Este documento introduce los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Define un espacio vectorial como un conjunto no vacío con dos operaciones definidas (adición y multiplicación por escalares) que cumplen ciertos axiomas. Presenta ejemplos de espacios vectoriales como Rn, las matrices y los polinomios. Explica las nociones de combinación lineal, dependencia e independencia lineal de vectores, y define un conjunto generador y una base de un espacio vectorial.
TRANSFORMACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS-JORDAN
NUCLEO NULIDAD IMAGEN Y RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
RELACION DE MATRICES CON TRANSFORMACIONES LINEALES
TRANSFORMACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS-JORDAN
NUCLEO NULIDAD IMAGEN Y RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
RELACION DE MATRICES CON TRANSFORMACIONES LINEALES
transformaciones Lineales (Definición).
.- Método de Gauss Jordan.
.- Definir núcleo, nulidad, imagen y rango de una transformación lineal
.- Relacionar las matrices con las transformaciones lineales.
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.
transformaciones Lineales (Definición).
.- Método de Gauss Jordan.
.- Definir núcleo, nulidad, imagen y rango de una transformación lineal
.- Relacionar las matrices con las transformaciones lineales.
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
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1º Caso Practico Lubricacion Rodamiento Motor 10CVCarlosAroeira1
Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
Se denomina motor de corriente alterna a aquellos motores eléctricos que funcionan con alimentación eléctrica en corriente alterna. Un motor es una máquina motriz, esto es, un aparato que convierte una forma determinada de energía en energía mecánica de rotación o par.
Una señal analógica es una señal generada por algún tipo de fenómeno electromagnético; que es representable por una función matemática continua en la que es variable su amplitud y periodo en función del tiempo.
1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES
DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Espacios Vectoriales y
Transformaciones
lineales
2. OBJETIVOS
Definir espacios vectoriales
Reconocer los axiomas de un Espacio Vectorial
Reconocer cuando un conjunto es la base de un
Espacio Vectorial
Definir una Transformación Lineal
Identificar a las Transformaciones Lineales
Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas de contexto real
3.
4. Espacios Vectoriales
Un Espacio Vectorial es un conjunto no vacío 𝑉 de objetos,
llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones,
llamadas adición y multiplicación por un escalar (números
reales), sujeta a diez axiomas (o reglas)
Adición: +: 𝑽 × 𝑽 → 𝑽
A cada par 𝒖; 𝒗 ∈ 𝑽 × 𝑽 se le
asocia otro vector 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑽
Multiplicación por un escalar:
⋅∶ ℝ × 𝑽 → 𝑽
A cada par 𝜶; 𝒗 ∈ ℝ × 𝑽 se le
asocia otro vector 𝜶 𝒗 ∈ 𝑽
5. Axiomas de un Espacio Vectorial
Adición
1.- Conmutatividad: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉.
2.- Asociatividad: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 ; ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
3.- Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ 𝑉 tal que
𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢, ∀ 𝑢 ∈ 𝑉.
4.- Elemento opuesto: Para cualquier 𝒖 ∈ 𝑽, existe un −𝒖 ∈ 𝑽
tal que
∀𝑢 ∈ 𝑉 existe − 𝑢 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + −𝑢 = −𝑢 + 𝑢 = 0
6. Axiomas de un Espacio Vectorial:
Producto por un escalar
5.- Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para 𝒖 ∈ 𝑽
y 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ se cumple: 𝜶 𝜷𝒖 = 𝜶𝜷 𝒖
6.- Primera ley distributiva: Para 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 y 𝜶 ∈ ℝ se cumple:
𝜶 𝒖 + 𝒗 = 𝜶𝒖 + 𝜶𝒗
7.- Segunda ley distributiva: Para 𝒖 ∈ 𝑽 y 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ se cumple:
𝜶 + 𝜷 𝒖 = 𝜶𝒖 + 𝜷𝒖.
8.- Para cada vector 𝒖 ∈ 𝑽 se cumple
1. 𝑢 = 𝑢
7. Ejemplo 1
El conjunto de 𝑛 − uplas de números reales:
ℝ 𝑛 = *𝑥 = 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑖 1≤𝑖≤𝑛: 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛+
Con las operaciones:
𝑥 + 𝑦 = (𝑥1 + 𝑦1; 𝑥2 + 𝑦2; … ; 𝑥 𝑛 + 𝑦𝑛)
𝛼𝑥 = (𝛼𝑥1; 𝛼𝑥2; … ; 𝛼𝑥 𝑛)
es un espacio vectorial real.
Solución:
𝑩(−𝟑; 𝟐; 𝟒)
𝑨(𝟐; 𝟏; 𝟑)
𝒚
𝒙
𝒛
𝑨(𝟐; 𝟏; 𝟑) y B(−𝟑; 𝟐; 𝟒) son vectores
en ℝ 𝟑
8. Ejemplo 2
El conjunto de matrices reales de orden 𝑛 × 𝑚:
ℳ𝑛×𝑚(ℝ) = *𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑚
, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚+
con las operaciones: suma de matrices y producto por
números reales, es un espacio vectorial real
Solución:
Por ejemplo las matrices
𝑨 =
−𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 𝟑 𝟐
y 𝑩 = 𝟎 𝟏
𝟏
𝟐
𝟎 𝟎 𝟏
son vectores en ℳ𝟐×𝟑 ℝ
9. Ejemplo 3
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales
en la variable 𝑥:
𝑃(ℝ) = 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘
:
𝑛
𝑘=0
𝑛 ∈ ℕ, 𝑎 𝑘 ∈ ℝ
Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y
producto de un polinomio por un escalar.
Solución:
Por ejemplo los polinomios
𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y
𝑸 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟓 − 𝟖𝒙 𝟒 − 𝟏𝟖𝒙 𝟑 + 𝟔𝟒𝒙 𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 − 𝟗𝟔
son vectores en 𝑷 ℝ 𝒙
𝒚
10. Ejemplo 4
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales
en la variable 𝑥 de grado menor o igual a 𝒓 ∈ ℕ
𝑃𝒓 ℝ = 𝑷 𝒙 = 𝒂 𝒌 𝒙 𝒌
𝒏
𝒌=𝟏
𝒏 ∈ ℕ ∪ 𝟎 ; 𝒏 ≤ 𝒓; 𝒂 𝒌 ∈ ℝ
Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y
producto de un polinomio por un escalar.
Solución:
11. Ejemplo 5
El conjunto de todas las funciones reales de variable real
cuyo dominio es el intervalo 𝒂; 𝒃
𝑭 𝒂; 𝒃 = 𝒇: 𝒂; 𝒃 → ℝ 𝒇 𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐨𝐧 𝐝𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨 𝒂; 𝒃
Con las operaciones usuales de adición de funciones y
multiplicación de una función por un escalar
Solución:
Por ejemplo las funciones mostradas
son vectores en el espacio 𝑪 𝟎; 𝟏
𝒙
𝒚
12. Ejercicio 1
Considere los vectores 𝒖 = 𝟏; 𝟐; −𝟏 y 𝒗 = 𝟐; 𝟎; 𝟑 .
Demuestre que el conjunto
𝑨 = 𝒕𝒖 + 𝒔𝒗 𝒕, 𝒔 ∈ ℝ ⊂ ℝ 𝟑
Es un espacio vectorial con las operaciones usuales de ℝ 𝟑
Solución:
13. Combinación lineal
Sea 𝑉 un espacio vectorial. Se dice que 𝑣 ∈ 𝑉 es combinación
lineal de los vectores 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣 𝑛 ⊂ 𝑉, si existen escalares
𝛼1; 𝛼2; … ; 𝛼 𝑛, tal que
𝑣 = 𝛼𝑖 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
Por ejemplo en ℝ 𝟑 el vector 𝒗 = 𝟏; 𝟐; −𝟑 es una combinación
lineal de los vectores 𝒊 = 𝟏; 𝟎; 𝟎 ; 𝐣 = (𝟎; 𝟏; 𝟎) y 𝒌 = (𝟎; 𝟎; 𝟏)
pues
𝒗 = 𝟏 𝒊 + 𝟐 𝒋 + −𝟑 𝒌
14. Ejemplo 1
Exprese el vector 𝒗 = 𝟏; 𝟐; 𝟑 como una combinación lineal
de los vectores 𝒗 𝟏 = 𝟏; 𝟏; 𝟏 ; 𝒗 𝟐 = 𝟐; 𝟒; 𝟎 y 𝒗 𝟑 = 𝟎; 𝟎; 𝟏
Solución:
15. Ejemplo 2
Exprese la matriz 𝑨 =
−𝟏 𝟎
𝟐 𝟒
como una combinación lineal
de las matrices 𝑨 𝟏 =
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
y 𝑨 𝟐 =
𝟑 𝟐
𝟑 𝟓
Solución:
16. Ejemplo 3
En el espacio 𝑭 𝟎; 𝟏 exprese el vector
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑; 𝒙 ∈ 𝟎; 𝟏
como una combinación lineal de los vectores mostrados en
la figura adjunta
𝒙
𝒚
Solución:
17. Dependencia e independencia lineal de
vectores
Sea 𝑉 un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de
vectores 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣 𝑛 ⊂ 𝑉, es linealmente dependiente (L.D) si
y sólo si existen escalares 𝛼1; 𝛼2; … ; 𝛼 𝑛, con algún 𝛼𝑖 ≠ 0, tales
que:
𝛼𝑖 𝑣𝑖 = 0
𝑛
𝑖=1
En caso contrario, se dice que el conjunto 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣 𝑛 es
linealmente independiente (L.I)
18. Observación
Para estudiar si un conjunto de vectores 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣 𝑛 , es
linealmente dependiente o independiente, se plantea la
ecuación:
𝛼𝑖 𝑣𝑖 = 0
𝑛
𝑖=1
y se estudian sus soluciones.
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟏
Si admite alguna solución no nula ( 𝛼𝑖 ≠ 0 para algún 𝑖 ),
entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.
Si admite sólo solución nula (𝛼𝑖 = 0 para todo 𝑖), entonces el
conjunto de vectores es linealmente independiente.
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐
19. Ejemplo 1
Analice si los vectores 𝑣1 = 1; 0; −1; 2 , 𝑣2 = 1; 1; 0; 1 y
𝑣3 = 2; 1; −1; 1 son linealmente independientes en el espacio
ℝ 𝟒.
Solución:
20. Ejemplo 2
Solución:
Analice si los vectores 𝑣1 = 3; 3; 4 , 𝑣2 = 4; 1; −2 y 𝑣3 =
−3; 1; 5 son linealmente independientes en el espacio ℝ 𝟑.
21. Ejercicio 1
Determine si el siguiente conjunto de funciones en 𝑃2 es
linealmente independiente o dependiente.
𝑆 = 1 + 𝑥 − 2𝑥2
, 2 + 5𝑥 − 𝑥2
, 𝑥 + 𝑥2
Solución:
22. Ejercicio 2
Determine si el siguiente conjunto:
𝑆 = 𝑒2𝑥
; 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 ; 𝑥2
es linealmente independiente o dependiente en el espacio de
funciones 𝑭 −𝝅; 𝝅
Solución:
23. Conjunto generador de un espacio
vectorial
Sea 𝑽 un espacio vectorial y S = 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣 𝑛 ⊂ 𝑽. El
conjunto 𝑆 se denomina conjunto generador de 𝑉 si todo
vector en 𝑉 puede expresarse como una combinación lineal de
vectores en 𝑆. En estos casos se dice que 𝑆 genera a 𝑉.
24. Ejemplo 1
Demuestre que los vectores generan el espacio vectorial
dado.
a. 𝟏; 𝟎; 𝟎 , 𝟎; 𝟏; 𝟎 ; 𝟎; 𝟎; 𝟏 ; 𝑽 = ℝ 𝟑
b. 𝟏; 𝒙; 𝒙 𝟐
; 𝑽 = 𝑷 𝟐 ℝ
c. 𝟏; 𝟐; 𝟑 ; 𝟎; 𝟏; 𝟐 ; −𝟏; 𝟎; 𝟏 ; 𝑽 = ℝ 𝟑
Solución:
25. Ejemplo 2
Sea 𝑽 el espacio vectorial de ecuación
𝒙 + 𝒛 = 𝟎
con las operaciones usuales de ℝ 𝟑. Demuestre que los
vectores 𝒖 = 𝟏; 𝟏; 𝟏 y 𝒗 = 𝟎; 𝟏; 𝟎 generan el espacio
vectorial 𝑽, pero que no generan el espacio ℝ 𝟑
.
Solución:
26. Bases de un espacio vectorial
Si V es cualquier espacio vectorial y S = 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣 𝑛 es un
conjunto de vectores en 𝑉, entonces 𝑆 se llama base de V si se
cumplen las dos condiciones siguientes
1) 𝑺 es linealmente independiente. 2) 𝑺 genera a 𝑽.
Por ejemplo el conjunto de vectores canónicos 𝒊 = 𝟏; 𝟎; 𝟎 ; 𝒋 =
𝟎; 𝟏; 𝟎 ; 𝒌 = 𝟎; 𝟎; 𝟏 es una base del espacio ℝ 𝟑
27. Teorema
Si S = 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣 𝑛 es una base del espacio vectorial 𝑉,
entonces todo vector 𝑣 ∈ 𝑉 se puede expresar en forma única
como una combinación lineal de los vectores de la base, es
decir
𝒗 = 𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑣 𝑛
donde 𝑐𝑖 son escalares
28. Ejemplo 1
Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos forman
una base de 𝑅3.
a.- (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)
b.- (1; 2; 3); (0; 1; 2); (−2; 0; 1)
Solución:
29. Ejemplo 2
Verifique que el siguiente conjunto es una base de 𝑃3.
S = 1; 1 + 𝑥; 1 − 𝑥; 1 + 𝑥 + 𝑥2; 1 − 𝑥 + 𝑥2
Solución:
30.
31. Transformaciónes
Una transformación (función o mapeo) 𝑇 de 𝑅 𝑛 a 𝑅 𝑚 es una
regla que asigna a cada vector 𝑥 de 𝑅 𝑛 un vector 𝑇(𝑥) en 𝑅 𝑚.
𝒙
𝒚
(𝟐; 𝟐)
𝑻 𝟐; 𝟐 = (𝟒; 𝟐)
(𝟒; 𝟒)
𝑻 𝟒; 𝟒 = (𝟐; 𝟒)
Para cada punto 𝑷,
se le asocia el vector
𝑻(𝑷)
Transformación 𝑻: ℝ 𝟐 → ℝ 𝟐
32. Transformación lineal
Una transformación lineal 𝑇 de 𝑅 𝑛 a 𝑅 𝑚 es una
transformación que cumple los siguientes axiomas
T1.- 𝑻 𝒖 + 𝒗 = 𝑻 𝒖 + 𝑻 𝒗 ∀ 𝒖; 𝒗 ∈ ℝ 𝒏
.
T2.- 𝑻 𝜶𝒖 = 𝜶𝑻 𝒖 ∀ 𝒖 ∈ ℝ 𝒏 , ∀ 𝜶 ∈ ℝ
33. Ejemplo 1
Sea la función 𝑻 ∶ ℝ 𝟐 → ℝ 𝟐 definida por
𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 − 𝒚; 𝒙
a.- Demuestre que 𝑻 es una transformación lineal.
b.- Halle la imagen del punto 𝟏; 𝟐
c.- Esboce la gráfica de la imagen del segmento mostrado en
la gráfica
Solución:
𝒙
𝒚
34. TEOREMA
Sea 𝑻: ℝ 𝒏 → ℝ 𝒎 entonces se cumple:
1.- 𝑻 es lineal si y solo si para cualquier 𝒖, 𝒗 ∈ ℝ 𝒏 y 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ se
cumple
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗
2.- Si 𝑻 es una transformación lineal, entonces se cumple
𝑻 𝟎 = 𝟎
Por ejemplo, usando la propiedad 2 podemos deducir
inmediatamente que las siguientes transformaciones NO SON
lineales.
𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚; 𝒙 − 𝟑𝒚; 𝟏
𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 − 𝟏
𝑻 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏
35. Ejercicio 1
Dado un vector 𝑣 = (𝑣1; 𝑣2) y una transformación lineal
T: 𝑅2
→ 𝑅2
definida por: T 𝑣1; 𝑣2 = (𝑣1 − 𝑣2; 𝑣1 + 2𝑣2) determine
a.- La imagen de 𝑣 = −1; 2 , generada por la transformación
𝑇.
b.- La preimagen que a través de la transformación 𝑇 genera
𝑤 = (−1; 11)
Solución:
36. Ejercicio 2
Sea T: 𝑅2
→ 𝑅2
una transformación lineal para la cual se
cumple
𝑇 1; 2 = (2; 3) y 𝑇 0; 1 = 1; 4 .
Determine la regla de correspondencia de 𝑇
Solución:
37. Ejercicio 3
Sea T: 𝑅3
→ 𝑅3
una transformación lineal para la cual
𝑇 𝒊 = 2; −1; 4 , 𝑇 𝒋 = 1; 5; −2 y 𝑇 𝒊 + 𝒌 = 0; 3; 1 . Calcule
𝑇(2; 3; −2)
Solución:
38. Ejercicio 4
Dada la transformación lineal 𝑇,
definida por
𝑇 𝑥; 𝑦 = 𝑥 − 3𝑦; −3𝑥 + 9𝑦
si D es la región triangular que
se muestra en la figura, grafique
la imagen 𝑇(𝐷)
Solución:
𝒙
𝒚
39. Ejercicio 5
Considere la transformación: 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
definida por:
𝑇 𝑥; 𝑦 =
𝑦−𝑥
2
;
𝑦+𝑥
2
y la región 𝐷 ⊂ ℝ2
limitada por dos rectas
de ecuaciones 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = −𝑥 y la gráfica de la curva de
ecuación: 𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑦 con 𝑦 ≥ 1
a.- Demuestre que 𝑇 es una transformación lineal.
b.- Grafique la región 𝐷.
c.- Usando la transformación lineal, grafique 𝑇(𝐷).
Solución:
40. Bibliografía
4. Calculus – Larson Edwards
3. Introducción al Álgebra Lineal – Howard Anton
1. Algebra lineal y sus aplicaciones –David C. Lay.
2. Introducción al Álgebra Lineal – Larson Edwards.
5. Álgebra Lineal – Bernard Kolman; David R. Hill