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Calculo 4 trab 2. final.
- 1. − x − x a.) y = 3sen2 x + e y , + 4 y = 5e , ; 1 1 − x , b.) y = senx − cos x + 10e y + y = senx ; SOLUCION: 2 2 − x ( ) y = C e + e− 2 x + x 2 x c) e + e ; y 4 − 5y + 4 y = 0 C C C ,, 1 2 3 4 Y= 3sen 2x + DETERMINAR Y” Y´= 3cos 2x. 2 + (-1) = 6 cos 2x - Y” = 6.( -sen (2x)). (2) - (-1) Y”= - 12 sen (2x) + SUSTITUIMOS Y y Y” EN LA ECUACION DIFERENCIAL Y“ + 4Y = 5 Asi: -12 sen (2x) + + 4(3 sen (2x) + )=5 -12 sen (2x) + + 12 sen (2x) +4 =5 5 =5 (cierto) POR LO TANTO, Y= 3sen 2x. + SI ES LA SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL Y” + 4Y =5 − x −x a.) y = 3sen2 x + e ; y ,, + 4 y = 5e 1 1 −x , b.) y = senx − cos x + 10e ; y + y = senx 2 2 − x − c) y = C e + C e x + C e 2 x + C e 2 x ; y (4 ) − 5 y ,, + 4 y = 0 SOLUCION 1 2 − x 3 ,, 4 −x a.) y = 3sen2 x + e ; y + 4 y = 5e 1 1 −x , b.) y = senx − cos x + 10e y + y = senx ; 2 2 c) y = C e + C e x + C e − 2 x + C e 2 x ; − x y (4 ) ,, − 5y + 4y = 0 DETERMINA1 MOS Y”2: 3 4 Y´= cos x - (- sen x) + 10 (-1)
- 2. Y´= cos x+ sen x - 10 Y”= (-senx) + cosx x - 10 (-1) Y”=- senx + cosx x + 10 SUSTITUYO Y y Y”EN LA ECUACION DIFERENCIAL Y” + Y = senx
- 3. Asi: - senx + cosx + 10 + senx - cosx + 10 = senx 20 = senx (falso) POR LO TANTO, Y= senx - cosx + 10 NO ES SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIA Y”x+ Y = senx − , −x a.) y = 3sen2 x + e y + 4 y = 5e , ; 1 1 −x , b.) y = senx − cos x + 10e y + y = senx ; 2 2 − y = C1 e + C2e + C3e − 2 x + C4e 2 x ; (4 ) − 5y + 4y = 0 x c) y x ,, - 5 Y” + 4Y = 0 SOLUCION: HALLAR: Y” y Y = C1 + C2 C3 + C4 Y´ = - C1 + C2 - 2C3 + 2C4 Y” = C1 + C2 + 4C3 + 4C4 Y´” = - C1 + C2 - 8C3 + 8C4 = C1 + C2 + 16 C3 + 16C4 SUSTITUYENDO Y. Y” y EN LA ECUACION DIFERENCIAL. - 5Y” + 4Y = 0 C1 + C2 + 16 C3 + 16C4 - 5 ( C1 + C2 + 4C3 + 4C4 ) + 4 (C1 + C2 C3 + C4 ) = 0 C1 + C2 + 16 C3 + 16C4 - 5 C1 - 5C2 - 20 C3 - 20C4 + 4C1 + 4 C2 + 4 C3 + 4C4 ) =0
- 4. (C1-5C1+4C1) + ( C2 -5C2+4C2) + (16 C3-20C3+4C3) + (16C4- 20C4+4C4) -=0 0 +0 +0 + 0 =0 0=0 (CIERTO) POR LO TANTO Y = C1 + C2 C3 + C4 SI ES LA SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL - 5Y” + 4Y = 0 EJERCICIO 2 a.) e y sen2 xdx + cos x (e − y )dy = 0 2 y b.) (xy +y 2 +x 2 )dx − x 2 dy = 0 SOLUCION: c) (y 2 cos x )dx + (4 + 5 ysenx )dy = 0 SEPARANDO VARIABLES: 2 y , y − 2 = a.) ade.) )s en 2syexnd 2xx+xd= cxy-o+s cxo xes ( ( b.) 2xy ce−o2 ys −dxyy =dy0 = 0 ) ) ( ( ) ) c) b .x) y +xyy 2++y x2 2+ dxx2 − dx 2−dyx 2=dy0 = 0 dx = - dy c()y (cyo s cxo)ds xx +)d(x4++(54 y+s5enyxse)dnyx 2 2 )=dy0 = 0 y2 2 , 22 ∫ ∫ d) d y) , − −ydx==yx- =c(xos cxos x dy x x 2senx dx = Integrando: = +c
- 5. ∫ ∫ -2cos x = + dy + c -2cos x = + +c -2cos x + =c
- 6. a.) e y sen2 xdx + cos x e − y dy = 0 ( ) 2 y b.) (xy + y 2 x 2 )dx − x 2 dy = 0 + c) (y 2 cos x dx + ) (4 + 5 ys enx )dy = 0 SOLUCION: 2 d ) y, − y = x 2 cos x LA ECUACION ES HxOMOGENEA. Y = U.X dy = udx + xdu SUSTITUYENDO Y y dy (x.ux + + ) dx - (udx + xdu) = 0 (u + + ) dx - u - du = 0 (u + + -u ) dx = du ( + ) dx = du + 1) dx = du SEPARANDO VARIABLES: = ∫ = ∫ Integrando: +c Ln x = (u) + c U= Ln x = +c Ln x - =c
- 7. sen2 xdx +cos x (e − y )dy = 0 y a.) e 2 y b.) (xy + y 2 +x 2 )dx − x 2 dy = 0 c) (y 2 cos x )dx + (4 + 5 ysenx )dy = 0 , SdOLU)CION:yTE N−EM OS x 2 cos x 2 QyUE: = x M= cosx = 2y cos x N= 4 + 5y sen x = 5y cos x La ecuación no es exacta ya que : = ∫ Buscar un factor integrante : F= Siendo: M= = = ∫ F= = = = Multiplicando por f la ecuación diferencial: ( cos1x) dx + ( + senx) dx = 0 Ahora: M= cosx = cosx N= + sen x = cosx = la ecuación es exacta.
- 8. { La solución es= fcx. Y´ = c Siendo: cosx 1
- 9. { = + sen x 2 F(x.y) = ∫ Integro 1: F(x.y) = A respecto a Y = b Igualo: b y 2 + sen x = = h(y) = sustituyo h(y) con A a.) e 2 y y sen2 xdx + cos x e − y dy = 0 ( ) F(X,Y) = senx + b.) ( 2 xy + y + x 2 )dx 2 x dy = 0 − La soluc ión 2es : f (x,y) sen x + = c ) (y (4 ) = c 0 c) cos x dx + + 5 dy = ysenx , 2 2 d ) y − y = x cos x x ∫ ∫ ∫ La ecuación es lineal con p(x) = y q(x) = Factor integrante F= = = = =
- 10. ∫ F= f= f= La solucion es : y.f =
- 11. ∫ ∫ y. = . cosxdx + c = = senx + c y= . Senx + Ejercicios 3. −x a.) y ,, − 3 y , + 2 y = 3e − 10 cos 3x (6 ) (4 Ubsa.n)do el opy r−D, s5e ey ,,, , ) +y ,,3nc6 − 16 y − 32 y = 0 ere +la e1cu6acyi erado scribe ial ón dif asi: Y=3 - 10 cos 3x 1 Ecuación homogénea y=0 La ecuación característica es: ( -3m + 2) = 0 (m-1)(m-2) =0 m1=1 y m2=2 La solución homogénea es: Yn = c1 + c2 Yn = c1 + c2 Ahor por el metodo del anulador El anulador de 3 - 10 cos 3x es A(D) = (D+1) + ( + A) Multiplicando 1 por A (D+1) + ( + A) y = (D+1) + ( + A) (3 - 10 cos 3x) (D+1) + ( + A) (D-2)(D-1)Y = 0 La ecuacsion característica es:
- 12. (m+1)( + A) (m-2)(m-1) = 0 Raíces: m=1; m2=2; m3=-1; m4 = 3i La solucion general es: Y= c1 + c2 + c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x La solución particular es: Yp = c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x Yp´ = - c3 -3 c4 sen (3x) + 3c5 cos 3x Yp” = c3 -a c4 cos (3x) - ac5sen 3x Sustituyendo Yp” ; Yp y Yp en la ecuacion diferencial Yp” – 3Yp´ +2Yp = 3 - 10 cos 3x c3 -a c4 cos (3x) - ac5sen 3x - 3( - c3 -3 c4 sen (3x) + 3c5 cos 3x) +2(c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x) = 3 - 10 cos 3x C3 + 3c3+2c3 + (-9c4 –ac5+2c4) cos3x + (-9c5 –ac4+2c5) sen 3x = 3 - 10 cos 3x { 6C3 + (-7c4 –ac5) c os3x + (ac4-7c5) sen 3x = 3 - 10 cos 3x { Yp= c3 + c4 cos 3x + c5 sen 3x Yp= + cos3x + sen 3x Solucion general: Y= Yn + Yp
- 13. Y= c1 + c2 ,, + + cos3x − + sen 3x a.) y −3 + 2 = 3e − 10 cos 3x , x y y (6 ) (4 ) b.) y − 5y + 16 + 36 − 16 − 32 y = 0 y ,,, y ,, y, SOLUCION: LA ECUACION CARACTERISTICA ES: - +16 + 36 -16m -32=0 Se aplica ruffini: -1 m1 = 1 -2 m2= 2 -2 m3=-2 √ √ √ √ m= = M= m4= 2 ; La solución es : Y = c1 + c2 + (c3+c4x) + .(c5 cos ) + (c6 sen ) Y = c1 + c2 + (c3+c4x) + .(c5 cos + c6 sen )