Este documento define ecuaciones cuadráticas y describe métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas. Las ecuaciones cuadráticas se clasifican como completas o incompletas. Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas incluyen factorización, completar cuadrados y usar la fórmula general. Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas implican factorizar, transponer términos e igualar factores a cero.

1. UNIDAD 5

2. DEFINICIÓN
Una ecuación cuadrática o de segundo grado con
una incógnita es aquella ecuación en que el mayor
exponente de la incógnita es 2.
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Una ecuación de segundo grado con una incógnita
está dada de la forma típica o canónica:
(𝑎 ≠ 0)

3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO CON UNA INCÓGNITA
Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
con una incógnita se clasifican en:
- Ecuaciones completas.
- Ecuaciones incompletas.

4. ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCÓGNITA
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
(Forma particular)
(Forma general)
𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
2𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
Ejemplo:
Ejemplo:

5. ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCÓGNITA
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 = 𝟎
(b=0)
(c=0)
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒄 = 𝟎
5𝑥2
− 125 = 0
3𝑥2
− 6𝑥 = 0
Ejemplo:
Ejemplo:
𝒂𝒙𝟐
= 𝟎 (b=0; c=0)
Ejemplo: 2𝑥2
= 0

6. 1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE
SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
a) Resolución de ecuaciones incompletas de la
forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0. Procedimiento:
1. La ecuación debe tomar la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0.
2. Se factoriza la incógnita 𝑥 en el primer miembro.
3. Se iguala cada factor a cero.
4. Se resuelve la ecuación lineal o de primer grado.
5. Se despeja la incógnita para hallar el valor de 𝑥.
6. Se verifican las soluciones en la ecuación original.

7. Factorizando el primer miembro
3𝑥2
− 6𝑥 = 0
Ejemplo:
𝑥(3𝑥 − 6) = 0
3𝑥 − 6 = 0
𝑥1 = 0
𝑥 =
6
3
3𝑥 = 6
𝑥2 = 2
∨
∴ 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 2
Igualando cada factor a cero
Transponiendo términos
Despejando la incógnita 𝑥
Raíces de la ecuación
Efectuando la división
Ecuación incompleta
Resuelve la ecuación:

8. b) Resolución de ecuaciones incompletas de la
forma 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0. Procedimiento:
1. La ecuación debe tomar la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0.
2. Se transpone el término independiente.
3. Se despeja 𝑥2
del primer miembro.
4. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.
5. Se separan ambas raíces de 𝑥.
6. Se verifican las soluciones en la ecuación original.

9. Transponiendo el término independiente
5𝑥2
− 125 = 0
Ejemplo:
5𝑥2
= 125
𝑥2
=
125
5
𝑥2 = ± 25
𝑥2
= 25
𝑥 = ±5
∴ 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −5
Despejando 𝑥2
Efectuando la división
Aplicando raíz cuadrada m/m
Raíces de la ecuación
Extrayendo la raíz cuadrada
Ecuación incompleta
Resuelve la ecuación:

10. c) Resolución de ecuaciones incompletas de la
forma 𝑎𝑥2
= 0. Procedimiento:
1. La ecuación debe tomar la forma 𝑎𝑥2
= 0.
2. Se despeja 𝑥2
del primer miembro.
3. Se efectúa la división en el segundo miembro.
4. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.
5. Se despeja la incógnita para hallar el valor de 𝑥.
6. Se verifican las soluciones en la ecuación original.

11. 2𝑥2
= 0
Ejemplo:
𝑥2
=
0
2
𝑥2 = ± 0
𝑥2
= 0
𝑥 = ±0
∴ 𝑥 = 0
Despejando 𝑥2
Efectuando la división
Aplicando raíz cuadrada m/m
Raíz de la ecuación
Extrayendo la raíz cuadrada
Ecuación incompleta
Resuelve la ecuación:

12. 2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS DE
SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Métodos de resolución:
1. Método de factorización.
2. Método de completando cuadrados.
3. Método de la fórmula general.

13. 1. Método de factorización. Procedimiento:
1. La ecuación debe tomar la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
2. Se factoriza el primer miembro.
3. Se iguala cada factor a cero.
4. Se resuelven las ecuaciones lineales así formadas.
5. Se efectúan operaciones para hallar el valor de 𝑥.
6. Se verifican las soluciones en la ecuación original.

14. Factorizando el primer miembro
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
Ejemplo 1:
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 + 1 = 0
𝑥 − 2 = 0
𝑥2 = −1
∨
∴ 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −1
Igualando cada factor a cero
Transponiendo términos
Raíces de la ecuación
Ecuación completa
𝑥1 = 2
Resuelve la ecuación:

15. Factorizando el primer miembro
2𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
Ejemplo 2:
(𝑥 − 2)(2𝑥 − 1) = 0
2𝑥 − 1 = 0
𝑥 − 2 = 0
𝑥2 =
1
2
∨
∴ 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 1/2
Igualando cada factor a cero
Transponiendo términos
Raíces de la ecuación
Ecuación completa
𝑥1 = 2 2𝑥 = 1
Despejando 𝑥
Resuelve la ecuación:

16. FACTORIZACIÓN POR EL MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Aplicando
2𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
Ejemplo 3:
𝑥
2𝑥 −1
−5𝑥
−2
∴ 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 1/2
el
Método
Aspa simple
Ecuación completa
−4𝑥
−𝑥
del
=
=
(𝑥 − 2)(2𝑥 − 1) = 0 Factorizando
Raíces de la ecuación

17. 2. Método de completando cuadrados. Procedimiento:
1. Se divide la ecuación por el coeficiente 𝑎.
2. Se traslada el término independiente al 2° miembro.
3. Se suma ambos miembros por la mitad del
coeficiente del segundo término.
4. Se factoriza el primer miembro y se opera en el 2°.
5. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.
6. Se resuelven las dos ecuaciones de primer grado.
7. Se verifican las raíces en la ecuación original.

18. Completando cuadrados
en ambos miembros
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
Ejemplo 1:
𝑥2
− 𝑥 + 1
2
2
= 2 + 1
2
2
𝑥 − 1
2
2
= 2 + 1
4
Factorizando el primer miembro
y operando el segundo
Hallando el m.c.d. en el
segundo miembro
Ecuación completa
Resuelve la ecuación:
𝑥2
− 𝑥 = 2 Transponiendo el término independiente
𝑥 − 1
2
2
= 8+1
4
𝑥 − 1
2
2
= 9
4
Efectuando operaciones en
el segundo miembro

19. Aplicando raíces cuadradas en
ambos miembros
𝑥 = 1
2
± 3
2
𝑥 − 1
2
= ±3
2
𝑥2 = 1
2
− 3
2
= 1−3
2
= −
2
2
= −1
⟹
∴ 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −1
Extrayendo raíces en ambos
miembros
Despejando la incógnita 𝑥
Raíces de la ecuación
𝑥1 = 1
2
+ 3
2
= 1+3
2
= 4
2
= 2
𝑥 − 1
2
2
= ± 9
4
Efectuando operaciones

20. Completando cuadrados
en ambos miembros
2𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
Ejemplo 2:
𝑥2
− 5
2
𝑥 + 5
4
2
= −1 + 25
16
Factorizando el primer miembro
y operando el segundo
Ecuación completa
Resuelve la ecuación:
𝑥2
− 5
2
𝑥 = −1 Transponiendo el término independiente
𝑥 − 5
4
2
= −16+25
16
𝑥 − 5
4
2
= 9
16
Efectuando operaciones en
el segundo miembro
// ÷ 2
𝑥2
− 5
2
𝑥 + 1 = 0 Dividiendo la ecuación entre 2

21. Aplicando raíces cuadradas en
ambos miembros
𝑥 = 5
4
± 3
4
𝑥 − 5
4
= ±3
4
𝑥2 = 5
4
− 3
4
= 5−3
4
= 2
4
= 1
2
⟹
∴ 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 1/2
Extrayendo raíces en ambos
miembros
Despejando la incógnita 𝑥
Raíces de la ecuación
𝑥1 = 5
4
+ 3
4
= 5+3
4
= 8
4
= 2
𝑥 − 5
4
2
= ± 9
16
Efectuando operaciones

22. 3. Método de la fórmula general. Procedimiento:
1. La ecuación debe tomar la forma canónica
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
2. Se sustituyen los valores de los coeficientes 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
3. Se efectúan las operaciones indicadas en la
fórmula general sustituida.
4. Se resuelven las dos ecuaciones de primer grado
resultantes.
5. Se verifica las raíces o soluciones en la ecuación
original o primitiva.

23. FÓRMULA GENERAL
Llamada también fórmula cuadrática o de segundo
grado, está dada de la forma:
𝑥 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
(𝑎 ≠ 0)

24. Sustituyendo valores de a, b y c
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
Ejemplo 1:
𝑥 =
−(−1) ± (−1)2−4(1)(−2)
2(1)
Efectuando operaciones
Efectuando la suma
dentro del radical
Resuelve la ecuación:
Donde: a=1; b=–1; c=–2
𝑥 =
1 ± 1 + 8
2
𝑥 =
1 ± 9
2

25. Extrayendo la raíz cuadrada
𝑥 =
1 ± 3
2
𝑥 =
1 + 3
2
𝑥2 = −1
∨
∴ 𝑥1 = 2, 𝑥2 = −1
Separando las raíces de la
ecuación
Efectuando la división
Raíces de la ecuación
𝑥1 = 2
𝑥 =
1 − 3
2
𝑥 = −
2
2
𝑥 =
4
2
Efectuando operaciones

26. Sustituyendo valores de a, b y c
2𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
Ejemplo 2:
𝑥 =
−(−5) ± (−5)2−4(2)(2)
2(2)
Efectuando operaciones
Efectuando la diferencia
dentro del radical
Resuelve la ecuación:
Donde: a=2; b=–5; c=2
𝑥 =
5 ± 25 − 16
4
𝑥 =
5 ± 9
4

27. Extrayendo la raíz cuadrada
𝑥 =
5 ± 3
4
𝑥 =
5 + 3
4
𝑥2 =
1
2
∨
∴ 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 1/2
Separando las raíces de la
ecuación
Efectuando la división y
simplificación
Raíces de la ecuación
𝑥1 = 2
𝑥 =
5 − 3
4
𝑥 =
2
4
𝑥 =
8
4
Efectuando operaciones