Formulario que muestra los elementos más importantes de la teoría de probabilidad. Debe ser de apoyo para estudiantes de bachillerato en México y de nivel superior.
Presentación sobre el cálculo de probabilidades.
Operaciones con sucesos,regla de Laplace,probabilidad condicionada,probabilidad total,teorema de Bayes.
Con algunos ejercicios.
Formulario que muestra los elementos más importantes de la teoría de probabilidad. Debe ser de apoyo para estudiantes de bachillerato en México y de nivel superior.
Presentación sobre el cálculo de probabilidades.
Operaciones con sucesos,regla de Laplace,probabilidad condicionada,probabilidad total,teorema de Bayes.
Con algunos ejercicios.
CONTIENE: ESPACIO MUESTRAL. EVENTOS. TÉCNICAS DE CONTEO CON PROBABILIDAD. AXIOMAS Y TEORÍAS DE LA PROBABILIDAD. PROBABILIDAD CONDICIONAL. LEY MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD. TEROREMA DE BAYES. EVENTOS INDEPENDIENTES PROBABILÍSTICAMENTE
Curso introductorio a las herramientas matemáticas básicas para finanzas. En este material se cubren temas de precálculo, sistemas lineales y matemáticas discretas.
Repaso de teoría de conjuntos
Fenómenos determinísticos vs. fenómenos aleatorios
Definición de probabilidad
Interpretación frecuentista y Bayesiana de la probabilidad
Espacio muestral, eventos
Sigma-álgebra
Medida de probabilidad, definición, propiedades
Axiomas de Kolmogorov
Probabilidad conjunta, marginal, condicional
Eventos independientes
Teorema de las probabilidades totales, teorema de Bayes
Técnicas de conteo: factorial, permutación, combinatoria
Friedrich Nietzsche. Presentación de 2 de Bachillerato.
Unidad1
1. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
Pilar Sanmart´ın.
departamento de matem´atica Aplicad y Estad´ıstica.
Universidad Polit´ecnica de Cartagena
Estad´ıstica GIST, GIT
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
2. Introducci´on
Concepto presente en la vida cotidiana.
EJEMPLOS
Es probable que llueva.
Es muy poco probable que pase la prueba.
Es casi imposible que la estructura resista.
OBJECTIVO
Objectivo: Cuantificar la veracidad (verosimilitud) de hechos
(sucesos) inciertos.
Probabilidad Matem´atica: Cuantificar num´ericamente la
verosimilitud de sucesos inciertos.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
4. Incertidumbre?
Cressie, N.
Uncertainty is everywhere; as the famous
quote by Benjamin Franklin (Sparks, 1840)
says “ In this world the only certainties are
death and taxes. ”Not only our world is un-
certain, but also our attempts to explain it
are (i.e. science). And our measures of our
world (uncertain) are uncertain.” Statistics
is the science of uncertainty and it offers a
coherent approach to dealing with all the
above sources of uncertainty.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
5. INTRODUCCION
INCERTIDUMBRE
C´omo llegar a resultados concluyentes?
incorporando la incertidumbre.
T´eor´ıa de la Probabilidad
Teor´ıa Matem´atica que puede modelizar experimentos cuyo
resultado es imposible de predecir exactamente (Experimentos
aleatorios).
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
7. Razonamiento bayesiano y aprendizaje m´aquina
Conferencia:Dr. Figueiras
Titulo: Inferencia M´aquina y Aprendizaje Profundo (una concisa introduccin) El Aprendizaje Profundo (Deep
Learning) se puede considerar una de las t´ecnicas de aprendizaje artificial m´as potentes desarrolladas de esta ´ultima
d´ecada. Es considerada como una tecnolog´ıa clave en el futuro de la inteligencia artificial y actualmente es utilizada
en casi todos los campos de la ciencia: procesado de datos, voz, imagen, visi´on artificial, etc. En esta charla, el Dr.
Figueiras realizar´a una breve introducci´on al aprendizaje profundo desde el punto de vista del aprendizaje m´aquina,
abordando aspectos tan relevantes como la diversidad y el Big Data.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
8. INTRODUCCION
INCERTIDUMBRE
C´omo llegar a resultados concluyentes?
incorporando la incertidumbre.
T´eor´ıa de la Probabilidad
Teor´ıa Matem´atica que puede modelizar experimentos cuyo
resultado es imposible de predecir exactamente (Experimentos
aleatorios).
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
9. Contenidos
1 Conceptos b´asicos relacionados con un experiemnto.
1 Definiciones.
2 Operaciones elementales con sucesos.
2 El concepto de Probabilidad.
1 Definici´on Axiom´atica de la Probabilidad.
2 espacios muestrales finitos.
3 Probabilidad Condicionada.
1 Definici´on.
2 Formula de la probabilidad Total. Teorema de Bayes.
4 Independencia. Fiabilidad.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
10. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento
EXPERIMENTO: cada acci´on o proceso que genera observaciones.
Prueba planeada en un laboratorio .
lanzar un dado .
EXPERIMENTO ALEATORIO: aquel que produce resultados
variables que no son conocidos con certeza previo a la realizaci´on
del experimento. Consta de:
Procedimiento: lanzar una moneda.
Observacion: Observar que lado (cara o cruz) queda a la vista.
Modelo: Caras y cruces son igualmente probables. El resultado
de cada lanzamiento no est´a relacionado con los
resultados de los lanzamientos previos.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
11. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento
la base matem´atica de la probabilidad es la teor´ıa de conjuntos.
(Espacio muestral como conjunto Universal, resultados como
elementos, sucesos como subconjuntos)
Resultado: un resultado es cada una de las posibles observaciones
del experimento.
ESPACIO MUESTRAL (S) el conjunto de todos los resultados del
experimento.
S = {s1, . . . , sn}
EVENT (E): cada colecci´on (subconjunto) de resultados contenidos
en el espacio muestral S. Cardinal, |E| = n´umero de
elementos(resultados)
Simple. |E| = 1
Compuesto.|E| > 1
Es usual recurrir a los disgramas de Venn para mostrar las
relaciones entre los subconjuntos (sucesos).
SUCESO SEGURO: S
SUCESO IMPOSIBLE (conjunto nulo) : ∅
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
12. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento
La union de dos sucesos A y B,A ∪ B, es el suceso consistente en
todos los resultados que est´an en A o B.
A ∪ B = {s|s ∈ Ao s ∈ B}
la intersecci´on de dos sucesos A y B, A ∩ B, es el suceso pformado
por todos los resultados que estan en A y B.
A ∩ B = {s|s ∈ A y s ∈ B}
El suceso complementario de A, Ac
(A), es el conjunto de
resultados de S que no pertenecen a A.
Ac
= {s|s /∈ A}
Suceso disjuntoss: cuando no tienen elementos en com´un A ∩ B = ∅
Leyes de Morgan:
(A ∪ B)c
= Ac
∩ Bc
(A ∩ B)c
= Ac
∪ Bc
A ⊆ B ∀s ∈ A −→ s ∈ B
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
13. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento
Propiedad conmutativa de la uni´on y la intersecci´on:
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Propiedad asociativa de la uni´on y la intersecci´on:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ C) ∪ B
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ C) ∩ B
Propiedad Distributiva :
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
14. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento
Espacio de Sucesos ( tambi´en partici´on de S)
{Ei }i∈I , es una colecci´on de sucesos colectivamente exhaustiva,
mutuamente exclusiva.
mutuamente exclusiva.
Ei ∪ Ej = ∅ i = j
colectivamente exhaustiva
i∈I
Ei = S
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
15. Concepto de probabilidad. Interpretaciones de la
probabilidad
Cl´asica: desarrollado originalmente en relaci´on con los juegos de
azar. Los sucesos inciertos relevantes se describen como colecciones
de resultados elementales que se consideran igualmente ”creibles”.
P(A) =
casos favorables a A
casos posibles
Frecuentista: aparece en el contexto de experimentos reproducibles,
como los de laboratorio.Los sucesos inciertos relevantes se definen
en situaciones experimentales controladas cuyas condiciones de
realizaci´on se pueden repetir una y otra vez, indefinidamente.
P(A) =
ocurrencias de A
ensayos realizados
l´ımite en la serie de repeticiones del experimento.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
16. Interpretations of probability. Probability Concept
SUBJECTIVA: Nuestro conocimiento sobre la ocurrencia de un
suceso A, a priori antes de realizar el experimento P(A) . (prior)
a objetivo com´un: medir la verosimilitud de la ocurrencia de sucesos
inciertos.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
17. Concepto de Probabilidad
Definici´on axiom´atica
Una distribuci´on de probabilidad P[.] es una funci´on que asigna n´umeros
reales a sucesos del espacio muestral de forma que se cumplen los
siguientes axiomas:
Axiom 1 para cada suceso A de inter´es , P(A) ≥ 0
Axiom 2 P(S) = 1
Axiom 3 para cada colecci´on numerable {Ai }i∈I de sucesos
mutuamente excluyentes (Ai ∩ Aj = ∅ ∀i = j),
P(
i
Ai ) =
i
P(Ai )
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
18. Propiedades
Como consecuencia del Axiom 3 se cumple
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) A1 and A2 mutually exclusive.
Como consecuencia del Axiom 3 lse cumple el caso particular
I = {1, 2, . . ., n}
B = {s1, . . . , sm}
P(B) =
m
i=1
P({si })
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
19. Espacios muestrales finitos
Consideramos experimentos para los cuales hay un conjunto finito
de resultados posibles |S| = n.
S = {s1, . . . , sn} pi = P({si }).
Una distribuci´on sobre S queda completamente especificada
por {pi }n
i=1, cumpliendo:
1 0 ≤ pi ≤ 1 ∀i
2
i pi = 1
Se cumple ∀A:
P(A) =
si ∈A
pi
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
20. resultados equiprobables (Espacios Muestrales Simples)
|S| = n p = P({si }).
En este caso:
p = 1/|S|
Se cumple :
P(A) =
casos favorables a A
casos posibles
=
|A|
|S|
(1)
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
21. Propiedades
la medida de probabilidad cumple:
P(∅) = 0.
P(Ac
) = 1 − P(A)
Para cada A y B (no necesariamente disjuntos)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Si A ⊂ B P(A) ≤ P(B).
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
22. Probabilidad Condicionada
Queremos actualizar nuestras asignaciones a priori P(A) de probabilidades
asociadas con sucesos de un experimento aleatorio, basandonos en la
llegada de nueva informaci´on. En particular en el conocimiento de que un
nuevo suceso B ha ocurrido pero no sabemos el resultado preciso de B.
En este contexto, calculamos P(A|B) ”la probabilidad de A dado B”:
Probabilidades condicionadas.
Sea B ⊆ Ω tal que P(B) > 0. La probabilidad condicionada dado B,
es una asignaci´on de n´umeros P(A|B) donde:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B) cumple los axiomas de la definici´on de probabilidad.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
23. Regla del producto
Se aplica para calcular la probabilidad asociada a la interseci´on de dos
sucesos:
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)
De tres:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A|B ∩ C)P(B|C)P(C)
En general ...
P(∩n
i=1Ai ) = P(A1| ∩n
i=2 Ai )P(A2| ∩n
i=3 Ai ) . . . P(An−1|An)P(An)
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
24. Ley de la probabilidad total
Sea {Ai }n
i=1 ) partici´on of S, (Espacio de Sucesos) y B un suceso de
inter´es. Supongamos P(Ai ) y P(B|Ai ) i = 1, . . . , n conocidos. Se cumple
que:
P(B) =
n
i=1
P(B|Ai )P(Ai )
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
25. Teorema de Bayes
Sea {Ai }n
i=1 partici´on de S, B suceso de inter´es, P(Ai ) y P(B|Ai )
i = 1, . . . , n conocidos. para cada Ai se cumple:
P(Ai |B) =
P(B|Ai )P(Ai )
n
j=1 P(B|Aj )P(Aj )
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
26. Independencia de sucesos
Definici´on
A y B independientes ↔ P(A ∩ B) = P(A)P(B).
cuando A y B htienen probabilidades no nulas es equivalente a
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(A) El conocimiento de que B ha ocurrido no cambia la
probabilidad de ocurrencia del suceso.
Independencia de n sucesos
{Ai }n
i=1 son independientes si para cada subfamilia {Aij }k
j=1 se cumple:
P(∩k
j=1Aij ) =
k
j=1
P(Aij )
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
27. Problemas de Fiabilidad
Pruebas independientes: Experimentos consistentes en
repeticiones independientes de un subexperimento.
Las pruebas independientes pueden utilizarse para describir
problemas de fiabilidad en los cuales nos gustar´ıa calcular la
probabilidad de que una operaci´on particular tenga exito.
La operaci´on consta de n componenetes.
Cada componente funciona Wi con probabilidad p,
independientemente de cualquier otra componente.
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
28. Problemas de fiabilidad
Dos tipos de operaciones b´asicas:
Componentes en serie: la operaci´on progresa si todas las
componentes funcionan.
P(W ) = P(∩Wi ) = pn
Componentes en paralelo: la operaci´on progresa si alguna
componente funciona.
P(W ) = 1 − P(W c
) = 1 − (1 − p)n
Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad