Este documento resume conceptos clave del cálculo numérico y manejo de errores. Explica que el cálculo numérico utiliza algoritmos y números para simular procesos matemáticos complejos. Describe diferentes tipos de errores como el error absoluto y el error relativo, así como fuentes básicas de errores como el error de truncamiento y redondeo. Finalmente, define conceptos como estabilidad e inestabilidad en el contexto del análisis numérico.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
CABUDARE – EDO. LARA
Cálculo Numérico y Manejos de Errores
Alumno: Brayan Briceno
C.I.: 23.833486

2. Análisis numérico o Cálculo numérico
Es la rama de las matemáticas que encargada de diseñar algoritmos para, a través
de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más
complejos aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos,
pero en última instancia operan con números binarios y operaciones
matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo
el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos
susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan
su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como
solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos"
(manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos
de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son
procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto
favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no
sea completa.
Tipos de errores en una medicion
Error absoluto
El error absoluto de una medida (εa) es la diferencia entre el valor real de la
medida (X) y el valor que se ha obtenido en la medición (Xi).
εa=X−Xi
El error absoluto puede ser un valor positivo o negativo, según si la medida es superior
al valor real o inferior y además tiene las mismas unidades que las de la medida.
Cálculo del error absoluto
Para calcular el error absoluto de una medida es imprescindible conocer en primer
lugar qué valor se considera como real. Por norma general ese valor es la media de

3. los valores obtenidos al realizar un número n de mediciones en las mismas
condiciones.
Para qué sirve el error absoluto?
El error absoluto es un indicador de la imprecisión que tiene una determinada media.
De hecho, cuando se proporciona el resultado de una medida suele venir acompañada
de dicha imprecisión.
Ejemplo: Imagina que al medir un determinado objeto con un instrumento
de precisión ± 1 cm obtenemos el valor de 23.5 cm. Si adicionalmente sabemos que la
imprecisión absoluta de esa medida es 0.2 cm, entonces el resultado de esa medición
se representa como: 23.5 cm ± 0.2 cm donde el valor real de la magnitud queda
incluida en el intervalo 23.3 cm <= 23.5 cm <= 23.7 cm.
Error relativo
Es el cociente entre el error absoluto y el valor que consideramos como exacto (la
media). Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo porque puede se
puede producir por exceso o por defecto y al contrario que él no viene acompañado
de unidades.
εr=εaX
De igual forma, se puede multiplicar por 100 obteniéndose así el tanto por ciento (%)
de error.
εr=εaX⋅100 %
Como ejemplo podemos calcular el error relativo sobre nuestro ejemplo. De esta
forma obtenemos que:
εr=
9.625⋅10−3
3.4875
⋅100 % = 0.27 %
Para qué sirve el error relativo?
El error relativo tiene la misión de servir de indicador de la calidad de una medida.
Para entender este concepto utilizaremos otro ejemplo. Imagina que se comete un

4. error absoluto de 1 metro al medir una finca de 200 metros y otra de 3000. Si
calculamos los errores relativos en ambas mediciones tenemos que son 1/200 y
1/3000.
Fuentes Básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender
la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan
los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error
de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática
del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener
modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento).
Redondeo
Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir
de su representación decimal, para obtener un valor aproximado.
Reglas de Redondeo
Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal,
podemos dar una aproximación de ese número de menos cifras de dos formas:
 Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π =
3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415
 Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la
última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o
igual que 5. Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas
tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En
general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor
Truncamiento
En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado
para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los
menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288

5. 6,3444444444444
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la
derecha de la coma decimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el
redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos,
meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser
hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.
Errores De Una Suma Y Una Resta
Cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la maquina,
queremos ver estos errores se acumulan durante el proceso. En ejercicios
prácticos muchas computadoras realizan operaciones aritméticas en registros
especiales que mas bits que los números de las maquinas usuales. Estos bits
extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional.
Estabilidad e Inestabilidad
En el subcampo matemático del análisis numérico, la estabilidad numérica es una
propiedad de los algoritmos numéricos. Describe cómo los errores en los datos de
entrada se propagan a través del algoritmo. En un método estable, los errores debidos
a las aproximaciones se atenúan a medida que la computación procede. En un método
inestable, cualquier error en el procesamiento se magnifica conforme el cálculo
procede. Métodos inestables generan rápidamente basura y son inútiles para el
procesamiento numérico.
La estabilidad numérica de un método junto con el número condición (en:condition
number) define cuán buen resultado podemos obtener usando métodos aproximados
para calcular cierto problema matemático.
Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en
alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la
exactitud del cálculo en su conjunto.