Este documento presenta 22 actividades y ejercicios sobre álgebra lineal. Las actividades incluyen determinar si conjuntos de vectores son bases, calcular rangos y nulidades de matrices, encontrar coordenadas de vectores respecto a bases dadas, y determinar dimensiones de subespacios vectoriales. Los ejercicios cubren temas como bases, independencia lineal, cambio de bases, y subespacios generados por conjuntos de vectores.

1. TALLER DE ALGEBRA LINEAL
PROFESORA YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO
ACTIVIDAD 1
1) En cada caso, determine si el conjunto B forma una
base del espacio vectorial V
2. Encuentre una base del espacio vectorial dado y
determine su dimensión.
3. A partir del conjunto S dado, construya una base del
espacio vectorial H que contenga o este contenida en S.

2. 4. Justifique que B y B´ son bases de V, calcule el vector
u cuyas coordenadas en una de las dos bases se dan y
calcule las coordenadas del vector u en la otra base.
5. Demuestre que el conjunto de vectores formado por
las filas, diferentes de cero, de una matriz escalonada es
linealmente independiente.

3. 6. Determine una base y la dimensión de espacio
solución del sistema homogéneo dado.

4. 7.
8. Verifique si los siguientes conjuntos son ortogonales y
si son ortonormales.
9. Calcule el rango y la nulidad para cada una de las
matrices dadas.
10. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones
es FALSA O VERDADERA y diga por que.

5. ACTIVIDAD 2
1. En 𝑅 4
, halle una base ortonormal para el espacio generado por los
vectores {(1,1,1,0),(1,0,1,1),(2,1,0,1), (4,3,2,1)}. ¿El vector (4,2,1,2)
pertenece a dicho subespacio?.
2. Sean en 𝑅 4
, los vectores u=(2,3,2,5), v=(1,2,4,0),w=(1,1,10,7/m).
a. Calcular el valor de m para que w pertenezca al subespacio generado
por u y v .
b. Halle un valor de m para que los vectores u, v y w, formen una base
para el subespacio.
c. Determine una base ortogonal para dicho subespacio.
3. En 𝑅 3
, considere las siguientes bases: B1={(1,1,1),(1,1,0),(1,0; 0)} y
B2={(2,1,2);(1,0,3),(1,4,2)}.
a. Encontrar el vector de coordenadas del vector (1; 1; 3) en la base
B2respecto a la base B1.
b. Encontrar el vector de coordenadas del vector (1; 1; 3) en lavase B1
respecto a la base B2.
c. Encuentre la matriz cambio de base de 1 a 2.
d. Encuentre la matriz cambio de base de 2 a 1.
e. Obtenga los resultados hallados en los incisos (a) y (b), usando las
matrices halladas en los incisos (c) y (d).
4. En 𝑅3
, para los vectores u=(1,2,3), v=(4,5,6) y w=(7,8,9), se puede afirmar
que
a. u pertenece al espacio generado por v y W
b. u,v y w son linealmente independientes.

6. c. Los vectores u,v y w forman una base para 𝑅3
d. u y v forman una base para 𝑅3
e. Los tres vectores no están sobre el mismo plano.
5. Halle los valores de los parámetros λ, ρ tales que el vector (λ, ρ, -37, -3)
pertenezca al subespacio de R4 gendrado por los vectores: v1 = (1, 2, -5, -3)
; v2 = (2, -1, 4, 7).
6. Determine cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios
vectoriales en 𝑅3
.
a. S = { (x, y, z) ∈ 𝑅3
/ y = 0}
b. S = { (x, y, z) ∈ 𝑅3
/ x + y + z = 0}
c. S = { (x, y, z) ∈ 𝑅3
/ x + z = 1}
d. S = { (x, y, z) ∈ 𝑅3
/ x + z = 0}
7. Determine las coordenadas del vector (11,15,0) en la base (1,2,1),(3,2,4)y
(1,1,-1) .
ACTIVIDAD 3
1. Determine, en cada parte, si el vector dado v pertenece a gen {v1 , v2 , v3},
donde v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (1,-1, 0, 0) y v3 = (0, 1, 2, 1)
a) V = (-1, 4 2, 2)
b) V = ( 0. 1. 1. 0)
2. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de A1 =
[
1 −1
0 3
] A2 = [
1 1
0 2
] y A3 = [
2 2
−1 1
]?
a) [
5 1
−1 9
]
b) [
−3 −1
3 2
]
3. Determine, en cada parte, si el vector dado p(t) pertenece a gen {p1(t) , p2(t)
, p3(t)}, donde p1 (t) = 𝑡2
− 𝑡, p2(t) = 𝑡2
− 2𝑡 + 1 y p3(t) = −𝑡2
+ 1
a) p(t) = 3𝑡2
− 3𝑡 + 1
b) p(t) = 2𝑡2
− 𝑡 − 1
4. Sea S = {(0, 0,1), (1, 0,1), (0, 1,1)}, Determine si u = (1, 1,1) pertenece a
gen S.
5. ¿Cuáles de los siguientes vectores generan a 𝑅2
?
a) (1,2), (-1,1)

7. b) (0,0), (1,1), (-2, -2)
6. ¿Cuáles de los siguientes vectores generan a 𝑅3
?
a) (1, -1, 2), (0, 1,1)
b) (1, 2, -1), (6, 3, 0), (4, .1, 2), (2, -5, 4)
7. ¿Cuáles de los siguientes vectores generan a 𝑅4
?
a) (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)
b) (6, 4, -2, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2, -1, 2), (5, 6, -3, 2), (0,4, -2, -1)
8. ¿Generan los polinomios 𝑡3
+ 2𝑡 + 1, 𝑡2
− 𝑡 + 2, 𝑡3
+ 2,−𝑡3
+ 𝑡2
− 5𝑡 + 2
P3 ?
9. Determine un conjunto de vectores que genere el espacio nulo de
A =
1 1 2 -1
2 3 6 -2
-2 1 2 2
0 -2 -4 0
10.Sean
e
elementos del espacio nulo de A.
¿Es el conjunto {x1, x2 , x3 } linealmente independiente?
11.Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en el espacio indicado son
linealmente dependientes? Cuando lo sean, exprese un vector del conjunto
como combinación lineal de los demás.
a) {(1,2, -1) , (3,2,59} en 𝑅3
b) {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)} en 𝑅4
c) { 𝑡2
+ 1, t - 2,𝑡 + 3 } en P2
d) { [
1 1
1 2
] , [
1 0
0 2
] , [
0 3
1 2
], [
2 6
4 6
]} en M22
e) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)} en 𝑅3
f) {(4, 2, -1, 3), (6, 5, -5, 1), (2, -1, 3, 5)} en 𝑅4
x1 =
1
2
0
1
x2 =
1
0
-1
1
x3 =
1
6
2
0

8. g) {𝑡2
− 4, 5𝑡2
− 5𝑡 − 6,3𝑡2
− 5𝑡 + 2 } en P2
h) { [
1 1
1 1
] , [
2 3
1 2
] , [
3 1
2 1
], [
2 2
1 1
]} en M22
12.¿Para qué valores de c son los vectores (-1, 0, -1), (2, 1, 2) y (1,1, c) en
𝑅3
linealmente dependientes?
13.¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para el espacio
indicado?
a) {(1, 3), (1, 1)}, 𝑅2
b) {(1, 1, -1), (2, 3, 4), (4, 1, -1), (0, 1, -1)}, 𝑅3
c) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1,1)}, 𝑅4
d) {−𝑡2
+ 𝑡 − 1, 2𝑡2
+ 3𝑡 − 2} , P2
e) {𝑡3
+ 𝑡2
+ 𝑡 + 1, 𝑡3
+ 2𝑡2
+ 𝑡 + 3, 2𝑡3
+ 𝑡2
+ 3𝑡 + 2,𝑡3
+ 𝑡2
+ 2𝑡 + 2},
P3
f) { [
1 1
0 0
] , [
0 0
1 1
] , [
1 0
0 1
], [
0 1
1 1
]} , M22
14.Sea S = {v1 , v2 , v3, v4 }, donde v1 = (1, 2, 2), v2 = (3, 2, 1), v3 = (11, 10, 7) y
v4 = (7, 6, 4), Determine una base para el subespacio de 𝑅3
, W = gen S.
¿Cuál es la dim W?
15.Considere el siguiente subconjunto de P3 : S = {𝑡3
+ 𝑡2
− 2𝑡 + 1, 𝑡2
+ 1,
𝑡3
− 2𝑡, 2𝑡3
+ 3𝑡2
− 4𝑡 + 3}. Determine una base para el subespacio W =
gen S. ¿Cuál es dim W?
16.Sea S = { [
1 0
0 1
] , [
0 1
1 0
] , [
1 1
1 1
], [
−1 1
1 −1
]}. Determine una base para el
subespacio W = gen S de M22
17.Determine una base para los subespacios dados de 𝑅3
.
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c), donde b = a + c.
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c) donde a – b + 5c = 0
18.Determine una base para 𝑅4
que incluya los vectores (1, 0, 1, 0) y (0,1, -1,
0)
19.Determine una base para el plano 2x – 3y + 4z = 0
20.Determine las dimensiones de los subespacios generados por los vectores
de los ejercicios del punto 21.

9. 21.Determine las dimensiones de los subespacios dados de 𝑅4
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) donde d = a + b
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) donde a = b
22.
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er-de-algebra-lineal-final