La ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse como P(x)y' + Q(x)y^n = 0, donde n es una constante distinta de 0 y 1. Mediante la sustitución y = v^(-1/(n-1)) se transforma en una ecuación lineal más fácil de resolver. El documento presenta la definición, un teorema y un ejemplo resuelto de una ecuación de Bernoulli, así como seis ejercicios propuestos para resolver.

1. MATEMÁTICAS IVMATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

2. ECUACIÓN DE BERNOULLIDaniel Bernoulli (8/2/1700- 17/3/1782) Fue un matemático, estadístico, físico y médico neerlandés-suizo. Destacó no sólo en matemática pura, sino también en las aplicadas. Hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.Definición: Una ecuación diferencial de primer orden se puede escribir de la forma: Ec. 1Donde P(x) y Q(x)son funciones reales y continuas en un intervalo [a, b] y n es un constante real diferente de 0 y 1 se conoce como Ecuación de Bernoulli.Observación: Cuando n=0 la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando n=1 se trata de una ecuación lineal.MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

3. TEOREMALa ecuación de BernoulliEc. 2se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustituciónDemostración:Al dividir la ecuación 2 por resulta:Ec. 3Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución Ec. 4MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

4. TEOREMASustituyendo en la Ec. 4 esta se transforma en:Ec. 5La cuál es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

5. EjercicioResuelva la ecuación:Esta es una ecuación de Bernoulli con n=3, P(x)= -5 y Q(x)= - (5x)/2. Para resolverlo primero dividimos entre Ahora efectuamos la transformación . Puesto que la ecuación se transforma en:Simplificando obtenemos la ecuación linealCuya solución es: y al sustituir se obtiene la ecuación original MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez

6. Ejercicios PropuestosResuelva las siguientes ecuaciones:1.2.3.4.5.6.MATEMÁTICAS IV …………………………………………………………………………… Ing. Ángel Pérez