎𝑙 ∃ 𝐼 𝑎
(8)
En la tabla 1 se muestran los intereses y sus
respectivos valores moda en el
USUARIO_TURISTA, COLONIA y
MIEMBRO.
LEYENDA
USUARIO COLONIA MIEMBRO
u1 c11 m111
I V.M I V.M I V.M
i1 1 i1 1 i1 1
i2 1 i2 1 i2 1
Tabla 1- Valores moda de los intereses de
usuario, colonia y miembro después de crear
colonia.
ESCENARIO 2: USUARIO_TURISTA SE
UNE A COLONIA.
El USUARIO_TURISTA, puede unirse a “n”
colonias, el único requisito es estar geo
localizado [14] dentro del perímetro de la
colonia, ya que las colonias vendrías hacer zonas
geográficas.
Formalización del escenario unir a colonia:
Para cualquier 𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
∈ 𝑈 se podrá unir a
una colonia siempre que cumpla lo siguiente:
𝑢 𝑎′
(𝑙𝑎𝑡′,𝑙𝑜𝑛𝑔′)
∉ 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
∧ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑢 𝑎′
, 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
) ≤ 𝑟
El usuario selecciona intereses 𝑖𝑗 𝑙 𝑅 𝑚
de la
colonia, donde
𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
∈ 𝐼 𝑎𝑗 ; Además también pueden agregar
nuevos intereses 𝑖𝑙 a la colonia, donde 𝑖𝑙 ∈ 𝐼 ∧
𝑖𝑙 ∉ 𝐼 𝑎𝑗
Los intereses seleccionados de la colonia y los
nuevos agregados sufrirán un incremento en su
valor moda, en todos los componentes (miembro,
colonia y usuario).
𝐼 𝑎𝑗 = { 𝑖𝑗 𝑙 𝑅 𝑚
/ 𝑖𝑗 𝑙 𝑅 𝑚
⊆ 𝐶} (9)
𝐼 𝑎𝑗𝑘 = { 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑠 𝑛
∈ 𝐼 𝑎𝑗} (10)
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘}(11)
Donde 𝑙𝑎𝑡′
∶
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 , tal que r > 0
Fig. 9.- Usuario_turista se une a colonia
Colonia:
∈ 𝐼 𝑎𝑗
entonces
) = 𝑧𝑚 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑚 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑚 > 0
(12)
𝑖𝑗𝑙: Identificador único del interés 𝑖𝑙 dentro
de la colonia 𝒄 𝒂𝒋
𝑅: Orden del ingreso del interés 𝑖𝑙 a la

de 12
𝛹: Es par, para operaciones que incrementan
el valor moda de los intereses de la colonia he
impar en operaciones que disminuyen el
valor moda de los intereses de la colonia
(Para el escenario de unirse a colonia
𝛹 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(13)
Miembro:
) = 𝑧𝑛 + d {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑛 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑛 > 0
(14)
𝒎 𝒂𝒋𝒌
une a colonia o acepta una interés por empatía y
rechaza interés por empatía, entrar en perímetro
Usuario:
Siendo 𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
∈ 𝑈 , ∃ 𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
∈ 𝐼 𝑎
entonces
) = 𝑧𝑞 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑞 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑞 > 0
(15)
Donde:
usuario 𝒖 𝒂
valor moda de los intereses de la colonia he impar
los intereses de la colonia (Para el escenario de
unirse a colonia 𝛹 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(16)
En la tabla 2 se muestran los intereses (I) y sus
respectivos valores moda (V.M) en el
MIEMBRO.
LEYENDA
USUARIO COLONIA MIEMBRO
u1 u2 c11 m111 m212
I V.M I V.M I V.M I V.M I V.M
i1 1 i1 1 i1 2 i1 1 i1 1
i2 1 i2 1 i2 2 i2 1 i2 1
I3 1 I3 1 I3 1
I5 X
I6 Y
Tabla 2: Valores moda de los intereses de
usuario, colonia y miembro después de unir a
colonia
ESCENARIO 3: MIEMBROS DE COLONIA
GENERAN EMPATIA
Siendo 𝑅 𝑛 una relación, que representa la
comunicación que establecen dos miembros de
una colonia 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
donde el subíndice 𝑛
representa la cantidad de ternas y
comunicaciones establecidas entre dos miembros
de una colonia.
Siendo 𝑚 𝑎𝑗𝑘 𝑦 𝑚 𝑔𝑗ℎ miembros de la colonia
𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
, entonces representaremos la
relación de comunicación entre ambos miembros
de la siguiente forma:
𝑅 𝑛(𝑘, ℎ) 𝑗 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 > ℎ
En el siguiente cuadro representamos la relación
de comunicación 𝑅 𝑛(𝑘, ℎ) 𝑗 de los miembros
𝑚 𝑎𝑗𝑘 𝑦 𝑚 𝑔𝑗ℎ y como va variando en el tiempo.
TI
E
MP
O
RELACION TERNAS
𝑡0 𝑅1(𝑘, ℎ) 𝑗 {(𝑘, ℎ, 1𝑘ℎ̅̅̅̅̅)}
𝑡1 𝑅2(𝑘, ℎ) 𝑗 {(𝑘, ℎ, 1𝑘ℎ̅̅̅̅̅), (ℎ, 𝑘, 2𝑘ℎ̅̅̅̅̅)}
𝑡2 𝑅3(𝑘, ℎ) 𝑗 {(𝑘, ℎ, 1𝑘ℎ̅̅̅̅̅), (ℎ, 𝑘, 2𝑘ℎ̅̅̅̅̅), (ℎ, 𝑘, 3𝑘ℎ̅̅̅̅̅)}
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑡 𝑛 𝑅 𝑛(𝑘, ℎ) 𝑗
{(𝑘, ℎ, 1𝑘ℎ̅̅̅̅̅), (ℎ, 𝑘, 2𝑘ℎ̅̅̅̅̅),(ℎ, 𝑘, 3𝑘ℎ̅̅̅̅̅)… (ℎ, 𝑘, 𝑛𝑘ℎ̅̅̅̅̅)}
Tabla 3: Cuadro de relaciones de comunicación
en el tiempo entre miembros k y h de colonia j
A partir de la tabla 3 podemos formalizar lo
siguiente:
Dados los miembros 𝑚 𝑎𝑗𝑘 𝑦 𝑚 𝑔𝑗ℎ de la colonia
, entonces podemos definir los
conjuntos:
𝐾 = {𝑘}
𝐻 = {ℎ}
𝐵 = {1𝑘ℎ̅̅̅̅̅, 2𝑘ℎ̅̅̅̅̅, 3𝑘ℎ̅̅̅̅̅, 4𝑘ℎ̅̅̅̅̅, 5𝑘ℎ̅̅̅̅̅, 6𝑘ℎ̅̅̅̅̅, … , 𝑛𝑘ℎ̅̅̅̅̅}
Los cuales permiten definir la relación 𝑅 𝑛(𝑘, ℎ) 𝑗
𝑅 𝑛(𝑘, ℎ) 𝑗 = { (𝑘, ℎ, 𝑛𝑘ℎ̅̅̅̅̅) ∈ 𝐾𝑥𝐻𝑥𝐵 𝑉 (ℎ, 𝑘, 𝑛𝑘ℎ̅̅̅̅̅)
∈ 𝐻𝑥𝐾𝑥𝐵 / 𝑘 ≠ ℎ ∧ 𝑘
> ℎ } ⋃ 𝑅 𝑛−1(𝑘, ℎ) 𝑗

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La relación 𝑅 𝑛(𝑘, ℎ) 𝑗 lanzará el algoritmo de
empatía si cumple la siguiente condición:
∃ 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑚 𝑎𝑗𝑘 𝑦 𝑚 𝑔𝑗ℎ 𝑒𝑛 𝑅 𝑛(𝑘, ℎ) 𝑗 𝑠𝑖 𝑛
= 5°
Al existir empatía se realizan las siguientes
operaciones:
𝑆𝑖 𝑚 𝑎𝑗𝑘 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑢𝑠𝑢𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
𝑒𝑠 𝐼 𝑎 𝑦
𝑚 𝑔𝑗ℎ 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑢𝑠𝑢𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑢 𝑔(𝑙𝑎𝑡′,𝑙𝑜𝑛𝑔′)
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢 𝑔(𝑙𝑎𝑡′,𝑙𝑜𝑛𝑔′)
𝑒𝑠 𝐼𝑔
Cuando se genera la empatía entre 𝑚 𝑎𝑗𝑘 𝑦 𝑚 𝑔𝑗ℎ
se intersectan los conjuntos de interés de los
usuarios 𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
y 𝑢 𝑔(𝑙𝑎𝑡′,𝑙𝑜𝑛𝑔′)
con lo cual el
conjunto de intereses comunes a ambos usuarios
se define como:
𝐼𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 = 𝐼 𝑎 ∩ 𝐼𝑔
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐼𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 ⊆ 𝐼 𝑎
→ 𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
𝑖 𝑎𝑙 𝑝 𝑞
∈ 𝐼𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 ∧ 𝑀𝑎𝑥(𝑉𝑀𝐼𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠) = 𝑉𝑀𝐼( 𝑖 𝑎𝑙 𝑝 𝑞
)
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐼𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 ⊆ 𝐼𝑔
→ 𝑆𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
𝑖 𝑔𝑙 𝑦 𝑥
∈ 𝐼𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 ∧ 𝑀𝑎𝑥(𝑉𝑀𝐼𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠) = 𝑉𝑀𝐼( 𝑖 𝑔𝑙 𝑦 𝑥
)
Entonces el interés 𝑖 𝑎𝑙 𝑝 𝑞
es sugerido al miembro
𝑚 𝑔𝑗ℎ y a los demás miembros de la 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
, al igual que el interés 𝑖 𝑔𝑙 𝑦 𝑥
es sugerido al
miembro 𝑚 𝑎𝑗𝑘 y a los demás miembros de la
, los miembros pueden aceptar o
rechazar los intereses sugeridos, con lo cual
existe un recalculo en la moda de los intereses.
Los dos intereses generados por la empatía de los
miembros de la colonia sufrirán un incremento
en su valor moda en sus componentes Colonia y
Usuario si y solo algún miembro acepta el interés
sugerido, si el interés es rechazado, no hay
incremento o decremento en el valor moda del
interés de los componentes (miembro, colonia y
usuario).
𝐼𝑎𝑗 = { 𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
/ 𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
⊆ 𝐶} (17)
∈ 𝐼 𝑎𝑗}(18)
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘}
Fig. 10.-Empatía entre miembros de una colonia
Colonia:
∈ 𝐼 𝑎𝑗
entonces
) = 𝑧𝑚 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑚 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑚 > 0
(19)
𝒄 𝒂𝒋
en operaciones que disminuyen el valor
escenario de empatía entre dos miembros de la
colonia 𝛹 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(20)
Miembro:
) = 𝑧𝑛 + d {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑛 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑛 > 0
(21)
𝒎 𝒂𝒋𝒌
rechaza interés por empatía, entra en perímetro
Usuario:

de 12
∈ 𝑈 , ∃ 𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
∈ 𝐼 𝑎
entonces
) = 𝑧𝑞 +
(−1)Ψ 𝑉𝑀𝐼(𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑆 𝑛
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑞 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑞 > 0
(22)
Donde:𝑖 𝑎𝑙: Identificador único
del interés 𝑖𝑙 en el usuario 𝒖 𝒂
𝑃: Orden del ingreso del interés 𝑖𝑙 al usuario
𝒖 𝒂
valor moda de los intereses de la colonia e
moda de los intereses de la colonia (Para el
escenario de empatía entre dos miembros de la
colonia 𝛹 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(23)
USUARIO_TURISTA, COLONIA y MIEMBRO
LEYENDA
USUARIO COLO
NIA
MIEMBRO
u1 u2 u3 c11 m111 m212 m313
I V
.
M
I V
.
M
I V
.
M
I V.
M
I V
.
M
I V
.
M
I V
M
i
1
1
4
i
1
1
9
i
2
6 i
1
3 i
1
2 i
1
1
i
2
2
7
i
2
1
7
i
3
9 i
2
3 i
2
1 i
2
1 i
2
1
i
5
3
9
i
3
2
3
i
4
2 i
3
2 i
3
1 i
3
1
i
8
9
7
i
5
1
6
i
5
1 i
4
1 i
4
1
i
9
1
0
1
i
6
4
0
i
5
2 i
5
1 i
5
1
usuario, colonia y miembro después de la
empatía
ESCENARIO 4: MIEMBRO SE RETIRA
DEL PERIMETRO DE LA COLONIA
Siendo el usuario 𝑢 𝑎(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔)
miembro 𝑚 𝑎𝑗𝑘
de la colonia 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
se considera que el
miembro esta fuera del perímetro de la colonia si
cumple:
𝑚 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
∧
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑢 𝑎′
) > 𝑟 (24)
El conjunto de intereses 𝐼 𝑎𝑗𝑘 del miembro 𝑚 𝑎𝑗𝑘
serán seleccionados para producir un decremento
en los componentes colonia y usuario en un valor
igual al 𝑉𝑀𝐼( 𝑖 𝑎𝑗𝑘𝑙 𝑠 𝑛
)
⊆ 𝐶} (25)
∈ 𝐼 𝑎𝑗} (26)
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘} (27)
∶
Fig. 11.- Miembro se retira del perímetro de la
colonia.
Colonia:
∈ 𝐶 ,
∃ 𝑖𝑗𝑙 𝑅 𝑚
∈ 𝐼 𝑎𝑗 entonces
) = 𝑧𝑚 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑚 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑚 > 0
(28)
𝒄 𝒂𝒋
valor moda de los intereses de la colonia he
escenario miembro se retira del perímetro de la
colonia 𝛹 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(29)
Miembro:
) = 𝑧𝑛 + d {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑛 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑛 > 0
(30)
𝒎 𝒂𝒋𝒌

de 12
une a colonia o acepta una interés por empatía y
Usuario:
∈ 𝑈 , ∃ 𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
∈ 𝐼 𝑎
entonces
) = 𝑧𝑞 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑞 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑞 > 0
(31)
Donde:
usuario 𝒖 𝒂
los intereses de la colonia (Para el escenario
miembro se retira del perímetro de la colonia
𝛹 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(32)
MIEMBRO.
LEYENDA
USUARIO COLO
NIA
MIEMBRO
u1 u2 u3 c11 m111 m212 m313
I V.
M
I V
.
M
I V
.
M
I V.
M
I V
.
M
I V
.
M
I V
M
i
1
1
4
i
1
1
9
i
2
6 i
1
3 i
1
2 i
1
1
i
2
2
7
i
2
1
7
i
3
9 i
2
2 i
2
1 i
2
1 i
2
1
i
5
3
9
i
3
2
3
i
4
2 i
3
1 i
3
1 i
3
1
i
8
9
7
i
5
1
6
i
5
1 i
4
0 i
4
1
i
9
1
0
1
i
6
4
0
i
5
1 i
5
1 i
5
1
usuario, colonia y miembro después de la salir
del perímetro de la colonia
ESCENARIO 5: MIEMBRO ENTRA AL
PERÍMETRO DE LA COLONIA
Esta funcionalidad del algoritmo se ejecuta
cuando se verifica que un miembro de la colonia
vuelve a estar dentro del rango o perímetro geo
localizado de la colonia, permitiendo de esta
manera incrementar el valor moda de los
intereses de la colonia y activando al miembro
y a sus intereses.
Formalización del escenario miembro entra al
perímetro de la colonia:
se considera que el
miembro está dentro del perímetro de la colonia
si cumple:
𝑚 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
∧ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑢 𝑎′
) ≤ 𝑟
serán seleccionados para producir un incremento
)
= 𝑖𝑙 ∧ 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡′,𝑙𝑜𝑛𝑔′)
𝑟
⊆ 𝐶} (33)
∈ 𝐼 𝑎𝑗} (34)
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘} (35)
∶
Fig. 12.-Miembro se reingresa al perímetro de la
colonia
colonia, miembro y usuario_turista se
calcularán a través de las siguientes formulas.
Colonia:
∈ 𝐼 𝑎𝑗
entonces
) = 𝑧𝑚 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑚 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑚 > 0
(36)
𝒄 𝒂𝒋

de 12
miembro entra en el perímetro de la colonia
𝑧: {
(37)
Miembro:
) = 𝑧𝑛 + d {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑛 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑛 > 0
(38)
𝒎 𝒂𝒋𝒌
Usuario:
∈ 𝑈 , ∃ 𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
∈ 𝐼 𝑎
entonces
) = 𝑧𝑞 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑞 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑞 > 0
(39)
Donde:
usuario 𝒖 𝒂
miembro entra en el perímetro de la colonia
𝑧: {
(40)
USUARIO_TURISTA, COLONIA y MIEMBRO.
usuario, colonia y miembro después de
perímetro reingresar al perímetro de la colonia.
ESCENARIO 6: MIEMBRO ABANDONA
COLONIA
Esta funcionalidad del algoritmo se activa
cuando un miembro de la colonia ya no quiere
pertenecer a la colonia, disminuyendo el valor
moda de los intereses del usuario y la colonia y
desactivando los intereses del miembro, ya que
estos no son significativos para la colonia al no
ser parte de la colonia.
Formalización del escenario miembro
abandona la colonia:
se considera que el
miembro abandona la colonia si cumple:
𝑚 𝑎𝑗𝑘 ∉ 𝑐 𝑎𝑗(𝑙𝑎𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔) 𝑟
serán seleccionados para producir un decremento
), se elimina la membresía
de 𝑚 𝑎𝑗𝑘 y sus intereses quedan con su ultimo
valor moda en histórico.
⊆ 𝐶} (41)
∈ 𝐼 𝑎𝑗} (42)
∈ 𝐼 𝑎𝑗𝑘} (43)
Donde
𝑙𝑎𝑡′
: 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 , tal que r > 0

de 12
Fig. 13.-Usuario abandona membresía en
colonia.
colonia, miembro y usuario_turista se
calcularán a través de las siguientes formulas.
Colonia:
∈ 𝐼 𝑎𝑗
entonces
) = 𝑧𝑚 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑚 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑚 > 0
(44)
𝒄 𝒂𝒋
en operaciones que disminuyen el valor
escenario miembro abandona la colonia
𝛹 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(45)
Miembro:
∈
𝐼 𝑎𝑗𝑘 entonces
) = 𝑧𝑛 + d {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑛 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑛 > 0
(46)
𝒎 𝒂𝒋𝒌
Usuario:
∈ 𝑈 , ∃ 𝑖 𝑎𝑙 𝑃 𝑞
∈ 𝐼 𝑎
entonces
) = 𝑧𝑞 +
(−1)Ψ
) {
𝑠𝑖 𝑧 = 0 → 𝑞 = 0
𝑠𝑖 𝑧 = 1 → 𝑞 > 0
(47)
Donde:
usuario 𝒖 𝒂
miembro abandona la colonia 𝛹 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟).
𝑧: {
(48)
USUARIO_TURISTA, COLONIA y MIEMBRO
usuario, colonia y miembro después de
abandonar la colonia
DISCUSIÓN
Recolectar y procesar la información
acerca de las expectativas y necesidades de los
turistas se constituye en un problema de tiempo
y recursos, y más aún responder y brindarles las
mejores opciones, esto será posible recolectando
y procesando los datos del interés del turista,
utilizando tecnologías de la información basadas
en la teoría de conjuntos.
En el transcurso del tiempo existe el deseo de las
personas de manera social de querer alejarse por
lo menos algún momento de todo, dejando el
medio que nos rodea sea físico, prefiriendo,
algún ambiente agradable o algún sitio turístico.
Este motivo constituye la base de la necesidad
del deseo de viajar.
Si bien el turismo es importante,
también lo es recolectar y procesar datos para
identificar principales necesidades de
actividades turísticas. Por tal motivo el turismo

de 12
es considerado como uno de los ejes de la
vocación regional en el plan de desarrollo.
Por lo planteado es necesario conocer
identificar las necesidades e interés los turistas en
bien de los turistas. [15]
CONCLUSIONES
En este trabajo se abordó el diseño del
modelo matemático de un algoritmo social
basado en la teoría de conjuntos, para la
recolección e identificación de interés de
colonias, de manera eficiente, para identificar y
decidir según estos intereses con mayor
frecuencia y según la ubicación geo localizada,
afín de sugerir y elegir la mejor opción.
A partir de este panorama social, se hace
indispensable utilizar v la tecnología al alcance
de nuestras manos, que nos orienten de una
manera simple y organizada bajo un diseño
social de las principales necesidades del turista.
Una manera innovadora de concebir esta
orientación fué diseñar un modelo matemático de
un algoritmo social basado en la teoría de
conjuntos para la recolección y procesamiento de
la información con la finalidad de identificar las
principales necesidades del turismo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografía
[1] B. Ludwing, «Teoría general de los
sistemas», Fondo de Cultura Económica, México
D.F., 1976, pp. 13-16.
[2] A. Mancilla, «Diseño y construcción de
algoritmos», Bogotá, COLOMBIA: Universidad
del Norte, 2014. ProQuest ebrary, Web. 28
September 2016, pp. 16-30.
[3] J.Aracil, F. Gordillo, «Dinámica de
sistemas», Editorial Alianza, España, 2007, pp.
15-25.
[4] N. Tello,J.Peña, «Modelos matemáticos de la
sociedad y aplicaciones», Revista hispana para el
análisis de redes sociales, México, 2013.
[5] Smarr, J. and Adams, P. and Ben-Yair, S. and
Terleski, J. and Sladden, M.R. and Su, R.J.A.
«Social circles in social networks»,
https://www.google.com/patents/CA2816550A1
?cl=en, 2012, publisher={Google Patents}.
[6] R. Davila, L. Ramirez «Modelo matemático
para la optimización de una cadena de suministro
global con consideraciones de cupos de compra
y periodos de pago», Universidad del Valle, Cali,
Colombia, 2012.
[7] Guerrero, SLM 2005, «Matemáticas. Sus
fundamentos en secuencia óptima», El Cid
Editor, Córdoba, AR. Available from: ProQuest
ebrary, 27 September 2016.
[8] T. Apostol «vol.1 Calculus», Editorial
Reverte S.A. México. 2006 pp. 13-19.
[9] C. Ivorra Castillo, «Lógica y teoría de
conjuntos», en http://www.uv.es/
~ivorra/Libros/Logica.pdf.
[10] S. Lipschutz. «Teoría de conjuntos y temas
afines». McGraw-Hill, México. pp. 1-16.
[11] A. Garrido, J. Álvaro, «Técnicas de análisis
estadísticos en ciencias sociales», Universidad
Complutense, Madrid, 1995.
[12] J. Devore «Probabilidad y estadística»
Cengage Learner, Mexico, 2003.
[13] Morillas, RA 2006, «Introducción al análisis
de datos difusos», B - EUMED, Madrid, ES.
Available from: ProQuest ebrary. 27 September
2016, pp. 3-10.
[14] Junta de Castilla y León, «Sistemas de
geolocalización»
http://www.jcyl.es/web/jcyl/binarios/430/595/SI
STEMAS%20DE%20LOCALIZACION%20E
%20INFORMACION%20GEOGRAFICA.pdf
[15] D. Montgomery «Diseño y análisis de
experimentos», Editorial Limusa S.A, Perú,
2005, pp. 2-8.

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