Calculo Numérico y Manejo de Errores. Análisis Numérico

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION PORLAMAR
ANALISIS NUMERICO
Tutor:
Domingo Méndez.
Alumna:
Pamela Astrid Blasco Rondanelli.
CI: 26.740.126
(44)

2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de
las matemáticas encargada de diseñar algoritmo para, a través
de números y reglas matemáticas simples, simular procesos
matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
Cálculo Numérico es una materia de Cálculo o Matemáticas
Aplicada, que muestra cómo a través de fórmulas e iteraciones
podemos obtener resultados bastante aproximados para diversos
problemas que se pueden plantear. Se deben tener conocimientos
de Cálculo Matemático, Series, Algebra Lineal, Aritmética y
Trigonometría, entre otras cosas.

3. Un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de
base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de
representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número
decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la
unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de
apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada. Existen
varios métodos de conversión de números decimales a binarios; aquí solo
se analizará uno. Naturalmente es mucho mas fácil una conversión con una
calculadora científica, pero no siempre se cuenta con ella, así que es
conveniente conocer por lo menos una forma manual para hacerlo. El
método que se explicará utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el
residuo como dígito binario y el resultado como la siguiente cantidad a
dividir.

4. Error Relativo: Es el cociente (la
división) entre el error absoluto y el valor
exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene
el tanto por ciento (%) de error. Al igual
que el error absoluto puede ser positivo o
negativo (según lo sea el error absoluto)
porque puede ser por exceso o por
defecto. no tiene unidades.
Error Absoluto: Es la diferencia entre
el valor de la medida y el valor tomado
como exacto. Puede ser positivo o
negativo, según si la medida es
superior al valor real o inferior (la resta
sale positiva o negativa). Tiene
unidades, las mismas que las de la
medida.

5. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar
las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento
que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático
exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente
números exactos
Errores de Redondeo: Los errores de
redondeo se deben a que las
computadoras solo guardan un numero
finito de cifras significativas durante un
calculo. Las computadoras realizan esta
función de maneras diferentes; esta técnica
de retener solo los primeros siete términos
se llamó “truncamiento” en el ambiente de
computación. De preferencia se llamara de
corte, para distinguirlo de los errores de
truncamiento. Un corte ignora los términos
restantes de la representación decimal
completa.
Error Numérico: Total: Los errores de
redondeo se deben a que las
computadoras solo guardan un
numero finito de cifras significativas
durante un calculo. Las computadoras
realizan esta función de maneras
diferentes; esta técnica de retener solo
los primeros siete términos se llamó
“truncamiento” en el ambiente de
computación. De preferencia se
llamara de corte, para distinguirlo de
los errores de truncamiento. Un corte
ignora los términos restantes de la
representación decimal completa.

6. Errores de Truncamiento: Los errores de truncamiento son aquellos que
resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático
exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación
matemática: la serie de Taylor.
Errores por equivocación: En los primeros años de la computación los
resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal
funcionamiento de la computadora misma. Hoy día esta fuente de error es
muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se atribuye a
errores humanos.
Errores de Formulación: Los errores de formulación o de
modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un
modelo matemático incompleto, ya que si se esta usando un modelo
deficiente, ningún método numérico generara los resultados
adecuados.

7. Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido
debe estar controlado o acotado de manera que: Los números k y k se llaman
cotas del error absoluto o relativo, respectivamente. Una cota del error
absoluto es un numero ϵϵ que cumple
Ea≤ϵEa≤ϵ
En una aproximación cualquiera, una cota de error absoluto es una unidad del
orden n de la última cifra significativa:
ϵ=110nϵ=110n
El orden n será uno si la última cifra significativa corresponde a las décimas, dos
si corresponde a las centésimas, tres a las milésimas y así sucesivamente.
Si la aproximación es por redondeo se puede afinar algo más: una cota de error
absoluto es media unidad del orden n de la última cifra significativa:
ϵ=12⋅10nϵ=12·10n
A partir de una cota del error absoluto podemos obtener una cota del error
relativo. Teniendo en cuenta que Ea≤ϵEa≤ϵ y la definición del error relativo, se
tiene:
Er=EaVe≤ϵVeEr=EaVe≤ϵVe

8. En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos
números en la computadora. Como cada suma introduce un error,
proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se
acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al
problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas
computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales
que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se
llaman bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en
las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi
iguales o la división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y
absolutos poco relevantes.

9. El condicionamiento es un procedimiento que consiste en establecer ciertas
condiciones de control de estímulos. En sentido amplio significa la asociación
de patrones bastante específicos de comportamiento en presencia de
estímulos bien definidos. Las palabras condición y condicionamiento se usan
de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema
respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un
problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden
dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de
problemas se puede definir un número de condición: "Un número
condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos". Si el
número de condición es grande significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un
número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un
número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se
establece otro tipo de número de condición; el número condicionado
proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.