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Herramientas de Calidad
GRAFICAS DE CONTROL

Logro Aprendizaje
-El estudiante logrará entender la aplicación
de las principales graficas de control: X ,R,
S

Introducción
Un gráfico de control es un diagrama especialmente preparado donde
se van anotando los valores sucesivos de la característica de calidad
que se está controlando.
Los datos se registran durante el funcionamiento del proceso de
fabricación y a medida que se obtienen.
Las graficas de control se utilizan en la industria como técnica de
diagnósticos para supervisar procesos de producción e identificar
inestabilidad y circunstancias anormales.

Objetivo General
Todo grafico de control
esta diseñado para
presentar los siguientes
principios:
• Fácil de
entendimiento de
los datos
• Claridad
• Consistencia
• Medir variaciones
de calidad

Objetivo Específico
• Proceso de prevención para evitar que el
producto llegue sin defectos al cliente.
• Detectar y corregir variaciones de calidad

Gráficas de control
Estabilizar los procesos (lograr control estadístico)
mediante la identificación y eliminación de causas
especiales
Mejorar el proceso mismo, reduciendo la variación debida
a causas comunes
Monitorear el proceso para asegurar que las
mejoras se mantienen y detectar oportunidades
adicionales de mejora
Se especializan en estudiar la variabilidad a través del tiempo
A través de tres actividades:

Graficas de
Control
Procesos
Manufactureros
Líneas de Ensamble
Torneado de piezas
Maquinas
Empacadoras
Empresas de
Servicios
Hotel: Hora de Salida
de los huéspedes ; #
reclamos
Hospital: Exactitud en
la atención; Entrega de
medicamentos
Ambulancia: Tiempo de
respuesta

Como esta conformado un grafico
de control
Escala vertical (y)
• Valores de la característica bajo control. Ej: acidez, humedad, temperatura
Escala horizontal (x)
• Indica el comportamiento. Ej. Hora, turno, día
Línea central
• Indica el promedio histórico de la característica que se está controlando.
Limites de control
• LCS, LCI que estarán equidistantes a la línea central, que calculado con
datos históricos presentan los rangos máximos y mínimos de variabilidad.
Puntos interiores
• Corresponden cronológicamente al valor de la variable bajo control, de
muestras tomadas del proceso, según la frecuencia de muestreo fijada

GRÁFICAS DE CONTROL
x

 ˆ
3
ˆ 
x

 ˆ
3
ˆ 
̂
Dónde el tiempo representa la muestra o subgrupo

Definición de Términos
Subgrupos
Grupo de mediciones con algún criterio similar obtenidas de un
proceso.
Se realizan agrupando los datos de manera que haya máxima
variabilidad entre subgrupo y mínima variabilidad dentro de cada
subgrupo.
Por ejemplo, si hay cuatro turnos de trabajo en un día, las mediciones de
cada turno podrían constituir un subgrupo.
Media
Sumatoria de todos los subgrupos divididos entre el numero de
muestras
Rango
Valor máximo menos el valor mínimo

Definición de Términos
• Límites de especificación: dependen del
diseño o del cliente.
• Límites de control: los determina el proceso.

Elección de la variable
La variable que se elija para los gráficos de control X y
R , tiene que ser una magnitud que pueda medirse y
expresarse con números, tal como la dimensión, el
grado de dureza, resistencia a la tracción, peso, etc.
De manera que la cifra obtenida sea medida de la
calidad del producto a la importancia deseada, son
especialmente adecuados para operaciones,
mecanizadas y de fabricación de continua.

Elección del criterio de Formación de
subgrupos
• Los subgrupos deberían elegirse de forma que fueran lo más
homogéneo posible, y que de uno a otro permitieran la máxima
variación.
• Un subgrupo debe estar formado por elementos que estén
fabricados lo más cercanos posible en el tiempo. El siguiente
subgrupo, por elementos fabricados posteriormente también en un
corto espacio de tiempo, y así sucesivamente; en especial, cuando
el principal objetivo de estos gráficos es detectar los cambios de la
media del proceso.
• Con este esquema de formación de subgrupos, a veces es
aconsejable que el intervalo de toma de muestras varié un poco
con respecto al tiempo estipulado y que esta variación no sea
predecible por el operario. En cualquier caso , es mejor que el
operario no pueda saber cuáles serán los elementos que integrarán
la muestra que se va inspeccionar.
• El criterio más racional es aquel que se basa en el orden en que se
ha seguido la producción.

Elección de Tamaño y frecuencia de
los Subgrupos
• Shewhart sugirió que 4 elementos era el tamaño ideal
de los subgrupos
• Se debe seleccionar subgrupos que la variación entre
ellos sea mínima , es conveniente que estos subgrupos
sean lo más pequeños posible.
• Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, mas
estrechos son limites de control y más fácil resulta
detectar pequeñas variaciones. Pero para este caso se
utilizan otros gráficos utilizando la desviación
• Es conveniente que los limites de control se establezcan
en base, a, por lo menos 25 subgrupos. Además, la
experiencia indica que cuando se inicia un grafico de
control, los primeros subgrupos pueden ser no
representativos de lo que se mida posteriormente

Muestra y muestreo para el GC
Selección de
la muestra
Frecuencia
de
muestreo
Tamaño
del
subgrupo

Razones para utilizar las cartas
de control
Es una técnica probada en escenarios reales.
Mejora la productividad, reduce el desperdicio y el reproceso
Son efectivas para prevenir defectos manteniendo el proceso
dentro de las condiciones establecidas
Previenen el ajuste innecesario del proceso ya que diferencia las
variables producidas por causas comunes de las especiales
Proporciona información de diagnostico al convertir el patrón de
puntos en un “disparador” de acciones de cambio de proceso
Reduce el muestreo
Mantiene informado al grupo responsable del proceso mediante un
lenguaje común y sencillo

GRÁFICAS PARA VARIABLES
 
S
x 
 
R
x 

GRÁFICA DE MEDIAS Y RANGOS
 
R
x 

Utilidad
• Los gráficos X-R se utilizan cuando la característica
de calidad que se desea controlar es una variable
continua.

Gráficos X - R
Se utilizan cuando la característica de calidad que se
desea controlar es una variable continua.
Se requieren N muestras ( Subgrupos) de tamaño n.
• Ejemplo: fábrica que produce piezas cilíndricas de
madera. La característica de calidad que se desea
controlar es el diámetro.
Hay dos maneras de obtener los subgrupos. Una de
ellas es retirar varias piezas juntas a intervalos regulares,
por ejemplo cada hora:

Proceso
7:00
Muestra de
6 Piezas

Proceso
8:00
Muestra de
6 Piezas

La otra forma es retirar piezas individuales a lo
largo del intervalo de tiempo correspondiente
al subgrupo.

Paso 1: Recolección de Datos
 Estos datos deberán ser recientes de un proceso al cual se quiere
controlar
 Estos pueden ser tomados
 Diferentes horas del día
 Diferentes días
 Todos tienen que ser de un mismo producto.

Paso 2: Promedio
 Sumatoria de los datos
de cada uno de los
subgrupos dividido entre
el numero de datos (n).
 Formula X
∑X1 + X2 + X3 + Xn
n
 La formula debe ser
utilizada para cada uno
de los subgrupos

Paso 3: Rango
 Valor mayor del subgrupo
menos el valor menor.
 Formula
R = X valor mayor –X valor menor
 Determine el rango para cada
uno de los subgrupos

Paso 4: Promedio Global
 Sumatoria de todos
los valores medios y
se divide entre el
número de subgrupos
(k).
 Formula X’
 ∑X1 + X2 + X3 +…+ Xn
k

Paso 5: Valor Medio del Rango
 Sumatoria del
rango (R) de cada
uno de los
subgrupos divido
entre el numero de
subgrupos (k).
 Formula R’
∑R1 + R2 + R3 + …. +
Rn
k

Paso 6: Lìmites de Control
Para calcular los limites de control se utilizan los datos de la
siguiente tabla
Observacion
es en la
muestra, n
Carta para
promedios
Carta para
desviaciones
estándar
carta para rangos
Factores para
límites de
control
Factores para
línea central
Factores para límites
de control
A2 A3 c4 1 /c4 d3 D3 D4
2 1.880 2.659 0.7979 1.2533 0.853 0 3.267
3 1.023 1.954 0.8862 1.1284 0.888 0 2.574
4 0.729 1.628 0.9213 1.0854 0.880 0 2.282
5 0.577 1.427 0.9400 1.0638 0.864 0 2.114
6 0.483 1.287 0.9515 1.0510 0.848 0 2.004
7 0.419 1.182 0.9594 1.0423 0.833 0.076 1.924
8 0.373 1.099 0.9650 1.0363 0.820 0.136 1.864
9 0.337 1.032 0.9693 1.0317 0.808 0.184 1.816
10 0.308 0.975 0.9727 1.0281 0.797 0.223 1.777

Cartas X
Cartas R
R
D
LCI
R
central
Linea
R
D
LCS
3
4



Calculo de limites de control
n
LCI
central
Linea
n
LCS





3
3




 Cuando se conoce la
media y desviación
del proceso

• = se puede obtener a partir de los datos
recopilados, pero generalmente se obtiene
de la información proporcionada por la
gráfica de un proceso bajo control.
2
ˆ
d
R


GRÁFICAS DE MEDIAS Y RANGOS

Gráfica X
• Utilizando los datos de X’ de la tabla se
contruye la gráfica

Gráfica R
• Utilizando los valores del rango (R) de la
tabla de datos se construye la gráfica de R

• Si la gráfica de rangos está bajo control, la dispersión
del proceso está estable y por lo tanto se puede
analizar la gráfica de los promedios; los límites de
control de esta gráfica se basan en la cantidad de
variación de los rangos. Con la gráfica de medias se
determina si el centro del proceso está cambiando
con el tiempo y si ese es el caso, entonces existen
causas especiales de variación que están
ocasionando esos problemas.
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICA DE
MEDIAS

GRÁFICA DE MEDIAS Y DESVIACIÓN
ESTÁNDAR
 
S
x 

1. Defina cuál será la característica de la
calidad: Otorgar la máxima prioridad a
aquellas variables o características medibles y
expresables mediante números y que causen
problemas en producción o costos.
2. Escoja el subgrupo racional: Los elementos
que conformen cada subgrupo deberán de
haberse producido básicamente dentro de las
mismas condiciones.
PROCEDIMIENTO PARA ELABORAR
UNA GRÁFICA X - S

3. Recolectar los datos: Recoger información de
25 subgrupos con más de 10 datos en cada
subgrupo. Regístrelos en una hoja de datos.
4. Calcular los promedios para cada subgrupo
5. Calcular : dividiendo el total de los
promedios de cada subgrupo por el número de
subgrupos.
UNA GRÁFICA X - S

x

6. Calcular S: Calcular la desviación estándar de
cada subgrupo.
7. Calcular : dividiendo el total de las S de
cada subgrupo por el número de subgrupos.
PROCEDIMIENTO PARA ELABORAR UNA
GRÁFICA X - S
1
)
(
1
2





n
x
x
S
n
i
i
S

8. Calcular las líneas de control:
Calcular cada una de las líneas de
control para la gráfica y la gráfica S
con las siguientes fórmulas:
GRÁFICA X - S
x

• Gráfica S:
• Línea central:
• Límite superior de control:
• Límite inferior de control:
Nota importante: En estas gráficas de control la
desviación estándar se estima con la expresión
GRÁFICA X - S
S
LC 
S
B
LSC 4

S
B
LIC 3

4
c
S

4
4
4
1
3
4
1
3
c
c
S
S
LCI
S
central
Linea
c
c
S
S
LCS







Calculo de limites de control
Carta S
Grafico de control de X-S
n
c
S
X
LCI
X
central
Linea
n
c
S
X
LCS
4
3
4
3





Carta X

9. Dibujar las líneas de control: Preparar una hoja de papel
cuadriculado; dividirla en dos partes iguales para las dos
gráficas, colocando en la parte inferior la de desviaciones
estándar y en la parte superior la de medias; marcar cada eje
vertical de la izquierda con los valores de las media y de las
desviaciones estándar, según sea el caso, y el eje horizontal
con los números de los subgrupos. Dibuje una línea sólida
para la línea central y una línea punteada para los límites.
UNA GRÁFICA X - S

10. Localizar los puntos: Registrar los valores
de la media y de la desviación estándar de
cada subgrupo, por partes, según el
número del subgrupo.
11. Registrar los datos que puedan ser de
utilidad: Escriba el tamaño del subgrupo
(n) en el extremo superior izquierdo de la
gráfica de medias.
GRÁFICA X - S

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICA S
• Primero se debe analizar esta gráfica, ya que si
no está bajo control estadístico los límites de la
gráfica de medias no tendrán sentido.
• En caso de que no este bajo control estadístico,
se deberán encontrar las causas especiales de
variación y eliminar los puntos fuera de control y
recalcular los límites.

• Se deben verificar las ocho pruebas
• Verificar que no se presente ningún
patrón.
• Datos normales.
PARA AMBAS GRÁFICAS

Inestabilidad
Tipos de comportamiento anormal en los GC
Posibles causas:
Instrumentación con fallas
Problemas de entrenamiento en operarios
Cambios en métodos
Mezclas de lotes de MP
Cambios de materiales o repuestos
Desajustes mecánicos
Falta de cuidado en la operación
Problemas de muestreo
El arrancar o apagar la maquina
El proceso no esta controlado
Sobre control o ajustes innecesarios en el
proceso
Control de dos o mas proceso en la misma
carta
Grandes variaciones, puntos erráticos
arriba y debajo de la línea central
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
1
4
7
1
0
1
3
1
6
1
9
2
2
2
5
2
8
Subgrupo
X

Ciclos
Posibles causas:
- Condiciones ambientales
cíclicas
- Fatiga del operador
- Diferentes métodos entre
turnos
- Diferentes procesos de
muestreo
- Mantenimiento de equipos
- Rotación regular de máquinas
u operarios
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
1
4
7
1
0
1
3
1
6
1
9
2
2
2
5
2
8
Subgrupo
X
Patrón de fluctuación no aleatorio,
tendencias ascendentes y
descendentes de pocos datos y en
forma recurrente repitiéndose varias
veces

Estratificaciones
Posibles causas:
- Fallas en el muestreo
- Fallas en los análisis
realizados
- Limites de control mal
calculados
- Mezcla de materias primas
- “manipulación” de los
resultados
Los puntos se agrupan alrededor de la
línea central, se caracteriza por un
aparente control, pero es realmente una
estabilidad artificial
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28
Subgrupo
X

Secuencias
Posibles causas:
- Cambios en las proporciones de
las MP
- Programa de mantenimiento
- Instrumentación con fallas
- Entrenamiento de los operarios
- Cambio de método, MP,
materiales y/o repuestos
- Desajustes mecánicos
- Cambio en el instrumento a
medir
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
1
4
7
1
0
1
3
1
6
1
9
2
2
2
5
2
8
Subgrupo
X
Tendencia del proceso a dar valores a un
solo lado de la linea central. El numero de
puntos se denomina longitud de racha

Resumen de criterio tipo de Causa Especial
A
• 1 punto con mas de3 desviaciones estimadas de la línea central
B
• 7 puntos en fila en el mismo lado de la línea central
C
• 6 puntos en fila todos incrementando o decreciendo
D
• 14 puntos en fila, alternando arriba, abajo
E
• 2 de 3 puntos fuera mayor a 2 desv. est. de la línea central (al mismo lado)
F • 4 de 5 puntos fuera mayor a 1 desv. est. de la línea central (al mismo lado)
G
• 15 puntos en fila dentro de una desv. est. de la línea central hacia cualquier lado
H
• 8 puntos en fila mayor a 1 desv. et. de la línea central (cualquier lado)
Nota: En esta tabla “desviación estándar” se refiere a la desviación estándar usada en los cálculos de los limites de
control

Criterios de causas especiales
• Ocho o mas puntos caen de un
solo lado de la línea central
Posibles causas:
 La introducción de nuevos
trabajadores, máquinas,
materiales o métodos.
 Cambios en el método de
inspección
 Mayor o menor atención de los
empleados
• Seis o mas puntos consecutivos
ascendentes (o descendentes)
• Un movimiento de puntos hacia
arriba (o hacia abajo), aunque no
todos los puntos en ascenso
Posibles causas:
• El deterioro o desajuste del equipo
• Desgaste de las herramientas
• Acumulación de desperdicios
• Calentamiento de las máquinas

Índice de inestabilidad
Proceso inestable, proceso fuera de control
estadístico, cuando los puntos están fuera de sus
límites o siguen un patrón no aleatorio
100


puntos
de
total
número
especiales
puntos
de
número
St

Para recordar
1
Las causas
asignables de
variación deben
ser eliminadas
antes de poder
emplear el grafico
de control como
herramienta de
monitoreo
2
Las
especificaciones
representan lo
que se cree
necesario y los
limites de control
representan lo
que el proceso
puede ejecutar
consistentemente
3
Controlar
simultáneamente
el centramiento y
la dispersión de la
variable.
Para control de
dispersión:
grafica R o S
Para control de
centramiento:
grafico X
En un proceso bajo control y capaz los limites de especificación están mas
alejados del promedio que los limites de control

Supongamos que tenemos una máquina inyectora que produce
piezas de plástico, por ejemplo de PVC. Una característica de
calidad importante es el peso de la pieza de plástico, porque
indica la cantidad de PVC que la máquina inyectó en la matriz. Si
la cantidad de PVC es poca la pieza de plástico será deficiente;
si la cantidad es excesiva, la producción se encarece porque se
consume más materia prima. Entonces, en el lugar de salida de
las piezas, hay un operario que cada 30 minutos toma una, la
pesa en una balanza y registra la observación:
CASO PRÁCTICO

20 muestras de n = 8 han sido tomadas en el proceso. La media del
rango para las 20 muestras es de 0,016 gr y la media de las medias de
las muestras 3 gr.
Determinar los límites de control para este proceso.
x = 3 gr R = 0,016 gr n = 8: A2 = 0,37 D4= 1.564 D3=0.136
gr
x
LC 3


gr
R
A
x
LSC 006
.
3
)
016
.
0
*
37
.
0
(
3
2 




gr
R
A
x
LSC 994
.
2
)
016
.
0
*
37
.
0
(
3
2 




gr
R
LC 016
.
0


gr
R
D
LSC 029
.
0
016
.
0
*
864
.
1
4 


Gráficos de Rango
gr
R
D
LSC 0022
.
0
016
.
0
*
136
.
0
3 


Gráfico de Medias

Ejemplo GC para X-S
En la elaboración de envases de plástico, para la cual se
tiene el peso como criterio de calidad, el cual debe estar
entre 28 ± 0.5 g Cada media hora se toma un subgrupo
de 10m preformas y se pesan. Las medias y las
desviaciones de los últimos 20 subgrupos se adjuntan a
continuación.
Medias
28.048 28.042 27.985 27.968 28.044 28.162 27.981
27.985 28.024 27.973 28.021 28.026 28.004 27.993
27.949 28.028 27.99 28.004 27.997 28.014
Desviaciones estándar
0.1343 0.1596 0.0846 0.0868 0.1086 0.1029 0.1241
0.1010 0.0924 0.1049 0.1157 0.1127 0.0841 0.1090
0.1285 0.1116 0.0927 0.1691 0.1083 0.1031

Los límites se muestran en la carta correspondiente, y se
obtuvieron considerando que la media de las medias fue
igual a 28.01, la media de las desviaciones estándar fue
igual a 0.1117 y del apéndice se obtiene que para n = 10,
la constante c4 = 0.9727. Así, al aplicar las fórmulas indicadas antes se
obtienen los límites que se muestran en la fi gura . Además, se obtiene
la desviación estándar
del proceso σˆ = 0.1117/0.9727 = 0.1148. De la carta X
Se observa que la media del subgrupo 6 fue mayor que el
límite de control superior, lo cual indica que cuando se
obtuvieron los datos de ese subgrupo el proceso estaba
operando con una causa especial de variación, que provocó
un desplazamiento del promedio del proceso

No se sabe de qué magnitud fue ese desplazamiento,
puesto que sólo se han obtenido 10 datos, pero existe una
alta seguridad de que durante ese momento se desplazó la
media del proceso. El comportamiento del proceso en los
subsecuentes subgrupos muestra que, al parecer, esa
causa especial dejó de actuar. En cuanto a la carta S, no
se muestra ningún punto fuera de sus límites, ni algún
patrón especial, por lo que la magnitud de la variación del
proceso se mantuvo durante este tiempo.

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