Este documento describe el análisis de sistemas de medición (MSA) y los métodos para evaluar la exactitud y repetibilidad de un sistema de medición. Explica cómo crear gráficas Xbarra-R para monitorear la variación en tres máquinas y detectar puntos fuera de control. También cubre el cálculo de sesgo y linealidad para cuantificar la precisión de un sistema de medición en todo su rango de medición.

1. MODELOS DE
REGRESION
Ing. Jonathan Felix Guarachi Solano MsC. PhD.

2. Análisis del sistema de Medición (MSA)
Objetivo
• Medir el nivel actual de exactitud del sistema de
medición
• Saber si una medición es repetitiva y reproducible
Aplicaciones
• Identificar errores de medición
• Mejorar SOP (Proceso de operación)

3. Análisis del sistema de medición (MSA)
 MSA es un procedimiento
matemático para cuantificar la
variación inducida en un
proceso o producto por medio
del acto de medir.
 Cualquier acto de medición
tiene que contar con un
procedimiento para garantizar
la repetición y reproducción.
Procedimiento
Equipo
Referencia
Operador

4. Operadores x N° piezas x Repeticiones
(>= 2x) (>=5x) (>=2x) >=30

6. Ejemplo de Gráfica Xbarra-R
Un ingeniero especializado en calidad que trabaja en una planta de partes
automotrices monitorea la longitud de los árboles de levas. Tres máquinas
producen los árboles de levas en tres turnos cada día. El ingeniero mide cinco
árboles de levas de cada máquina durante cada turno. El ingeniero crea una
gráfica Xbarra-R para cada máquina para monitorear la longitud de los árboles
de levas.
1.Abra los datos de muestra, LongÁrbolLevas.MTW.
2.Elija Estadísticas > Gráficas de control > Gráficas de variables para
subgrupos > Xbarra-R.
3.En la lista desplegable, seleccione Todas las observaciones para una gráfica
están en una columna e ingrese Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3.
4.En Tamaños de los subgrupos, ingrese ID subgrupo.
5.Haga clic en Opciones de Xbarra-R.
6.En la ficha Pruebas, seleccione 1 punto > K desviaciones estándar desde la
línea central (Prueba 1), K puntos consecutivos en el mismo lado de la línea
central (Prueba 2) y K puntos consecutivos dentro de 1 desviación estándar de
la línea central (cualquier lado) (Prueba 7).
Si no está seguro de qué pruebas se aplican en su situación específica, utilice
las pruebas 1, 2 y 7 cuando establezca por primera vez los límites de control
con base en los datos. Después de establecer los límites de control, puede usar
los los valores conocidos de esos límites y la prueba 7 ya no es necesaria.

7. Interpretar los resultados
 Minitab crea tres gráficas Xbarra-R, una gráfica para cada máquina. El ingeniero
examina la gráfica R primero, porque si la gráfica R muestra que la variación del
proceso no está bajo control, entonces los límites de control en la gráfica Xbarra son
inexactos.
 Las gráficas R para las tres máquinas muestran que la variación del proceso está bajo
control. Ningún punto está fuera de control y todos los puntos se encuentran dentro de
los límites de control en un patrón aleatorio.
 Las gráficas Xbarra muestran que la máquina 2 está bajo control, pero las máquinas 1
y 3 no lo están. En la gráfica Xbarra de la máquina 2, ningún punto está fuera de
control. Sin embargo, la máquina 1 tiene un punto fuera de control y la máquina 3
tiene dos puntos fuera de control.

8. 19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
602
601
600
599
598
Muestra
Media
de
la
muestra
_
_
X=600.072
LCS=601.641
LCI=598.503
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
6.0
4.5
3.0
1.5
0.0
Muestra
Rango
de
la
muestra
_
R=2.72
LCS=5.751
LCI=0
1
Gráfica Xbarra-R de Máquina 1

9. 19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
600.5
600.0
599.5
599.0
Muestra
Media
de
la
muestra
_
_
X=599.548
LCS=600.332
LCI=598.764
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
3
2
1
0
Muestra
Rango
de
la
muestra
_
R=1.36
LCS=2.876
LCI=0
Gráfica Xbarra-R de Máquina 2

10. 19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
602
600
598
Muestra
Media
de
la
muestra
_
_
X=600.23
LCS=602.376
LCI=598.084
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
8
6
4
2
0
Muestra
Rango
de
la
muestra
_
R=3.72
LCS=7.866
LCI=0
1
1
Gráfica Xbarra-R de Máquina 3

11. Estabilidad y Sesgo
El sesgo y la linealidad evalúan la exactitud de un
sistema de medición.
Sesgo
El sesgo examina la diferencia entre la medición
promedio observada y un valor de referencia. El
sesgo indica cuál es la exactitud del sistema de
medición cuando se compara con un valor de
referencia.
Linealidad
La linealidad examina qué tan exactas son las
mediciones en todo el rango esperado de mediciones.
La linealidad indica si el sistema de medición
tiene la misma exactitud para todos los valores de
referencia.

12. Ejemplo de exactitud de un sistema de medición con sesgo y
linealidad
 Un fabricante desea saber si un termómetro indica mediciones exactas y consistentes
para cinco configuraciones de temperatura: 202°, 204°, 206°, 208° y 210°. Se toman
seis lecturas en cada configuración. Para determinar si el termómetro presenta sesgo,
reste las lecturas individuales al valor de referencia. Los valores del sesgo para las
mediciones tomadas en la configuración de calor 202° se calculan en la siguiente
tabla.
Medición Real Sesgo
202.7 202 0.7
202.5 202 0.5
203.2 202 1.2
203.0 202 1.0
203.1 202 1.1
203.3 202 1.3

13.  Las lecturas de temperatura para la configuración a 202° tienen un sesgo
positivo. El termómetro indica lecturas más altas que la temperatura
real.
 Para interpretar la linealidad de los datos del termómetro, determine si
el sesgo del termómetro cambia para las diferentes configuraciones de
calor. Si los datos no forman una línea horizontal en una gráfica de
dispersión, existe linealidad.
La gráfica de dispersión
muestra que el sesgo cambia a
medida que aumenta la
configuración de calor. Las
temperaturas de las
configuraciones de calor más
bajas son más altas que las
temperaturas reales, mientras
que las lecturas de las
configuraciones de calor más
elevadas son más bajas que las
temperaturas reales. El sesgo
cambia con las diferentes
configuraciones de calor, lo
que significa que existe
linealidad en estos datos.

14. Ejemplo de Estudio de linealidad y sesgo del sistema de
medición
Un ingeniero desea evaluar la linealidad y el sesgo de un sistema de
medición que se utiliza para medir diámetros internos de rodamientos.
El ingeniero selecciona cinco partes que representan el rango
esperado de mediciones. Cada parte se midió utilizando inspección
total para determinar su medición de referencia y luego un operador
midió cada parte de forma aleatoria 12 veces. El ingeniero realizó
previamente un estudio R&R cruzado del sistema de medición,
utilizando el método ANOVA, y determinó que la variación total del
estudio es 16.5368.
1.Abra los datos de muestra, DiámRodamientos.MTW.
2.Elija Estadísticas > Herramientas de calidad > Estudio del sistema
de medición > Estudio de linealidad y sesgo del sistema de medición.
3.En Números de partes, ingrese Parte.
4.En Valores de referencia, ingrese Referencia.
5.En Datos de medición, ingrese Respuesta.
6.En Variación del proceso, ingrese 16.5368.
7.Haga clic en Aceptar.

16. Interpretar los resultados
 El %Linealidad (valor absoluto de la pendiente *
100) es 13.2, lo que indica que la linealidad del
sistema de medición explica el 13% de la
variación general del proceso. El valor p de la
pendiente es 0.000, lo que indica que la
pendiente es significativa y que existe
linealidad en el sistema de medición.
 Puesto que la linealidad es significativa, el
ingeniero debe utilizar los valores individuales
de sesgo y no el valor promedio de sesgo general.
Los valores individuales de sesgo varían de 0.2 a
3.7, mientras que sus valores p varían de 0.000 a
0.688. Los valores de referencia 2, 8 y 10
presentan sesgo. Los valores de 4 y 6 no tienen

17. Máxima Verosimilitud
Estadísticas > Confiabilidad/supervivencia > Análisis de distribución (censura por la
derecha) > Análisis de distribución paramétrica > Estimar
Método de estimación
• Máxima verosimilitud: Estime los parámetros de la distribución maximizando
la función de probabilidad.
• Mínimos cuadrados (tiempo de falla(X) en el rango(Y)): Estime los
parámetros de la distribución ajustando una línea de regresión a los puntos de
una gráfica de probabilidad.

18. parámetros poblacionales de una muestra aleatoria son el método
de estimación de máxima verosimilitud (predeterminado) y el
método de estimación de mínimos cuadrados.
Método de la estimación de máxima verosimilitud (MLE)
La función de verosimilitud indica la probabilidad de que una
muestra observada dependa de los posibles valores de los
parámetros. Por lo tanto, cuando se maximiza la función de
verosimilitud se determina los parámetros que tienen mayor
probabilidad de producir los datos observados. Desde un punto
de vista estadístico, la MLE por lo general se recomienda para
muestras grandes debido a que es versátil, se puede aplicar a
la mayoría de los modelos y a diferentes tipos de datos y
produce las estimaciones más precisas.
Método de estimación de mínimos cuadrados (LSE)
Las estimaciones de los mínimos cuadrados se calculan mediante el
ajuste de una línea de regresión a los puntos de un conjunto
de datos que tiene la suma mínima de las desviaciones elevada
al cuadrado (error de mínimos cuadrados). En el análisis de
fiabilidad, la línea y los datos se representan en una gráfica
de probabilidad.

19. Para los conjuntos de datos grandes y completos, tanto el
método LSE como el método MLE ofrecen resultados consistentes.
En aplicaciones de fiabilidad, los conjuntos de datos suelen
ser pequeños o de tamaño moderado. Muchos estudios de
simulación han revelado que en diseños de muestras pequeñas
donde se producen pocas fallas, el método MLE es mejor que el
método LSE.1 Por lo tanto, el método de estimación
predeterminado en Minitab es el MLE.
Las ventajas del método MLE sobre el método LSE son las
siguientes:
Las estimaciones de los parámetros de distribución son más
precisas.
La varianza estimada es más pequeña.
Se pueden calcular intervalos de intervalos confianza y
pruebas para parámetros del modelo.
Los cálculos utilizan mayor cantidad de la información que
contienen los datos.

20. Por lo general, las ventajas del método MLE superan a las
ventajas del método LSE. El método LSE es más fácil de
calcular a mano y más fácil de programar. El método LSE
también está tradicionalmente asociado con el uso de las
gráficas de probabilidad para evaluar la bondad de
ajuste. Sin embargo, el método LSE puede proporcionar
resultados engañosos en una gráfica de probabilidad.
Existen ejemplos donde los puntos de una gráfica de
probabilidad de Weibull que utiliza el método LSE se
sitúan lo largo de una línea cuando en realidad el modelo
de Weibull es inapropiado.
1. Genschel, U. y Meeker, W.Q. (2010). A Comparison of
Maximum Likelihood and Median-Rank Regression for Weibull
Estimation. Quality Engineering, 22(4): 236–255.

21.  Las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros se calculan
maximizando la función de verosimilitud con respecto a los parámetros. La
función de verosimilitud describe, para cada conjunto de parámetros de
distribución, las probabilidades de que la distribución verdadera tenga
esos parámetros basados en los datos de la muestra.
 Minitab utiliza el algoritmo de Newton-Raphson1 para calcular las
estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros que definen la
distribución. El algoritmo de Newton-Raphson es un método recursivo para
calcular el máximo de una función. Todas las funciones resultantes, tales
como los percentiles y las probabilidades de supervivencia, se calculan a
partir de esa distribución.
 NOTA
 Para algunos datos, la función de verosimilitud no tiene bordes y, por lo
tanto, genera estimaciones poco uniformes para distribuciones con un
parámetro umbral (como las distribuciones exponencial de 2 parámetros,
Weibull de 3 parámetros, lognormal de 3 parámetros y loglogística de 3
parámetros). En estos casos, el método usual de estimación de máxima
verosimilitud pudiera fracasar. Cuando esto sucede, Minitab presupone un
parámetro de valor umbral fijo utilizando un algoritmo de corrección de
sesgo y halla las estimaciones de máxima verosimilitud de los otros dos
parámetros. Para obtener más información, vea las referencias 2, 3, 4 y 5.
 W. Murray, Ed. (1972). Numerical Methods for Unconstrained Optimization, Academic Press.
 F. Giesbrecht y A.H. Kempthorne (1966). "Maximum Likelihood Estimation in the Three-
parameter Lognormal Distribution", Journal of the Royal Statistical Society, B 38, 257-264.
 H.L. Harter y A.H. Moore (1966). "Local Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of
the Three-parameter Lognormal Populations from Completed and Censored Samples", Journal of
the American Statistical Association, 61, 842-851.
 R.A. Lockhart y M.A. Stephens (1994). "Estimation and Tests of Fit for the Three-parameter

22. Las estimaciones de los mínimos cuadrados se calculan
mediante el ajuste de una línea de regresión a los puntos
en una gráfica de probabilidad de un conjunto de datos
que tiene la suma mínima de las desviaciones elevada al
cuadrado (error de mínimos cuadrados). La línea se forma
haciendo una regresión del tiempo para fallar o del
logaritmo del tiempo para fallar (X) al porcentaje
transformado (Y).
https://support.minitab.com/

23. Según Searle (1995), el método de máxima verosimilitud fue
desarrollado por Fisher en el año 1920, parece haber sido
aplicado primero para la estimación de componentes de
varianza. En este y en casi todas las presentaciones
posteriores de este tema, la normalidad se asume para los
términos del error y todos los efectos aleatorios, la
normalidad con media cero, varianza homogénea de todos los
efectos aleatorios relacionados con cada factor, y todas
las covarianzas cero.
Wackerly et al. (2002), plantean que el método de máxima
verosimilitud, elige como estimaciones los valores de los
parámetros que maximizan la verosimilitud (función de
probabilidad conjunta o la función de densidad conjunta)
de la muestra observada. Estos estimadores son
consistentes y si se les ajusta para que sean insesgados,
a menudo proporcionan estimadores insesgados de varianza
mínima. Como estos estimadores poseen buenas propiedades,

24. Sean las variables aleatorias 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 las cuales
constituyen una muestra aleatoria de una distribución
discreta o continua, cuya función de probabilidad o función
de densidad de probabilidad es 𝑓(𝑿/θ), donde el parámetro θ
pertenece a un espacio paramétrico Ω. Así mismo, θ puede ser
un parámetro real o un vector de parámetros. Si para
cualquier vector observado 𝑥=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) de la muestra, se
define la función de probabilidad,
𝐿 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛: θ = 𝑓 𝑥1, θ × 𝑓 𝑥2, θ × ⋯ × 𝑓(𝑥𝑛, θ)
entonces el estimador Máxima Verosimilitud de θ, denotado
por 𝜃 , basado en la muestra aleatoria 𝑥=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) es el
valor de θ que maximiza a 𝐿(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛:𝜽), donde 𝐿(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛:𝜽
) se le denomina “Función de Verosimilitud”.

25. Los estimadores de máxima verosimilitud de θ y de
V (G y R), según Medina (2007), son obtenidos
mediante la maximización de la función normal de
verosimilitud
𝑙 𝜃 = 𝑙 𝐺𝑦𝑅 = −
1
2
𝑙𝑛 𝑉 −
𝑁
2
𝑙𝑛 𝑒𝑡𝑉−1𝑒 −
𝑁
2
1 + ln
2𝜋
𝑁
donde:
𝑒̂=𝒀−[𝑿(𝑿𝒕𝑽−𝟏𝑿)−𝟏](𝑿𝒕𝑽−𝟏𝒀)
con respecto a estos parámetros.