a) Se presentan tres ecuaciones diferenciales: 1) y = 3sen2x + e-x; y'' + 4y = 5e-x 2) y = senx - cosx + 10e-x; y' + y = senx 3) y = C1e-x + C2e2x + C3e-2x + C4e2x; y(4) - 5y'' + 4y = 0 b) Se resuelven las ecuaciones diferenciales determinando primero y' y y''. c) La solución de la primera ecuación es y = 3

1. − x − x
a.) y = 3sen2 x + e y
,
+ 4 y = 5e
,
;
1 1 − x ,
b.) y = senx − cos x + 10e y + y = senx
;
SOLUCION: 2 2
− x ( )
y = C e + e− 2 x +
x 2 x
c) e + e ; y 4 − 5y + 4 y = 0
C C C ,,
1 2 3 4
Y= 3sen 2x +
DETERMINAR Y”
Y´= 3cos 2x. 2 + (-1) = 6 cos 2x -
Y” = 6.( -sen (2x)). (2) - (-1)
Y”= - 12 sen (2x) +
SUSTITUIMOS Y y Y” EN LA ECUACION DIFERENCIAL Y“ + 4Y = 5
Asi:
-12 sen (2x) + + 4(3 sen (2x) + )=5
-12 sen (2x) + + 12 sen (2x) +4 =5
5 =5 (cierto)
POR LO TANTO, Y= 3sen 2x. + SI ES LA SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL Y” + 4Y =5
− x −x
a.) y = 3sen2 x + e ; y ,, + 4 y = 5e
1 1 −x ,
b.) y = senx − cos x + 10e ; y + y = senx
2 2
− x −
c) y = C e + C e x + C e 2 x + C e 2 x ; y (4 ) − 5 y ,, + 4 y = 0
SOLUCION 1 2
− x
3
,,
4
−x
a.) y = 3sen2 x + e ; y + 4 y = 5e
1 1 −x ,
b.) y = senx − cos x + 10e y + y = senx
;
2 2
c) y = C e + C e x + C e − 2 x + C e 2 x ;
− x
y
(4 ) ,,
− 5y + 4y = 0
DETERMINA1 MOS Y”2: 3 4
Y´= cos x - (- sen x) + 10 (-1)

2. Y´= cos x + sen x - 10
Y”= (-senx) + cosx x - 10 (-1)
Y”=- senx + cosx x + 10
SUSTITUYO Y y Y”EN LA ECUACION DIFERENCIAL Y” + Y = senx

3. Asi:
- senx + cosx + 10 + senx - cosx + 10 = senx
20 = senx (falso)
POR LO TANTO, Y= senx - cosx + 10 NO ES SOLUCION DE LA
ECUACION DIFERENCIA Y”x+ Y = senx
− , −x
a.) y = 3sen2 x + e y + 4 y = 5e
,
;
1 1 −x ,
b.) y = senx − cos x + 10e y + y = senx
;
2 2
−
y = C1 e + C2e + C3e − 2 x + C4e 2 x ; (4 )
− 5y + 4y = 0
x
c) y
x ,,
- 5 Y” + 4Y = 0
SOLUCION:
HALLAR: Y” y
Y = C1 + C2 C3 + C4
Y´ = - C1 + C2 - 2C3 + 2C4
Y” = C1 + C2 + 4C3 + 4C4
Y´” = - C1 + C2 - 8C3 + 8C4
= C1 + C2 + 16 C3 + 16C4
SUSTITUYENDO Y. Y” y EN LA ECUACION DIFERENCIAL.
- 5Y” + 4Y = 0
C1 + C2 + 16 C3 + 16C4 - 5 ( C1 + C2 + 4C3 +
4C4 ) + 4 (C1 + C2 C3 + C4 ) = 0
C1 + C2 + 16 C3 + 16C4 - 5 C1 - 5C2 - 20 C3 -
20C4 + 4C1 + 4 C2 + 4 C3 + 4C4 ) =0

4. (C1-5C1+4C1) + ( C2 -5C2+4C2) + (16 C3-20C3+4C3) + (16C4-
20C4+4C4) -=0
0 +0 +0 + 0 =0
0=0 (CIERTO)
POR LO TANTO Y = C1 + C2 C3 + C4 SI ES LA SOLUCION
DE LA ECUACION DIFERENCIAL - 5Y” + 4Y = 0
EJERCICIO 2
a.) e y
sen2 xdx + cos x (e − y )dy = 0
2 y
b.) (xy +y
2
+x
2
)dx − x 2
dy = 0
SOLUCION:
c) (y 2
cos x )dx + (4 + 5 ysenx )dy = 0
SEPARANDO VARIABLES:
2
y ,
y −
2 =
a.) ade.) )s en 2syexnd 2xx+xd= cxy-o+s cxo xes (
(
b.) 2xy ce−o2 ys −dxyy =dy0 = 0 ) )
( ( ) )
c) b .x) y +xyy 2++y x2 2+ dxx2 − dx 2−dyx 2=dy0 = 0
dx = - dy
c()y (cyo s cxo)ds xx +)d(x4++(54 y+s5enyxse)dnyx
2 2
)=dy0 = 0
y2 2
,
22
∫ ∫
d) d
y)
, − −ydx==yx- =c(xos cxos x dy
x x
2senx dx =
Integrando:
= +c

5. ∫ ∫
-2cos x = + dy + c
-2cos x = + +c
-2cos x + =c

6. a.) e y
sen2 xdx + cos x e − y dy = 0 ( )
2 y
b.) (xy + y 2
x
2
)dx − x 2
dy = 0
+
c) (y 2
cos x dx + ) (4 + 5 ys enx )dy = 0
SOLUCION:
2
d ) y, − y = x 2 cos x
LA ECUACION ES HxOMOGENEA.
Y = U.X dy = udx + xdu
SUSTITUYENDO Y y dy
(x.ux + + ) dx - (udx + xdu) = 0
(u + + ) dx - u - du = 0
(u + + -u ) dx = du
( + ) dx = du
+ 1) dx = du
SEPARANDO VARIABLES:
=
∫ = ∫
Integrando:
+c
Ln x = (u) + c
U=
Ln x = +c
Ln x - =c

7. sen2 xdx + cos x (e − y )dy = 0
y
a.) e
2 y
b.) (xy + y 2
+x
2
)dx − x 2
dy = 0
c) (y 2
cos x )dx + (4 + 5 ysenx )dy = 0
,
SdOLU)CION:yTE N−EM
OS x
2
cos x
2
QyUE: =
x
M= cosx = 2y cos x
N= 4 + 5y sen x = 5y cos x
La ecuación no es exacta ya que : =
∫
Buscar un factor integrante :
F=
Siendo: M= = =
∫
F= = = =
Multiplicando por f la ecuación diferencial:
( cos1x) dx + ( + senx) dx = 0
Ahora:
M= cosx = cosx
N= + sen x = cosx
= la ecuación es exacta.

8. {
La solución es = fcx. Y´ = c
Siendo: cosx 1

9. {
= + sen x 2
F(x.y) = ∫
Integro 1:
F(x.y) =
A respecto a Y
= b
Igualo: b y 2
+ sen x =
= h(y) =
sustituyo h(y) con A
a.) e
2 y
y
sen2 xdx + cos x e − y dy = 0 ( )
F(X,Y) = senx +
b.) (
2
xy + y + x
2
)dx 2
x dy = 0
−
La soluc ión 2es : f (x,y) sen x + = c
) (y (4 )
= c 0
c) cos x dx + + 5 dy =
ysenx
, 2 2
d ) y − y = x cos x
x
∫ ∫ ∫
La ecuación es lineal con p(x) = y q(x) =
Factor integrante
F= = = = =

10. ∫
F= f= f=
La solucion es :
y.f =

11. ∫
∫
y. = . cosxdx + c
=
= senx + c y= . Senx +
Ejercicios 3.
−x
a.) y ,, − 3 y , + 2 y = 3e − 10 cos 3x
(6 ) (4
Ubsa.n)do el opy r−D, s5e ey
,,, ,
) +y ,,3nc6 − 16 y − 32 y = 0
ere
+la e1cu6acyi
erado scribe
ial
ón dif asi:
Y=3 - 10 cos 3x 1
Ecuación homogénea
y=0
La ecuación característica es:
( -3m + 2) = 0 (m-1)(m-2) =0 m1=1 y m2=2
La solución homogénea es:
Yn = c1 + c2
Yn = c1 + c2
Ahor por el metodo del anulador
El anulador de 3 - 10 cos 3x es A(D) = (D+1) + ( + A)
Multiplicando 1 por A
(D+1) + ( + A) y = (D+1) + ( + A) (3 - 10 cos 3x)
(D+1) + ( + A) (D-2)(D-1)Y = 0
La ecuacsion característica es:

12. (m+1)( + A) (m-2)(m-1) = 0
Raíces: m=1; m2=2; m3=-1; m4 = 3i
La solucion general es:
Y= c1 + c2 + c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x
La solución particular es:
Yp = c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x
Yp´ = - c3 -3 c4 sen (3x) + 3c5 cos 3x
Yp” = c3 -a c4 cos (3x) - ac5sen 3x
Sustituyendo Yp” ; Yp y Yp en la ecuacion diferencial
Yp” – 3Yp´ +2Yp = 3 - 10 cos 3x
c3 -a c4 cos (3x) - ac5sen 3x - 3( - c3 -3 c4 sen (3x) + 3c5 cos 3x)
+2(c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x) = 3 - 10 cos 3x
C3 + 3c3+2c3 + (-9c4 –ac5+2c4) cos3x + (-9c5 –ac4+2c5) sen 3x = 3 - 10 cos 3x
{
6C3 + (-7c4 –ac5) c os3x + (ac4-7c5) sen 3x = 3 - 10 cos 3x
{
Yp= c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x
Yp= + cos3x + sen 3x
Solucion general:
Y= Yn + Yp

13. Y= c1 + c2
,, + + cos3x −
+ sen 3x
a.) y −3 + 2 = 3e − 10 cos 3x
, x
y y
(6 ) (4 )
b.) y − 5y + 16 + 36 − 16 − 32 y = 0
y
,,, y ,, y,
SOLUCION:
LA ECUACION CARACTERISTICA ES:
- +16 + 36 -16m -32=0
Se aplica ruffini:
-1
m1 = 1
-2 m2= 2
-2 m3=-2
√
√
√ √
m= =
M= m4= 2 ;
La solución es :
Y = c1 + c2 + (c3+c4x) + .(c5 cos ) + (c6 sen )
Y = c1 + c2 + (c3+c4x) + .(c5 cos + c6 sen )