Este documento describe las ecuaciones diferenciales de Bernoulli y su resolución. Explica que mediante una transformación de variable, estas ecuaciones pueden reducirse a una forma lineal más fácil de resolver. Luego presenta la biografía de Jakob Bernoulli, matemático suizo que desarrolló técnicas para resolver ecuaciones diferenciales separables y colaboró con su hermano Johann en aplicaciones de curvas y isoperimetría.

1. Ecuaciones de bernoulli<br />Descripción: algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial, en las ecuaciones diferenciales de bernoulli ocurre algo similar pueden escribirse como lo representa la F1 o realizar manipulaciones algebraicas para llegar a su forma establecida:<br />dydx+ Pxy=Qx <br /> (F1)<br />2425065314325<br />Biografía:<br />(Basilea, 27 de diciembre de 1654 - 16 de agosto de 1705),<br />También conocido como Jacob, Jacques o James Bernoulli, fue un matemático y científico suizo y hermano mayor de Johann Bernoulli (parte de la familia Bernoulli).Siendo joven su padre Nikolaus Bernoulli, lo envió a la Universidad de Basilea para estudiar filosofía y teología, con el ánimo de que se convirtiera en teólogo. Pero Jakob continuó, a escondidas, las que eran sus auténticas aficiones la física y las matemáticas, según confiesa en su diario.<br />A partir de los planteamientos de Leibniz desarrolló problemas de cálculo infinitesimal. Fundó en Basilea un colegio experimental. Durante un viaje a Inglaterra en 1676, Jakob Bernoulli conoció a Robert Boyle y Robert Hooke. Este contacto le inspiró una dedicación vitalicia a la ciencia y la matemática. Fue nombrado Lector en la Universidad de Basilea en 1682, y fue promocionado a Profesor de Matemáticas en 1687.<br />En 1690 se convirtió en la primera persona en desarrollar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales separables. Se familiarizó con el cálculo mediante su correspondencia con Gottfried Leibniz, y colaboró con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos en curvas trascendentales (1696) e isoperimetría (1700, 1701).<br />Su obra maestra fue Ars Conjectandi (el Arte de la conjetura), un trabajo pionero en la teoría de la probabilidad. La publicó su sobrino Nicholas en 1713, ocho años tras su muerte. Los términos ensayo de Bernoulli y números de Bernoulli son resultado de su trabajo. También existe un cráter en la Luna bautizado cráter Bernoulli en honor suyo y de su hermano Johann.<br />Desarrollo<br />Consideremos ahora un tipo más especial de ecuaciones que se puede reducir a una ecuación lineal mediante una transformación especial; esta es la ecuación de bernoulli <br />Ecuación de la forma:<br />dydx+ Pxy=Qxyn (2)<br />Se puede observar que si n=0 o bien 1, entonces la ecuación de bernoulli (2) es en realidad una ecuación lineal y, por lo tanto, se puede resolver fácilmente; sin embargo, en el caso general en que n≠ 0, o bien 1, este caso sencillo debe manejarse de manera diferente. Vamos a enunciar y demostrar el teorema 2.5, que nos dara un método de resolución para el caso general <br />Teorema 2.5 <br />Se supone que n≠ 0 o bien 1. Entonces la transformación v= y1-n reduce la ecuación de bernoulli <br />dydx+ Pxy=Qxyn<br />Demostración: primero se multiplica la ecuación (2) por y-n, con esto se puede expresar en la forma equivalentes <br />y-ndydx+ Pxy-n=Qx (2.1)<br />Si se hace v= y-n, entonces <br />dvdx=(1-n)y-ndydx<br />Y la ecuación (2.1) se transforma en <br />11-nxdvdx+ Pxv=Qx<br />O bien equivalentes a <br />dvdx+1-nPxv=(1-n)Qx<br />Al introducir las sustituciones <br />P1(x)= (1-n) Px<br />Y<br /> Q1(x) = (1-n) Q(x) <br />Y se puede escribir <br /> dvdx+ P1xv=Q1x<br />Que es lineal en v <br />Ejemplo: xdydx-y=x2y2<br /> xy2dydx-y3= x2y2y2<br /> xy2dydx-y3= x2 u= -y3<br /> Du= -3y2dy <br />-3xy2dydx+3u= -3x2<br /> <br /> -xdydx+3u= -3x2<br /> <br /> dudx-3ux=3xμ=e3dxx=e-3lnx = x-3<br />d x-3u= x-3(3x)dx<br /> x-3u=3x-2dx<br />x-3u=-3x-1+c<br /> u=-3x-1+cx3<br /> u= -3x2+x3c<br /> -y3=-3x2-x3c<br /> <br />Fuentes de referencias: Introducción a las ecuaciones diferenciales (S.L. ROSS, Mc Graw Hill)http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/JBernoulli.asphttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoulli<br /> <br /> <br /> <br />http://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionDeBernoulli<br />