Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo definiciones de conjuntos, diagramas de Venn, espacio muestral, eventos, conteo de puntos muestrales, probabilidad de ocurrencia de eventos, reglas aditivas y multiplicativas, y el teorema de Bayes. Explica estas ideas a través de ejemplos y fórmulas matemáticas.

1. Probabilidad
2021

2. Universidad Politécnica Salesiana 2
Contenidos
Unidad 1
• Leyes de conjuntos y Diagramas de Venn
• Espacio muestral y Eventos. Conteo de puntos muestrales.
• Probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio. Reglas
aditivas.
• Probabilidad condicional. Regla multiplicativa. Teorema de
Bayes.

3. Definición: sean dos conjuntos arbitrarios, no vacíos 𝐴 y 𝐵.
- Se llama unión de esos conjuntos (y se denota con el símbolo ∪) a otro conjunto
cuyos elementos son elementos de 𝐴, o son elementos de 𝐵, o son elementos
que pertenecen tanto a 𝐴 como a 𝐵 a la vez.
- Se llama intersección de esos conjuntos (y se denota con el símbolo ∩) a otro
conjunto cuyos elementos pertenecen tanto a 𝐴 como a 𝐵 a la vez.
- Imaginemos que 𝐴 y 𝐵 son subconjuntos de un conjunto universal (al que ahora
denotaremos por 𝐹). Se llama complemento o negación del conjunto 𝐴 (y se
denota como 𝐴𝐶
o ҧ
𝐴) al conjunto cuyos elementos pertenecen a 𝐹 y no
pertenecen al conjunto 𝐴.
Universidad Politécnica Salesiana 3
Leyes de conjunto y diagramas de Venn.

4. Sean 𝐹 = 1,2,3, 4,5, 6,7 , 𝐴 = 1,2,3 , 𝐵 = 3, 4,5
𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5
𝐴 ∩ 𝐵 = 3
𝐴𝐶
= 4,5, 6,7
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Ejemplo.

5. Sean 𝐹 = 1,2,3, 4,5, 6,7 , 𝐴 = 1,2,3 , 𝐷 = 6,7 .
𝐴 ∩ 𝐷 = ∅
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Conjuntos (eventos) mutuamente excluyentes.

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Diagrama de Venn.

7. Diagrama de Venn.
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8. Diagrama de Venn.
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9. Universidad Politécnica Salesiana 9
Espacio Muestral. Eventos.
Definición: se llama espacio muestral al conjunto de todos los
posibles resultados de un fenómeno o experimento aleatorio.
¿Y qué es un experimento, suceso o fenómeno aleatorio?
¿Y qué es un evento?

10. Universidad Politécnica Salesiana 10
Conteo de puntos muestrales.
¿De cuántas formas diferentes posibles se pueden
seleccionar m objetos de un conjunto que contiene n
elementos u objetos?
Teoría Combinatoria

11. Universidad Politécnica Salesiana 11
Conteo de puntos muestrales.
𝑛
𝑚
=
𝑛!
𝑚! 𝑛 − 𝑚 !

12. Universidad Politécnica Salesiana 12
Probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.
Definición Clásica
𝑃 𝐴 =
𝑁(𝐴)
𝑁(𝑆)

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Probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.
Definición Frecuencial
𝑃 𝐴 =
𝑓𝑟(𝐴)
𝑛

14. Universidad Politécnica Salesiana 14
Probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.
Definición Axiomática
𝑃 𝐴 : 𝑆 ⟶ 0,1
0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
𝑃 𝑆 ≡ 1
𝑃 ∅ = 0

15. Universidad Politécnica Salesiana 15
Reglas aditivas.
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴𝐶
= 1
Si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

16. Universidad Politécnica Salesiana 16
Probabilidad Condicional.
𝑃 Τ
𝐵 𝐴 =
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴
𝑃(𝐴)

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Regla multiplicativa.
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃 Τ
𝐵 𝐴 𝑃(𝐴)
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃 Τ
𝐴 𝐵 𝑃(𝐵)
Si A y B son sucesos independientes, entonces
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)

18. Universidad Politécnica Salesiana 18
Probabilidad Total.
Partición de un conjunto (espacio muestral o
conjunto Universal)

19. Universidad Politécnica Salesiana 19
Probabilidad Total.
Partición de un conjunto (espacio muestral o
conjunto Universal)
𝑆 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴9
𝐴i ∩ 𝐴j = ∅, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

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Probabilidad Total.
Si B ⊂ 𝑆
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴1 𝑃 Τ
𝐵 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 𝑃 Τ
𝐵 𝐴2 + ⋯ + 𝑃 𝐴9 𝑃 Τ
𝐵 𝐴9
Generalización
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴1 𝑃 Τ
𝐵 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 𝑃 Τ
𝐵 𝐴2 + ⋯ + 𝑃 𝐴𝑛 𝑃 Τ
𝐵 𝐴𝑛

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Teorema o Regla de Bayes.
𝑃 Τ
𝐴j 𝐵 =
𝑃( Τ
𝐵 𝐴𝑗)𝑃(𝐴𝑗)
σ𝑖=1
𝑛
𝑃 Τ
𝐵 𝐴𝑖 𝑃(𝐴𝑖)
para algún j; 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛