Problemas sistemas lti

SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS
Curso Académico 2009−2010
1
Problemas Tema 2: Sistemas
PROBLEMA 1. Dados los siguientes sistemas en tiempo continuo y las señales de entrada
indicadas, determine las señales de salida correspondientes:
a) Sistema T1: ( ) ( )txty = y señal de entrada: ( ) ( )
{ } ( )111
1 −−= −−
tuetx t
.
b) Sistema T1: ( ) ( )txty = y señal de entrada: ( ) ( ){ } ( ){ })3(1)3(12 −−−++−+= tututututx .
c) Sistema T2: ( ) ( )
dt
tdx
ty = y señal de entrada: ( ) t
etx
−
=3 .
d) Sistema T2: ( ) ( )
dt
tdx
ty = y señal de entrada: ( ) ( ) ( )214 −Λ+−Λ= tttx .
PROBLEMA 2. Dados los siguientes sistemas en tiempo discreto y las señales de entrada
indicadas, determine las señales de salida correspondientes:
a) Sistema T1: [ ] [ ]∑−∞=
=
n
k
kxny y señal de entrada:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]21231221 −+−−++−+= nnnnnnx δδδδδ .
b) Sistema T2: [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]


>++
≤
=
0,2
0,0
nxnxnx
nx
ny y señal de entrada:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ].4221232 −+−−+++−= nununununx .
PROBLEMA 3. Considere la siguiente interconexión de sistemas:
en la que T1: y(t) = 2x(t-2); T2: y(t) = dx(t)/dt y T3: y(t) = x(-t+1)
a) Determine la relación entre la entrada x(t) y la salida y(t).
b) Calcule la salida cuando la entrada es x(t) = u(t).
PROBLEMA 4. Considere la siguiente interconexión de sistemas:
en la que T1: y[n] = x[n-1]; T2: y[n] = x[n+5] y T3: y[n] =x[n]-3
a) Determine la relación entre la entrada x[n] y la salida y[n].
T1
T3
y(t)x(t)
+
T2
y[n]x[n]
+ T1
T3T2

2
PROBLEMA 5. Considere un sistema discreto con entrada [ ]nx y salida [ ]ny . La relación
entrada−salida para este sistema es [Prob. 1.16 del Oppenheim]:
[ ] [ ] [ ]2−⋅= nxnxny
a) ¿El sistema es sin memoria?
b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es [ ]nA δ⋅ , donde “A” es un número
real o complejo.
c) ¿El sistema es invertible?
PROBLEMA 6. Considere un sistema continuo con entrada ( )tx y salida ( )ty , estando
relacionadas mediante [Prob. 1.17 del Oppenheim]:
( ))sen()( txty =
a) ¿El sistema es causal?
b) ¿El sistema es lineal?
PROBLEMA 7. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria,
invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas continuos
[Prob. 1.27 del Oppenheim]:
a) )2()2()( txtxty −+−= b) [ ] )()3cos()( txtty ⋅=
c) ∫∞−
⋅=
t
dxty
2
)()( ττ d)



≥−+
<
=
0:)2()(
0:0
)(
ttxtx
t
ty
e)



≥−+
<
=
0)(:)2()(
0)(:0
)(
txtxtx
tx
ty f) 





=
3
)(
t
xty
g)
dt
tdx
ty
)(
)( =
PROBLEMA 8. Determine (argumentando la respuesta) qué propiedades (sin memoria,
invariante en el tiempo, lineal, causal, estable) cumplen los siguientes sistemas discretos
a) [ ] [ ]nxny −= b) [ ] [ ] [ ]822 −⋅−−= nxnxny
c) [ ] [ ]nxnny ⋅= d) [ ] [ ]{ }1−= nxParny
e) [ ]
[ ]
[ ]




−≤+
=
≥
=
1:1
0:0
1:
nnx
n
nnx
ny f) [ ]
[ ]
[ ]




−≤
=
≥
=
1:
0:0
1:
nnx
n
nnx
ny
g) [ ] [ ]14 += nxny

3
PROBLEMA 9. Determine si cada uno de los siguientes sistemas es invertible. En caso
afirmativo, construya el sistema inverso. Si no, encuentre dos señales de entrada al sistema
que den la misma salida [Prob. 1.30 del Oppenheim].
a) )4()( −= txty b) [ ])(cos)( txty =
c) [ ] [ ]nxnny ⋅= d) ∫∞−
⋅=
t
dxty ττ)()(
e) [ ]
[ ]
[ ]




−≤
=
≥−
=
1:
0:0
1:1
nnx
n
nnx
ny f) [ ] [ ] [ ]1−⋅= nxnxny
g) [ ] [ ]nxny −= 1 h) ∫∞−
−−
⋅⋅=
t
t
dxety τττ
)()( )(
i) [ ] [ ]∑−∞=
−
⋅





=
n
k
kn
kxny
2
1
j)
dt
tdx
ty
)(
)( =
k) [ ]
[ ]
[ ]


−≤
≥+
=
1:
0:1
nnx
nnx
ny l) )2()( txty =
m) [ ] [ ]nxny 2= n) [ ]










=
impar:0
par:
2
n
n
n
x
ny
PROBLEMA 10. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la señal )(1 tx en la Figura 1(a)
sea la señal )(1 ty ilustrada en la Figura 1(b) [Prob. 1.31 del Oppenheim].
0
1 2
1
x1(t)
t t
t t-1 0 1 2 3 4
0 1 2
1
2
y1(t)
-1 0 1 2 3 4
-1
1
x2(t) x3(t)
1
2
(a) (b)
(d)(c)
Figura 1

4
a) Determine y dibuje cuidadosamente la respuesta del sistema a la entrada )(2 tx dibujada
en la Figura 1(c).
b) Determine y dibuje la respuesta del sistema considerado para la entrada )(3 tx mostrada
en la Figura 1(d).
PROBLEMA 11. Considere una entrada [ ]nx y una respuesta al impulso unitario [ ]nh dadas
por [Prob. 2.3 del Oppenheim]:
[ ] [ ]2
2
1
2
−⋅





=
−
nunx
n
[ ] [ ]2+= nunh
Determine y dibuje la salida [ ] [ ] [ ]nhnxny *= .
PROBLEMA 12. Suponga que [Prob. 2.10 del Oppenheim]:


 ≤≤
=
resto
t
tx
:0
10:1
)(
y que ( )αtxth =)( donde 10 ≤< α .
a) Determine y dibuje )(*)()( thtxty = .
b) Si dttdy )( contiene sólo tres discontinuidades, ¿cuál es el valor de α?
PROBLEMA 13. Calcule la convolución [ ] [ ] [ ]nhnxny *= de los siguientes pares de señales
a)
[ ] [ ]
[ ] [ ]
βα
β
α
≠




⋅=
⋅=
nunh
nunx
n
n
b) [ ] [ ] [ ]nunhnx n
⋅== α
c)
[ ] [ ]
[ ] [ ]nunh
nunx
n
n
−⋅=
−⋅





−=
24
4
2
1
d) [ ]nx y [ ]nh son como se muestran en la Figura 2.
-1 0 1 2 3 4 5 6
x[n]
-1 0 1 2 3 4 5 6
h[n]
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
1
Figura 2

5
PROBLEMA 14. Para cada uno de los siguientes pares de formas de ondas, use la integral de
convolución para encontrar la respuesta )(ty a la entrada )(tx del sistema LTI cuya
respuesta al impulso es )(th [Prob. 2.22 del Oppenheim].
a) βαβαβ
α
=≠




⋅=
⋅=
−
−
paray,para
)()(
)()(
tueth
tuetx
t
t
b)
)1()(
)5()2(2)()(
2
tueth
tutututx
t
−⋅=
−+−⋅−=
c) )(tx y )(th son como se muestra en la Figura 3(a).
d) )(tx y )(th son como se muestra en la Figura 3(b).
e) )(tx y )(th son como se muestra en la Figura 3(c).
0
1 2
1
x(t)
t t
t t0 1
2
0 1 2
1
h(t)
x(t) h(t)
(a)
(b)
(c)
Un periodo de sen(πt)
3
b
Pendiente = a
4/3
-1/3
0
1 2
1
x(t)
t t0 1
1
h(t)
-1
-1
3
Figura 3
PROBLEMA 15. Dadas las señales x(t) y h(t) siguientes [Prob. 2.23 del Oppenheim]:
( ) ( ) ( )∑
∞
−∞= 


<<+−
<<−+
=−=
k tt
tt
thkTttx
10,1
01,1
δ
Determine y dibuje )(*)()( thtxty = para los siguientes valores de T:
a) T = 4; b) T = 2; c) T = 3/2; d) T = 1

6
PROBLEMA 16. Examine la interconexión en cascada de los tres sistema LTI causales
ilustrados en la Figura 4(a). La respuesta al impulso [ ]nh2 es [Prob. 2.24 del Oppenheim]:
[ ] [ ] [ ]22 −−= nununh
y la respuesta total al impulso es como se muestra en la Figura 4(b).
a) Encuentre la respuesta al impulso [ ]nh1 .
b) Encuentre la respuesta del sistema total a la entrada
[ ] [ ] [ ]1−−= nnnx δδ
h1[n]x[n] y[n]h2[n] h2[n]
-1 0 1 2 3 4 5 6
h[n]
7 n
(a)
(b)
1
5
10
11
8
4
1
Figura 4
PROBLEMA 17. Considere las respuestas al impulso de los siguientes sistemas LTI.
Determine si cada sistema es causal y/o estable [Prob. 2.28 y 2.29 del Oppenheim].
a) [ ] [ ]nunh
n
⋅





=
5
1
b) [ ] ( ) [ ]28'0 +⋅= nunh
n
c) [ ] [ ]nunh
n
−⋅





=
2
1
d) [ ] ( ) [ ]nunh
n
−⋅= 35
e) [ ] [ ] [ ]1)01'1(
2
1
−⋅+⋅





−= nununh n
n
f) [ ] [ ] [ ]nununh n
n
−⋅+⋅





−= 1)01'1(
2
1
g) [ ] [ ]1
3
1
−⋅





= nunh
n
h) ( ) ( )24
−= −
tueth t
i) ( ) ( )tueth t
−= −
36
j) ( ) ( )502
−= −
tueth t
k) ( ) ( )tueth t
−−= 12
l) ( ) t
eth
6−
=
m) ( ) ( )tuteth t−
= n) ( ) ( )
{ } ( )tueeth tt 100/100
2 −−
−=

7
PROBLEMA 18. Considere la siguiente interconexión de sistemas LTI. [Septiembre 2001].
[ ]h n1¿ ?
Σ
[ ]h n2
[ ]h n3 [ ]h n4
donde se sabe que [ ] [ ]nhnh −= 43 y las respuestas al impulso h2[n] y h4[n] están
representadas en las figuras siguientes:
Determine el valor de h1[n] para que la interconexión anterior pueda sustituirse por un único
sistema h[n] de respuesta al impulso:
[ ]h n
... ...
1
0 1 2-1-2 3-3
[ ]h n
n
PROBLEMA 19. Considere la siguiente interconexión de sistemas lineales e invariantes en el
tiempo. [Febrero 2003].
Las respuestas al impulso de los bloques son:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10tu2tuth;4tu2tu2tuth;tueth 42
t
1 −−=−+−−== −
y h3(t) y h5(t) corresponden a sendos derivadores.
Calcule la respuesta al impulso del sistema equivalente h(t).
... ...1
0 1 2-1 3 n
2
3
4 5
[ ]h n4
... ...2
0 1 2-1 3 n
7
13
4
7
2
-2-3-4
[ ]h n2

8
Soluciones
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
PROBLEMA 3. a) { } ( )1)2(2)( +−+−= txdttxdty ; b) ( ) ( )122)( +−+−= tutty δ .
PROBLEMA 4. a) [ ] [ ] [ ] 314 −−=+− nxnyny .
PROBLEMA 5. a) No; b) y[n] = 0; c) No.
PROBLEMA 6. a) No; b) Sí.
PROBLEMA 7. a) Lineal, estable; b) Sin memoria, lineal, causal, estable; c) Lineal; d) Lineal,
causal, estable; e) Invariante, causal, estable; f) Lineal, estable; g) Invariante, lineal.
PROBLEMA 8. a) Lineal, estable; b) Invariante, lineal, causal, estable; c) Sin memoria, lineal,
causal; d) Lineal, estable; e) Lineal, estable; f) Sin memoria, lineal, causal, estable; g)
Lineal, estable.
PROBLEMA 9. a) Invertible, )4()( += txty ; b) No invertible, )()(1 txtx = , π2)()(2 += txtx ;
c) No invertible, [ ] [ ]nnx δ=1 , [ ] [ ]nnx δ⋅= 22 ; d) Invertible, dttdxty )()( = ; e) Invertible,
[ ]
[ ]
[ ]


<
≥+
=
0:
0:1
nnx
nnx
ny ; f) No invertible, [ ] [ ]nxnx =1 , [ ] [ ]nxnx −=2 ; g) Invertible,
[ ] [ ]nxny −= 1 ; h) Invertible, dttdxtxty )()()( += ; i) Invertible, [ ] [ ] [ ]15'0 −⋅−= nxnxny ;
j) No invertible, )()(1 txtx = , .)()(2 ctetxtx += ; k) No invertible, [ ] [ ]nnx δ=1 ,
[ ] [ ]nnx δ⋅= 22 ; l) Invertible, )2/()( txty = ; m) No invertible, [ ] [ ] [ ]11 −+= nnnx δδ ,
[ ] [ ]nnx δ=2 ; n) Invertible, [ ] [ ]nxny 2= .
a) b) c) d)
a) b)

9
PROBLEMA 10.
a)
t0 1 2
1
2
y2(t)
3 4
-2
-1
b)
t-1 0 1 2
y3(t)
2
PROBLEMA 11. [ ] [ ]nuny
n
⋅














−⋅=
+1
2
1
12
PROBLEMA 12.
a)







+≤≤−+
≤≤
≤≤
=
resto
tt
t
tt
ty
:0
)1(1:1
1:
0:
)(
αα
αα
α
; b) 1=α .
PROBLEMA 13. a) [ ] [ ]nuny
nn
⋅
−
−
=
++
αβ
αβ 11
; b) [ ] [ ]nunny n
⋅+⋅= )1(α ;
c) [ ]






>⋅





−⋅
≤
=
6:64
2
1
9
8
6:
608.4
4
n
n
ny n
n
; d) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4321 −+−+−+−+= nhnhnhnhnhny .
PROBLEMA 14. a) ( )
( )




≠⋅−⋅
−
=⋅⋅
= ⋅−
−
−
βα
αβ
βα
αβ
α
α
:)(1
:)(
)(
tue
e
tute
ty t
t
t
;
b)
( )
( )
( )









>
≤≤−⋅
≤≤+⋅−⋅
≤+⋅−⋅
=
−⋅
−⋅−⋅
−⋅−⋅
6:0
63:
2
1
31:2
2
1
1:2
2
1
)(
2)5(2
)5(2)2(22
)5(2)2(22
t
tee
teee
teee
ty
t
tt
ttt
; c)
( )[ ]
( )[ ]








>
≤≤−−⋅⋅
≤≤−⋅−⋅
≤
=
5:0
53:1)3(cos
1
31:)1(cos1
1
1:0
)(
t
tt
tt
t
ty
π
π
π
π
d) )()( txty = ; e)





<<+−
<<−++−
=
2
3
2
1
:
4
7
3
2
1
2
1
:
4
1
)(
2
2
ttt
ttt
ty , periodo “2”.
PROBLEMA 15. ( ) ( )∑
∞
−∞=
−=
k
kTthty
PROBLEMA 16. a) [ ] 101 =h , [ ] 311 =h , [ ] 321 =h , [ ] 231 =h , [ ] 141 =h ; b) [ ] [ ] [ ]1−−= nhnhny .

10
PROBLEMA 17. a) Causal, estable; b) No causal, estable; c) No causal, no estable; d) No
causal, estable; e) Causal, no estable; f) No causal, estable; g) Causal, estable; h) Causal,
estable; i) No causal, no estable; j) No causal, estable; k) No causal, estable; l) No causal y
estable; m) Causal y no estable; n) Causal y no estable.
PROBLEMA 18. h1[n] = δ [n+2] + δ [n+1] + 2 δ [n] + 3 δ [n-1] +5 u[n-2].
PROBLEMA 19. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )102422 42
−−+−+−−= −−−−−
tttuetuetueth ttt
δδ .

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN – Sistemas y Circuitos Problemas – 14/10/2008
Propiedades de los sistemas
1. Considere el sistema con relación entrada-salida
y(t) = x(t2
)
(a) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(b) ¿El sistema es causal?
(c) ¿El sistema es estable?
Sol. NO, NO, SI
y(t) = t2
x2
(t)
(a) ¿El sistema es sin memoria?
(b) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(c) ¿El sistema es invertible?
(d) ¿El sistema es estable?
(e) ¿El sistema es causal?
(f) ¿El sistema es lineal?
Sol. SI, NO, NO, NO, SI, NO
y[n] = x[n] +
1
2
x[n − 1] +
1
2
x[n + 1]
(d) ¿El sistema es causal?
(e) ¿El sistema es lineal?
Sol. NO, SI, SI, NO, SI
y[n] = ex[n]
+ x[n]
Sol. SI, SI, SI, SI, NO
1

y(t) =
t
t−1
x(τ) dτ
Sol. NO, SI, SI, SI, SI
y(t) =
t−1
t−2
x3
(τ) dτ
Sol. NO, SI, SI, SI, NO
y[n] =
n+3
k=−∞
4 x[k]
Sol. NO, SI, NO, NO, SI
y[n] =
n−3
k=n−10
4 x2
[k] + x[k]
Sol. NO, SI, SI, SI, NO
2

Propiedades de los sistemas LIT
y[n] = x[n] +
1
2
x[n − 1]
(a) Halle la respuesta al impulso
Sol. h[n] = δ[n] + 1
2 δ[n − 1], SI, SI
2. Considere el sistema con respuesta al impulso
h[n] = δ[n] −
π
2
δ[n − 1] −
π
2
δ[n + 1]
(b) ¿El sistema es estable?
(c) ¿El sistema es causal?
Sol. NO, SI, NO
h[n] = u[n]
(d) Halle la respuesta s[n] al escal´on unitario.
Sol. NO, NO, SI, s[n] = (n + 1) u[n].
h[n] = e−5n
u[n]
(d) Halle la respuesta s[n] al escal´on unitario.
Sol. NO, SI, SI, s[n] =
1 − e−5(n+1)
1 − e−5
.
1

y[n] =
n−1
k=−∞
2 x[k]
(a) Halle la respuesta al impulso.
(b) ¿El sistema es sin memoria?
Sol. h[n] = 2 u[n − 1], NO, NO, SI
y(t) = x(t) + x(t − 0.5) + x(t − 1) + x(t − 1.5)
Sol. h(t) = δ(t) + δ(t − 0.5) + δ(t − 1) + δ(t − 1.5), NO, SI, SI
h(t) = 5 Π(t)
(d) Halle la respuesta al escal´on unitario
Sol. NO, SI, NO, s(t) =
5(t + 1/2) −1/2 < t < 1/2
5 t ≥ 1/2
8. Considere el sistema con respuesta al escal´on unitario
s(t) = 1 − e−t/10
u(t)
Sol. h(t) = 1
10 e−t/10 u(t), NO, SI, SI
y(t) =
t−1
t−2
π x(τ) dτ
2

Sol. h(t) = π Π(t − 3/2), NO, SI, SI
10. La respuesta de un sistema al ingreso x(t)=4 u(t+1) es
y(t) = 8 t2
u(t)
(a) Halle la respuesta al escal´on unitario
(b) Halle la respuesta al impulso
Sol. s(t) = 2 (t − 1)2 u(t − 1), h(t) = 4(t − 1), NO, SI
3

Sistemas – Propiedades y convolución
1. Considere el sistema cuya relación entrada-salida es
y(t) = x3
(t)
y considere la señal periódica x(t)
-
t
6
x(t)
−1
1
2
−1 1 2 3 4
(a) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la señal x(t).
(b) Encuentre y dibuje la salida del sistema a la señal x1(t) = 2 x(t − 1).
(d) ¿El sistema es sin memoria?
(e) ¿El sistema es estable?
(f) ¿El sistema es invariante con el tiempo?
(g) ¿El sistema es LIT?
(h) ¿El sistema es invertible? Si lo es, encuentre el sistema inverso.
Sol. (sin dibujo) y(t) = x(t);
-
t
6
y1(t)
−8
8
16
−1 1 2 3 4
SI; SI; SI; SI; NO; SI sistema inverso y(t) = 3
x(t).
2. Considere la señal w[n] = 10−2n. La señal x[n] = −w[n] δ[n + 1] se aplica al sistema LIT
con respuesta al impulso h[n] = 5 e−n u[n].
(a) Encuentre y dibuje la salida del sistema.
1

Sol. (sin dibujo) y[n] =
0 n < −1
−500 e−n−1 n ≥ −1
; SI; SI.
3. Considere el sistema LIT con la respuesta al escalón unitario s(t) representada
-
t
6
s(t)
3
1
2
−1 1 2 3 4 5
(a) Encuentre y dibuje la respuesta al impulso.
Sol. -
t
6
h(t)
3
1
2
−1 1 2 3 4 5
; SI; NO.
h(t) = δ(t) −
1
2
δ(t − 1/2) +
1
4
δ(t − 1)
(d) Encuentre y dibuje la respuesta s(t) al escalón unitario.
Sol. NO; SI; SI; s(t) = u(t) − 1
2 u(t − 1/2) + 1
4 u(t − 1)
-
t
6
s(t)
1
3/4
1/4
1/2
−1/2 1/2 1 3/2 2 5/2
5. Encuentre y dibuje la convolución z(t) = x(t) ∗ y(t), con
(a) x(t) =
t 0 < t < 1
0 otros
y(t) =
−t −1 < t < 0
0 otros
(b) x(t) = −10 sin(4πt) y(t) = eπ Π(t + 5)
2

Sol. (sin dibujo) z(t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(t+1)2(2−t)
6 −1 < t < 0
t3
6 − t
2 + 1
3 0 < t < 1
0 otros
; z(t) = 0.
6. Encuentre y dibuje la convolución z[n] = x[n] ∗ y[n] con
(a) x[n] =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2 −2 < n < 1
−1 n = 1
0 otros
y[n] =
−n −3 < n < 2
0 otros
(b) x[n] = ejπ 8π
3 cos[4π
3 n] y(t) = u[n + 1] − u[n − 1]
Sol. (sin dibujo) z[n] =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
4 n = −3
6 n = −2
0 n = −1
−3 n = 0
−2 n = 1
1 n = 2
0 otros
; z[n] = 1
2 ejπ 8π
3 .
7. Considere la conexión en serie de un sistema T1{·} con relación entrada-salida y1(t) =
2 x2
1(t) y un sistema T2{·} con relación entrada-salida y2(t) = x3
2(t).
(a) ¿Se puede representar la conexión en serie de T1{·} y T2{·} como un único sistema
equivalente T{·}? Si es posible, ¿cual es relación entrada-salida del sistema equiva-
lente T{·}?
(b) ¿El sistema T{·} es causal?
(c) ¿El sistema T{·} es sin memoria?
(d) ¿El sistema T{·} equivalente a la serie de T2{·} y T1{·} (cambiando el orden)?
Sol. SI, la relación entrada-salida T{·} es y(t) = 8 x6(t); SI; SI; NO, la relación entrada-
salida de la serie de T2{·} y T1{·} es y(t) = 2 x6(t).
8. Considere la conexión en serie de dos sistemas LIT T1{·} y T2{·}, con respuestas al impulso
h1[n] =
−2 −2 ≤ n ≤ 1
0 otros
y h2[n] =
5 n = 6
0 otros
, respectivamente.
(a) ¿Se puede representar la conexión en serie de T1{·} y T2{·} como un único sistema
LIT equivalente T{·}? Si es posible, ¿cual es la respuesta al impulso del sistema
equivalente T{·}?
(b) ¿El sistema T{·} es causal?
(c) ¿El sistema T{·} es sin memoria?
(d) ¿El sistema T{·} es equivalente a la serie de T2{·} y T1{·} (cambiando el orden)?
Sol. SI, la respuesta al impulso de T{·} es h[n] = h1[n] ∗ h2[n] =
−10 4 ≤ n ≤ 7
0 otros
; SI;
NO; SI, siendo h1[n] ∗ h2[n] = h2[n] ∗ h1[n].
3

Sistemas y Circuitos
Segunda Entrega de Problemas
Tema 2: Sistemas.
Apellidos y Nombre 1: _____________________________________________________________
Apellidos y Nombre 2: _____________________________________________________________

Ejemplo:
3 4-3-4 n1 2-1
-2. . . . . .
[ ]x n
1
2
-1
5
3-3 n1 2-1
-2. . . . . .
1
[ ]s n
-1
[ ]nx [ ]ns
3
4-3-4 n1 2
-1-2. . . . . .
1
2
-2
5
1
-1 -1
6 7
[ ]y n
[ ] [ ] [ ]nsnxny ∗=
Pág. 2

CUESTIÓN 5:
3-3
-4 n1 2-1-2
. . . . . .
[ ]x n
1
2
-1
3
-1
3 n1 2-1-2
. . . . . .
1
[ ]h n
2 2
1
[ ]nx [ ]nh
[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=
Pág. 3

Ejemplo:
[ ] [ ]
[ ] [ ]nunh
nunx n
=
⋅α=
[ ] [ ] [ ] [ ]nu
1
1
nhnxny
1n
⋅
α−
α−
=∗=
+
CUESTIÓN 6:
[ ] [ ]
[ ] [ ]2nunh
2nu
2
1
nx
2n
+=
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
Pág. 4

Ejemplo:
x(t)
t
1
-3 -1
h(t)
t
1
1 2
y(t)
t
1
-2 -1 1
)t(h )t(h)t(x)t(y ∗=)t(x
CUESTIÓN 7:
x(t)
t
1
-1
-2 2-3
-1
h(t)
t1
-1
-2
2
-1
2
)t(x )t(h )t(h)t(x)t(y ∗=
Pág. 5

x(t)
t1
-1
2
1
h(t)
t
-1
1
-2
x(t)
t
2
1
. . . . . .
(periódica)
1
-1
3
4 5
h(t)
t
1
-2 2
Pág. 6

Ejemplo:
⎩
⎨
⎧ ≤≤−
=
−⋅= −−
resto:0
2t1:1
)t(h
)2t(ue)t(x )2t(
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−
≤≤−
<
=∗=
−−
−
4t:ee
4t1:e1
1t:0
)t(h)t(x)t(y
t1t4
t1
CUESTIÓN 8:
[ ]
⎩
⎨
⎧ ≤≤
=
−−⋅⋅π=
resto:0
3t1:2
)t(h
)2t(u)t(u)t(sen)t(x
Pág. 7

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