Este documento trata sobre los tipos de errores y series de Taylor en los cálculos numéricos. Explica que los resultados de los cálculos numéricos dependen de la precisión de los datos de entrada y de cómo se representan los números en la computadora, lo que puede dar lugar a errores de truncamiento o redondeo. También describe cómo las computadoras representan los números reales usando el sistema de aritmética de punto flotante, el cual introduce aproximaciones que generan imprecisiones.

1. Tipos de Errores y series
de Taylor
MSC. ANA ROCÍO CÁRDENAS MAITA

2. Repaso - Ejemplo
Predicción
del clima
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3. Repaso - Ejemplo
Predicción
del clima
Medición diaria de
temperatura, humedad,
precipitación, radiación, etc.
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4. Repaso - Ejemplo
Predicción
del clima
Medición diaria de
temperatura, humedad,
precipitación, radiación, etc.
4

5. Repaso - Ejemplo
Predicción
del clima
Medición diaria de
temperatura, humedad,
precipitación, radiación, etc.
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6. Repaso - Ejemplo
Predicción
del clima
Medición diaria de
temperatura, humedad,
precipitación, radiación, etc.
• Resultados dependen
• Precisión de los
datos de entrada
• Forma de
representar los
datos en la
computadora
• Operaciones
numéricas
efectuadas
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7. Representación de números en la
computadora
Representación binaria con 6
dígitos significativos (mantisa)
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8. Representación de números en la
computadora
Representación binaria con 6
dígitos significativos (mantisa)
Representación decimal con 6
dígitos significativos (mantisa)
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9. Aritmética del punto flotante
Una computadora o calculadora representa un número real en el sistema denominado:
Aritmética de Punto Flotante. En este sistema, el número r será representado de la forma:
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10. Aritmética del punto flotante
oEn cualquier máquina, sólo un subconjunto de los números reales es representado
exactamente, y por lo tanto, la representación de un número real será realizada a través de
truncamiento o de redondeo.
oEjemplo:
o Considere una máquina que opera en el sistema:
o Los números serán representados de la siguiente forma en ese sistema:
o El menor número, en valor absoluto, representado en esa máquina es:
o Y el mayor número, en valor absoluto, representado en esa máquina es:
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11. Recuerda!
Truncamiento:
Dejamos el número de decimales deseado, quitando los demás.
Redondeo:
La cifra que redondeamos aumenta en uno si la primera cifra suprimida es
mayor o igual que 5. En otro caso no varía.
Ejemplo:
3,4578 con dos decimales se aproxima como 3,45 mediante truncamiento,
y 3,46 mediante redondeo.
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12. Aritmética del punto flotante
Dado un número real x tal que , puede ocurrir:
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Truncamiento Redondeo
UNDERFLOW
No es posible
representar en
esta máquina
OVERFLOW
No es posible
representar en
esta máquina
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13. Aritmética del punto flotante
Dado un número real x tal que , puede ocurrir:
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Truncamiento Redondeo
UNDERFLOW
No es posible
representar en
esta máquina
OVERFLOW
No es posible
representar en
esta máquina
Algunos lenguajes de programación
permiten que las variables sean
declaradas con precisión doble. En este
caso esta variable será representada en
el sistema de aritmética de punto
flotante de máquina, mas con
aproximadamente el doble de dígitos
disponibles en la mantisa.
Es importante observar que, en este
caso, el tiempo de ejecución y
requerimientos de memoria aumentan
de forma significativa.
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14. Ejemplo: dar representación para un sistema de aritmética de
punto flotante de 3 dígitos para
x Representación obtenida por
redondeo
Representación obtenida por
truncamiento
1.25
10.053
-238.15
2.71828…
0.000007
718235.82
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15. El CERO en punto flotante
En general representado con el menor exponente posible de la máquina.
OJO! Representar el CERO por una mantisa nula y un exponente cualquiera para la base β puede
acarrear perdida de dígitos significativos en el resultado de adición de este CERO a otro número.
Ejemplo: En una máquina que opera en la base 10 con 4 dígitos en mantisa
Son perdidos dos dígitos de valor exacto para y
Esto se debe a la forma como es efectuada la adición en punto flotante
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16. Definiciones importantes
CIFRAS SIGNIFICATIVAS:
◦ Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con
confianza.
◦ Ejemplo un vehículo que viaja aproximadamente a 49 km/h
◦ El concepto de cifras significativas se usa para designar formalmente confiabilidad de un valor numérico, es
decir las cifras significativas son aquellas que pueden usarse de forma confiable.
◦ Importancia: los métodos numéricos dan resultados aproximados, por tanto el número de cifras significativas
es un criterio para especificar qué tan confiables son dichos resultados.
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17. Definiciones importantes
EXACTITUD Y PRECISIÓN:
◦ La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o
medido del valor verdadero.
◦ La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como
una desviación sistemática del valor verdadero.
◦ La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de
otros, diversos valores calculados o medidos.
◦ La imprecisión (también llamada incertidumbre), por otro
lado, se refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos.
◦ Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o
sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular.
◦ También deben ser suficientemente precisos para ser adecuados
en el diseño.
◦ El término error se usa para representar tanto la inexactitud
como la imprecisión en las predicciones
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18. Errores de redondeo y truncamiento
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y
cantidades matemáticas exactas
ERRORES DE REDONDEO:
◦ Se deben a que la computadora tan sólo representa cantidades con un número finito de dígitos.
◦ Es la omisión del resto de cifras significativas cuando las computadoras no pueden representar con
exactitud un número. Ejemplo: π = 3.141592653589793238462643...
ERRORES DE TRUNCAMIENTO:
◦ Resultan de que los métodos numéricos emplean aproximaciones para representar operaciones y
cantidades matemáticas exactas.
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19. Errores absoluto y relativo
ERROR ABSOLUTO:
◦ Diferencia entre el valor exacto de un número x y su valor aproximado
◦ En general, solo el valor de se conoce, y en este caso es imposible obtener el valor exacto del error
absoluto. Lo que se hace es obtener la limitante superior o una estimación para el módulo del error
absoluto.
◦ Ejemplo:
◦ Sabiendo que π ϵ (3.14, 3.5) tomaremos para π um valor dentro de este intervalo, entonces tendríamos
◦ Sea um número x representado por de tal forma que osea
◦ Y sea um número y representado por de tal forma que osea
◦ Los limitantes superiores para los errores absolutos son los mismos
◦ Podemos decir quye ambos números están representados com la misma precisión?
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20. Errores absoluto y relativo
ERROR ABSOLUTO:
◦ Diferencia entre el valor exacto de un número x y su valor aproximado
◦ En general, solo el valor de se conoce, y en este caso es imposible obtener el valor exacto del error
absoluto. Lo que se hace es obtener la limitante superior o una estimación para el módulo del error
absoluto.
◦ Ejemplo:
◦ Sabiendo que π ϵ (3.14, 3.5) tomaremos para π um valor dentro de este intervalo, entonces tendríamos
◦ Sea um número x representado por de tal forma que osea
◦ Y sea um número y representado por de tal forma que osea
◦ Los limitantes superiores para los errores absolutos son los mismos
◦ Podemos decir que ambos números están representados com la misma precisión?
◦ Necesitamos comparar el orden de magnitud de x y y. Hecho esto es fácil concluir que el primer resultado es más
preciso que el segundo, pues x es de mayor orden de grandeza que y.
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21. Errores absoluto y relativo
ERROR RELATIVO
◦ Es definido como el error absoluto dividido por el valor aproximado:
◦ Para el ejemplo anterior tenemos:
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22. Errores absoluto y relativo
ERROR RELATIVO
◦ Es definido como el error absoluto dividido por el valor aproximado:
◦ Para el ejemplo anterior tenemos:
◦ Entonces: el número x es representado con mayor precisión que el número y.
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OJO! Un número exactamente
representados si su error relativo es cero.

23. Actividad
1. Cómo es la representación en la máquina de los números (Signo, Mantisa, Magnitud)?
Coloque 2 ejemplos para números decimales.
2. Qué es el épsilon de la máquina y cuál es su efectividad para caracterizar los errores en un
sistema numérico?
Realizar los ejercicio A MANO en una hoja de papel y subir una foto en el formulario:
https://forms.gle/qRa4a1VwaJ6D75647
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