Este documento presenta la cinemática directa de un robot Scara. Explica la teoría de tornillos para modelar la cinemática del robot. Define las configuraciones inicial y final del robot, así como los ejes de rotación y traslación de cada articulación. Deriva las matrices exponenciales para cada articulación y utiliza estas matrices para calcular la pose final del efector usando la ecuación de cinemática directa.

1. Robótica I
Cinemática Directa Robot Scara
Jorge Enrique Lavín Delgado
Universidad La Salle
Jueves 04 de Octubre de 2012
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 1 / 34

2. Teoría de Tornillos
0z
0x
0y
0o
4z
4x
4y
4o
4l
4θ
3d
2θ
2l
1θ
1l
La pose del efector …nal está dada por:
gn
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Znθn
gn
0 (0)
g4
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0) (1)
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3. Con…guración inicial
0z
0x
0y
0o
4z
4x
4y
4o
4l
4θ
3d
2θ
2l
1θ
1l
Con…guración (pose) inicial:
g4
0 (0) =
R4
0 (0) d4
0 (0)
0T 1
=
2
6
6
4
1 0 0 l1 + l2
0 1 0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3
7
7
5
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4. Ejes de rotación y traslación
0z
0x
0y
0o
4θ
3d
2θ1θ
1k 2k
3k
4k
Ejes de rotación y/o traslación (ki ) de las articulaciones:
k1 = 0 0 1
T
k3 = 0 0 1
T
k2 = 0 0 1
T
k4 = 0 0 1
T
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5. Puntos sobre los ejes de rotación
0z
0x
0y
0o
4θ
3d
2θ
2l
1θ
1l
1k 2k
4k
1q
2q 4q
Puntos “arbitrarios” (qi ) sobre los ejes de rotación:
q1 = 0 0 0
T
q2 = l1 0 0
T
q4 = l1 + l2 0 0
T
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6. Matrices exponenciales
4θ
3d
2θ1θ
1 1
ˆZ θ
e 2 2
ˆZ θ
e
4 4
ˆZ θ
e
3 3
ˆZ d
e
g4
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0)
Matrices exponenciales:
Articulación prismática Articulación rotacional
e
^Zi di =
I di ki
0T 1
e
^Zi θi =
"
e
^Ki θi I e
^Ki θi
qi
0T 1
#
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7. Matrices exponenciales
k1 = 0 0 1
T
k2 = 0 0 1
T
k4 = 0 0 1
T
Matrices de rotación:
e
^Ki θi
=
2
4
k2
x vθi
+ Cθi
kx ky vθi
kz Sθi
kx kz vθi
+ ky Sθi
kx ky vθi
+ kz Sθi
k2
y vθi
+ Cθi
ky kz vθi
kx Sθi
kx kz vθi
ky Sθi
ky kz vθi
+ kx Sθi
k2
z vθi
+ Cθi
3
5
vθi
= 1 Cθi
e
^K1θ1
=
2
4
Cθ1
Sθ1
0
Sθ1
Cθ1
0
0 0 1
3
5 e
^K2θ2
=
2
4
Cθ2
Sθ2
0
Sθ2
Cθ2
0
0 0 1
3
5
e
^K4θ4
=
2
4
Cθ4
Sθ4
0
Sθ4
Cθ4
0
0 0 1
3
5
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8. Matrices exponenciales
Articulación 1 (Rotacional):
e
^Zi θi
=
"
e
^Ki θi I e
^Ki θi
qi
0T 1
#
e
^K1θ1
=
2
4
Cθ1
Sθ1
0
Sθ1
Cθ1
0
0 0 1
3
5 q1 = 0 0 0
T
I e
^K1θ1
q1 =
2
4
1 Cθ1
Sθ1
0
Sθ1
1 Cθ1
0
0 0 0
3
5
2
4
0
0
0
3
5 =
2
4
0
0
0
3
5
) e
^Z1θ1
=
2
6
6
4
Cθ1
Sθ1
0 0
Sθ1
Cθ1
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
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9. Matrices exponenciales
Articulación 2 (Rotacional):
e
^Zi θi
=
"
e
^Ki θi I e
^Ki θi
qi
0T 1
#
e
^K2θ2
=
2
4
Cθ2
Sθ2
0
Sθ2
Cθ2
0
0 0 1
3
5 q2 = l1 0 0
T
I e
^K2θ2
q2 =
2
4
1 Cθ2
Sθ2
0
Sθ2
1 Cθ2
0
0 0 0
3
5
2
4
l1
0
0
3
5 =
2
4
l1 (1 Cθ2
)
l1Sθ2
0
3
5
) e
^Z2θ2
=
2
6
6
4
Cθ2
Sθ2
0 l1 (1 Cθ2
)
Sθ2
Cθ2
0 l1Sθ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
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10. Matrices exponenciales
Articulación 3 (Prismática):
e
^Zi di
=
I di ki
0T 1
k3 = 0 0 1
T
d3k3 = d3
2
4
0
0
1
3
5 =
2
4
0
0
d3
3
5
) e
^Z3d3
=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
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11. Matrices exponenciales
Articulación 4 (Rotacional):
e
^Zi θi
=
"
e
^Ki θi I e
^Ki θi
qi
0T 1
#
e
^K4θ4
=
2
4
Cθ4
Sθ4
0
Sθ4
Cθ4
0
0 0 1
3
5 q4 = l1 + l2 0 0
T
I e
^K4θ4
q4 =
2
4
(l1 + l2) (1 Cθ4
)
(l1 + l2) Sθ4
0
3
5
) e
^Z4θ4
=
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 (l1 + l2) (1 Cθ4
)
Sθ4
Cθ4
0 (l1 + l2) Sθ4
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
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12. Pose del efector …nal
La pose del efector …nal se obtiene con la ecuación (1):
g4
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0)
=
2
6
6
4
Cθ1
Sθ1
0 0
Sθ1
Cθ1
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ2
Sθ2
0 l1 (1 Cθ2
)
Sθ2
Cθ2
0 l1Sθ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 (l1 + l2) (1 Cθ4
)
Sθ4
Cθ4
0 (l1 + l2) Sθ4
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
1 0 0 l1 + l2
0 1 0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3
7
7
5
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13. Pose del efector …nal
La pose del efector …nal se obtiene con la ecuación (1):
g4
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0)
e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
=
2
6
6
4
Cθ1
Sθ1
0 0
Sθ1
Cθ1
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ2
Sθ2
0 l1 (1 Cθ2
)
Sθ2
Cθ2
0 l1Sθ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ1+θ2
Sθ1+θ2
0 l1 (Cθ1
Cθ1+θ2
)
Sθ1+θ2
Cθ1+θ2
0 l1 (Sθ1
Sθ1+θ2
)
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
sen (x y) = sen x cos y cos x sen y
cos (x y) = cos x cos y sen x sen y
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14. Pose del efector …nal
La pose del efector …nal se obtiene con la ecuación (1):
g4
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0)
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 (l1 + l2) (1 Cθ4
)
Sθ4
Cθ4
0 (l1 + l2) Sθ4
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 (l1 + l2) (1 Cθ4
)
Sθ4
Cθ4
0 (l1 + l2) Sθ4
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
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15. Pose del efector …nal
La pose del efector …nal se obtiene con la ecuación (1):
g4
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0)
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0)
=
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 (l1 + l2) (1 Cθ4
)
Sθ4
Cθ4
0 (l1 + l2) Sθ4
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
1 0 0 l1 + l2
0 1 0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 l1 + l2
Sθ4
Cθ4
0 0
0 0 1 (d3 + l4)
0 0 0 1
3
7
7
5
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16. Pose del efector …nal
La pose del efector …nal se obtiene con la ecuación (1):
g4
0 (θ) = e
^Z1θ1
e
^Z2θ2
e
^Z3d3
e
^Z4θ4
g4
0 (0)
=
2
6
6
4
Cθ1+θ2
Sθ1+θ2
0 l1 (Cθ1
Cθ1+θ2
)
Sθ1+θ2
Cθ1+θ2
0 l1 (Sθ1
Sθ1+θ2
)
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 l1 + l2
Sθ4
Cθ4
0 0
0 0 1 (d3 + l4)
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
r11 r12 r13 dx
r21 r22 r23 dy
r31 r32 r33 dz
0 0 0 1
3
7
7
5
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17. Pose del efector …nal
Finalmente, la pose del efector …nal está dada por:
g4
0 (θ) =
2
6
6
4
r11 r12 r13 dx
r21 r22 r23 dy
r31 r32 r33 dz
0 0 0 1
3
7
7
5
donde
r11 = Cθ1+θ2
Cθ4
+ Sθ1+θ2
Sθ4
r13 = 0
r21 = Sθ1+θ2
Cθ4
Cθ1+θ2
Sθ4
r23 = 0
r31 = 0 r33 = 1
r12 = Cθ1+θ2
Sθ4
+ Sθ1+θ2
Cθ4
dx = l1Cθ1
+ l2Cθ1+θ2
r22 = Sθ1+θ2
Sθ4
Cθ1+θ2
Cθ4
dy = l1Sθ1
+ l2Sθ1+θ2
r32 = 0 dz = (d3 + l4)
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18. Denavit Hartenberg
Diagrama cinemático
4l
4θ
3d
2θ
2l
1θ
1l
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19. Asignación de referenciales
4l
4θ
3d
2θ
2l1l
0z
0x
0y
0o
1θ
1x
1y1z
1o 2x
2y
2z
2o
3x
3y
3z
3o
4x
4y
4z
4o
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20. Tabla de parámetros
1l
0z
0x
0y
0o
1θ
1x
1y1z
1o
i θi di ai αi
1 θ1 0 l1 0
θi - ángulo entre xi 1 y xi medido sobre zi 1
di - distancia de oi 1 a xi medida a lo largo de zi 1
ai - distancia de zi 1 a oi medida a lo largo de xi
αi - ángulo entre zi 1 y zi medido sobre xi
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21. Tabla de parámetros
2θ
2l
1x
1y1z
1o 2x
2y
2z
2o
i θi di ai αi
2 θ2 0 l2 180
θi - ángulo entre xi 1 y xi medido sobre zi 1
di - distancia de oi 1 a xi medida a lo largo de zi 1
ai - distancia de zi 1 a oi medida a lo largo de xi
αi - ángulo entre zi 1 y zi medido sobre xi
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22. Tabla de parámetros
3d
2x
2y
2z
2o
3x
3y
3z
3o
i θi di ai αi
3 0 d3 0 0
θi - ángulo entre xi 1 y xi medido sobre zi 1
di - distancia de oi 1 a xi medida a lo largo de zi 1
ai - distancia de zi 1 a oi medida a lo largo de xi
αi - ángulo entre zi 1 y zi medido sobre xi
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23. Tabla de parámetros
4l
4θ
3x
3y
3z
3o
4x
4y
4z
4o
i θi di ai αi
4 θ4 l4 0 0
θi - ángulo entre xi 1 y xi medido sobre zi 1
di - distancia de oi 1 a xi medida a lo largo de zi 1
ai - distancia de zi 1 a oi medida a lo largo de xi
αi - ángulo entre zi 1 y zi medido sobre xi
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24. Matrices de paso
Para obtener las matrices de paso Ai , sólo hay que sustituir los
parámetros θi , di , ai y αi en (2):
Ai =
2
6
6
4
Cθi
Sθi
Cαi Sθi
Sαi ai Cθi
Sθi
Cθi
Cαi Cθi
Sαi ai Sθi
0 Sαi Cαi di
0 0 0 1
3
7
7
5 (2)
Tabla de parámetros:
i θi di ai αi
1 θ1 0 l1 0
2 θ2 0 l2 180
3 0 d3 0 0
4 θ4 l4 0 0
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25. Matrices de paso
Ai =
2
6
6
4
Cθi
Sθi
Cαi Sθi
Sαi ai Cθi
Sθi
Cθi
Cαi Cθi
Sαi ai Sθi
0 Sαi Cαi di
0 0 0 1
3
7
7
5
i θi di ai αi
1 θ1 0 l1 0
Para A1 se tiene:
A1 =
2
6
6
4
Cθ1
Sθ1
C0 Sθ1
S0 (l1) Cθ1
Sθ1
Cθ1
C0 Cθ1
S0 (l1) Sθ1
0 S0 C0 0
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ1
Sθ1
0 l1Cθ1
Sθ1
Cθ1
0 l1Sθ1
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
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26. Matrices de paso
Ai =
2
6
6
4
Cθi
Sθi
Cαi Sθi
Sαi ai Cθi
Sθi
Cθi
Cαi Cθi
Sαi ai Sθi
0 Sαi Cαi di
0 0 0 1
3
7
7
5
i θi di ai αi
2 θ2 0 l2 180
Para A2 se tiene:
A2 =
2
6
6
4
Cθ2
Sθ2
C180 Sθ2
S180 (l2) Cθ2
Sθ2
Cθ2
C180 Cθ2
S180 (l2) Sθ2
0 S180 C180 0
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ2
Sθ2
0 l2Cθ2
Sθ2
Cθ2
0 l2Sθ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
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27. Matrices de paso
Ai =
2
6
6
4
Cθi
Sθi
Cαi Sθi
Sαi ai Cθi
Sθi
Cθi
Cαi Cθi
Sαi ai Sθi
0 Sαi Cαi di
0 0 0 1
3
7
7
5
i θi di ai αi
3 0 d3 0 0
Para A3 se tiene:
A3 =
2
6
6
4
C0 S0 C0 S0 S0 (0) C0
S0 C0 C0 C0 S0 (0) S0
0 S0 C0 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 27 / 34

28. Matrices de paso
Ai =
2
6
6
4
Cθi
Sθi
Cαi Sθi
Sαi ai Cθi
Sθi
Cθi
Cαi Cθi
Sαi ai Sθi
0 Sαi Cαi di
0 0 0 1
3
7
7
5
i θi di ai αi
4 θ4 l4 0 0
Para A4 se tiene:
A4 =
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
C0 Sθ4
S0 (0) Cθ4
Sθ4
Cθ4
C0 Cθ4
S0 (0) Sθ4
0 S0 C0 l4
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 0
Sθ4
Cθ4
0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3
7
7
5
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 28 / 34

29. Matriz de transformación homogénea
La matriz de transformación homogénea que relaciona los
referenciales base y del efector …nal se calcula como:
Tn
0 =
n
∏
i=1
Ai = A1A2 An ) T4
0 =
4
∏
i=1
Ai = A1A2A3A4
0z
0x
0y
0o
4z
4x
4y
4o
4l
4θ
3d
2θ
2l
1θ
1l
4
0T
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 29 / 34

30. Matriz de transformación homogénea
T4
0 =
4
∏
i=1
Ai = A1A2A3A4
=
2
6
6
4
Cθ1
Sθ1
0 l1Cθ1
Sθ1
Cθ1
0 l1Sθ1
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ2
Sθ2
0 l2Cθ2
Sθ2
Cθ2
0 l2Sθ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 0
Sθ4
Cθ4
0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3
7
7
5
Tenga en cuenta que en general el producto de matrices no es
conmutativo, es decir, AB 6= BA.
Por otro lado, una buena asociación de matrices simpli…ca de manera
notoria los cálculos.
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 30 / 34

31. Matriz de transformación homogénea
La matriz de transformación homogénea está dada por:
T4
0 =
4
∏
i=1
Ai = A1A2A3A4
A1A2 =
2
6
6
4
Cθ1
Sθ1
0 l1Cθ1
Sθ1
Cθ1
0 l1Sθ1
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ2
Sθ2
0 l2Cθ2
Sθ2
Cθ2
0 l2Sθ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ1+θ2
Sθ1+θ2
0 l1Cθ1
+ l2Cθ1+θ2
Sθ1+θ2
Cθ1+θ2
0 l1Sθ1
+ l2Sθ1+θ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
sen (x y) = sen x cos y cos x sen y
cos (x y) = cos x cos y sen x sen y
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 31 / 34

32. Matriz de transformación homogénea
La matriz de transformación homogénea está dada por:
T4
0 = A1A2A3A4
A3A4 =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 0
Sθ4
Cθ4
0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 0
Sθ4
Cθ4
0 0
0 0 1 d3 + l4
0 0 0 1
3
7
7
5
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 32 / 34

33. Matriz de transformación homogénea
Se sigue que la matriz de transformación homogénea T4
0 es:
T4
0 = A1A2A3A4
=
2
6
6
4
Cθ1+θ2
Sθ1+θ2
0 l1Cθ1
+ l2Cθ1+θ2
Sθ1+θ2
Cθ1+θ2
0 l1Sθ1
+ l2Sθ1+θ2
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
2
6
6
4
Cθ4
Sθ4
0 0
Sθ4
Cθ4
0 0
0 0 1 d3 + l4
0 0 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
r11 r12 r13 dx
r21 r22 r23 dy
r31 r32 r33 dz
0 0 0 1
3
7
7
5
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 33 / 34

34. Matriz de transformación homogénea
Se sigue que la matriz de transformación homogénea T4
0 es:
T4
0 =
2
6
6
4
r11 r12 r13 dx
r21 r22 r23 dy
r31 r32 r33 dz
0 0 0 1
3
7
7
5
donde
r11 = Cθ1+θ2
Cθ4
+ Sθ1+θ2
Sθ4
r13 = 0
r21 = Sθ1+θ2
Cθ4
Cθ1+θ2
Sθ4
r23 = 0
r31 = 0 r33 = 1
r12 = Cθ1+θ2
Sθ4
+ Sθ1+θ2
Cθ4
dx = l1Cθ1
+ l2Cθ1+θ2
r22 = Sθ1+θ2
Sθ4
Cθ1+θ2
Cθ4
dy = l1Sθ1
+ l2Sθ1+θ2
r32 = 0 dz = (d3 + l4)
Jorge E. Lavín Delgado (ULSA) Cinemática Directa Robot Scara 04/Octubre/2012 34 / 34