Este documento describe conceptos clave del análisis numérico como problemas numéricos, algoritmos y métodos numéricos. Explica que el análisis numérico se encarga de diseñar algoritmos para resolver problemas matemáticos mediante cálculos numéricos en computadoras. También cubre temas como la representación de números en computadoras, fuentes de error numérico como redondeo y truncamiento, y la importancia de la estabilidad de los algoritmos.

2. Conceptos
Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un
conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida.
Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, exenta de ambigüedades, que
seguidas en su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico
Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en
numérico y resolver este último
Análisis numérico
Cuando hablamos de análisis numérico nos referimos a la rama de las
matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos, a través números y reglas
matemáticas netamente aritméticas utilizando instrumentos de cálculo como
computadoras y calculadoras que ayudan a la ejecución de algoritmo
El análisis numérico proporcionará todo el trayecto necesario para llevar a cabo
todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo
en procesos más sencillos empleando números.

3. ¿ En donde podemos utilizar el análisis numérico?
Cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación
funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son:
Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.
Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores existencia y
unicidad estabilidad y convergencia
Resolución: Elección de un algoritmo numérico Elección del algoritmo: Costo y
estabilidad Codificación del algoritmo Ejecución del programa Definición de
número
Números en la máquina
Todas las computadoras trabajan con una cantidad fija de información. La unidad
fundamental mediante la cual se representa la información se llama palabra. Una palabra
es una unidad de información constituida por una cadena fija de dígitos binarios o bits que
son usados para representar las instrucciones de un programa, símbolos alfabéticos,
números, etc. El número de dígitos de una palabra recibe el nombre de longitud de palabra.

4. El sistema numérico utiliza solamente dos símbolos o números 0 y 1 y su base es
2 Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las
computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una
conexión eléctrica abierta/cerrada.
Ejemplo
0.0158 se escribe como 0.0158 * 100
850000 se escribe como 0.850 * 106
35.519 se escribe como 0.35519 * 102
Cada uno de los di (i = 1,2, …) son dígitos de la base b y e es un número entero
(positivo, negativo o cero) el cual determina donde se encuentra el punto decimal.
Debido a las limitaciones en el número de dígitos que conforman la palabra, es
necesario restringir la parte fraccionaria de [3]. Esta restricción nos lleva a la
representación de un número x en punto flotante, el cual denotamos por fl(x).
fl(x) = ± 0.d1d2…dk * be [4]
Donde 0 <= di < b, i = 1, 2, …, k. La parte fraccionaria 0.d1d2…dk recibe el
nombre de mantisa, e es el exponente o característica y k es la precisión o
longitud de la palabra e indica el número fijo de dígitos usados para la
representación del número.
Forma en que un número de punto flotante se guarda en una palabra

5. Ejemplo
Los siguientes son números en punto flotante de 6 dígitos en base 10.
a) -0.813450 x 101
b) 0.457000 x 100
c) -0.056778 x 103
Si el primer dígito es diferente de cero, el número en punto flotante se dice que
esta normalizado. En el ejemplo los casos a) y b) corresponden a números
expresados en punto flotante normalizado. El caso c) no lo es; sin embargo es
posible normalizarlo al ajustar el exponente. Este ajuste siempre es posible en
todo número, en punto flotante, diferente de cero.
En el caso c)
-0.056778 x 103 = -0.567780 x 102
Error
Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto se debe
desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados
obtenidos.
Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo se
puede decir que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta
hasta cuatro cifras significativas – esto es, debe existir seguridad que las
primeras cuatro cifras son correctas.

6. DEFINICIÓN DE ERROR
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y
cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de
presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado
exacto o verdadero.
Error absoluto
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o
redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado”; debido a que la ecuación se dio en
términos del valor absoluto
εa= x – x0
En la práctica se adopta para x0 el valor medio de un gran numero de observaciones o simplemente se
asigna a εa un cierto valor limite o cota superior (o se toma la menor cantidad capaz de ser medida con
el dispositivo utilizado). Así, por ejemplo, cuando realizamos una pesada hasta el centígrado se admite
que εa ≤ 0.01 g y cuando tomamos el número π = 3.141 con tres cifras decimales el error cometido es
<0.001.
ERROR RELATIVO
Cociente de dividir el error absoluto εa=Δx por el valor exacto de x0 de la magnitud que se
mide:
εr=Δx/x0
Como x0, en general, desconocido se calcula el límite superior de εr dividiendo el error absoluto por el
número que resulta al sustituir por ceros todas las cifras que siguen a la primera significativa del número
aproximado. Así, por ejemplo, el error relativo cometido al tomar π con dos cifras decimales se expresa
de la forma siguiente:

7. Fuentes básicas de error
Las dos causas básicas de error son llamadas error de redondeo y error de
truncamiento
Aunque ciertas cantidades representan números específicos, no se puede expresar
exactamente con un número finitos de dígitos. Debido a que las computadoras
personales solo representan aproximadamente diez cifras significativas
(comúnmente varían entre 7 y 14) tales números jamás se podrán representar
exactamente. A la comisión del resto de cifras significativas se le conoce como
error de redondeo.
Y el error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula
matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se
emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento)
Errores de suma y resta
Para evitar la propagación rádida de los errores hay que tener en cuenta que en la
aritmética del computador la propiedad asosiativa no se cumple.
Resta de números muy parecidos

8. Resta de números muy parecidos
Sumatorias largas de números
Estabilidad un algoritmo es estable si datos pequeños en los datos iniciales producen
cambios pequeños en los resultados se agrandan en etapas posteriores y degradan
seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el
método numérico.