2. Operaciones de polinomios
Multiplicación algebraica
Productos notables
Factorización por el método del aspa simple
Preliminares
3. • Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.
• Examinar los conocimientos, la rapidez, el criterio y la
madurez en el manejo de las expresiones matemáticas
para la solución de una ecuación cuadrática.
• Desarrollar la habilidad para reconocer el método para
determinar la solución de una ecuación cuadrática.
• Plantear y desarrollar una ecuación de segundo grado a
situaciones reales.
Logros obtenidos
4. Contenidos
1.2 Tipos de ecuaciones cuadráticas y sus raíces
1.4 Propiedades de las raíces
1.3 Discriminante
1.1 Ecuación cuadrática
5. x2
x1
1.1. La ecuación cuadrática
La ecuación cuadrática o de segundo grado, es de la forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0
Y como toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces, significa
que la función posee dos “ceros”. Si éstas son reales, corresponden a los
puntos de intersección de la parábola f 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 con el eje 𝑋.
Ejemplo: 3𝑥2
− 1 = 0, 3𝑥2
+ 2𝑥 = 0, 2𝑥2
− 4𝑥 + 6 = 0
O que son reducibles a esta forma por transformaciones algebraicas.
6. A. Ecuaciones incompletas (𝒃 = 𝟎 ó 𝒄 = 𝟎)
• Incompleta Pura: son de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0, con 𝑏 = 0.
Sus soluciones son:
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 4𝑥2 − 36 = 0
/:4
/√ x1 = 3
x2 = -3
1.2. Tipos de ecuaciones cuadráticas y sus raíces:
𝑥1 = −
𝑐
𝑎
𝑥2 = − −
𝑐
𝑎
4𝑥2 = 36
𝑥2
=
36
4
𝑥2 = 9
𝑥 = ±3
7. • Incompleta Binomia: son de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0, con 𝑐 = 0.
Sus soluciones son:
x1 = 0
x2 = 5/2
𝑥1 = 0
𝑥2 = −𝑏/𝑎
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 6𝑥2
− 15𝑥 = 0.
De acuerdo a la ecuación tenemos que 𝑎 = 6 y 𝑏 = −15
𝑥 = −(−15)/6 Simplificamos por /:3
𝑥 = 5/2
Primera solución
8. Fórmula para determinar sus soluciones (raíces) es:
Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: 𝑥2
− 3𝑥 − 4 = 0
B. Completa general:
Se obtiene el valor de: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3 y 𝑐 = −4 y se reemplazan
en la fórmula dada:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−3) ± (−3)2−4(1)(−4)
2(1)
𝑥 =
3 ± 9 + 16
2
9. También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como
producto de binomios, por el método del aspa simple:
𝑥 =
3 ± 25
2
𝑥 =
3 ± 5
2
𝑥 =
8
2
𝑥 = −
2
2
𝑥1 = 4 𝑥2 = −1
𝑥2
− 3𝑥 − 4 = 0
𝑥 − 4 𝑥 + 1 = 0
𝑥 − 4 = 0 𝑥 + 1 = 0
ó
𝑥1 = 4 𝑥2 = −1
10. C. Ecuaciones reducibles a cuadráticas
Son ecuaciones reducibles a ecuaciones cuadráticas mediante
transformaciones algebraicas:
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
Que es una ecuación cuadrática completa general.
𝑥 𝑥 + 1 𝑥 + 3 = 𝑥3
+ 2𝑥 − 5
Por transformaciones algebraicas se obtienen sucesivamente:
𝑥3
+ 4𝑥2
+ 3𝑥 = 𝑥3
+ 2𝑥 − 5
4𝑥2 + 𝑥 + 5 = 0
14. Discusión de la naturaleza de soluciones de una
ecuación cuadrática
¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de 2º grado?
Dedúcelo, sin resolverlo:
0
3
7
2
x
x 0
45
5 2
x
0
45
2 2
x
x 0
9
6
2
x
x
Una ecuación de segundo grado puede tener:
• dos soluciones reales distintas
• una solución real doble (un mismo valor repetido dos
veces)
• ninguna solución real (es decir, no nos sale ningún valor
real)
15. En una ecuación de segundo grado, el discriminante es el número
a) Si el discriminante es positivo (∆> 𝟎), entonces la ecuación cuadrática
tiene dos soluciones reales x1, x2 y además son distintas 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐.
1.3. Discriminante
permite conocer la naturaleza de las raíces.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
c) Si el discriminante es negativo (∆< 𝟎), entonces la ecuación cuadrática
no tiene solución real, es decir, sus raíces son imaginarias.
b) Si el discriminante es a cero (∆= 𝟎), entonces la ecuación cuadrática
tiene dos raíces reales e iguales 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐.
16. Si 𝑥1 y 𝑥2 son las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, entonces:
1) Suma de raíces:
2) Producto de Raíces:
3) Diferencia de raíces:
4) Suma de inversos:
1.4. Propiedades de las raíces
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
𝑥1 − 𝑥2 =
∆
𝑎
1
𝑥1
+
1
𝑥2
= −
𝑏
𝑎
