Este documento trata sobre conceptos básicos de análisis numérico como números máquina, errores absolutos y relativos, cotas de error, fuentes de errores como truncamiento y redondeo, errores en suma y resta, cálculos estables e inestables, y condicionamiento. Explica cómo las computadoras representan números y cómo se introducen y propagan errores en cálculos numéricos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD "FERMIN TORO"
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO MECÁNICO
Estudiante
Anthony Martinez
CI: 25.260.432
Noviembre 2017

2. ANÁLISIS NUMÉRICO
 El análisis numéricoocálculo numéricoes la ramade
las matemáticas que seencargade diseñar algoritmos
para, a través de números y reglas matemáticas simples,
simular procesos matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo real.
 Consiste en procedimientos que resuelven problemas y
realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en
cuenta las características especiales de los
instrumentos de cálculo que nos ayudan en la
ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin
de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para
el estudiodeerroresen loscálculos

3. NÚMERO MÁQUINA
 Es un sistema numérico que consta de dos dígitos:
Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término
"representación máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más pequeña posible; este
tipo de representación requiere de menos dígitos, pero
en lugar de un número decimal exige de más lugares.
Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica
primaria de las computadoras digitales usan
componentes de apagado/prendido, o para una
conexión eléctricaabierta/cerrada.

4. NÚMERO MÁQUINA DECIMAL
 Una máquinageneralmente noalmacenauna
cantidad matemática x sino una aproximación
binaria
a x llamada representación de punto
flotante, denotadaporfl(x) yde la forma:

5. NÚMERO MAQUINA DECIMAL
 También se pueden definircomo:
 Aquellos númeroscuyarepresentaciónvienedada
de la siguienteforma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cadai=2,
3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las
maxicomputadoras IBM (mainframes)
tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n£
76.

6. ERROR ABSOLUTO
 Es la diferencia entre el valor exacto (un número
determinado, por ejemplo) y su valor calculado o
redondeado, o sea el valor exacto menos el valor
calculado";debido a que la ecuación se dio en
términos del valor absoluto, el error absoluto no es
negativo. Así pues, una colección (suma) de errores
siempre se incrementan juntos, sin reducirse.
 Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de 0.613, el
error equivale a (0.6-0.613), que es - 0.013 (algunos
definen el error como 0.613-0.6). En este caso, el error
absolutoes
|0.6-0.613|, que es0.013.

7. ERROR RELATIVO
 Error relativo es el que nos indica la calidad de la
medida. Es el cociente entre el error absoluto y el valor
quedamos como representativo (la mediaaritmética).
 Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si
cometemos un error absoluto de un metro al medir la
longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también
un metro al medir la distancia Santiago-Madrid, de
aproximadamente 600.000 m, el error relativo será
1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para
la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha más
calidad la segundamedida.

8. COTAS DE ERROR
 Para que la cantidad aproximada que
utilizamos sea fiable, el error cometido debe
estar controlado o acotado de maneraque:
Los números k y k' se llaman cotas del error
absolutoo relativo, respectivamente.

9. COTAS DE ERROR
 Al redondear, podemosdaruna cotadel
error absoluto de la siguientemanera:
dondec = 5 unidadesdel orden de la primeracifra
no utilizada en elredondeo.
 Yuna cotadel errorrelativo:

10. FUENTES BÁSICAS DE ERRORES
 Existen dos causas principales de errores en los cálculos
numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El
Error de Redondeo se asocia con el número limitado de
dígitos con que se representan los números en una PC (para
comprender la naturaleza de estos errores es necesario
conocer las formas en que se almacenan los números y
como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC).
El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones
utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie
de Taylor es el medio más importante que se emplea para
obtener modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de
truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno
finito (porejemplo, truncando los términos de unaserie).

11. ERROR DE REDONDEO
 Es aquel error en donde el numero significativo de dígitos
despues del punto decimal, se ajusta a un numero
especifico, provocando con ello un ajuste en el ultimo
digitoquese tomeen cuenta.
 "Cualquiernúmero real positivo y puedeser normalizadoa:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10n.
 El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y
después
truncarparaqueresulte un númerode la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
 El último método comúnmente se designa porredondeo.
En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para
obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 <
5, simplemente truncamos después de los primeros k
dígitos; se redondea así hacia abajo

12. ERROR DE TRUNCAMIENTO
 Los errores de truncamiento tienen relación con
el método de aproximación que se usará ya que
generalmente frente a una serie infinita de
términos, se tenderá a cortar el número de
términos, introduciendo en ese momento un
error, por no utilizar la serie completa (que se
supone es exacta).
 En una iteración, se entiende como el error por
no seguir iterando y seguir aproximándose a la
solución. En un intervalo que se subdivide para
realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia
al número de paso, resultadode dividir el
intervalo "n" veces.

13. ERROR DE TRUNCAMIENTO
 Cualquier número real positivo y puede
ser normalizadoa:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
 Si y está dentro del rango numérico de la
máquina, la forma de punto flotante de y, que
se representará por fl , se obtiene terminando la
mantisa
de y en kcifras decimales. Existen dos formas de
llevar a cabo la terminación. Un métodoes
simplementetruncarlosdígitosdk+1, dk+2, . . . para
obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

14. ERRO DE SUMA Y RESTA
 En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar
muchos números en la computadora. Como cada suma
introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina,
queremos ver como estos errores se acumulan durante el
proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema
del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas
computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de
máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de
protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben
evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver
comprometida al restar cantidades casi iguales o la división
de un número muy grande entre un número muy pequeño,
lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos
y absolutos poco relevantes.

15. ERRORES DE SUMA Y RESTA
 Sean:
x ± x y z ± z
 x + z = (x + z) ±( x + z)
 x – z = (x – z) ±( x + z)

16. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
 Otro tema de frecuente aparición en el análisis
numérico es la distinción entre los procesos
numéricos que son estables y los que no lo son. Un
concepto muy relacionado es el de problema bien
condicionado o malcondicionado.
 Un proceso numérico es inestable cuando los
pequeños errores que se producen en alguna de sus
etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan
lacalidad de los resultados.
 Un problema está mal condicionado si pequeños
cambios en los datos de entrada pueden dar lugar a
grandescambios en lasrespuestas.

17. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
 La condición de un problema matemático relaciona a su
sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede
decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada aumentan
considerablemente por el método numérico. Un proceso
numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas
posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en
su conjunto.
 El que un proceso sea numéricamente estable o inestable
debería decidirse con base en los errores relativos, es decir
investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual
significa que un cambio relativamente pequeño en la
entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más.
Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué
precisión se realicen los cálculos.

18. CONDICIONAMIENTO
 Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera
informal para indicar cuan sensible es la solución de un
problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos
de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños
cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en
las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede
definir un número de condición: "Un número condicionado
puede definirse como la razón de los errores relativos".
 Si el número de condición es grande significa que se tiene un
problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para
cada caso se establece un número de condición, es decir para
la evaluación de una función se asocia un número
condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones
lineales se establece otro tipo de número de condición; el
número condicionado proporciona una medida de hasta qué
punto la incertidumbre aumenta.