El documento trata sobre los conceptos básicos de análisis numérico como métodos numéricos, errores absolutos y relativos, números binarios, redondeo y truncamiento. Explica cómo los pequeños errores en los cálculos numéricos pueden propagarse y afectar la precisión de los resultados.

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniería
Cabudare Edo Lara
Integrantes;
Leodel Gonzalez
C.i 22.272.576

2. Análisis Numérico
Es una rama de la matemática es la técnica la cual se puede
formular problemas de tal forma que puedan resolverse
usando operaciones aritméticas, la computación es una
herramienta que nos facilita su desarrollo.
Importancia de los métodos
Los métodos numéricos son importantes ya que nos dan la
capacidad para entender esquemas numéricos con la
finalidad de resolver problemas matemáticos, científicos o de
ingeniería en un computador. Los métodos numéricos pueden
ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en :
-Calculo de derivadas
- Integrales
- Ecuaciones diferenciales
-Operaciones con matrices
-Interpolaciones
- Ajuste de curvas
-Polinomios
Números de máquinas decimales
También llamados códigos binarios, es un sistema que consta
de dos numero, (0) y (1) con base de dos, la unidad lógica del
computador utiliza componentes únicamente de apagado y
encendido, o en una conexión abierta/cerrado. En BITS
existen varios métodos de conversaciones de números
decimales a binarios , aquí solo analizaran uno. Naturalmente

3. es mucho mas fácil una conversación con una calculadora
científica , pero no siempre se cuenta con ella, así que
conveniente conocer por lo menos una forma manual para
hacerlo.
Numero de máquinas decimales
El método que se explicara utiliza la división sucesiva entre
dos, guardando el residuo como digito binario y resultado
como la siguiente cantidad a dividir. Tomemos como ejemplo
el numero 43 decimales.
43/2 = 21 y su residuo es 1
21/2=10 y su residuo es 1
10/2 =5 y su residuo es 0
5/2= 2 y su residuo es 1
2/2 = 1 y su residuo es 0
½ = 0 y su residuo es 1
Uniendo el numero de abajo hacia arriba tenemos el
resultado con binario es 101011.
Errores relativos y absolutos
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden
caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión
se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o
calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos
deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que
cumplan los requisitos de un problema en particular. Los
errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones
para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

4. Error Absoluto:
Error que se determina al dividir el error absoluto entre el
valor verdadero. Se puede expresar en porcentaje, partes por
mil o partes por
millón.
Error Relativo:
Errores que afectan la precisión de una medición. Ocasiona
que los datos se distribuyan más o menos con simetrías
alrededor de un valor promedio. (Se refleja por su grado de
precisión).
Cota de Errores Absolutos y Relativos Normalmente no se
conoce p y, por tanto, tampoco
se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como
una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas
superiores de esos
errores. Cuantas más pequeñas sean esas cotas superiores,
mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución
exacta de la
ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P.
Supongamos |f ’(x)| ³m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b].
Entonces: Esto nos da una cota del error al tomar una
aproximación de la
solución exacta, conociendo una cota inferior del valor
absoluto de la derivada. Algunas veces, en la práctica, la
exactitud de una raíz
aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn)
= 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera
entonces Pn una
buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces
Pn no se considera como una buena aproximación de la
solución exacta P.
COTA DE ERRORES
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo
cometidos al Absolutos y hacer las siguientes
aproximaciones:

5. Relativos
a) Precio de una casa: 275 miles de €. Cota de error
b) 45 miles de asistentes a una manifestación. Absoluto <½
unidad
c) 4 cientos de coches vendidos. del orden de la Solución:
última cifra
a) |Error absoluto| < 500 €significativa error
relativo<500/275000=0,0018 Una cota para el b) |Error
absoluto| < 500 personas
error relativo es: error relativo=500/45000=0,011 c) |Error
absoluto| < 50 coches Cota de error error
relativo<50/400=0,125relativo=cota del error absoluto /valor
real
Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las
siguientes aproximaciones:
a) Radio de la Tierra: 6 400 km.
b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.
c) Habitantes de Venezuela: 41 millones.
d) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,007
segundos. e) Volumen de una gota de agua: 0,4 mm3. a)
Cota del error absoluto: = 50 Cota del error relativo: 0,008 b)
Cota del error absoluto: = 5 000 000 Cota del error relativo:
0,03 c) Cota del error absoluto: 500 000 Cota del error
relativo: 0,12
d) Cota del error absoluto: = 0,0005 Cota del error relativo
0,07 e) Cota del error absoluto: = 0,05 Cota del error relativo=
0,125.
FUNCIONES BASICAS DE ERRORES
Los principales errores en cálculos numéricos, son los errores
de redondeo y los errores de truncamiento, el error de
redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que
se representan los números en una PC mientras que el error
de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la
fórmula matemática del modelo.

6. ERROR DE REDONDEO
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del
sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su
vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número
(real) se reemplaza por el número de máquina más cercano.
Esto significa que todos los números en un intervalo local
están representados por un solo número en el sistema
numérico de punto flotante.Es aquel error en donde el número
significativo de dígitos después del punto decimal, se ajusta a
un número especifico,provocando con ello un ajuste en el
último digito que se tome en cuenta.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. El procedimiento
se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar
para que resulte un número de la forma fl = 0,d1
d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En
este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener
a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5,
simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se
redondea así hacia abajo.
ERROR DE TRUNCAMIENTO
El error de truncamiento es el error que aparece cuando un
procedimiento infinito se hace finito. El ejemplo clásico del
error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una
función, en series de potencia. La expansión de una función
en series de potencias de Taylor está dada por: Como se ve,
esta expansión es infinita lo cual no es práctico para calcular
un valor de la función, de ahí que la serie se trunca, lo cual
produce automáticamente un erro, el cual es precisamente
llamado error de truncamiento. Póngase como ejemplo, el
cálculo del valor de Aquí se tendrán diferentes errores,
dependiendo el número de términos usados para calcular la
exponencial.

7. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de
aproximación que se usará ya que generalmente frente a una
serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de
términos, introduciendo en ese momento un error, por no
utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En una
iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y
seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se
subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se
asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n"
veces. Cualquier número real positivo y puede ser
normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. Si
y está dentro del rango numérico
de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se
representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en
k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la
terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos
dk+1, dk+2, . . . para obtener fl = 0,d1 d2
d3 ..., dk, x 10 n.
ERROR DE SUMA Y RESTA
Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon
de la máquina, queremos ver como estos errores se
acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos
generaliza al problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones
aritméticas en registros especiales que más bits que los
números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman
bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional.
Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede
ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la
división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores
relativos y absolutos poco relevantes. ERRORES DE SUMA
Y RESTA
Sean: x± x y z± z x + z = (x + z) ± ( x + z) x – z = (x – z) ± ( x + z)

8. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la
distinción entre los procesos numéricos que son estables y los que
no lo son. Un concepto muy relacionado es el de problema bien
condicionado o mal condicionado. Un proceso numérico es inestable
cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus
etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan la calidad de los
resultados.
Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos
de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad
los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo
es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de
entrada aumenta considerablemente por el método numérico. Un
proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores
y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería
decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la
inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio
relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%,
produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1%
o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué
precisión se realicen los cálculos.

9. CONDICIONAMIENTO
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera
informal para indicar cuan sensible es la
solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en
los datos de entrada. Un problema está mal
condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a
grandes cambios en las respuestas. Para ciertos
tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un
número condicionado puede definirse como la
razón de los errores relativos".
Si el número de condición es grande significa que se tiene un
problema mal condicionado; se debe tomar en
cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es
decir para la evaluación de una función se asocia
un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones
lineales se establece otro tipo de número de
condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta
qué punto la incertidumbre aumenta.