centro de masa

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CENTRO DE
MASA
Curso : Física I
Profesor : Darwin Vilcherrez Vilela.
Alumno : Seminario Beltrán Edwin.
-2012-

2. CENTRO DE MASA
INTRODUCCION
La primera parte de cualquier curso de física elemental nos habitúa a tratar
cuerpos de extensión finita como si fueran objetos puntuales. Así por ejemplo,
tratamos al sol y la tierra como si fueran dos puntos, a un hombre como si no tuviera
extensión y lo mismo hacemos con cajas, poleas, etc.
Debemos entender que el hecho de que nuestras aproximaciones parezcan
razonables no significa que tengan algún soporte teoremático. Siguiendo este orden
de ideas dedicaremos las próximas clases a buscar una justificación matemática a la
aproximación de partícula puntual.
Con el fin de llevar a cabo este programa debemos introducir el concepto de sistema,
para ello consideremos un conjunto (M) de partículas y sus interacciones mutuas, un
sistema de partículas es un subconjunto arbitrario (C ⊂ M) de partículas del conjunto
inicial, el complemento de C recibe la denominación de ambiente ´o exterior, las
interacciones entre las
Consideremos por ejemplo el conjunto de objetos físicos constituido por la tierra, la
luna, el sol y el resto del sistema solar, es más o menos claro que si queremos
estudiar los movimientos de la luna con respecto a la tierra deberíamos tomar como
sistema al par tierra-luna, y como ambiente al resto del sistema solar.
En resumen, lo que se oculta detrás del concepto de sistema es la idea mecanicista
fundamental de aislar las componentes de un todo para intentar entender el
comportamiento del todo como resultado del comportamiento de las partes. Con esta
idea en mente vamos a introducir un concepto bastante más preciso.
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3. CENTRO DE MASA
CENTRO DE MASA
1. DEFINICIÓN EXPERIMENTAL.
Consideremos un sistema de partículas,
compuesto por N de ellas, cuyas masas
designaremos por mi (i = 1, 2,... N) y sea ri el
vector de posición de la partícula iésima
respecto al origen O de un referencial dado.
Definimos el centro de masa de un tal
sistema de partículas como el punto del
espacio, que designamos por CM o por G,
cuando así convenga. Cuyo vector de
posición respecto a O es
Donde M = mi representa, evidentemente, la masa total del sistema de partículas.
El centro de gravedad de un cuerpo se define como el punto de aplicación de la
resultante de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre él. Así pues, el centro
de masa y el centro de gravedad son conceptualmente diferentes y no debemos
confundirlos. Sin embargo, las posiciones de ambos centros suelen coincidir en la
mayor parte de las situaciones prácticas.
2. DEFINICIÓN
Es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera
aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se
puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de
masas es un sistema equivalente al original.
En la Física, el centro geométrico, el centro de gravedad y el centro de masas pueden,
bajo ciertas circunstancias, o coincidir entre sí.
En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque
designan conceptos diferentes. El centro geométrico un concepto puramente
geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la
distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del
campo gravitatorio.
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1
N
i i
i
cm N
i
i
m r
r
m
=
=
=
∑
∑

4. CENTRO DE MASA
El centro de masas coincide con el centro geométrico cuando la densidad es uniforme
o cuando la distribución de materia en el sistema de tiene ciertas propiedades, tales
como simetría.
El centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se
encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de
gravedad son constantes).
Cuando se estudio en cinemática el movimiento bidimensional se vio que todo cuerpo
lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describiría una trayectoria parabólica
y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc.
Pero todos ellos fueron tratados como partículas puntuales sin dimensiones, pero la
realidad es que todos estos cuerpos están conformados por muchas partículas.
El centro de masa se refiere a cuerpos o a varios cuerpos que se mueven en relación
de otros y se define como el punto (x, y) que se mueve en la misma trayectoria que
seguiría una partícula sometida a una fuerza neta.
Consideraciones:
• Se llama centro de masa de un cuerpo, al punto donde debe aplicarse una
fuerza no equilibrada para que dicho cuerpo realice un movimiento de
traslación sin rotación.
• En cualquier sistema, el centro de masa de dos masas se encuentra en la recta
que las une, en forma tal que divide dicha recta en segmentos inversamente
proporcionales a dichas masas.
• Durante el movimiento, el punto de partida divide la distancia entre los dos
cuerpos en proporción inversa a sus masas, siendo el centro de masa el punto
de partida
3. EJEMPLO PRÁCTICO.
Por ejemplo si lanzamos una mancuerna al aire.
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5. CENTRO DE MASA
Un observador que se encuentra lejos verá que ésta efectivamente describe una
trayectoria parabólica, pero qué verá el observador si se acerca más y ve
detalladamente lo que sucede.
El observador dirá que cada masa en forma individual no describe una
trayectoria parabólica, sino que están girando y moviéndose caprichosamente, pero
sin embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parábola, este punto
particular del sistema recibe el nombre de Centro de masa (CM) y se comporta como
una partícula puntual de masa M + m.
4. POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA.
La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene dada por la
expresión:
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N
i i
i
cm N
i
i
m r
r
m
=
=
=
∑
∑

6. CENTRO DE MASA
Donde M es la masa total del sistema de partículas. Donde r es el vector posición de la
masa mi.
La cantidad de movimiento del sistema de partículas es la misma de la cantidad de
movimiento de su centro de masa.
Esta es una ecuación vectorial, cada una de las componentes de la posición del centro
de masas vendrá dada por:
i i
i
cm
m x
x
M
=
∑ i i
i
cm
m y
y
M
=
∑ i i
i
cm
m z
z
M
=
∑
5. VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA
El movimiento de cada una de las partículas del sistema nos advierte que el centro de
masa de la misma deberá estar moviéndose también, si analizamos una de ellas,
digamos la j-esima partícula, en un tiempo Dt ésta deberá haberse desplazado Δrj,
entonces el desplazamiento del CM en ese mismo intervalo de tiempo será:
1
n
i i
i
cm
m r
r
M
=
∆
∆ =
∑
Entonces la velocidad del centro de masa VCM queda determinada por:
1
n
i i
i
cm
m v
v
M
=
=
∑
Es decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento del
sistema de partículas entre la masa total del sistema
Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, si la fuerza resultante
externa es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema se mantiene constante
por lo tanto vCM deberá también permanecer constante, como si se tratase de una
partícula de masa M, esto confirma una vez más que el centro de masa se comporta
como una partícula puntual de masa M y velocidad vCM .
Si en un sistema aislado de partículas no actúan fuerzas externas la velocidad del
centro de masa es constante Si la velocidad del centro de masa es cero la posición del
centro de masa es constante
6. ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA.
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7. CENTRO DE MASA
Si sobre el sistema de partículas actúan varias fuerzas externas, hemos demostrado
antes que:
EXT
p
F
t
∆
=
∆
Donde EXT j
j
F F= ∑ es la suma de todas las fuerzas
externas al sistema.
Finalmente obtenemos:
EXT CMF Ma=
Es decir la aceleración del centro de masa es igual a la fuerza resultante externa que
actúa sobre el sistema entre la masa M del sistema de partículas.
i i
CM
m a
a
M
=
∑
EJERCICIOS
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8. CENTRO DE MASA
1. El ejemplo más simple corresponde
al de dos partículas, de masas m1 y
m2, respectivamente. Tomaremos
como eje x la recta definida por las
dos partículas. En estas
condiciones, al ser y1 = y2 = 0 y z1 = z2 = 0, serán ycm = 0 y zcm = 0, de
modo que el centro de masa estará situado sobre el eje x, siendo su
posición.
1 1 2 2
1 2
cm
m x m x
x
m m
+
=
+
Las distancias d1 y d2, de cada una de las partículas al centro de masa CM, son:
( )2
1 1 2 1
1 2
cm
m
d x x x x
m m
= − = − −
+
( )1
2 2 2 1
1 2
cm
m
d x x x x
m m
= − = − −
+
De modo que:
1 2
2 1
d m
d m
= −
Y el centro de masa está situado entre ambas partículas, siendo la distancia a cada
una de ellas inversamente proporcional a sus masas.
2. Juan y Luisa están en un bote homogéneo de longitud L=3,00 m y masa
M=100 kg en el medio del lago. Juan, que pesa 80,0 kg se encuentra en el
extremo izquierdo del bote mientras que, Luisa que pesa 50,0 kg se
encuentra en el extremo derecho del mismo. Considero el origen de
coordenadas en la posición inicial de Juan. Entonces el centro de masas
se encuentra originalmente en:
80 0 50 3 100 1.5
1.3
100 80 50
j j L L B
cm
j L
m x m x Mx x x
x m
M m m
+ + + + +
= = =
+ + + +
3. Quiero hallar el centro de masa de la barra de longitud L y densidad de lineal
de masa λ=M/L constante aplicando la definición:
dm dxλ=
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9. CENTRO DE MASA
0 0
0
2
0
1
1
2 2
x L x L
x L
x x
cm
x
x L
cm
x
x dx dx
xdm M
x xdx
M M L M L
x L
x
L
λ λ
= =
=
= =
=
=
=
= = = =
 
= = 
 
∫ ∫∫
∫
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10. CENTRO DE MASA
0 0
0
2
0
1
1
2 2
x L x L
x L
x x
cm
x
x L
cm
x
x dx dx
xdm M
x xdx
M M L M L
x L
x
L
λ λ
= =
=
= =
=
=
=
= = = =
 
= = 
 
∫ ∫∫
∫
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