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Мath101 lecture 2

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Munhbayr Sukhbaatar

1. El documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, como la determinación de pendientes y ordenadas al origen de rectas, ecuaciones paramétricas de rectas, coordenadas polares, ángulos entre rectas y sistemas de ecuaciones. 2. También explica métodos para encontrar ecuaciones de circunferencias, como determinar el centro y radio a partir de dos puntos o la ecuación general, y fórmulas para calcular distancias entre puntos y un punto fijo.

Educación
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O y B · tt tt tt tt tt tt Ytt tt tt t tt tt A ·α Ö Û × Ò x/ ÙÐÙÙÒ ÓÐ Ù ÙÐÙÙÒÝ k= Ò A(x0, y0) B(x, y) Ö × Ò Ò Ó × Ò ÜÓ Ö ÒØ Òð y − y0 x − x0 ´½µ ´ ´ µ b = y − kx0 Ø Ø Ð Ø Ñ ÙÐÙÙÒÝ M (x1, y1)¸ N (x2, y2) µ Ð ´¾µ y = kx + b ÙñÙ y = k · (x − x0) + y0 ´¿µ Ü Ö Ò Ð Û Ð Ò × Ò Ó ÒØØØ Ö× Ò ÙÐÙÙÒÝ Ø Ø Ð Ò º Û Ð y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 ÜÓ Ö Ø Ø Ð ´ µ Ò º
âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø ÇÜÝ O y M1(a1, b1), M2(a2, b2) Ü ÛØ Ì · Û Ð Û Ð ÓÐÓÒÐÓ Ù M2 Û òº Ò ÜÓ Ö Òð ÑÝÒ × ÙÐÙÙÒ ÙÖÝÒ Ð Þ Ù Òð Ñ Õ Ò Ö Ü Ù º ×ÓÓÖ =⇒ (x − a1)2 + (y − b1)2 |M2M | = Ø Ü x/ |M1M | = |M M2| Ö Ø Þ Ö ÓÖ M (x, y) |M1M | = ÃÛ ºº M GG GGG 1 GG GG GG oo GG ooooo o Go ooo GG GG ooo q ooo qqq GG oooo qq „ oooo „„„„„„„ qqq GG qq GG „„ ‘‘ oo q ooo ‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘„„„„„„„ qGG ‘‘‘‘‘‘q ‘ „q ‘„ Ì Ø Ð (x − a2)2 + (y − b2)2 (x − a1)2 + (y − b1)2 = Û Ð Ò A = 2a2 − 2a1, Ö Ü Ø Ñ Ð B = 2b2 − 2b1, (x − a2)2 + (y − b2)2 Ü C = a 2 + b2 − a 2 − b2 1 1 2 2 Ò ÙÐÙÙÒ
Ì ´ Û Ð µ ÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ ´ µ Ax + By + C = 0 Ø Ð Ò º (A = B = 0 !) Ø âÙÐÙÙÒÝ Ü ÖÕÑ Ö Ð ÖÜ Ð × Ò Ø ´ A = 0, B = 0, C = 0 µ Ø Ø Ø Ð º Ð ´ µ Ax + By = −C Õ ´ µ ÜÓ Ö Ø ÐÝ Òð Ö Ü O Çܸ ÇÝ ÙÐÙÙÒÝ −C ¹ Òð ÜÙÛ Ø ÒÜÐ Ö×Ð Ò Ü C C Û Ò¸ a = − b=− Ø A B x y + =1 a b Ö ÐÞ Ò a, b ÓÓÖ Ò ØØ Ñ Ð Ð Ü Û Ð ´ µ Ö Ó ØÐÓÒ º y vv vvv vvv vv vvv vvv vvv vv vvv Á Ñ b a x/ ´Ü ´ ÖÕ Ñص µ Ø ÙÐÙÙÒÝ Ø Ð Ò Ü ÖÕÑ º Ö Ð ÖÜ Ð × Ò
Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò ÛØ º ÖÜ y = k1x + b1 (I) y = k2x + b2 (II) ÜÓ Ö O ÙÐÙÙÒ ÛÕ y º Þð l2ØØØ l ØØ oo1 ØØ ooo Ø ooo ooØ ooØØØ o Q ooo ^ Ø ooo . ØØØ o ] ooo ØØ ooo 1 ØØ 2 oo o ØØ ooo Ø ooo o O α ϕ α ϕ = α2 − α1 x/ tgα2 − tgα1 k2 − k1 tgϕ = tg(α2 − α1) = = 1 + tgα1tgα2 1 + k1k2 ´ µ¹ Ó Ö ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ ÙÐÙÙÒ Òð Ö ÒÜ Ø y=− Ò Ø Ð A1 C1 x− , B1 B1 Ò Ø Ò Ö Ò× ÓÐÓÜ ØÓÑ × Ò y=− ÓÐ A2 C2 x− B2 B2 ´ µ Ó Ò º
k1 = − A1 , B1 k2 = − A2 ¹ B2 ´ µ¹ ÓÖÐÙÙÐ Ü tgϕ = ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ó Ö ´ Ò µ A1B2 − B1A2 A1A2 − B1B2 Ü Ð ÖØ ÙÐÙÙÒÝ Ô Ö ÐÐ Ðð ´ µ ÓÐ ÓÒÓº Ü Ò Ü Ð Òð ϕ = 0 ⇐⇒ k1 = k2, È ÖÔ Ò Â ÙÐòÖ Ü Ò Ü Ð Òð ϕ = −π/2 ⇐⇒ k1 · k2 = −1 ½ 2x + y − 6 = 0, 4x + 5y + 7 = 0 ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ Ö ÐÝ 2 4 7 4 y = −2x − 6 =⇒ k1 = − , y = − x − =⇒ k2 = − =⇒ 1 5 5 5 −4 − 2 14 tgϕ = 5 14 = − =⇒ × Ò ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ ÙÐÙÙÒÙÙ 13 1+2·5 ØÓ ØÓÓº ÓÐÒÓº
 ¾ 3x + 2y − 6 = 0, 6x + 4y + 5 = 0 ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ Ö ØÓ ØÓÓº ÐÝ 3 3 3 3 5 y = − x + 3 =⇒ k1 = − , y = − x − =⇒ k2 = − =⇒ 2 2 2 4 2 −3 − −3 2 2 tgϕ = = 0 =⇒ k1 = k2 =⇒ l1 l2 Ò º 3 1 + −2 · −3 2  ¿ x + y + 2 = 0, 3x − 3y + 4 = 0 y = −x − 2 =⇒ k1 = −1, tgϕ = ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ y =x+ Ö Ò âÙÐÙÙÒÝ Ö × ÙÙÐ × Ò Ø Ð × Ò Ô ÖÔ Ò α Ò Ö Ò Ó ÙÐòÖÝÒ ÙÖØ Ð ÖÜ Ðð º ÒØ ¸ (|OM | = p) ØÓ ØÓÓº 4 =⇒ k2 = 1 =⇒ 3 1 − (−1) = ∞ =⇒ (k1 · k2 = −1 =⇒ l1 ⊥ l2) 1 + 1 · (−1) âÙÐÙÙÒÝ Ø ÐÝ ÓÓÖ ÐØ Ò ØÝÒ ÓÐÓÒ Ø º Ò Ü Ø Ð º × Ù Ox ÙÐÙÙÒ Ø ÒÜÐ Ø
O B· ∆OM A, ∆OM B ¹ y tt tt tt tt tt tt t x t x tt tttt tt tt tt ^ tt tt tt tt tt t O M p · α · A ´ ÓÐ ÓÜ × Ü Ö ÐÞ Ò |OM | p = cos α cos α |OM | p b = |OB| = = cos(90◦ − α) sin α a = |OA| = x/ µ¹ ÓÖÐÙÙÐ Ð x p cos α + y p sin α =1 ÙñÙ ´ µ¹Ý ÙÐÙÙÒÝ Ð ´ÒÓÖÑ ´½¼µ x cos α + y sin α − p = 0 Ððµ Ø Ø Ð Ò º × ÙÐÙÙÒ Ü ÖØÐ Ü Þ ¿ M0(x0, y0), O(0, 0) ÓÖ ÛÓÐ ÙÐÙÙÒ −d, ÜÓ Ö Ø Ð × Ü Þ Ü Ü Þ ÓÖ ÐØ x cos α + y sin α − p = 0 ÛÓÐ d¹Ø Ø Ò Ü ØÓÓ M0 Ò ÖÐ δ¹ Ö Ø Ñ Ð Ò º Òð ½¼ ÙÐÙÙÒÝ Ò Ò º Ø Ð × Ò
y M0 M0 O qq qq ′ qq qq ′ qq qq qq qq qq ×q q qq qq ×× × qqq qq qq qq ××× qq qq × qq q qq 0 ××q q × qq q × qq × qq qq qq ×× qq qq qq ×× qq × qq × qq qq / × qq q · p δ =p −p · p · . · O Á Ñ Â M · M0 ÓÐ ÓÒÓº Òð Ù ÙÐÙÙÒ Ö ÓÖ Ö× Ò¸ ÙÐÙÙÒÝ Ø Ø × Ò ÛÓÐ δ=0 ÙÐÙÙÒØ Ò Ô Ö ÐÐ Ðð Ð ÙñÙ x cos α + y sin α = p′ ÓÐÒÓº × Ò ÙÐÙÙÒ × Ü Þ Ü Ü Þ ÐØ Ax1 + By1 + C √ δ = | ± d| = x0 cos α + y0 sin α − p = ± A2 + B 2 A(−4; 5) º x cos α + y sin α − p′ = 0 · x Ò × 3x − 2y − 4 = 0 ÙÐÙÙÒ Ü ÖØ ÐÜ Þ √ 3 · (−4) − 2 · 5 − 4 26 √ d= = √ = 2 13 2 + 22 13 3 ½½ ´½½µ Óк
Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð Ò ÛØ òÒÞÝÒ Ö ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ð𸠺 × Ò ÙÖÛ Ò ÓÐÒÓº ÖÐ ÐØ A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 Ç ØÐÓÐ ×ÓÒ ÛÜ × Ò Ö ÐØ (I) (II) A1B2 − A2B1 = 0 B1C2 − C1B2 C1A2 − A1C2 ; y= A1B2 − A2B1 A1B2 − A2B1 A1 B1 A1B2 − A2B1 = 0 ÙñÙ = =t A2 B2 x= È Ö Ð Ðð ÙñÙ ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Ô Ö ÐÐ Ðð ÛÜ × Ò A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 ½¾ C1 t= C2 ÓÐ × ×Ø Ñ
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Ì Ö Ø Ø Ð Òð Ax + By + Cz + D = 0 (a) Ax2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Exz+F yz+Gx+Hy+Kz+L = 0 Á (a) Ø Þ Ö × òÐ ÁÁ (b) Òð Ò ÁÁ Ü Þ Ö Ò Ò Ø ×ØÓ Ø Ø Ø Þ ÛÜ Ò Ø Ö ÒÜ Ø ÖÝÒ Ø Ö ÒÜ Ø Ò Þ Ö Þ Ö Ð Ò º ×Ö Ø Ð Ü Ø Ð Ð Ü Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ Þ Ö Ò Ø Ø Ü º º ÓÜ Ø Ø Ð Ð Ò ò Õ Ü A, B, C, D, E, F Ò ÓÐÓÜ Õ A, B, C ¹ Ò ØÓÜ ÓÐ ÓÐ Ø Ò Ð Á¸ ÁÁ Ø (b) Æ Ò Þ Ö Ö ÙÙ Ð Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ Ø Ø Ç ØÓÖ Ù ÓÐÓÒ Ù ¸ Ð Û Ü ÛØ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ Ü ÛØ Ô ÖÔ Ò ÓÒÓº Òð Ø ÙÐòÖ¸ Ø Ò Ö ÓÖ Ö ÙÙ ÓÜ Ö ÙÙ × òÐ ½ Ü òÑ Ö Ò Ø ¸ òÑ Ö Ò Òð º ØÓÓÒÙÙ Ø Ò ÖÝÒ ÛØ Ò Ö ÒÜ Ø Ò ÓÐ Ü ×Ù Ð Ò º Ø Ð M0(x0, y0, z0) n Û ØÓÖÓÓÖ º Ö Ò
ÛØ Ñ Ðð Û Ô ÖÔ Ò ØÓÖ n = {A, B, C} Ø Ø Ð ÙÐòÖ Õ ¸ Ø n = {A, B, C} Ò ÖÐ ÒÓÖÑ Ðð Û ÞÓÜ Ó Ð ÐØ Û Ø Ñ ¸ M0(x0, y0, z0) ØÓÖØÓ º ∀M (x, y, z) ∈ α Ò ÜÙÛð −− −→ −− −→ M0M ⊥ n ⇐⇒ (M0M , n) = 0 ⇐⇒ ØÓÖÝ Ð Ò Ù Ü ÛØ Ò ÒÓÖ¹ º Ö× Ò α Ü ÛØ Ò −− −→ M0M = {x − x0, y − y0, z − z0} =⇒ ´½¿µ A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0) = 0 ´ µ Ø Ø Ò Ø Ò Ø Ð Ð × Ò Ò M0 Ö× Ò¸ n µ −Ax0 − By0 − Cz0 = D Ü ÛØ Ò ØÓÖ Ü Ü Ûع º Û Ð Ax + By + Cz + D = 0 ´ ÒÓÖÑ Ðð Û Ö ÒÜ Ø Ø Ð Ò ½ º ´½ µ
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∀M (x, y, z) ∈ α¹ Û ØÓÖÙÙ Ò ÜÙÛð −− −→ M1M = {x − x1, y − y1, z − z1}, −− −→ M2M = {x − x2, y − y2, z − z2}, −− −→ M3M = {x − x3, y − y3, z − z3}. ÓÑÔÐ Ò Ö ÙÕ Ö −− −− −− −→ −→ −→ (M1M , M2M , M3M ) = 0. ÙñÙ ´ µ¹ÓÓ× ¿ Ò x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 Ö× Ò Ü ÛØ Ò Ø Ø ½ Ð ÓÐ ÓÒÓº ´½ µ
ÛØ Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø O Ø Ð º z iC iiii CC iiii CC i iiii CC BB iiii CC BB CC BB A= CC BB {{ { CC BB {{ A CC BB {{{ A6 C i B{{ mm mm {BB iiCii {{ mmmmmm iiii CCC iii cc = {{ m B CC cc {{{m6 mm BBB mmm mmm cc m { CC 0BB 1 cc C BB cc j cc BB jjjj jjj cc jjjj cc BBB jjjj cc jjj cc c p M r O M0 · P · M n d α ÓÓÖ Ò ØÝÒ Ü × Ü ÛØ ÙÙÐ Ô Ö¹ ÙÐòÖÝÒ ÙÖغ Ô Ò n,¹ Ü ÛØ Ò ÒÓÖÑ Ðð Û ØÓÖ n0 = {cos α, cos β, cos γ} ÒÓÖÑ Ðð Ò r Ù Ü ÛØ Ò ÙÖÝÒ M (x, y, z) y / × Ò Û ØÓÖº Ò Ö Ù× Û ØÓÖ º x Ì Û Ð ÔÖn 0 r = p (r, n0) − p = 0 ´ µ Ø ÛØ Ø Ò Ò Ü Ð òÑ ÓÐÓÜ Ø Ò Ò º Ö × ÔÖn 0 r = (r, n0) ÙñÙ ÕÛ Ðº ´½ µ x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 Ð Ö ÒÜ Ö Á Ñ Ò Ø ÓÓÖ Ü ÛØ Ü Ð Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø ÖØ Ø Ø µ = ±√ ØÓÓ ÓÓÖ º Ð Ò Ð Ò ÒÓÖÑ Ðð Ü Ð ÖØ Ø Ð ¸ Ð Ò ÐÕÐ 1 A2 + B 2 + C 2 Ð ÐÒ º µ ½ º Õ Òð Ö D¹ Ü Ò Ò ×Ö Ü Ø Ñ Ø
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âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø n1 = {A1, B1, C1}, n2 = {A2 , B2, C2} ÒÓÖÑ Ðð α1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 α α2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ÛÕ Þð º n1 , n2 ÜÓ Ö Ü ÛØ Ó ØÐÓÐ ÓÜ L ×Ò ÓÐÐ Ò ÙÐÙÙÒ Ö Ó ØÐÓÐ Ü Òð òÑ Ö Ò Ù Ò L º A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ´ µ Ø Ø Ð Ð Û × Ò Ò Ó ØÓÖ Ù Ò ÙÐÙÙÒÝ ÙÐÙÙÒÝ ÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ö× Ò Ø × Ö× Ò Ü ÛØ º II  II  II    y II   yyI    I yy  IIyy      II yyyy   yy II    II 2         II    HH   II    HH   Ð   HH  ÐÐÐ     yy HH  y  ÐÐ yyyHH   ÐÐÐ yHyy  Ð   ÐÐÐ  HH yyyy  H   HH yyy ÐÐÐ  HH  ÐÐ HH 1ÐÐÐ HH ÐÐ ÐÐ Ü ÜÓ Ö Ü ÛØ Ø Ð Ð Ø α ´¾ µ Ø Ð ÓÐÓÒ Ü ÛØ ÒÙÙ ÝÒ ÓÐÓÒÐÓ Ò º Ò º Ü ÛØ Ò º ´¾ µ α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 ´ µ Ø Ø Ð Ä ÙÐÙÙÒÝ Ö× Ò Ü ÛØ ¾¿ Ò ÝÒ Ø Ø Ð Ò º
 ½º Û òº x=2 2x − y + 3z + 1 = 0 x + 2y − 20z + 2 = 0 −y + 3z + 5 = 0 2y − 20z + 4 = 0 n1 = {2, −1, 3}, âÙÐÙÙÒÝ Ð ÒÓÒ Ü Ð Ðº =⇒ z = 1, y = 8 =⇒ M0(x0, y0, z0) = M0(2, 8, 1). n2 = {1, 2, −20} i j k a = n1 × n2 = 2 −1 3 = 14i + 43j + 5k =⇒ 1 2 −20 x−2 y−8 z−1 = = 14 43 5 Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð Ò Ç ØÓÖ Ù Ò ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ðð¸ Ô ÖÔ Ò ÓÐÒÓº Ò ØÙÐ Ù ÖØ ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ ¾ Ò ϕ ÛÕ Þð Ö ÐØ ÙÐòÖ¸ ×ÓÐ º º ×ÓÒ
x − x1 y − y1 z − z1 L1 : = = , a1 = {m1, n1, p1} m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z2 L2 : = = , a2 = {m2, n2, p2} m2 n2 p2 Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ø Ò ϕ ÙÕ Ö Ò Ð ÙÐòÖ ÕÛ ØÓÖÙÙ ÝÒÜ Òð ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò m1m2 + n1n2 + p1p2 m2 1 + n2 1 + p2 1 ÓÐ L1 È ÖÔ Ò Ð L2 ⇐⇒ a1 · m2 2 + n2 2 + ´¾ µ p2 2 m1 n1 p1 = = m2 n2 p2 a2 ⇐⇒ ´¾ µ ÓÐ ´¾ µ L1 ⊥ L2 ⇐⇒ a1 ⊥ a2 ⇐⇒ m1 m2 + n1n2 + p1p2 = 0 Ò Ü Ð Ü Ò ÖÛ d¹ ÓÐ d Ù ÜÓ Ö Ò º ÙÐÙÙÒ Òð ×ÓÐ ×ÓÒ ÓÐ Ø Ö º Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ Ö Ø Òð cos ϕ = È Ö ÐÐ Ðð Òð Õ ÙÐÙÙÒÙÙ Ô ÖÔ Ò ÜÓÐ Ó×ÓÒ Ü ÖÕÑ ÙÐòÖ Ò ÙÖØ ¾ Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ü Ñ ÙÐÙÙÒݸ ÓÐÒÓº ÙÐÙÙÒ ØÙ× Ò Þ ÖØ Òð
Ò • • • • • • • • • • • • ‚‚‚‚ ‚‚‚ ‚‚‚ 1 ‚‚‚ )‚‚‚‚ ‚‚‚ 1 1 • • • • • • • • • • • • M · a Ü ÖÕÑ d Û ØÓÖÝ l Û Ð a1 × a2 l= |a1 × a2| ÓÐÓÜ −− −→ a1 = {m1, n1, p1} ⊥ M1M2, −− −→ a2 = {m2, n2, p2} ⊥ M1M2 b· L Ma Ò ÙÙÜ Ò L O llll l l5ll lll 2 lll lll 2 lll 2 ØÙÐ Ò −− −→ M1M2 = r2 − r1 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1} |[a1, a2] · (r2 − r1)| d= ÓÐ ÓÒÓº |a1 × a2| ÓÓÖ Ò Ø Ö Òð d= ÕÛ Ð x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 m1 n1 p1 m2 n2 p2 n1 p1 n2 p2 2 + p1 m1 p2 m2 ¾ 2 + m1 n1 m2 n2 2 ´¾ µ
ÛØ ÒÙÙ ÝÒ Ü Ö Ð Ò Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ðð¸ Ó Ö Ü ÛØ Ö ÐØ º ÓÐÒÓº ÛÜ × Ò α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0, Ó Ö Ü ÛØ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ó Ö Ü ÛØ n1 = {A1, B1, C1} n2 = {A2, B2, C2} Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò Ø Ò ÜÓÓÖÓÒ O Ò Ø Ò Ü Ñ Ö Ò Òð¸ Ø ϕ ´ ÙÕ Ö ØÓÑ × Ü ÙÕ Ö Ò Ò ÒÓÖÑ Ðð Û Ó ÓÓÖ Ü α· α β n β ¾ ØÓÖÙÙ ÝÒ Ö Ò Ò ×× ×× × ×× ×× ×× ×× ×× • • • • • • • •1 ××1 ×× 1 ×× 1 ×× 1 ×× × ×× ×× ×× ×× ×× × ×× ×× ×× ×× n1 • • • • • • • • • • • • 2 · µ Ö Òð Ò π−ϕ n2 / O n1 ×× ×× ×× ×× ×× ×× × ×× º ÓÐÒÓº
Ó Ö Ü ÛØ Ô ÖÔ Ò ÙÐòÖ ÓÐ cos ϕ = 0 ÙñÙ α ⊥ β =⇒ n1 ⊥ n2 =⇒ ´¿¼µ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 È Ö ÐÐ Ðð α ÓÐ β =⇒ n1, n2 ÓÐÐ Ò Ö ÙÕ Ö n1 × n2 = 0 =⇒ ÛÜ × Ò ÓÐ A1 B1 B1 = = A2 B2 B2 ´¿½µ A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 ´¿¾µ ÓÐÒÓº α, β ÜÓ Ö Ü ÛØ Ø Ø òº Í Ó ØÐÓÐ Ó ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ü ÛØ Òð ÓÐ Ò Ò Ó ØÐÓÐ ÓÐÝÒ α, β Ö Ü ÛØ Ø Ø Ò Ü ÛØ ÙÐÙÙÒ ÒÙÙ Ø Òð Ô ÖÔ Ò Ü Ö ÒÙÙ ÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò º ¾ ÙÐòÖ L1 , L2 Òð L1 , L2 ÐÞ Ò Ò Ü Ò Ü ÛØ ÙÐÙÙÒÙÙ Ö ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ
ϕ = (L 1 , L 2 ) Û Ð n1 ⊥ L1 , n2 ⊥ L2 cos ϕ = cos (n1, n2) = ÙÕ Ö A2 1 A1A2 + B1B2 + C1C2 + 2 B1 + 2 C1 yyy yyy yyy 11 yyy  1 yyy yyy  1  yy 1 yy  yyyy1 yyy yy   1 yyyy y y  yyy  1  y y  yyy  yy  yyy 1   y   y y1 yyy   y y yy  1 y7 y yyy  yy yyy  1 oo y y  yyy ooo yy yy  yyy oo 1 yy yy   yyyy1 1  y y y  O yyy y yy   1 yy yyy y y 2  yyy yyy  yy 1   yyy yyy  yy  yy 1 yyy   yy yyy   1 yy y y  1 yyyyy y   y yyy 1   yyy   1 yyy   yyy    yy   2             α β ÓÐÒÓº ϕ = (n1, n2) A2 2 · + 2 B2 L n · n · L ¾ DD D oDD 2 ooo DD 1 oo DD, oo7Oo ooo D oo 2 eDDeee
eee D DD eeeee eeeeee n L1 L n ϕ + 2 C2 ´¿¿µ
´ µ ⋆ × ×Ø Ñ Ò ÜÙÛð ÖÛ Ò Û Ð × ×Ø Ñ ÓÖ ⋆ ÙÖÛ △ = 0º ⋆ Æ   A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2x + B2y + C2 z + D2 = 0  A3x + B3y + C3z + D3 = 0 Ò Ò Ü ÛØ Ü Ö ò Ð Ò Ø Õ Ü ØÙÐ ÙÖÛ Ò Ü ÛØ △ = 0º Ö Ó ØÐÓÐ ÓÓ Ü Ö ò Ð ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ ÖÜ ÔÖÓ Ò Ò ØÓ ÓÓ Ò ÓÐÓÒ Ü ÙÕ Ö Ø Ò º ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò × Ü Ò º x − x0 y − y0 z − z0 L: = = a = {m, n, p} m n p α : Ax + By + Cz + D = 0, n = {A, B, C} ¿¼ Ø Ó ØÐÓÐ Ó ÓÐ × ×Ø Ñ Û Ð ØÓÓ ØÓÑ âÙÐÙÙÒ Ü ÛØ âÙÐÙÙÒÝ Ü ÛØ ´¿ µ ÙÐÙÙÒ Ü ÛØ º
ÖÜ ÙÐÙÙÒ¸ Ü ÛØ ÜÓ ÖÝÒ ÜÙÛð ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓÐØ ×ÓÓÖ ϕ = (L, ÔÖαL), a = {m, n, p} ÜÙÛð n = {A, B, C} (n, a) cos(n, a) = |n| · |a| ÙÕ Ö cos π |Am + Bn + Cp| − ϕ = sin ϕ = √ 2 A2 + B 2 + C 2 · m2 + n2 + p2  n L  ϕW  jj ·BB jjjj j ·jjj jjjj j jjjj    α   · O ¿½ ´¿ µ

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  • 1. Ä Ò × Ò ½º ¾ ÙÙÐ ÛØ Ò Ò Ð Ø ÓÑ ØÖº • âÙ ÑÝÒ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø Ø Ðº • âÙÐÙÙÒÝ Ò Ò Ó ÒØØ Ø • âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø Ø Ðº • âÙÐÙÙÒÝ Ü ÖÕÑ Ö Ð ÖÜ Ð × Ò Ø • âÙÐÙÙÒÝ Ð Ø Ø Ðº • × ÙÐÙÙÒ Ü ÖØ ÐÜ Þ º • Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð Ò Ö Ðغ • âÙ Ñ Ö ÙÙ Ò Ø Ø Ðº • ÇÞ Ø ÒÜÐ Ø Ô Ö ÐÐ Ðð ÙÙÐ ÕØ Ð Ò Ö • •¿ • ÛØ ÛØ Ò Ö ÙÙ Ö ÒÜ Ò Ø Ø Ö× Ò Ü ÛØ Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø Ø Ø Ðº Ò Ø Ø Ðº Ø Ðº ½ к Ø Ðº Ø Ðº
  • 2. • × Ü ÛØ Ü ÖØÐ Ü Þ º • Ç ØÓÖ Ù Üð ÙÐÙÙÒÝ Ø Ø Ð º • Ó Ö Ö× Ò ÙÐÙÙÒÝ Ø Ø Ðº • âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø Ø Ðº • Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð Ò Ö Ðغ • ÛØ ÒÙÙ ÝÒ Ü Ö Ð Ò Ö Ðغ • âÙÐÙÙÒ Ü ÛØ ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò º ¾
  • 3. ÛØ Ò Ò Ð Ø ½ Oxy Ð ÓÖ Ü ÛØ Ü l Ð ÅÙÖÙ Ò ÜÙÛð× Ù Õ Ö t l × Ò ¸ Òð Ü Ò ÑÙÖÙ Ò Ø Ò ÓÓÖ × Ü Ñ Ø Ò Ø Ö× Ò ÑÝÒ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø Ð Ò x, y Ð º ÑÙÖÙ Ò ÜÓ Ö Ð Ñ ÕØ Ù ÑÙÖÙ f (x, y) = 0 âÙ ÑÝÒ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø Òð Ô Ö Ñ ØÖ Ò ¸ Ö Òð Ü Ò º ÙÒ Ü Ð Ø ÓÑ ØÖ ÖØ Ò ÖÐ × Ò ÓÐ Ù Ø Ö Ø¹ Ø Ð º Ü ØÙ×Ð Ü Õ Ò ÖÝÒ ÙÒ º x = x0 + tm y = y0 + tn ÛØ ÖÜ Ù ÑÙÙ ÓØÖÓÓ× Ü Ñ Ò ÜòÐ âÙÐÙÙÒÝ Ò Ò Ó ¾ Ó âÙÐÙÙÒݸ ÒØ Ox Ø ÒÜÐ Ò ÖÐ Ø Ò Ð× Ò k = tgα Ò Ø Ñ ¿ Ö Òð ÙÐÙÙÒ Ù Ñ ñѺ ÒØØ Ø Ò Ø Ò Ð Ò Ò× º ÙÐÙÙÒÝ Ø Ð º Ò Ò
  • 4. O y B · tt tt tt tt tt tt Ytt tt tt t tt tt A ·α Ö Û × Ò x/ ÙÐÙÙÒ ÓÐ Ù ÙÐÙÙÒÝ k= Ò A(x0, y0) B(x, y) Ö × Ò Ò Ó × Ò ÜÓ Ö ÒØ Òð y − y0 x − x0 ´½µ ´ ´ µ b = y − kx0 Ø Ø Ð Ø Ñ ÙÐÙÙÒÝ M (x1, y1)¸ N (x2, y2) µ Ð ´¾µ y = kx + b ÙñÙ y = k · (x − x0) + y0 ´¿µ Ü Ö Ò Ð Û Ð Ò × Ò Ó ÒØØØ Ö× Ò ÙÐÙÙÒÝ Ø Ø Ð Ò º Û Ð y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 ÜÓ Ö Ø Ø Ð ´ µ Ò º
  • 5. âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø ÇÜÝ O y M1(a1, b1), M2(a2, b2) Ü ÛØ Ì · Û Ð Û Ð ÓÐÓÒÐÓ Ù M2 Û òº Ò ÜÓ Ö Òð ÑÝÒ × ÙÐÙÙÒ ÙÖÝÒ Ð Þ Ù Òð Ñ Õ Ò Ö Ü Ù º ×ÓÓÖ =⇒ (x − a1)2 + (y − b1)2 |M2M | = Ø Ü x/ |M1M | = |M M2| Ö Ø Þ Ö ÓÖ M (x, y) |M1M | = ÃÛ ºº M GG GGG 1 GG GG GG oo GG ooooo o Go ooo GG GG ooo q ooo qqq GG oooo qq „ oooo „„„„„„„ qqq GG qq GG „„ ‘‘ oo q ooo ‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘„„„„„„„ qGG ‘‘‘‘‘‘q ‘ „q ‘„ Ì Ø Ð (x − a2)2 + (y − b2)2 (x − a1)2 + (y − b1)2 = Û Ð Ò A = 2a2 − 2a1, Ö Ü Ø Ñ Ð B = 2b2 − 2b1, (x − a2)2 + (y − b2)2 Ü C = a 2 + b2 − a 2 − b2 1 1 2 2 Ò ÙÐÙÙÒ
  • 6. Ì ´ Û Ð µ ÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ ´ µ Ax + By + C = 0 Ø Ð Ò º (A = B = 0 !) Ø âÙÐÙÙÒÝ Ü ÖÕÑ Ö Ð ÖÜ Ð × Ò Ø ´ A = 0, B = 0, C = 0 µ Ø Ø Ø Ð º Ð ´ µ Ax + By = −C Õ ´ µ ÜÓ Ö Ø ÐÝ Òð Ö Ü O Çܸ ÇÝ ÙÐÙÙÒÝ −C ¹ Òð ÜÙÛ Ø ÒÜÐ Ö×Ð Ò Ü C C Û Ò¸ a = − b=− Ø A B x y + =1 a b Ö ÐÞ Ò a, b ÓÓÖ Ò ØØ Ñ Ð Ð Ü Û Ð ´ µ Ö Ó ØÐÓÒ º y vv vvv vvv vv vvv vvv vvv vv vvv Á Ñ b a x/ ´Ü ´ ÖÕ Ñص µ Ø ÙÐÙÙÒÝ Ø Ð Ò Ü ÖÕÑ º Ö Ð ÖÜ Ð × Ò
  • 7. Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò ÛØ º ÖÜ y = k1x + b1 (I) y = k2x + b2 (II) ÜÓ Ö O ÙÐÙÙÒ ÛÕ y º Þð l2ØØØ l ØØ oo1 ØØ ooo Ø ooo ooØ ooØØØ o Q ooo ^ Ø ooo . ØØØ o ] ooo ØØ ooo 1 ØØ 2 oo o ØØ ooo Ø ooo o O α ϕ α ϕ = α2 − α1 x/ tgα2 − tgα1 k2 − k1 tgϕ = tg(α2 − α1) = = 1 + tgα1tgα2 1 + k1k2 ´ µ¹ Ó Ö ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ ÙÐÙÙÒ Òð Ö ÒÜ Ø y=− Ò Ø Ð A1 C1 x− , B1 B1 Ò Ø Ò Ö Ò× ÓÐÓÜ ØÓÑ × Ò y=− ÓÐ A2 C2 x− B2 B2 ´ µ Ó Ò º
  • 8. k1 = − A1 , B1 k2 = − A2 ¹ B2 ´ µ¹ ÓÖÐÙÙÐ Ü tgϕ = ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ó Ö ´ Ò µ A1B2 − B1A2 A1A2 − B1B2 Ü Ð ÖØ ÙÐÙÙÒÝ Ô Ö ÐÐ Ðð ´ µ ÓÐ ÓÒÓº Ü Ò Ü Ð Òð ϕ = 0 ⇐⇒ k1 = k2, È ÖÔ Ò Â ÙÐòÖ Ü Ò Ü Ð Òð ϕ = −π/2 ⇐⇒ k1 · k2 = −1 ½ 2x + y − 6 = 0, 4x + 5y + 7 = 0 ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ Ö ÐÝ 2 4 7 4 y = −2x − 6 =⇒ k1 = − , y = − x − =⇒ k2 = − =⇒ 1 5 5 5 −4 − 2 14 tgϕ = 5 14 = − =⇒ × Ò ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ ÙÐÙÙÒÙÙ 13 1+2·5 ØÓ ØÓÓº ÓÐÒÓº
  • 9. Â ¾ 3x + 2y − 6 = 0, 6x + 4y + 5 = 0 ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ Ö ØÓ ØÓÓº ÐÝ 3 3 3 3 5 y = − x + 3 =⇒ k1 = − , y = − x − =⇒ k2 = − =⇒ 2 2 2 4 2 −3 − −3 2 2 tgϕ = = 0 =⇒ k1 = k2 =⇒ l1 l2 Ò º 3 1 + −2 · −3 2 Â ¿ x + y + 2 = 0, 3x − 3y + 4 = 0 y = −x − 2 =⇒ k1 = −1, tgϕ = ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ y =x+ Ö Ò âÙÐÙÙÒÝ Ö × ÙÙÐ × Ò Ø Ð × Ò Ô ÖÔ Ò α Ò Ö Ò Ó ÙÐòÖÝÒ ÙÖØ Ð ÖÜ Ðð º ÒØ ¸ (|OM | = p) ØÓ ØÓÓº 4 =⇒ k2 = 1 =⇒ 3 1 − (−1) = ∞ =⇒ (k1 · k2 = −1 =⇒ l1 ⊥ l2) 1 + 1 · (−1) âÙÐÙÙÒÝ Ø ÐÝ ÓÓÖ ÐØ Ò ØÝÒ ÓÐÓÒ Ø º Ò Ü Ø Ð º × Ù Ox ÙÐÙÙÒ Ø ÒÜÐ Ø
  • 10. O B· ∆OM A, ∆OM B ¹ y tt tt tt tt tt tt t x t x tt tttt tt tt tt ^ tt tt tt tt tt t O M p · α · A ´ ÓÐ ÓÜ × Ü Ö ÐÞ Ò |OM | p = cos α cos α |OM | p b = |OB| = = cos(90◦ − α) sin α a = |OA| = x/ µ¹ ÓÖÐÙÙÐ Ð x p cos α + y p sin α =1 ÙñÙ ´ µ¹Ý ÙÐÙÙÒÝ Ð ´ÒÓÖÑ ´½¼µ x cos α + y sin α − p = 0 Ððµ Ø Ø Ð Ò º × ÙÐÙÙÒ Ü ÖØÐ Ü Þ ¿ M0(x0, y0), O(0, 0) ÓÖ ÛÓÐ ÙÐÙÙÒ −d, ÜÓ Ö Ø Ð × Ü Þ Ü Ü Þ ÓÖ ÐØ x cos α + y sin α − p = 0 ÛÓÐ d¹Ø Ø Ò Ü ØÓÓ M0 Ò ÖÐ δ¹ Ö Ø Ñ Ð Ò º Òð ½¼ ÙÐÙÙÒÝ Ò Ò º Ø Ð × Ò
  • 11. y M0 M0 O qq qq ′ qq qq ′ qq qq qq qq qq ×q q qq qq ×× × qqq qq qq qq ××× qq qq × qq q qq 0 ××q q × qq q × qq × qq qq qq ×× qq qq qq ×× qq × qq × qq qq / × qq q · p δ =p −p · p · . · O Á Ñ Â M · M0 ÓÐ ÓÒÓº Òð Ù ÙÐÙÙÒ Ö ÓÖ Ö× Ò¸ ÙÐÙÙÒÝ Ø Ø × Ò ÛÓÐ δ=0 ÙÐÙÙÒØ Ò Ô Ö ÐÐ Ðð Ð ÙñÙ x cos α + y sin α = p′ ÓÐÒÓº × Ò ÙÐÙÙÒ × Ü Þ Ü Ü Þ ÐØ Ax1 + By1 + C √ δ = | ± d| = x0 cos α + y0 sin α − p = ± A2 + B 2 A(−4; 5) º x cos α + y sin α − p′ = 0 · x Ò × 3x − 2y − 4 = 0 ÙÐÙÙÒ Ü ÖØ ÐÜ Þ √ 3 · (−4) − 2 · 5 − 4 26 √ d= = √ = 2 13 2 + 22 13 3 ½½ ´½½µ Óк
  • 12. Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð Ò ÛØ òÒÞÝÒ Ö ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ð𸠺 × Ò ÙÖÛ Ò ÓÐÒÓº ÖÐ ÐØ A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 Ç ØÐÓÐ ×ÓÒ ÛÜ × Ò Ö ÐØ (I) (II) A1B2 − A2B1 = 0 B1C2 − C1B2 C1A2 − A1C2 ; y= A1B2 − A2B1 A1B2 − A2B1 A1 B1 A1B2 − A2B1 = 0 ÙñÙ = =t A2 B2 x= È Ö Ð Ðð ÙñÙ ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Ô Ö ÐÐ Ðð ÛÜ × Ò A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 ½¾ C1 t= C2 ÓÐ × ×Ø Ñ
  • 13. âÙ Ñ ÛØ Ö ÙÙ Ò ÓÓÖ • M (x, y, z) ÓÓÖ •Ç •Ç Ø F (x, y, z) = 0 Ò Ü Òð Ò ØÙÙ Ò ØÓÖ Ù Ð Û Òð Ð Òð òÑ Ö Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Òð Ü Ò ØÓÖ Ù Ø Ø Ö ÓÖ Ç ØÓÖ Ù f (x, y) = 0 Ö Ò Ø Ð ÙÖÝÒ ÑÝ ÙÖÛ Ò ÜÓ Ö Ö ÙÙ Ö ÙÙ Ö ÙÙ x, y, z ¹ Ò Ó ØÐÓÐ ÓÐ Ò Ò ÓÖ Ü Ò º ØÓ ÓÖÜÓ Ð Ó º Ò Ø Ø Ð ÜÙÛð× Ü Ò Ó ØÐÓÐ ÓÐÓÓÖ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ½¿ º ØÓ ÓÖÜÓ ÐÒÓº Ö ÙÙ Ö ÙÙ ÓÐ Ø Ð Ñ ØÓ ÓÖÜÓ Ð Ó ¸ Ò Ø Òð Ü Ò º Ù Ù Ð Òð òÑ Ö Ò Ø Ö ÙÙ Ö ÙÙ Ò Ø ÓÒÓº
  • 14. ÇÞ Ø ÒÜÐ Ø Ô Ö ÐÐ Ðð Ð Ò Ö Ö ÙÙ Ò Ø ÙÙÐ ÕØ Ø Ð º ´½¾µ F (x, y) = 0 ´ µ Ø z ÓÖÓÓ Ü ÛØ O ØÙÐ z ¹ÝÒ Ö òÑ Ö Ò Ù ÙÖÝÒ ÙØ Ø Ç ØÓÖ Ù Ò Ü Ò º Á Ñ ´ µ Ø Ø ′ M0(x0, y0, z0) ´M0(x0, y0)µ Òð z ¹ × Ü Ñ Ö Ü ØÙÐ Ò Ø Ø Ð Ø Ø Ð Á Ñ 1 Ò ÓÒÓº Ñ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ z F (x, y) = 0 ′ M0 1 ·1 Ò × M0(x0, y0) Ü Ò Ò Û Ð Ð Ù ´ º µ 1 1 1 1 1 1 yyy yyy 1 yyy 1 yyy yyy 1 yyy yyy yyy yyy y' O y Ø ÒÜÐ / M · 0 x Ç ØÓÖ Ù Ò ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ Ò Ð Ø ÓÜ Ø Ô Ö ÐÐ Ðð Ò ØÙÙ ÙÙ ÓÑ ØÖ Ö ÙÙÒÙÙ ÖÜ Ø Ð Ò Ö Ò ×Ù Ð Ü ñѺ ½ Ø Ö× Ò ÙÐÙÙÒÝ Ð Ö ÙÙ ÓÐ Þ Ð Òð Ü Ü Ò Ò Ü ÇÞ ´Çݸ ÇÜ µ Ò ÓÓÖ Ñ ¹ Ö¹ º Ð ÖÝÒ Ø Ø Ð Ö
  • 15. Ì Ö Ø Ø Ð Òð Ax + By + Cz + D = 0 (a) Ax2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Exz+F yz+Gx+Hy+Kz+L = 0 Á (a) Ø Þ Ö × òÐ ÁÁ (b) Òð Ò ÁÁ Ü Þ Ö Ò Ò Ø ×ØÓ Ø Ø Ø Þ ÛÜ Ò Ø Ö ÒÜ Ø ÖÝÒ Ø Ö ÒÜ Ø Ò Þ Ö Þ Ö Ð Ò º ×Ö Ø Ð Ü Ø Ð Ð Ü Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ Þ Ö Ò Ø Ø Ü º º ÓÜ Ø Ø Ð Ð Ò ò Õ Ü A, B, C, D, E, F Ò ÓÐÓÜ Õ A, B, C ¹ Ò ØÓÜ ÓÐ ÓÐ Ø Ò Ð Á¸ ÁÁ Ø (b) Æ Ò Þ Ö Ö ÙÙ Ð Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ Ø Ø Ç ØÓÖ Ù ÓÐÓÒ Ù ¸ Ð Û Ü ÛØ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ Ü ÛØ Ô ÖÔ Ò ÓÒÓº Òð Ø ÙÐòÖ¸ Ø Ò Ö ÓÖ Ö ÙÙ ÓÜ Ö ÙÙ × òÐ ½ Ü òÑ Ö Ò Ø ¸ òÑ Ö Ò Òð º ØÓÓÒÙÙ Ø Ò ÖÝÒ ÛØ Ò Ö ÒÜ Ø Ò ÓÐ Ü ×Ù Ð Ò º Ø Ð M0(x0, y0, z0) n Û ØÓÖÓÓÖ º Ö Ò
  • 16. ÛØ Ñ Ðð Û Ô ÖÔ Ò ØÓÖ n = {A, B, C} Ø Ø Ð ÙÐòÖ Õ ¸ Ø n = {A, B, C} Ò ÖÐ ÒÓÖÑ Ðð Û ÞÓÜ Ó Ð ÐØ Û Ø Ñ ¸ M0(x0, y0, z0) ØÓÖØÓ º ∀M (x, y, z) ∈ α Ò ÜÙÛð −− −→ −− −→ M0M ⊥ n ⇐⇒ (M0M , n) = 0 ⇐⇒ ØÓÖÝ Ð Ò Ù Ü ÛØ Ò ÒÓÖ¹ º Ö× Ò α Ü ÛØ Ò −− −→ M0M = {x − x0, y − y0, z − z0} =⇒ ´½¿µ A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0) = 0 ´ µ Ø Ø Ò Ø Ò Ø Ð Ð × Ò Ò M0 Ö× Ò¸ n µ −Ax0 − By0 − Cz0 = D Ü ÛØ Ò ØÓÖ Ü Ü Ûع º Û Ð Ax + By + Cz + D = 0 ´ ÒÓÖÑ Ðð Û Ö ÒÜ Ø Ø Ð Ò ½ º ´½ µ
  • 17. O jjjccc cc jjjj jjj cc jjjj GG cc ||= cc | GG || GG || ccc Eqq 0 qq | cc GG qq cc GG qq cc qq GG cc qq cc G qq GG q4# cc 0G h G cc h h h c GG GG h h h l GG h hG lll GG lll GG h h lll GG GG lll l GG GG lll Gllllll GG α M · r r O A, B, C, D ÖÛ z òÐ Ø x ´ µ ¿ y zz yyyyy zz yyy zz yyy zz yyy zz yyy z 7 yyy zz ppp z pp yyy z ppp yy zz p zz ppp qq   p }} zz }} zz tt 1 qqqq , tt }} qq tt qq 2}}}} tt qq tt } qq tt }} q# tt }} tt 3}}} tt tt }} tt tt }}} tt } } M M M M α Ð Ø × ´½ µ x y z + + =1 a b c ´½ µ Ü ÛØ Ò Ü ÖÕ ÑØ Ø × Ò ÒØ x y z + + =1 −D/A −D/B −D/C ÙñÙ y/ ÓÐ n M Ó Ø Ð Ò Ö× Ò Ü ÛØ Ò Ø º Ø Ð M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) Ö× Ò α Ü ÛØ Ò Ø Ø¹ Õð º ½ ºº
  • 18. ∀M (x, y, z) ∈ α¹ Û ØÓÖÙÙ Ò ÜÙÛð −− −→ M1M = {x − x1, y − y1, z − z1}, −− −→ M2M = {x − x2, y − y2, z − z2}, −− −→ M3M = {x − x3, y − y3, z − z3}. ÓÑÔÐ Ò Ö ÙÕ Ö −− −− −− −→ −→ −→ (M1M , M2M , M3M ) = 0. ÙñÙ ´ µ¹ÓÓ× ¿ Ò x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 Ö× Ò Ü ÛØ Ò Ø Ø ½ Ð ÓÐ ÓÒÓº ´½ µ
  • 19. ÛØ Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø O Ø Ð º z iC iiii CC iiii CC i iiii CC BB iiii CC BB CC BB A= CC BB {{ { CC BB {{ A CC BB {{{ A6 C i B{{ mm mm {BB iiCii {{ mmmmmm iiii CCC iii cc = {{ m B CC cc {{{m6 mm BBB mmm mmm cc m { CC 0BB 1 cc C BB cc j cc BB jjjj jjj cc jjjj cc BBB jjjj cc jjj cc c p M r O M0 · P · M n d α ÓÓÖ Ò ØÝÒ Ü × Ü ÛØ ÙÙÐ Ô Ö¹ ÙÐòÖÝÒ ÙÖغ Ô Ò n,¹ Ü ÛØ Ò ÒÓÖÑ Ðð Û ØÓÖ n0 = {cos α, cos β, cos γ} ÒÓÖÑ Ðð Ò r Ù Ü ÛØ Ò ÙÖÝÒ M (x, y, z) y / × Ò Û ØÓÖº Ò Ö Ù× Û ØÓÖ º x Ì Û Ð ÔÖn 0 r = p (r, n0) − p = 0 ´ µ Ø ÛØ Ø Ò Ò Ü Ð òÑ ÓÐÓÜ Ø Ò Ò º Ö × ÔÖn 0 r = (r, n0) ÙñÙ ÕÛ Ðº ´½ µ x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 Ð Ö ÒÜ Ö Á Ñ Ò Ø ÓÓÖ Ü ÛØ Ü Ð Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø ÖØ Ø Ø µ = ±√ ØÓÓ ÓÓÖ º Ð Ò Ð Ò ÒÓÖÑ Ðð Ü Ð ÖØ Ø Ð ¸ Ð Ò ÐÕÐ 1 A2 + B 2 + C 2 Ð ÐÒ º µ ½ º Õ Òð Ö D¹ Ü Ò Ò ×Ö Ü Ø Ñ Ø
  • 20. × Ü ÛØ ´ µ M0(x0, y0, z0) ÑÒ Ü ÞÙÖ −− −→ −− −→ M1M0 ⊥ α =⇒ M1M0, n Òð × α ÓÐÐ Ò Ü ÛØ Ö Û Ü ÖØÐ Ü Þ Ü ÖØÐ Ü Þ −− −→ |M0M1| = d ØÓÖÙÙ Ò Á Ñ −− −→ n · M1M0 −− −→ −− −→ n · M1M0 = ±|n| · |M1M0| = ±|n| · d =⇒ d = ÓÐÒÓº Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö¸ Ö ÒÜ º ÓÐÓÒ ÒÓÖÑ Ðð Ü Ð |n| ÖØ ÕÛ Ð |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ d = |x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ − p| = A2 + B 2 + C 2 ÓÐÒÓº δ = ±d = x cos α + y cos β + z cos γ − p Ü Ñ Ü Ò ¸ M0 α Ü ÛØ × Ü Þ Ü Ü Þ ÐØ Ò º ÛØ ºÜº Ò Ü Ò ÙÖÛ Ò Ò Ü ÛØ x, y, z ¹ÝÒ ÐÑ ÜÙÛð ÕØ Ö×Ð Ò º Á Á Þ Ö Þ Ö Ò Ø Ò Ø ¾¼ Ø Ø Ð º Ð Ö Ð ÖÜ Ü Ò Ó ØÓÖ Ù Ð ´½ µ Ò Ò º òÑ Ö
  • 21. Ç ØÓÖ Ù × Ò òÐ É Ð Ø Ð Û ØÓÖÝ Õ Û ØÓÖ Òð z GG GG GG D 0 ØØ GGG Ø G ØØ GG ØØ GG G Ø 0 Ø GG GGG ØØ G GG ØØ GG GG ØØ GG ØØ GG cc ØØ cc ØØ GG cc ˆˆˆ ˆ ؈ GG cc ˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆ cc ˆˆˆˆˆ GGG cc ˆˆˆˆG ,G cc cc GG cc cc c M r L O ÓÐÓÒ Ø Ù y / M r Ô Ö ÐÐ Ðð Ð Ð ÙÐÙÙÒÝ Ó ØÓÖ Ù Ä a ÒØ ÙÐÙÙÒÝ Õ a = {m, n, p} ÜÓ ÐÓÜ O ÙÐÙÙÒ Üð ÙÐÙÙÒÝ Ø Õ Û Üð Õ Ø Ñ Ð ÙÐÙÙÒÝ Ø ÙÐÙÙÒ ØÓÖ Ð Ð Ò Ø Ð Ü¸ Ø Ö ÓÖ º Òð Ò Ò ÙØ Ø ØÓÖÙÙ Ø Ò × ØÓ ÓÖ¹ º Ð a = {m, n, p} Û ØÓÖ M0(x0, y0, z0) Ð Ò Õð º Ö Û M (x, y, z) Òð Ä ÙÐÙÙÒÝ ÙÖÝÒ −− −→ a, M0M = {x−x0, y−y0, z−z0 } Û ØÓÖÙÙ Òð ÓÐÐ Û º ÓÐÓÒ ÓÐ Ò Ö º x Á Ñ ÓÐ Ò Ö Ü Ò Ü Ð ×ÓÓÖ x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p ´ µ ÙÐÙÙÒÝ ÒÓÒ ´ е Ø Ø Ð ¾½ Ò º ´¾¼µ
  • 22. −− −→ Å Ò M0 M , a Û ØÓÖÙÙ −− −→ r = r0 + M0M =⇒ ´ Ó ØÓÖ Ù Ò Ò ´ µ Ø µ Ø ÓÐÐ Ò ÙÐÙÙÒÝ Û Ð ÓÓÖ Ó ØÓÖ Ù Ò Ö × r = r0 + t · a, ØÓÖØ Ø Ò Ø Ö Ø −− −→ M0M = t·a t∈R Ð  x = x0 + m · t  y = y0 + n · t  z = z0 + p · t Ø Ó Ö âÙÐÙÙÒÝ Õ Ð ´ ×ÓÓÖ µ ØÓÑ ÓÐÒÓº ´ Ó µ Ø Ð Ø Õ Û Ð ØÓÖÝ Òð t∈R ØÓÓ ÓÐ ÓÒÓº ´¾½µ º ÕÛ Ð ÙÐÙÙÒÝ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) Ò Ü ´¾¾µ Ð Ò º Ö× Ò ÙÐÙÙÒÝ Ø Ö× Ò ÙÐÙÙÒÝ Ø Ø Ø Ð º Ð −− −→ a = M1M2 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1} x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 ÜÓ Ö Ö× Ò ¾¾ ÙÐÙÙÒÝ Ø Õð º Û Ð ´¾¿µ Ø Ð Ò º
  • 23. âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø n1 = {A1, B1, C1}, n2 = {A2 , B2, C2} ÒÓÖÑ Ðð α1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 α α2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ÛÕ Þð º n1 , n2 ÜÓ Ö Ü ÛØ Ó ØÐÓÐ ÓÜ L ×Ò ÓÐÐ Ò ÙÐÙÙÒ Ö Ó ØÐÓÐ Ü Òð òÑ Ö Ò Ù Ò L º A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ´ µ Ø Ø Ð Ð Û × Ò Ò Ó ØÓÖ Ù Ò ÙÐÙÙÒÝ ÙÐÙÙÒÝ ÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ö× Ò Ø × Ö× Ò Ü ÛØ º II  II  II    y II   yyI    I yy  IIyy      II yyyy   yy II    II 2         II    HH   II    HH   Ð   HH  ÐÐÐ     yy HH  y  ÐÐ yyyHH   ÐÐÐ yHyy  Ð   ÐÐÐ  HH yyyy  H   HH yyy ÐÐÐ  HH  ÐÐ HH 1ÐÐÐ HH ÐÐ ÐÐ Ü ÜÓ Ö Ü ÛØ Ø Ð Ð Ø α ´¾ µ Ø Ð ÓÐÓÒ Ü ÛØ ÒÙÙ ÝÒ ÓÐÓÒÐÓ Ò º Ò º Ü ÛØ Ò º ´¾ µ α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 ´ µ Ø Ø Ð Ä ÙÐÙÙÒÝ Ö× Ò Ü ÛØ ¾¿ Ò ÝÒ Ø Ø Ð Ò º
  • 24.  ½º Û òº x=2 2x − y + 3z + 1 = 0 x + 2y − 20z + 2 = 0 −y + 3z + 5 = 0 2y − 20z + 4 = 0 n1 = {2, −1, 3}, âÙÐÙÙÒÝ Ð ÒÓÒ Ü Ð Ðº =⇒ z = 1, y = 8 =⇒ M0(x0, y0, z0) = M0(2, 8, 1). n2 = {1, 2, −20} i j k a = n1 × n2 = 2 −1 3 = 14i + 43j + 5k =⇒ 1 2 −20 x−2 y−8 z−1 = = 14 43 5 Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð Ò Ç ØÓÖ Ù Ò ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒ Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ðð¸ Ô ÖÔ Ò ÓÐÒÓº Ò ØÙÐ Ù ÖØ ÜÓ Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ ¾ Ò ϕ ÛÕ Þð Ö ÐØ ÙÐòÖ¸ ×ÓÐ º º ×ÓÒ
  • 25. x − x1 y − y1 z − z1 L1 : = = , a1 = {m1, n1, p1} m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z2 L2 : = = , a2 = {m2, n2, p2} m2 n2 p2 Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ø Ò ϕ ÙÕ Ö Ò Ð ÙÐòÖ ÕÛ ØÓÖÙÙ ÝÒÜ Òð ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò m1m2 + n1n2 + p1p2 m2 1 + n2 1 + p2 1 ÓÐ L1 È ÖÔ Ò Ð L2 ⇐⇒ a1 · m2 2 + n2 2 + ´¾ µ p2 2 m1 n1 p1 = = m2 n2 p2 a2 ⇐⇒ ´¾ µ ÓÐ ´¾ µ L1 ⊥ L2 ⇐⇒ a1 ⊥ a2 ⇐⇒ m1 m2 + n1n2 + p1p2 = 0 Ò Ü Ð Ü Ò ÖÛ d¹ ÓÐ d Ù ÜÓ Ö Ò º ÙÐÙÙÒ Òð ×ÓÐ ×ÓÒ ÓÐ Ø Ö º Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ Ö Ø Òð cos ϕ = È Ö ÐÐ Ðð Òð Õ ÙÐÙÙÒÙÙ Ô ÖÔ Ò ÜÓÐ Ó×ÓÒ Ü ÖÕÑ ÙÐòÖ Ò ÙÖØ ¾ Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ü Ñ ÙÐÙÙÒݸ ÓÐÒÓº ÙÐÙÙÒ ØÙ× Ò Þ ÖØ Òð
  • 26. Ò • • • • • • • • • • • • ‚‚‚‚ ‚‚‚ ‚‚‚ 1 ‚‚‚ )‚‚‚‚ ‚‚‚ 1 1 • • • • • • • • • • • • M · a Ü ÖÕÑ d Û ØÓÖÝ l Û Ð a1 × a2 l= |a1 × a2| ÓÐÓÜ −− −→ a1 = {m1, n1, p1} ⊥ M1M2, −− −→ a2 = {m2, n2, p2} ⊥ M1M2 b· L Ma Ò ÙÙÜ Ò L O llll l l5ll lll 2 lll lll 2 lll 2 ØÙÐ Ò −− −→ M1M2 = r2 − r1 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1} |[a1, a2] · (r2 − r1)| d= ÓÐ ÓÒÓº |a1 × a2| ÓÓÖ Ò Ø Ö Òð d= ÕÛ Ð x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 m1 n1 p1 m2 n2 p2 n1 p1 n2 p2 2 + p1 m1 p2 m2 ¾ 2 + m1 n1 m2 n2 2 ´¾ µ
  • 27. ÛØ ÒÙÙ ÝÒ Ü Ö Ð Ò Òð Ó ØÐÓÐ ×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ðð¸ Ó Ö Ü ÛØ Ö ÐØ º ÓÐÒÓº ÛÜ × Ò α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0, Ó Ö Ü ÛØ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ó Ö Ü ÛØ n1 = {A1, B1, C1} n2 = {A2, B2, C2} Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò Ø Ò ÜÓÓÖÓÒ O Ò Ø Ò Ü Ñ Ö Ò Òð¸ Ø ϕ ´ ÙÕ Ö ØÓÑ × Ü ÙÕ Ö Ò Ò ÒÓÖÑ Ðð Û Ó ÓÓÖ Ü α· α β n β ¾ ØÓÖÙÙ ÝÒ Ö Ò Ò ×× ×× × ×× ×× ×× ×× ×× • • • • • • • •1 ××1 ×× 1 ×× 1 ×× 1 ×× × ×× ×× ×× ×× ×× × ×× ×× ×× ×× n1 • • • • • • • • • • • • 2 · µ Ö Òð Ò π−ϕ n2 / O n1 ×× ×× ×× ×× ×× ×× × ×× º ÓÐÒÓº
  • 28. Ó Ö Ü ÛØ Ô ÖÔ Ò ÙÐòÖ ÓÐ cos ϕ = 0 ÙñÙ α ⊥ β =⇒ n1 ⊥ n2 =⇒ ´¿¼µ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 È Ö ÐÐ Ðð α ÓÐ β =⇒ n1, n2 ÓÐÐ Ò Ö ÙÕ Ö n1 × n2 = 0 =⇒ ÛÜ × Ò ÓÐ A1 B1 B1 = = A2 B2 B2 ´¿½µ A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 ´¿¾µ ÓÐÒÓº α, β ÜÓ Ö Ü ÛØ Ø Ø òº Í Ó ØÐÓÐ Ó ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ü ÛØ Òð ÓÐ Ò Ò Ó ØÐÓÐ ÓÐÝÒ α, β Ö Ü ÛØ Ø Ø Ò Ü ÛØ ÙÐÙÙÒ ÒÙÙ Ø Òð Ô ÖÔ Ò Ü Ö ÒÙÙ ÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò º ¾ ÙÐòÖ L1 , L2 Òð L1 , L2 ÐÞ Ò Ò Ü Ò Ü ÛØ ÙÐÙÙÒÙÙ Ö ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ
  • 29. ϕ = (L 1 , L 2 ) Û Ð n1 ⊥ L1 , n2 ⊥ L2 cos ϕ = cos (n1, n2) = ÙÕ Ö A2 1 A1A2 + B1B2 + C1C2 + 2 B1 + 2 C1 yyy yyy yyy 11 yyy  1 yyy yyy  1  yy 1 yy  yyyy1 yyy yy   1 yyyy y y  yyy  1  y y  yyy  yy  yyy 1   y   y y1 yyy   y y yy  1 y7 y yyy  yy yyy  1 oo y y  yyy ooo yy yy  yyy oo 1 yy yy   yyyy1 1  y y y  O yyy y yy   1 yy yyy y y 2  yyy yyy  yy 1   yyy yyy  yy  yy 1 yyy   yy yyy   1 yy y y  1 yyyyy y   y yyy 1   yyy   1 yyy   yyy    yy   2             α β ÓÐÒÓº ϕ = (n1, n2) A2 2 · + 2 B2 L n · n · L ¾ DD D oDD 2 ooo DD 1 oo DD, oo7Oo ooo D oo 2 eDDeee
  • 31. ´ µ ⋆ × ×Ø Ñ Ò ÜÙÛð ÖÛ Ò Û Ð × ×Ø Ñ ÓÖ ⋆ ÙÖÛ △ = 0º ⋆ Æ   A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2x + B2y + C2 z + D2 = 0  A3x + B3y + C3z + D3 = 0 Ò Ò Ü ÛØ Ü Ö ò Ð Ò Ø Õ Ü ØÙÐ ÙÖÛ Ò Ü ÛØ △ = 0º Ö Ó ØÐÓÐ ÓÓ Ü Ö ò Ð ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ ÖÜ ÔÖÓ Ò Ò ØÓ ÓÓ Ò ÓÐÓÒ Ü ÙÕ Ö Ø Ò º ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò × Ü Ò º x − x0 y − y0 z − z0 L: = = a = {m, n, p} m n p α : Ax + By + Cz + D = 0, n = {A, B, C} ¿¼ Ø Ó ØÐÓÐ Ó ÓÐ × ×Ø Ñ Û Ð ØÓÓ ØÓÑ âÙÐÙÙÒ Ü ÛØ âÙÐÙÙÒÝ Ü ÛØ ´¿ µ ÙÐÙÙÒ Ü ÛØ º
  • 32. ÖÜ ÙÐÙÙÒ¸ Ü ÛØ ÜÓ ÖÝÒ ÜÙÛð ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓÐØ ×ÓÓÖ ϕ = (L, ÔÖαL), a = {m, n, p} ÜÙÛð n = {A, B, C} (n, a) cos(n, a) = |n| · |a| ÙÕ Ö cos π |Am + Bn + Cp| − ϕ = sin ϕ = √ 2 A2 + B 2 + C 2 · m2 + n2 + p2  n L  ϕW  jj ·BB jjjj j ·jjj jjjj j jjjj    α   · O ¿½ ´¿ µ
  • 33. ÖÛ ÙÐÙÙÒ Ü ÛØ ÜÓ Ö Ô Ö ÐÐ Ðð ÓÐ n ⊥ a ⇐⇒ (n, a) = 0 ⇐⇒ Am + Bn + Cp = 0 L · / n a Ö Û n, a ÙÐÙÙÒ Ü ÛØ ÓÐÐ Ò Ö O · ÜÓ Ö Ô ÖÔ Ò ´¿ µ α ÙÐòÖ ÓÐ ⇐⇒ [n, a] = 0 ⇐⇒ A B C = = m n p · O a n ·11 α 1 · ¿¾ ´¿ µ