El documento presenta resúmenes de tres tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden: 1) Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneas, las cuales pueden resolverse mediante un cambio de variable y factor integrante. 2) Ecuaciones de Bernoulli, las cuales pueden transformarse en ecuaciones lineales mediante un cambio de variable. 3) Ecuaciones de Riccati, inventadas por el matemático Jacopo Riccati, las cuales generalmente no son lineales pero a veces admiten soluciones particulares que permiten

1. E.D. LINEALES DE 1° ORDEN NO HOMOGÉNEAS
E.D. BERNAULLI
E.D. RICATTI
DANIEL JOSÉ CUELLAR
CARLOS MAURICIO MONTENEGRO
CRISTIAN RAMÍREZ MOLINA
MIGUEL ALFONSO ROA
JUAN VARGAS

2. E.D. LINEALES DE 1° ORDEN NO HOMOGÉNEAS
 Solución:
1. Se normaliza la ecuación diferencial dividiendo entre 𝑎0(𝑥):
𝑎0 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎1 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑎1 𝑥
𝑎0 𝑥
𝑦 =
𝑔 𝑥
𝑎0 𝑥
Se considera que p 𝑥 =
𝑎1 𝑥
𝑎0 𝑥
y f x =
𝑔 𝑥
𝑎0 𝑥
donde 𝑎0 𝑥 es diferente de 0
2. Se calcula un factor integrante u(x):
𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
3. Se multiplica la ecuación diferencial por la función u(x):
 𝜇 𝑦′
+ 𝑝𝑦 = 𝜇𝑓
4. Considerando que 𝜇𝑦 ′
= 𝜇 𝑦′
+ 𝑝𝑦 se tiene:
𝜇𝑦 ′
= 𝜇𝑓

3.  5. Integrando:
𝜇𝑦 ′
𝑑𝑥 = 𝜇𝑓𝑑𝑥 → 𝜇𝑦 + 𝑐1 = 𝑢𝑓𝑑𝑥 + 𝑐2
 6. Despejando la variable y:
𝑦 =
1
2
𝜇𝑓𝑑𝑥 +
𝑐
𝜇
Se ha obtenido así la expresión de la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea:
𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
 Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal,
como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
 Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma.
 donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo [a,b] y n es una constante real
diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de Bernoulli1.2

𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝 𝑥 𝑦1−𝑛 = 𝑄 𝑥 𝑦 𝑛
 se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución u = 𝑦1−𝑛

5.  Al dividir la ecuación anterior por 𝑦 𝑛, resulta
 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥
 Usando la regla de la cadena, calculemos y’ a partir de la sustitución 𝑢 = 𝑦1−𝑛

𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 − 𝑛 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 sustituyendo en la ecuación esta se transforma en

1
1−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝 𝑥 𝑢 = 𝑄 𝑥
 la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.

6. EJEMPLO
Resuelva la ecuación
Solución
Ésta es una ecuación de Bernoulli con , .
Para resolverla primero dividamos por 𝑦3
Ahora efectuemos la transformación 𝑢 = 𝑦−2
. Puesto que
la ecuación se transforma en

7. Simplificando obtenemos la ecuación lineal
Cuya solución es
y al sustituir 𝑢 = 𝑦−2
se obtiene la solución de la ecuación original

8. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI
 La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y
desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la
hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de
D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de
varios matemáticos: Leibniz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y
posteriormente, a Euler.
 Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

9. EJEMPLO
sabiendo que y 1 = 2 es una solución particular. Reconocemos una ecuación de
Riccati. Primero de todos necesitamos cerciorarnos de que y 1 sea de hecho una
solución.
Si no, nuestros cálculos serán infructuosos. En este caso particular, es
absolutamente fácil comprobar que y 1 = 2 es una solución. Sistema
Entonces tenemos
Cual implica
Por lo tanto, de la ecuación satisfecha, conseguimos

10. Las manipulaciones algebraicas fáciles dan
Por lo tanto
z ' = -3 z -1.
Esto es una ecuación linear . La solución general se da cerca
Por lo tanto, tenemos