Ec de segundo grado

1. Marzo 2020
Ecuación de Segundo Grado

2. Ecuaciones de Segundo Grado
Donde 𝒂, 𝒃 𝑦 𝒄 se llaman coeficientes y son números reales, 𝑎 ≠ 0.
Una ecuación de segundo grado, llamada también ecuación cuadrática, tiene
la forma general
¿ Por qué 𝒂 no puede ser cero?
𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Polinomio de grado 2
𝑎,
b,
c,
es el coeficiente del término cuadrático
es el coeficiente del término lineal
es el coeficiente libre

3. Clasificación de las ecuaciones Cuadráticas
Ecuación Cuadrática
Ecuación Completa: todos los coeficientes son distintos
de cero.
Ecuación Incompleta: El coeficiente de 𝑥, y/o el
coeficiente libre pueden ser cero
Ej: 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0
Ej: 2𝑥2 − 𝑥 = 0 , 4𝑥2 − 1 = 0

4. Resolución de una ecuación de Segundo Grado
Una ecuación cuadrática tiene dos soluciones (de acuerdo al grado de la ecuación es la
cantidad de soluciones que tiene), que pueden ser:
✓ Reales y distintas
✓ Reales e iguales
✓ Complejas conjugadas

5. Por ejemplo la ecuación incompleta 2𝑥2 − 𝑥 = 0
2𝑥2 − 𝑥 = 0
𝑥 ∙ (2𝑥 − 1) = 0Se factoriza
Tener en cuenta que , si 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 entonces 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0
Utilizamos este razonamiento y tenemos que:
𝑥 = 0 ∨ (2𝑥 − 1) = 0
Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver factorizando
𝑥 =
1
2
Recuerde que las soluciones deben satisfacer la ecuación, verifique!
Las soluciones
obtenidas son
reales y distintas

6. Resolución de una ecuación incompleta
Otro ejemplo en ecuación incompleta 4𝑥2 − 1 = 0,
4𝑥2 − 1 = 0
(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 0
Factorización, Suma por su Diferencia
Entonces 2𝑥 − 1 = 0 ∨ 2𝑥 + 1 = 0
Al despejar cada ecuación lineal se tiene,
𝒙 𝟏 =
𝟏
𝟐
𝒙 𝟐 = −
𝟏
𝟐
∧

7. Para este tipo de ecuaciones incompletas también se puede despejar directamente
la incognita, aislando el término cuadrático y extrayendo la raíz cuadrada a ambos
lados de la igualdad (propiedad de la igualdad)
4𝑥2 − 1 = 0 4𝑥2 = 1
𝑥2 = ±
1
4
/
𝑥 = ±
1
2
𝑥1 =
1
2
𝑥1 = −
1
2
∧
𝑥2 =
1
4

8. Todas las ecuaciones cuadráticas de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se pueden resolver con la fórmula
𝒙 𝟏 =
−𝒃+ 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
y 𝒙 𝟐 =
−𝒃 − 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
De donde 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Fórmula General para resolver cualquier Ecuación Cuadrática

9. Ejemplo: 𝑥2
+ 3𝑥 − 2 = 0
𝑥 =
−3 ± 32 − 4 ∙ 1 ∙ −2
2 ∙ 1
𝑎 = 1, 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = −2Los coeficientes son
𝑥 =
−3 ± 9 + 8
2 ∙ 1
𝑥 =
−3 ± 17
2
𝑥1 =
−3 + 17
2
𝑥2 =
−3 − 17
2
𝑥1 = 0,562 𝑥2 = −3,562
Las soluciones
obtenidas son
reales y distintas

10. Otro ejemplo: 𝑥2 + 4 = 0
Los coeficientes son 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 𝑐 = 4
𝑥 =
0 ± 02 − 4 ∙ 1 ∙ 4
2 ∙ 1
=
± −16
2
=
± 16 ∙ −1
2
=
± 16 ∙ −1
2
=
±4 ∙ 𝑖
2
Unidad Imaginaria
𝑖 = −1
= ±2𝑖
𝑥1 = 2𝑖 𝑥2 = −2𝑖y
Las soluciones
son complejas
conjugadas

11. Cuando se tiene una ecuación que involucre tanto fracciones numéricas como
algebraicas, se recomienda multiplicar tal ecuación por en M.C.M entre los
denominadores, reducir hasta tener la forma general de la ecuación:
Ejemplo: 𝑥 − 1
2𝑥
−
2𝑥
3
= 1 / 6𝑥
3 𝑥 − 1 − 4𝑥2 = 6𝑥
3𝑥 − 3 − 4𝑥2 = 6𝑥
3𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 6𝑥 = 0
−4𝑥2
− 3𝑥 − 3 = 0 / ∙ −1
4𝑥2
+ 3𝑥 + 3 = 0 Resolver la ecuación

12. Ejercicios:
c)
2𝑥−1
𝑥
−
𝑥+2
𝑥−1
=
1
2
a) (3𝑥 + 2)2
− 2𝑥 − 1 𝑥 + 2 = 0
b) (𝑥 − 2)2
− 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0

13. Problemas
1. La hipotenusa de un triángulo rectánguo mide 17 cm y las medidas de los catetos tienen 7
cm de diferncia. Determinar la medida de los catetos
17
Sea 𝒙: medida de uno de los cateto,
entonces el otro cateto se podría expresar como 𝒙 + 𝟕 o 𝒙 − 𝟕
usaremos 𝒙 + 𝟕, de tarea queda resolver la ecuación utilizando 𝑥 − 7
La ecuación es entonces
𝑥2 + (𝑥 + 7)2= 172
𝑥2 + 𝑥2 + 14x + 49 = 289
2𝑥2
+ 14x + 49 − 289 = 0
2𝑥2 + 14x − 240 = 0 / ∙
1
2
𝑥2
+ 7x − 120 = 0
𝑥 =
−7 ± 72 − 4 ∙ 1 ∙ −120
2 ∙ 1
𝑥 + 7
𝑥
𝑥 =
−7 ± 529
2
=
𝑥1 =
16
2
= 8
𝑥2 =
−30
2
= −15
La solución 𝑥2 no sirve, dado que lo
calculando son longitudes que no
pueden ser negativas
Solución:
Respondiendo a la pregunta, los lados miden 8 y (8+7)=15 cm
Teo de Pitágoras
−7 ± 23
2
=

14. 2. Un grupo de accionistas determina que se debe tener un monto de ahorro para cubrir posibles
futiuras pérdidas generaas por bajas en las acciones.
Los accionistas determinan un monto total a reunir entre todos de 45 millones de pesos y cada
accionista debe pagar partes equitativas.
Antes de hacer los pagos, se acepta en este grupo 6 nuevos accionistas que deberán también
pagar la cuota correspondiente que ahora será 250 mil pesos menos.
¿ Cuántos son los accionistas?
Solución:
Sea 𝑥: Nº total de accionistas
Se pueden plantear
las ecuaciones
y 𝐶: cuota a pagar
𝑥 ∙ 𝐶 = 45 ⟹ C =
45
𝑥
(𝑥 − 6) ∙ (𝐶 + 0,25) = 45
(𝑥 − 6) ∙
45
𝑥
+ 0,25 = 45/ ∙ 𝑥
𝑥 ∙ (𝑥 − 6) ∙
45
𝑥
+ 0,25 = 45𝑥
(𝑥 − 6) ∙ 𝑥 ∙
45
𝑥
+ 0,25 = 45𝑥
(𝑥 − 6) ∙ 45 + 0,25𝑥 = 45𝑥
0,25𝑥2 − 1,5𝑥 − 270 = 0
45𝑥 + 0,25𝑥2
− 270 − 1,5𝑥 = 45𝑥
𝑥2
− 6𝑥 − 1080 = 0
/ ∙ 4
Reemplazando la
expresión de cuota en
la segunda ecuación
(llevando todo a unidad de millones)

15. 𝑥2 − 6𝑥 − 1080 = 0
𝑥 =
−(−6) ± (−6)2−4 ∙ 1 ∙ −1080
2 ∙ 1
𝑥 =
6 ± 36 + 1320
2
𝑥1 =
72
2
= 36
𝑥2 =
−60
2
= −30
=
6 ± 4356
2
=
6 ± 66
2
La solución 𝑥2 no sirve,
dado que lo calculando son
nro de personas que no
pueden ser negativas
Respondiendo a la pregunta, la cantidad total de accionistas son 36