calculo 2 centroides

1. 1 Momento de un Sistema de Partículas
Considerese un número de n partículas ubicadas sobre el eje x:El momento de
cada partícula con respecto al origen esta dado por
X
1:pdf
x
xi
mi
0
M0i = mixi:
El momento total de las n partículas es
M0 =
nX
i=1
mixi:
Se puede considerar que hay una coordenada "privilegiada" en la cual se
puede considerar concentrada toda la masa de las partículas. Este punto se
denomina centro de masa.
El momento total se puede de…nir entonces en función del centro de masa
como
M0 = mx;
en donde m es la suma de todas las masas de las partículas y x la coordenada
del centro de masa. Igualando las dos expresiones para el momento con respecto
al origen
mx =
nX
i=1
mixi;
de donde
x =
nX
i=1
mixi
m
x =
nX
i=1
mixi
nX
i=1
mi
:
Si ahora las partículas estan el plano, de manera que (xi; yi) son las coorde-
nadas de la i-ésima partícula, se tienen momentos son respecto al eje x y al eje
1

2. XY
2:pdf
x
y
xi
yi
mi
y:El momento con respecto a los ejes se puede entender como la tendencia de
las masas a girar alrededor de ellos.
De manera análoga al caso unidimensional, los momentos para la i-ésima
partícula son
Myi = mixi Mxi = miyi ;
y los momentos totales
My =
nX
i=1
mixi Mx =
nX
i=1
miyi :
Del mismo modo que en una dimensión, se puede pensar que toda la masa
de las partículas está concentrada en un punto con coordenadas (x; y) y que
los momentos con respecto a los ejes son
My = mx Mx = my :
Esto permite obtener
x =
My
m y = Mx
m
x =
nX
i=1
mixi
m y =
nX
i=1
miyi
m
x =
nX
i=1
mixi
nX
i=1
mi
y =
nX
i=1
miyi
nX
i=1
mi
:
2

3. 2 Momento de un Área Plana
Parta el caso de un área plana limitada por una función f (x) y el eje x, en un
intervalo [a; b] ; se asume que la masa está uniformemente distribuida en todo el
área de manera que se puede de…nir una densidad de masa dada por
=
m
A
:
Al dividir el área en n elementos, para el i-ésimo elemento
=
mi
Ai
:
Aquí, mi y Ai son la masa y el área para el i-ésimo elemento. Esto
permite expresar la mas de cada elemento en función de la densidad
mi = Ai:
El momento del elemento de área con masa mi con respecto al eje y es
Myi = mixi
Myi = Aixi:
De la …gura Ai = f (xi) xi por lo que el momento del i-ésimo elemento
es
Myi = xif (xi) xi;
3

4. y el momento total
My = lim
n!1
nX
i=1
Myi
My = lim
n!1
nX
i=1
xif (xi) xi:
La masa total m del área A es
m = lim
n!1
nX
i=1
mi
m = lim
n!1
nX
i=1
Ai
m = lim
n!1
nX
i=1
f (xi) xi:
La coordenada x del centro de masa de…nida como x =
My
m es
x =
lim
n!1
nX
i=1
xif (xi) xi
lim
n!1
nX
i=1
f (xi) xi
=
lim
n!1
nX
i=1
xif (xi) xi
lim
n!1
nX
i=1
f (xi) xi
;
y por la de…nición de integral
x =
bZ
a
xf (x) dx
bZ
a
f (x) dx
=
1
A
bZ
a
xf (x) dx:
Para el caso del momento con respecto a x debe tenerse en cuenta que el
centro de masa de cada elemento esta al mitad de su altura. Es decir para el
i-ésimo elemento
Mxi = mi
yi
2
Mxi = Ai
f (xi)
2
Mxi = f (xi) xi
f (xi)
2
Mxi =
1
2
[f (xi)]
2
xi:
4

5. El momento total
Mx =
1
2
lim
n!1
nX
i=1
[f (xi)]
2
xi;
permite obtener y = Mx
m como
y =
1
2 lim
n!1
nX
i=1
[f (xi)]
2
xi
lim
n!1
nX
i=1
f (xi) xi
=
1
2 lim
n!1
nX
i=1
[f (xi)]
2
xi
lim
n!1
nX
i=1
f (xi) xi
y por la de…nicion de integral como
y =
1
2
bZ
a
[f (x)]
2
dx
bZ
a
f (x) dx
5