U3_Probabilidades Estadísticas.pdf

Docente:
Unidad:
Estadística Aplicada a los Negocios
Probabilidades estadísticas
Fredy Vivanco Huaytara

Logro
Importancia
Al término de la unidad, el estudiante aplica los diferentes
conceptos relacionados con probabilidades adecuadamente en
situaciones de incertidumbre.
Muchos negocios aplican la comprensión de la incertidumbre y
probabilidad en sus prácticas de decisión en sus negocios. Los
métodos de probabilidad pueden incrementar la rentabilidad y
éxito de un negocio.

Contenido general
• Definición de probabilidad
• Probabilidad condicional
• Probabilidad total y teorema de Bayes
• Distribución de probabilidades

Definición de probabilidad
• Definición de probabilidad: Experimento, espacio muestral,
eventos

Experimento aleatorio (E)
 Es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto una
Una prueba y el resultado de cada prueba depende del azar
 Se conoce a priori el conjunto de posibles resultados,
aunque no el resultado del experimento, ser distinto en
cada vez, generando un conjunto de resultados.
 Es posible repetir el experimento bajo las mismas
condiciones.

Espacio Muestral (Ω)
Conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio
n Ω : 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
E1: Observar el resultado cuando se lanza un dado
Ω1 : {1,2,3,4,5,6}  𝑛𝑛(Ω1) = 6
E2: Registrar el numero de artículos defectuosos en un lote de 8
Ω2 : {0,1,2,3,4,5,6,7,8}  𝑛𝑛(Ω1) = 9
E3: Observar el tiempo de duración de un foco(horas)
Ω3 : {t/ t≥0}  𝑛𝑛(Ω1) = infinito
Ejemplo:

𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄(𝑬𝑬)
Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral.
E1: Si se observa los sexos de 3 niños recién nacidos
Ω1: Espacio Muestral:
Ω1 : {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
Se definen los siguientes eventos:
B={MFF, FFM, FMF}
A={ MMM, FFF}
Ejemplo:
A: Los tres bebes son del mismo sexo
B: Exactamente un bebe es de sexo masculino

Si un experimento aleatorio tiene n Ω y si n 𝐴𝐴 de tales
resultados corresponden a un evento A, entonces, en eventos
mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A es:
𝑃𝑃 𝐴𝐴 =
n 𝐴𝐴
n Ω
=
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Propiedades:
1) 0 ≤ 𝑃𝑃(𝐴𝐴) ≤ 1
2) 𝑃𝑃 Ω = 1
Definición clásica de probabilidad(a Priori )

Relaciones entre eventos
E espacio muestral
A
B
UNIÓN
Unión de eventos: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵
Es el evento que contiene los
elementos que están en A o en B,
o en ambos. El evento ocurre si al
menos uno de los dos eventos
ocurre.
𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 + 𝑃𝑃 𝐵𝐵 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)

E espacio muestral
A
𝐴𝐴𝐶𝐶
Es el evento que contiene todos
los elementos que no están en A.
Eventos complementos: 𝐴𝐴𝐶𝐶
Intersección de eventos: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵
Es el evento que contiene 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐵𝐵
los elementos que están en A y B
al mismo tiempo. cuando los
eventos ocurren
simultáneamente
E espacio muestral
A
B
𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴)

Si se observa los sexos de 3 niños recién nacidos,
Halle la probabilidad de que los 3 niños sean del mismo sexo
Ω1: Espacio Muestral:
Ω1 : {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
Evento:
A={ MMM, FFF}
A: Los tres bebes son del mismo sexo
𝑛𝑛 𝐴𝐴 = 2
𝑛𝑛 Ω1 = 8
𝑃𝑃 𝐴𝐴 =
n 𝐴𝐴
n Ω
=
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
=
2
8
= 0.25
Ejemplo:
Solución

Eventos mutuamente excluyentes: (𝑨𝑨 ∩ 𝑩𝑩 = ∅)
Eventos colectivamente exhaustivos
Los eventos A y B son mutuamente excluyentes (disjuntos) si
no tienen resultados en común
Se dice que 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝐴𝐴3, … , 𝐴𝐴𝑘𝑘 son eventos colectivamente
Exhaustivos si la unión de todos ellos es el espacio muestral Ω
𝐴𝐴1 ∪ 𝐴𝐴2 ∪ 𝐴𝐴3 ∪ ⋯ 𝐴𝐴𝑘𝑘 = Ω
A
B
𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 + 𝑃𝑃(𝐵𝐵)

Probabilidad Condicional
• Probabilidad condicional

Probabilidad condicional
Para los eventos A y B de un espacio muestral, con 𝑃𝑃 𝐵𝐵 > 0, la
probabilidad condicional de ocurrencia del evento A, dado que
el evento B ha ocurrido, está definida por.
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
| ≡ Dado que , Si , Cuando, sabiendo
𝑃𝑃 𝐴𝐴|𝐵𝐵 =
𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵
𝑃𝑃 𝐵𝐵
Regla de la Multiplicación
𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐵𝐵 ∗ 𝑃𝑃 𝐴𝐴|𝐵𝐵 Recordar

Eventos independientes
Se dice que A y B son independientes si la ocurrencia de uno de
ellos no afecta la ocurrencia del otro.
𝑃𝑃 𝐴𝐴|𝐵𝐵 = 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃 𝐵𝐵|𝐴𝐴 = 𝑃𝑃(𝐵𝐵)
Cuando dos eventos son independientes, la probabilidad de su
intersección es igual al producto de sus respectivas
probabilidades:
𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐵𝐵 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 → 𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃(𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐵𝐵)

Hay una probabilidad del 10% de que usted viajará a Disney y se
encuentre con su primo. Existe una probabilidad del 90% de que
se encuentre con su primo en un día cualquiera.
Halle la probabilidad de que haya viajado a Disney, dado que se
encontró con su primo :
Ejemplo:
Solución
D = {Viajar a Disney } P = {encontrarse primo}
𝑃𝑃 𝐷𝐷 ∩ 𝑃𝑃 =0.1
𝑃𝑃 𝑃𝑃 =0.9
=
𝑃𝑃(𝐷𝐷 ∩ 𝑃𝑃)
𝑃𝑃(𝑃𝑃)
=
0.1
0.9
= 0.11
D ∩ P = {viajar y encontrarse con su primo}
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑃𝑃 𝐷𝐷|𝑃𝑃
La probabilidad de que haya viajado a Disney, dado que se
encontró con su primo, es 0.11

NOTA: muchas veces la probabilidad condicional se encuentra de manera sobre entendida en
algunos enunciados, por ejemplo en el siguiente:
“Una persona cualquiera que fuma tenga cáncer pulmonar”
Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y tiene cáncer pulmonar.
¿Cuál es la probabilidad de que un fumador tenga cáncer pulmonar?
Ejemplo:
“una persona cualquiera tenga cáncer pulmonar dado que fuma”
Solución
F = {ser fumador} P = {Cáncer pulmonar}
𝑃𝑃 𝐹𝐹 ∩ 𝑃𝑃 =0.1
𝑃𝑃 𝐹𝐹 =0.5
=
𝑃𝑃(𝑃𝑃 ∩ 𝐹𝐹)
𝑃𝑃(𝐹𝐹)
=
0.1
0.5
= 0.2
F ∩ P = {Fumador y cáncer pulmonar}
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑃𝑃 𝑃𝑃|𝐹𝐹
la probabilidad de que un fumador tenga cáncer pulmonar es 0.2

1) La probabilidad de que un alumno de la UTP llamado José asista a la biblioteca es 0,4 y que la probabilidad
de que su compañera Valeria asista a la biblioteca es 0.5. La probabilidad de que José asista a la biblioteca
cuando Valeria lo hace es 0.7:
a) Halle la probabilidad de que Valeria asista a la biblioteca dado que José lo hace.
b) Halle la probabilidad de que al menos uno de los amigos asista a la biblioteca.
c) ¿Los amigos asistan a la biblioteca juntos son eventos independientes? Demuestre.
𝑉𝑉 = {𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏}
=
𝑃𝑃(𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉)
0.4
Solución a.
𝑃𝑃 𝑉𝑉 =0.5
𝑃𝑃 𝐽𝐽 =0.4
𝐽𝐽 = {𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏}
Piden…Valeria asista a la biblioteca dado que José lo hace
𝑃𝑃 𝐽𝐽|𝑉𝑉 = 0.7 dato
𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉
𝑃𝑃(𝑉𝑉)
= 0.7
𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉
0.5
= 0.7 → 𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉 = 0.35
𝑃𝑃 𝑉𝑉|𝐽𝐽 =
𝑃𝑃(𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉)
𝑃𝑃(𝐽𝐽) =
0.35
0.4
= 0.875
La probabilidad de que Valeria asista a la biblioteca, dado que José lo hace, es 0.875.

Solución b:
Por esto, se demuestra que no son independientes.
Solución c:
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 → 𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉 = 𝑃𝑃 𝐽𝐽 𝑃𝑃(𝑉𝑉)
𝑃𝑃 𝑉𝑉 = 0.5
𝑃𝑃(𝐽𝐽) = 0.4
𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉 = 0.35
𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∪ 𝑉𝑉 = 0.4 + 0.5 − 0.35
𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∪ 𝑉𝑉 = 𝑃𝑃 𝐽𝐽 + 𝑃𝑃 𝑉𝑉 − 𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉
→ 𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∪ 𝑉𝑉 = 0.55
Piden…Al menos uno de los amigos asista a la biblioteca
Piden…Los amigos asistan a la biblioteca juntos: 𝑃𝑃 𝐽𝐽 ∩ 𝑉𝑉
La probabilidad de que al menos uno de los amigos asista a la
biblioteca es 0.55.
0.35 ≠ 0.4(0.5)

En un viaje organizado a Machu Picchu para 120 estudiantes, 48 de
los que van saben hablar castellano, 36 saben hablar quechua, y 12
de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los estudiantes al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante hable alguno de los
dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable quechua, sabiendo que
habla castellano?
Solución:
Hablan
Quechua
No Hablan
Quechua
total
Hablan Castellano 12 36 48
No Hablan Castellano 24 48 72
total 36 84 120

Piden: 𝑃𝑃 𝑄𝑄 ∪ 𝐶𝐶 = 𝑃𝑃 𝑄𝑄 + 𝑃𝑃 𝐶𝐶 − 𝑃𝑃(𝐶𝐶 ∩ 𝑄𝑄)
𝑃𝑃 𝑄𝑄|𝐶𝐶 =
)
𝑃𝑃(𝑄𝑄 ∩ 𝐶𝐶
)
𝑃𝑃(𝐶𝐶
=
12/120
48/120
C = {Hablan castellano} , P C = 48/120
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable quechua,
sabiendo que habla castellano?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante
hable alguno de los dos idiomas?
Hablan
Quechua
No Hablan
Quechua
total
Hablan Castellano 12 36 48
No Hablan Castellano 24 48 72
total 36 84 120
Q = {hablan quechua} , P Q = 36/120
𝑃𝑃 𝑄𝑄 ∪ 𝐶𝐶 =
36
120
+
48
120
−
12
120
= 0.6
𝑃𝑃 𝑄𝑄|𝐶𝐶 =0.25

Solución:
Los colaboradores de una empresa en el área de calidad se
distribuyen así: son 17 chicas (M) y 13 chicos (H) y también se
sabe que hay 3 chicas y 4 chicos zurdos (Z).
a) Halle la probabilidad de que sea zurdo sabiendo que es chico.
b) Halle la probabilidad de que sea chico sabiendo que es zurdo
c) Halle la probabilidad de que sea chico o zurdo.
d) ¿Que sea Chico y sea Zurdo son eventos independientes?
Zurdos (Z) Diestros (D) Total
Chicos (H) 4 9 13
Chicas(M) 3 14 17
Total 7 23 30
Ejercicio
a) 𝑃𝑃 𝑍𝑍|𝐻𝐻 =
b) 𝑃𝑃 𝐻𝐻|𝑍𝑍 =
c) 𝑃𝑃 𝐻𝐻 ∪ 𝑍𝑍 =
d) 𝑃𝑃 𝐻𝐻 ∩ 𝑍𝑍 =

Zurdos (Z) Diestros (D) Total
Chicos (H) 4 9 13
Chicas(M) 3 14 17
Total 7 23 30
a) 𝑃𝑃 𝑍𝑍|𝐻𝐻 =
b) 𝑃𝑃 𝐻𝐻|𝑍𝑍 =
c) 𝑃𝑃 𝐻𝐻 ∪ 𝑍𝑍 =
d) 𝑃𝑃 𝐻𝐻 ∩ 𝑍𝑍 =
𝑃𝑃(𝑍𝑍 ∩ 𝐻𝐻)
𝑃𝑃(𝐻𝐻)
=
4/30
13/30
= 4/13
𝑃𝑃(𝐻𝐻 ∩ 𝑍𝑍)
𝑃𝑃(𝑍𝑍)
=
4/30
7/30
= 4/7
𝑃𝑃 𝐻𝐻 + 𝑃𝑃 𝑍𝑍 − 𝑃𝑃(𝐻𝐻 ∩ 𝑍𝑍)
𝑃𝑃 𝐻𝐻 𝑃𝑃 𝑍𝑍
13
30
+
7
30
−
4
30
=
16
30
4
30
≠
13
30
7
30
No son independientes
Solución:

Probabilidad total y teorema de Bayes

A1 A2
A3
A4
B
P(B)=P(A1) P(B|A1)
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )
+ P(A2) P(B|A2)+…
Probabilidad total

Ejemplo práctico demostrativo
CGT Pregrado
Postgrado Pre
Representación Gráfica
Estos cuatro eventos son incompatibles o
mutuamente excluyentes dos a dos y su unión
es el espacio muestral.
Sea los Eventos:
A1={Alumno de UTP modalidad CGT}
A2={Alumno de UTP modalidad Pregrado}
A3={Alumno de UTP modalidad Postgrado}
A4={Alumno de UTP modalidad Pre}
Evento 𝐵𝐵 = {𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐}
¿Cual es la probabilidad de que un alumno de
la UTP desapruebe un curso? 𝑃𝑃 𝐵𝐵 =??
Desaprobado
)
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(B ∩ 𝐴𝐴1) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴2) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴3 + 𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴4)
Recordar: 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(B) ⋅ 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵)
𝑃𝑃 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴1 𝑃𝑃 𝐵𝐵|𝐴𝐴1 + 𝑃𝑃 𝐴𝐴2 𝑃𝑃 𝐵𝐵|𝐴𝐴2 + 𝑃𝑃 𝐴𝐴3 𝑃𝑃 𝐵𝐵|𝐴𝐴3 + 𝑃𝑃 𝐴𝐴4 𝑃𝑃 𝐵𝐵|𝐴𝐴4
𝑃𝑃 𝐵𝐵 = � 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝑖𝑖 ∗ 𝑃𝑃 𝐵𝐵|𝐴𝐴1 𝑖𝑖 = 1,2,3,4
Probabilidad total

Dos proveedores, A y B, entregan la misma pieza a un fabricante
que guarda las existencias de esta pieza en un mismo lugar. Los
antecedentes demuestran que el 5% de las piezas entregadas
por A son defectuosas y que el 9% de las piezas entregadas por
B también lo son. Además, A entrega 4/5 de la mercadería. Si se
extrae al azar una pieza y se encuentra que no es defectuosa,
¿cuál es la probabilidad de que haya fabricado A?
Ejercicio: Teorema de Bayes y probabilidad Total
Solución
La probabilidad de que la pieza no sea defectuosa: Dicha pieza
no defectuosa puedo haberse extraído del proveedor A o del
proveedor B:
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓 ∶ 𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 ∩ 𝐴𝐴 + 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁|𝐴𝐴) + 𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁|𝐵𝐵)

Dos proveedores, A y B, entregan la misma pieza a un fabricante que guarda las existencias de esta pieza en un
mismo lugar. Los antecedentes demuestran que el 5% de las piezas entregadas por A son defectuosas y que el 9% de
las piezas entregadas por B también lo son. Además, A entrega 4/5 de la mercadería. Si se extrae al azar una pieza y
se encuentra que no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya fabricado A?
A= {Proveedor A}
B= {Proveedor B}
D= {Pieza Defectuosa}
ND= {Pieza no Defectuosa}
𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝑷𝑷(𝑫𝑫/𝑨𝑨)
𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝑷𝑷(𝑫𝑫/𝑩𝑩)
𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝑷𝑷(𝑵𝑵𝑵𝑵/𝑨𝑨)
𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝑷𝑷(𝑵𝑵𝑵𝑵/𝑩𝑩)
4/5 = 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
1/5 = 𝑃𝑃(𝐵𝐵)
Pieza
=
4/5 0.95
0.94
= 081
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓 ∶ 𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 ∩ 𝐴𝐴 + 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁|𝐴𝐴) + 𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁|𝐵𝐵)
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 4/5 0.95 + 1/5 0.91 = 0.94
Piden: 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝑁𝑁𝑁𝑁)
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝑁𝑁𝑁𝑁) =
𝑃𝑃 A 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁|𝐴𝐴)
𝑃𝑃 ND
=
4/5 0.95
𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁)
Ejercicio: Teorema de Bayes y probabilidad total

Por datos históricos, la empresa TOTIS indica que el 30% de los eventos contratados son fiestas de promoción de colegio.
Además, el 40% de las fiestas de promoción contratan el tipo de servicio total y el 60% contratan el servicio parcial. Para los
eventos contratados de fiesta que no son fiestas de promoción de colegio, los porcentajes de que contratan los servicios
parciales y total son iguales. Si se seleccionara al azar uno de los eventos contratados y resultara que contrató el servicio
parcial, ¿cuál es la probabilidad de que el evento sea una fiesta de promoción de colegio?
C= {Fiesta Promoción Colegio}
NC= {Fiesta Promoción No Colegio}
P= {Servicio parcial}
T= {Servicio Total}
𝟎𝟎. 𝟔𝟔 = 𝑷𝑷(𝑷𝑷/𝑪𝑪)
𝟎𝟎. 𝟓𝟓 = 𝑷𝑷(𝑷𝑷/𝑵𝑵𝑵𝑵)
𝟎𝟎. 𝟒𝟒 = 𝑷𝑷(𝑻𝑻/𝑪𝑪)
𝟎𝟎. 𝟓𝟓 = 𝑷𝑷(𝑻𝑻/𝑵𝑵𝑵𝑵)
0.3 = 𝑃𝑃(𝐶𝐶)
0.7 = 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁)
Evento
=
0.3 0.6
0.53
= 0.34
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓: 𝑃𝑃 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∩ 𝐶𝐶 + 𝑃𝑃(𝑃𝑃 ∩ 𝑁𝑁𝐶𝐶)
𝑃𝑃 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 𝐶𝐶 𝑃𝑃(𝑃𝑃|𝐶𝐶) + 𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑃𝑃(𝑃𝑃|𝑁𝑁𝑁𝑁)
𝑃𝑃 𝑃𝑃 = 0.3 0.6 + 0.7 0.5 = 0.53
Piden: 𝑃𝑃(𝐶𝐶|𝑃𝑃)
𝑃𝑃(𝐶𝐶|𝑃𝑃) =
P C 𝑃𝑃(𝑃𝑃|𝐶𝐶)
P P
=
0.3 0.6
𝑃𝑃(𝑃𝑃)

Distribución de probabilidad
• Distribución de probabilidad discreta: Binomial y Poisson
• Distribución de probabilidad continua: Normal

Una variable aleatoria es cualquier función que tiene como
dominio a los elementos que constituyen el espacio muestral de
un experimento aleatorio y como rango a un subconjunto de los
reales
𝑋𝑋: Ω → 𝑅𝑅𝑋𝑋
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Una variable aleatoria es una función que asocia un número real
con cada elemento del espacio muestral
Variable aleatoria

Experimento Variable aleatoria Valores Posibles
Funcionamiento
de un banco
Tiempo en minuto,
entre llegadas de
clientes
X>=0
Llenar una lata de
bebida
(máx =12.1 onzas)
Cantidad de onzas 0<x<12.1
Llamar a cinco
clientes
Cantidad de
clientes
0, 1,2,3,4,5
Inspeccionar un
embarque de 40
chips
Cantidad de chips
defectuosos
0,1,2,….,40
Funcionamiento
de un restaurante
durante un día
Cantidad de
clientes
0,1,2,3…….
Variable aleatoria: Discreta y continua

𝐷𝐷𝑋𝑋 = 𝛺𝛺 = CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS
Sea el experimento: Se lanzan 3 monedas
Variable Aleatoria: X, Numero de caras obtenidas
{ }
0,1,2,3
X
R =
P(X=x)
�
1
8
�
3
8
�
3
8
�
1
8
El tiempo, en horas, que necesita un técnico para
reparar cierta avería de un artefacto eléctrico es
una variable aleatoria que tiene la siguiente
función de densidad.
𝑓𝑓(t) = �
1
𝜎𝜎 2𝜋𝜋
𝑒𝑒−
1
2
𝑡𝑡 2
, 0 ≤ 𝑍𝑍 ≤ +∞
Variable aleatoria: discreta Variable aleatoria: continua
Espacio Muestral
SSS
SCS, SC,SSC
CCS,CSC,SCC
CCC
Rx
0
1
2
3

P=f(x)
0 1 2 3 X
1/8
3/8
1/8
3/8
X
f(x)
Variable aleatoria: discreta Variable aleatoria: continua
�
𝑅𝑅𝑥𝑥
𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 1 �
−∞
+∞
𝑓𝑓 𝑍𝑍 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 1
Función de Probabilidad
Función de Densidad

1. El experimento consiste en una secuencia de n pruebas,
donde n se fija antes del experimento.
4. La probabilidad de un evento es constante, la representamos
por p, y no varía de una prueba a otra.
Probabilidad éxito=P
Probabilidad fracaso=q
2. Las pruebas son independientes, por lo que el resultado de
cualquier prueba no afecta al resultado de cualquier otro.
3. En cada prueba, solo hay 2 posibles resultados: éxito, fracaso
Distribución de probabilidades
Distribución discreta: binomial

𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) =
𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑛𝑛−𝑥𝑥, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑛𝑛
 Un tratamiento médico puede ser: efectivo, no efectivo.
 El cliente de un banco puede ser catalogado como: Moroso,
No Moroso
 Un artículo producido puede ser defectuoso, no defectuoso
𝜇𝜇 = 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛𝑛𝑛
Para construir una distribución binomial es necesario conocer
el número de pruebas que se repiten (n) y la probabilidad de
que suceda un éxito en cada una de ellas (P).
Usos
Notación: X ~ B(n,p)

Ejercicios: Distribución discreta binomial
a) Exactamente solo 3 alumnos
b) Más de 6 alumnos
c) Calcule la media
65 de cada 100 alumnos de un colegio del interior del país
cursan estudios universitarios al terminar su bachillerato. En un
grupo de 8 alumnos elegidos al azar de un determinado colegio
del interior del país que están culminando la etapa escolar,
halle la probabilidad de que estudien una carrera:

Solución: Distribución discreta: binomial
X: Número de alumnos que estudian una Carrera universitaria.
Fracaso: {No estudien una carrera} → 𝑞𝑞 = 0.35
Éxito: {Estudien una carrera} → 𝑃𝑃 = 65/100 = 0.65
X ~ B(n=10, P=0.65)
piden …3 alumnos estudien un carrera universitaria
𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 =
𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑝𝑝𝑥𝑥
𝑞𝑞𝑛𝑛−𝑥𝑥
𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 3 =
8
3
� 0. 653
� 0. 355
= 0.08
La probabilidad que estudien 3 alumnos de un total de 8 una
carrera es 0.08.
Solución a:

𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 7 + P(X = 8)
8
7
� 0. 657
� 0. 351
+
8
8
� 0. 658 � 0.350
Pinden … Más de 6 alumnos estudien…
𝑃𝑃 𝑋𝑋 > 6 =
𝑃𝑃 𝑋𝑋 > 6 =
𝑃𝑃 𝑋𝑋 > 6 = 0.169
La probabilidad que estudien más de 6 alumnos de un total de 8
una carrera es 0.169
𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑝𝑝𝑥𝑥
𝑞𝑞𝑛𝑛−𝑥𝑥
Solución c.
𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 8 0.65 =5.2
Solución b.
Pide … calcular la media
X ~ B(n=10, P=0..65)

Distribución discreta: Poisson
El proceso de Poisson es un experimento aleatorio utilizado
para describir el número de veces que un evento ocurre en
un espacio finito de observación ( área, tiempo, etc).
Es útil para la ocurrencia de eventos por unidad de tiempo:
errores/mes, quejas/semana, defectos/día.
Tasa de ocurrencia (𝝀𝝀)
La central telefónica A recibe 50 llamadas telefónicas en 5 horas
𝜆𝜆 𝐴𝐴 = 50/5ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Cuando en una distribución binomial n>30 y P<0.1  𝜆𝜆 = np

𝑒𝑒−𝜆𝜆 � 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑥𝑥!
𝑋𝑋 = 0,1,2,3, …
Donde:
 P(X=x) es la probabilidad de ocurrencia cuando la
variable discreta X toma un valor finito x.
 λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad
(tiempo, volumen, área, etc.). La constante e tiene un
valor aproximado de 2.711828
X ~ P(𝜆𝜆)
Notación:
𝜇𝜇 = 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 𝜆𝜆

Ejercicio: Distribución discreta Poisson
Un cajero automático es utilizado cada 20 minutos por 6 personas.
Se desea saber cuál es la probabilidad de que:
a) El cajero sea utilizado por 10 personas en 20 minutos.
b) El cajero sea utilizado por a lo menos 3 personas en 20 minutos.
a) El cajero sea utilizado por 5 personas en 10 minutos
Solución a: Del problema: Tasa de ocurrencia: 𝜆𝜆1 = 6/20𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
=
𝑒𝑒−6
� 610
10!
= 0.041
𝑥𝑥!
𝑋𝑋 = 0,1,2,3, …
La probabilidad de que el cajero sea utilizado por 10 personas en
20 minutos es 0.041.
Piden: 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 10
X: Número de personas que usan cajero automático

Solución b:
Del problema: Tasa de ocurrencia: 𝜆𝜆1 = 6/20𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥!
...utilizado por a lo menos por 3 personas en 20 minutos
= 1 −
𝑒𝑒−6
60
0!
+
𝑒𝑒−6
61
1!
+
𝑒𝑒−6
62
2!
)
𝑃𝑃(𝑥𝑥 ≥ 3) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥 = 3) + 𝑃𝑃(𝑥𝑥 = 4) + 𝑃𝑃(𝑥𝑥 = 5 + ⋯
Equivale:
1 − 0.062 = 0.938
Piden:
𝑃𝑃 𝑥𝑥 ≥ 3 = 1 − 𝑃𝑃 X < 3
1 − (𝑃𝑃(𝑥𝑥 = 0) + 𝑃𝑃(𝑥𝑥 = 1) + 𝑃𝑃(𝑥𝑥 = 2))
La probabilidad de que el cajero sea utilizado por 10 personas en
20 minutos es 0.938.

Solución c:
Del problema: Tasa de ocurrencia: 𝜆𝜆1 = 6/20𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑥𝑥!
𝑋𝑋 = 0,1,2,3, …
….sea utilizado por 5 personas en 10 minutos
nueva tasa de ocurrencia: 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 3/10𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 5 =
𝑒𝑒−3
� 35
5!
= 0.1
X: Número de personas que usan cajero automático
La probabilidad de que el cajero sea utilizado por 5 personas
en 10 minutos es 0.1.

Ejercicio: Distribución discreta Poisson
Se cree que el número promedio de individuos por cada 2𝑘𝑘𝑘𝑘2
de cierta especie de mamíferos que habita en las alturas de
cierta region es de 1.2.
Si se observa un area de 3 𝑘𝑘𝑘𝑘2
cada una. ¿Cuál es la
probabilidad que se encuentre como mínimo 2 individuos?
Solución Del problema: Tasa de ocurrencia: 𝜆𝜆1 = 1.2/2𝑘𝑘𝑘𝑘2
2 𝑘𝑘𝑘𝑘2 1.2 ind.
3 𝑘𝑘𝑘𝑘2 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
X: Número de habitantes por área
Piden: 𝑃𝑃(x ≥ 2) = 1 − 𝑃𝑃(𝑥𝑥 < 2)
𝜆𝜆𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 1.8
= 1 −
𝑒𝑒−1.8
1.80
0!
+
𝑒𝑒−1.8
1.81
1!
1 − 0.4629 = 0.5371
1 − (𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 0 + 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 1 )
La probabilidad que se
encuentre como mínimo 2
individuos es 0.5371.

Una de las distribuciones teóricas mejor estudiadas y la más
utilizada en la práctica es la distribución normal, también
llamada distribución gaussiana o Campana de Gauss.
Distribución continua: normal
)
Notación: X~N(𝜇𝜇, 𝜎𝜎2
𝜇𝜇
COLA
COLA
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
1
𝜎𝜎 2𝜋𝜋
𝑒𝑒
−
1
2
𝑥𝑥−𝜇𝜇
𝜎𝜎
2

𝑍𝑍 =
𝑋𝑋 − 𝜇𝜇
𝜎𝜎
𝜇𝜇 0
𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎2) 𝑍𝑍~𝑁𝑁(0,1)
Distribución Normal
Estandarización
Distribución Normal estándar
)
( a
Z
P <
1
( ( )
) P Z a
P Z a =
− ≤
>
( ) ( ) ( )
P Z b P Z
P a
a Z b = < − <
< <
Caso1:
Caso2:
Caso3:

Acumula las probabilidades de Izquierda a derecha
Probabilidades
Z negativo Z Positivo
Distribución Continuo: Normal-Uso de la tabla

Distribución continuo: normal-uso de la tabla
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 0.93 =
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≥ 1.24 = 1 − 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 1.24
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑍𝑍 ≤ 0.93 = 0.8238
1 − 0.89251=0.1074
Distribución de Probabilidades

Distribución de Probabilidades
𝑃𝑃 0.33 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1.12 =
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 1.12
−𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 0.33
0.86864 − 0.6293
0.2393

Distribución Continua
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 𝐶𝐶 = 0.70194
Caso inverso:
C=0.53
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≥ 𝑀𝑀 = 0.154
1 − 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 𝑀𝑀 = 0.154
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 𝑀𝑀 = 0.846
𝑀𝑀 = 1.2

Se somete a un grupo de alumnos de una cierta universidad a un experimento para medir el tiempo de
reacción cuando se ingesta una bebida energizante que ha salido al mercado. Si este tiempo sigue una
distribución normal con media 20 segundos y varianza de 16 segundos2
, ¿cuál es la probabilidad de que un
alumno de la universidad elegido al azar tenga un tiempo de reacción
a) entre 15 y 27 segundos?
b) Menos de 25 segundos?
c) Más de 17 segundos?
Ejercicio
Solución a
X: Tiempo de reacción
)
𝑋𝑋~𝑁𝑁(µ, 𝜎𝜎2
) → 𝑋𝑋~𝑁𝑁(20, 42
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜇𝜇 = 20 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑉𝑉 𝑋𝑋 = 16 ,
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 → 𝜎𝜎 = 4
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑃𝑃 15 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 27
𝑃𝑃
15 − 20
4
≤ 𝑍𝑍 ≤
27 − 20
4
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 1.75 − 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < −1.25
0.95994 - 0.10565=0.8549
𝑍𝑍 =
𝑋𝑋 − 𝜇𝜇
𝜎𝜎
La probabilidad de que un alumno de la universidad elegido al azar
tenga un tiempo de reacción entre 15 y 27 segundos es 0.8549.
datos

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑃𝑃 𝑋𝑋 < 25
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤
25 − 20
4
𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 1.25 = 0.89435
La probabilidad de que un alumno de la universidad elegido al
azar tenga un tiempo de reacción menor a 25 segundos es 0.8943.
Solución b
)
𝑋𝑋~𝑁𝑁(µ, 𝜎𝜎2) → 𝑋𝑋~𝑁𝑁(20, 42
Solución c
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑃𝑃 𝑋𝑋 > 17
→ 𝑃𝑃 𝑍𝑍 >
17 − 20
4
= 𝑃𝑃 𝑍𝑍 > −0.75
1 − 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ −0.75
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
1 − 0.22663 = 0.77337
La probabilidad de que un alumno
de la universidad elegido al azar
tenga un tiempo de reacción de 17
segundos es 0.77337.

Conclusiones
1. Definición de probabilidades
 Los eventos o sucesos son subconjuntos del espacio muestral
de los experimentos.
 La probabilidad es el cociente entre los elementos a favor y el
total de ocurrencias.
2. Probabilidad Condicional
 P(A/B) significa que la probabilidad condicional de ocurrencia
del evento A dado que el evento B ha ocurrido.
3. Probabilidad Total, Teorema de Bayes
 El teorema de Bayes se aplica para calcular las probabilidades
posteriores.
4. Distribución de probabilidades
 En una distribución binomial, cada prueba solo hay 2 posibles
resultados: éxito, fracaso
 Para describir el número de veces que un evento ocurre en un
espacio finito de observación (área, tiempo, etc), se usa
Poisson.

Gracias
Docente: Fredy Vivanco Huaytara

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