Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli. Explica que las ecuaciones lineales pueden resolverse mediante el método de variables separadas o variación de parámetros. También muestra cómo las ecuaciones de Bernoulli se pueden transformar en ecuaciones lineales mediante una sustitución, lo que permite resolverlas. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. ECUACIONES LIENALES Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma: a(x)y’+b(x)y=c(x) es una ecuación lineal.<br />Forma ordinaria:<br />11868152749550y=1μ(x) Qx*μ(x)dxy=1μ(x) Qx*μ(x)dxCuando Q(x)=0, la ecuación lineal es homogénea, cuando Q(x)≠0 es no homogénea.Cuando la ecuación es homogénea se realiza por el método de variables separadas y cuando es no homogénea se puede realizar por dos métodos:.- factor integrante.- variación de parámetrosL a solución general de las ecuaciones diferenciales lineales es la siguiente:<br />Ejemplo xdy=(x sinx-y)dx1.- el dx se pasa del otro lado de la ecuación dividiendo a dy y la x se pasa dividiendo a (x sinx-y)dydx= (xsinx-y )x<br />Esto es lo mismo que tener:dydx= xsinxx-yxdydx=sinx-yxLa ecuación anterior se pasa a su forma ordinaria y’+ yx = sin xComo aquí podemos observar que Q(x) no es igual a cero por lo tanto es una ecuación lineal no homogénea y en este ejemplo se resolverá por factor integrante.P(x)= 1x Q(x)= sin xμ= e1x dx= elnx=x usando la forma de la solución general tenemos:31108655605780derivadaintegralxSin x1-cos x0-sen xderivadaintegralxSin x1-cos x0-sen xy= 1x sinx (x)dx42494206012815004297680596773004227195619442503806190596773037719006196330y= 1x xsinx dxy= 1x[-x cos x +senx + c]y= -xcosxx+ sinxx+ cxy= -cos x + sinxx+ cxECUACIONES DE BERNOULLI4004310-29457654005580-319786003579495-29457653575685-3161030<br /> DEFINICION<br /> Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de y se conoce como ecuación de Bernoulli1.2<br /> <br />Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados. <br /> <br /> TEOREMA<br /> La ecuación de Bernoulli 1.12se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución . <br />Demostración: <br />Al dividir la ecuación 1.12 por yn, resulta <br /> 1.13<br />Usando la regla de la cadena, calculemos y’ a partir de la sustitución u= y1-n<br />Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en <br />la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería. <br /> <br />Ejemplo: <br />Resuelva la ecuación <br />Solución <br />Ésta es una ecuación de Bernoulli con , P(x)=-5y .Q(x)= - 5x2 Para resolverla primero dividamos por y3<br />Ahora efectuemos la transformación u=y-2. Puesto que dudx=-2ydydx, la ecuación se transforma en <br />Simplificando obtenemos la ecuación lineal <br />Cuya solución es <br />y al sustituir u=y-2se obtiene la solución de la ecuación original <br />Observación: en esta solución no está incluida la solución y=0, que se perdió durante el proceso de dividir por y3. Es decir, se trata de una solución singular. <br /> <br />Ejemplo: <br />Compruebe que la ecuación diferencial <br />se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer . <br /> <br />Solución <br />Como <br />Sustituyendo obtenemos <br />la cual es una ecuación de Bernoulli. <br />