Este documento contiene información sobre diferentes temas de matemáticas como números, raíces, potencias, logaritmos y álgebra. Presenta definiciones, propiedades y ejemplos de estos conceptos fundamentales de manera desordenada y en un formato difícil de leer debido a la falta de puntuación y uso de caracteres extraños.
Hola! Soy Samantha Bravo, alumna de la Escuela De Talentos, el dia de hoy les traigo un trabajo del curso de Razonamiento Matemático, espero sea de su interes
Hola! Soy Samantha Bravo, alumna de la Escuela De Talentos, el dia de hoy les traigo un trabajo del curso de Razonamiento Matemático, espero sea de su interes
19. TGeemoam3etría 33..11..1.TPMrairgaedomineddoairmduneeátánrngíugaloulsoueslenusarsetressistemas: Sexagesimal:elgradosexagesimalseobtienedividiendoen360 ungradosexagesimalsedivideen partesigualesunángulo
ompleto; 60 minutosyunminutoen60 segundos(1◦ = 60′ y1′ = 60′′Centesimal:Elgrado
entesimalseobtienedividiendoelángulo
ompletoen ). 400 grado
entesimalsedivideen partesiguales;un 100 minutosyunminutoen100 segundos(1◦ = 100′ y1′ = 100′′Radianes:Eselánguloqueinter
eptasobrela
ir
unferen
iaunar
odelongitudigualalradio.).
obtienela
oresponden
iaentregradosyradianes. r
ymediantereglasdetressimplese
= 2 r
Un radian
r
l
lr
Medida en radianes: Segúnloanterior,unángulode360◦ mideenradianes2r
rad. 3.1.2. AÁpnagrtuirlodseaohroirean
toandsidoesraremossiempreunsistemasdeejesde
oordenadasperpendi
ulares,OX yOY ,ytodoslosánguloslosituaremosdemodoqueunodesuslados
positivo.
r
360◦ ≡ 2 rad., 180◦ ≡ rad., 90◦ ≡
2
oin
idan
onelsemiejeOX Y
origen de ángulos
O X
X
1111 19
20. Cualquiersemire
ta sentido
ontrarioala
soanguojraigsednel=reOlojdleosn
iroánsdidoesráanregmulooss:pos1ityivos2.
oLmosoáensgulosobtenidosgirandoenel 1.Losángulos
omo2 3.1.3s.eobÁtinengeunlgoirsanmdoayenorelessendtiedoalasagujasdelrelojseránlosnegativos. que 2 Aunqueunángulo
ompletomideradianes 360◦ o2 Sseep
ounedsiedeerxaprqeusear
udaelqlauifeorrnmúamerorealrepresenrtaadliaamneesd,ipdoaddeemuons
áonngsuildoerteanriáenngduoloesnd
euemnatayoqruaemsipelmitupdre. + k · 2,donde esunángulo
omprendidoentre0 y2Ejemplo:Elángulo . 2,835◦ = 315◦ + 360◦ · 7,esde
3.1.4. girardespués Razonestriqguoenpoermteénet
rei
aalsIV
ir,eselresultadodedarvueltas
ompletasy 7 315◦ uadrante. Consideremosla
ir
unferen
iaderadior yunánguloir
unferen
iaenunpunto .Elsegundoladodelángulo
ortaráala P = (x, y).
y Vánagmuolos
audaelquniierralalsorhaazroenmesostruigsaonndomoélatsri
aosorpdaernaadáansgudleolspaugnutdoosenuntriángulore
P(x,y)
Razóntrsigenonoométri
tánguloyparaun Pa Enuntriángulore
x
tángul.o Ángulo
ualquiera sen =
tangente cateto opuesto
y
sen =
hipotenusa
r
x
r tg =
oseno cos =
se
ante cateto contiguo
cos =
hipotenusa
cateto opuesto
y
tg =
cateto contiguo
r
x
y sec =
otangente cotg =
cateto contiguo
cateto opuesto
r
y dLeasraradzioonestrigonométri
asnodependendelradiodela
ir
unferen
ia.Podemostomaruna
cotg =
.Tampo
hipotenusa
r
sec =
cateto contiguo
x
ir
unferen
ia 1ose
ante cosec =
hipotenusa
cateto opuesto
cosec =
odependedeltriángulore
táng2u0loquesetome.
21. 3.1.5. ESlisgignnooddeelalsarsazroanzeosntreigsontormigétorni
oasmdéepternid
eansdelsignodelaab
isa”x” signodelaordenada (signodel
oseno)ydel ”y” (sigIn
ouadderlasnetneo).I
uadrante I
uadrante IV
uadrante
0 /2 /2 3/2 3/2 2 seno + + − −
oseno + − − + tangente + − + −
otangente + − + − se
ante + − − +
ose
ante + + − − 3.1.6.1.Rela
ionesentrelasrazonestrigonométri
as sen2 +cos2 = 1.Deestarela
2. quesea . iónsededu
eque:
y
par
ualquiera −1 ≤ sen ≤ 1 −1 ≤ cos ≤ 1 tg =
4. sen
cos
= cosec 1
y 1
tg
= cotg y
omo
onse
uen
iacotg =
cos
sen 3. 1
3.1.7. 5.ordeLnaasdraasz.onestrigonométri
6.sen
Razonestrigonométri
= sec cos
1 + tg2 = sec2 asdelosángulos:,,,y1 + cotg2 = cosec2 0◦90◦180◦270◦ 360◦asdeestosángulosseobtieneinmediatamente,observando.susab
isasy
otangente tangente oseno seno se
ante noestádenida
3
0◦ ≡ 0 rad. noestádenida
noestádenida 90◦ ≡
rad. noestádenida 180◦ ≡ rad. noestádenida 270◦ ≡
rad. 2
2
0 1 0 −1
1 0 −1 0 0 0 0 0 1 −1 ose
ante noestádenida noestádenida 1 noestádenida
−1 21
22. 3.1.8. Razonestrigonométri
asdelosángulos:30◦,60◦ y45◦.
rad. seno 1
tangente
30◦ ≡
rad. 60◦ ≡
rad. 45◦ 6
3
≡
4
√2
√2 3
se
ante 2
1 2√3
√3
2
√2
2
oseno √3
2
1
2
3.2. RDaoszáonnguelosstseridgi
oenn
oommpéletmrein
taarisosd
3
ueanádonsguumlaons
√3 1
otangente √3
omplem√e2ntarios 90◦ o
√3
3
rad.Siunángulomide mentarioserá su
o2 √2
3
omple-
90◦ − ose
ante 2
2√3
3
2
2 − .
Se
umplenlassiguientesrela
iones:
x'
y'
y
x
x=y'
y=x' sen(90◦ − ) = cos cos(90◦ − ) = sen tg(90◦ − ) = cotg Ejemplo:sen 30◦ = cos 60◦ ycos 30◦ = sen 60◦ 3.3. RSeedpuued
e
nidóanrloaslsigpurieinmtese
raso
su:adrante
eSsitáenelsegundo
uadrante 90◦ 180◦ enton
eselángulo180◦− pertene
ealprimer
uadrante.Losángulosquesuman
180◦
omoson y180◦ − selamansuplementarios.
y' x' 22
y x
x=-x'
y=y'
23. Severi
aenton
es:
sen = sen(180◦ − ) cos = −cos(180◦ − ) tg 3.3.1. Siestáenelter
er
uadrante = −tg(180◦ − ) 180◦ 270◦ enton
eselángulo − 180◦ pertene
ealprimer
uadrante.
Sededu
eque:
y
x'
x
y'
x=-x'
y=-y' sen = −sen( − 180◦) cos = −cos( − 180◦) tg = tg( − 180◦) 3.3.2. Siestáenel
uarto
uadrante 270◦ 360◦ enton
eselángulo360◦ − pertene
ealprimer
uadrante.
Severi
aenton
es:
x
x'
x=x'
y=-y' y
y'
sen = −sen(360◦ − ) cos = cos(360◦ − ) tg = −tg(360◦ − ) 3.4. RSeaazonestrigonométri
unángulo
ualquierapositivoy
asdeunángulonegativo − el
orespondientenegativo.
x
x'
y
y'
x=x'
y=-y' Severi
aenton
es:
sen = −sen(−) cos = cos(−) tg = −tg(−) 23
24. 3.5.haRlRaeresslooolsvlteurreu
sniáóntrgniuálnodgsu:elotrer
itáánngguluoelsohsalrlaer
totdáonssgusuelloemsentosdes
ono
idos.Enuntriángulohayque A,B yC ylostreslados:a,b yc.
c PararLeasoplvreorpiuendatdriáqnugeuliondrie
atáqnugeulloasseumpuaeddeenloustiltirzeasr:ángulosdeuntriánguloes180◦triángulosre
tángulos,sielángulo .Enel
asode A esre
PararLEeaslostledvoeerrenumin
aitodrnieáensPgidtueálgolaorsrea
rsta.áznognueslothriagyonqoumeé
C b
A
torni
to,a
B
qdueleá
nognuol
oerreu
ntoo,dteeneilelonsdoeqeuniv
auleenata
oqnuoe
eerstloossddooss.elementosnopuedenserlosdosángulosagudos,ya
oa
se.runmínimod.edoselementosdeltriángulo,además B + C = 90◦24
25. TFeumna
i4ones 4.1. COobEEnsller
pvoreaenp
sliouotsmodsoiegdduueineeagnatlfesluaosmleninjaea
dmaidópetlenoulsen.:fó
Tnoi
eharemedsetipáneenondleofudgneí
saiuóndudrea
laióvne.lo
idaddelmismo. dlEleanmlAataodoLdlaataorssyafdull(ooeaesrslzdvpaeuajrre
reamoi
a
nibipoóqllneodusseedqealsuaneleatlaelratmrermilaoiaseram
endisoaadn)hod,aasedmypmeoeuatsnnasdlalaaesmsrdealdlelnaaeeml
parieaaódnrnquedumreeaeno
dtlsiroeó:esnlav)d.aodlsoisrtmeasangd
iTnedneLUdparneeanmrdefouliaesnn
Variabledependienteo Variableindependienteonieaiutdunedaesvusasorriaevsbaplreei
datebivploeesns(d
eeelnntprdroees
liodosedvmaealousranesas. iiunnngdaeeLnpgaieersnarfdínuain,e
obteniendolosvaloresde grá
aounaexpresiónanalíti
eaittone
pi
tóeoinórlnetqa
nt.)
iedosyamqddoueedllaeamdváseiisdtpunae.aon
uenosetruorsneeqsapueroeset:nlaadb
elieóu
nneeúnenntrtier
:eodsoulvassasmlvodaarolgodsnreeimtsluaaddgevenpasiretoinuavddbaeelrensiadpdbeuelpeelesdon,esddveiveaemnlnotiorered.soddaqdeuae:eslaquesejapreviamente. laamv
eaadrdiiaaabnvlteaelaounrntdaeeritloaarb.vlaar,iaubnlae n
sdoioivteniandnetisaeandtaioen.mtUelaartnseilsiv
aenlaque,atravésdeunafórmula,dándolevaloresalavariablexyazairaelrnoeenr
meiaMsosnsauetpexmumpeéesárritli
iamo
asse,isngptsuauoilneeenssatt(oqeufqníesuolietl
aaaes
,sietóqnenutlípaimpasoir
auade,aexlbefpusiro,nelt
soaiagonríntauoe,nsleaad
efovusan
vamos nror
imiaibóbíenalne:,
x yx −→ y = f(x) Leremos:sealafun
iónf denidaenA ⊂ R(
onjuntooriginal)yquetomavaloresenRa
ada (
le
orespondeunúni
o;designael
onjuntonal); f : A ⊂ R −→ R
x ∈ A y ∈ Rf riterioquenospermite
al
ularelvalorde
y(imagendex),
ono
idoxEjemplo:Seaflafun
i(óonridgeinanli)d.a:
x −→ y = 2x Sees
ribetambiénf(x) = 2x.Estaeslafun
iónquea
adavalordex leha
f : R −→ R
emos
orespondersudoble.
•
Podemosformarunatabla
onalgunosvalor-x01e1sde-y022lafun
ión: 23 46
•
enLealspfulann
oio.nLeastgarmáb
iéanlalasfoprmodaermánostoredporsesleonstparungtroás
daemlepnlatenomdedeialantfeorumnasistemadeejes
fun
iónanteriorsería: .Lagrá
oordenados 25 adela
(x, f(x))
36. 9.aE)fe
túalassiguientesopera
iones: x
x − 2
10.aR)esuelvelassiguientese
x
x
+
+
x − 1
= )x2 − 3x + 2
f)d)g)e)h)x4 − 10x2 + 9 = 0 x3 − x2 − 4 = 0 x6 + 7x3 − 8 = 0 √x2 − 1 + 1 = x √x + 5 + √2x + 8 = 7 x − √x =
= b)1 + x
1 − x
+
x − 1
1 + x
+
x2
1 − x2 =
)
a
b −
b
a
·
a
b
+
b
a
·
ab
a2 + b2
= d) 3x + 3
12 − 12x
:
(x + 1)2
x2 − 1
ua
iones: 5(x − 4)
x
√x 11.aR)esuelvelassiguientese
4 −
e)g)f))d)12.aR)esuelvelassiguientese
−4x−2
h)16x−2 = (0, 5)3x+1 2x = 3 3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x−1 = 120 2x+1 − 3 · 2x−1 = 4 52x+1 − 24 · 5x+1 = 125 9x − 2 · 3 = −5
x
3 −
7
5
=
3x
5 − x − 5 b)3 − x
1 − x2 −
1
1 − x
=
2 + x
x + 1
ua
ionesexponen
iales: 5x = 125 b)3x−1 =
ua
ioneslogarítmi
b)
1
3
as: log2 8 = x logx 3 =
)4 log2(x2 + 1) = log2 81 d)2 log2(x − 1) = 3 + log2 x e)log(5x − 4) − log 2 =
2 f)4 log5(x + 2) = 3 + log5(x + 2) g)log 2 + log(11 − x2)
= 2 13.aR)esuelvelossiguientessistemasdee
ua
iones:
1
2
log(x + 4)
d)log(5 − x)
x
2 − y = 3
11
2x − 4y = 12
4
b)
x =
2
3
y
2y = 3x − 5
)
3x + y
2 −
x − 2y
3
=
7
6
2x + y
3 −
y − 3x
j)4
4x − 4−1 · y = 40
=
2x + y = 3
x2 + y2 = 2
e)
y + 3 = x2 − 2x
x + 1 = y
f)
x − 1 = 2y √x + y = 2 + √x − y g)
2x + 5y = 9
2x+2 − 5y+1 = −9
h)
2x + 2y = 24
2x+y = 128
i)
2x =
433
4y
g)3 log x − log y = 1
log x + 2 log y = 5
1 3x −
k)
i)
| − 5x + 1| ≤ 2 36
log x − log y = 1
x2 − y2 = 4
l)
log(x + y) − log(x − y) = log 5
2x
2y = 2 14.aR)esuelvelassiguientesine
ua
iones: x2 − 6x + 8 0 b)(2x − 3)2 1
)x2 − 8x + 1 ≥ x − 19 d)3x − 6
x + 1
0 e)x − 3
x + 5 ≥ 4 f)2x + 3
x − 1
2x − 5
6
3 −
3 − 6x
4
h)x − 4
4
+ 1 ≤
4 + x
8
37. 15.aH)alasin
al
uladora: sen(−135◦) b)cos 120◦
)tg(−60◦) d)sen 3630◦ e)sen 210◦ 16.Sicos x = −1/2 ytg x 0,
al
ulasen x17.Si . tg x = −2 yx estáenelsegundo
uadrante,
al
ulacos x18.aR)esuelvelassiguientese
ua
iones: . cos x =
)tg x = 1 d)tg x = −√ 19. a)Demuestra: cos x
1 + sen x
cos x b)Simpli
alaexpresión: sen x
1 + cos x
sen x 20.aR)epresentagrá
1
2
amentelassiguientesre
b)tasyparábolas: y = 3x y = −7
b)sen x = 0
x + 2 d)y = x2 − 4x + 7 e)y = −x2 + 5 21.Halalae
ua
ióndelare
taquepasaporlospuntosP(1, 7) yQ(−2, 4)22.aH)alaeldominiodelassiguientesfun
=
1 − sen x
b)iones: +
1 + cos x
. f(x) = x2 − 3x + 4 f(x) =
)y =
1
2
x2 − 4
x3 − 9x
)f(x) = √x2 − 3x + 2 d)f(x) =
s
x2 − 1
x + 2
37