Este documento presenta las soluciones a tres problemas de álgebra lineal. La primera pregunta determina si dos conjuntos son subespacios vectoriales de un espacio vectorial dado. La segunda pregunta pide un ejemplo de un subconjunto de matrices que contenga el vector nulo y sea cerrado bajo suma pero no subespacio. La tercera pregunta encuentra los valores de parámetros que hacen que dos conjuntos de vectores sean linealmente dependientes.

1. Universidad Fermín Toro
Sistema de Aprendizaje Interactivo A Distancia
Cabudare-Estado Lara
TRABAJO NRO 3
Participante.
Rubén Viteznik
V-20.502.114
Algebra Lineal
SAIA “B”.

2. Asignación de Álgebra Lineal
1. Considere el espacio vectorial . Determinar si los siguientes conjuntos son
subespacios vectoriales de .
a) .
b)
Solución
a) Determinaremos que es: (i) no vacío, (ii) cerrado bajo la adición usual y (iii) cerrado
bajo el producto de un escalar y un vector usual. Es fácil verificar (i), en efecto
ya que ciertamente satisface la ecuación y por
tanto es no vacío.
Probamos (ii) y (iii) del siguiente modo; supongamos que e
están en y sea un escalar arbitrario, queremos ver que
también está en . Esto es fácil, pues si entonces es claro que:
Luego, y por lo tanto:

3. De manera que satisface la ecuación y en consecuencia que es lo
que queríamos demostrar. Luego es un subespacio de .
b) Nuevamente, como en el ejercicio anterior, verificamos las 3 condiciones. En primer
lugar, es fácil ver que es no vacío, basta con hacer lo que claramente
implica que .
Ahora bien. Supongamos que y sea
un escalar arbitrario. Probaremos que . En efecto, si
entonces existe números reales tales que .
Análogamente, existen números tales que .
Entonces:

4. Por lo tanto, tomando y vemos que el
vector lo que finalmente demuestra que es un subespacio de .
2. Dé un ejemplo de un subconjunto de matrices reales cuadradas que contenga al
vector nulo, que sea cerrado bajo la suma pero que no sea un subespacio vectorial de
.
Solución
Denotemos por al subconjunto de todas las matrices con entradas de
números racionales. Es fácil ver que este subconjunto es no vacío, pues la matriz nula (aquella
cuyas entradas es el 0, es decir, para cada ) está en . Asimismo, si
consideramos la suma usual de matrices, vemos que dada dos matrices
entonces y donde y son números racionales para todo
, y por tanto ya que y para cada
es un número racional. Luego es cerrado bajo la adición usual. Pero
este subconjunto no puede ser un subespacio vectorial, ya que si entonces
donde es la matriz dada por para cada y no
es un número racional. Este argumento demuestra que, dado un vector , existe
por lo menos un escalar (en este caso o cualquier número irracional) de manera que

5. y por tanto no puede ser cerrado bajo la multiplicación de un vector
por un escalar.
3. Encuentre los valores de para los cuales son linealmente dependientes los siguientes
conjuntos
a)
b)
Solución
Recordemos que dado dos vectores de un espacio vectorial; es fácil demostrar que son
linealmente dependientes si y solo si son paralelos, es decir, existe un número real tal que
. Entonces:
a) Supongamos que existe un número real tal que . Por tanto
De aquí vemos que la primera ecuación nos dice que estos vectores son paralelos si y
solo si . Mientras la segunda ecuación nos sugiere hacer .

6. b) Nuevamente, supongamos que existe un número tal que
Esto implica que
Resolviendo la primera ecuación, tenemos que . Sustituyéndola en la
segunda ecuación y despejando , finalmente se tiene:
Luego:
Es el único valor que hace que los vectores sean linealmente dependientes.

7. b) Nuevamente, supongamos que existe un número tal que
Esto implica que
Resolviendo la primera ecuación, tenemos que . Sustituyéndola en la
segunda ecuación y despejando , finalmente se tiene:
Luego:
Es el único valor que hace que los vectores sean linealmente dependientes.