Optimizacion

1. Clase 03.01
PROGRAMACION NO LINEAL

2. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
a. Condición de primer orden: ∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 0,0 Con esto se obtendrán los puntos críticos donde
la derivada direccional o gradiente es cero, estos puntos críticos pueden ser máximos y/o mínimo
locales o globales o en su defecto puntos de sillas.
∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 0,0
Mínimo Global
∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 0,0
Máximo Global
Curvas CONVEXAS

3. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
a. Condición de primer orden: ∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 0,0 Con esto se obtendrán los puntos críticos donde la derivada direccional o
gradiente es cero, estos puntos críticos pueden ser máximos y/o mínimo locales o globales o en su defecto puntos de sillas.
∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 0,0
∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 0,0
Máximo Local
Mínimo Local
Curvas NO CONVEXAS

4. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
a. Condición de primer orden: ∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = (DF/dx1,
DF/dx2)= 0,0 Con esto se obtendrán los puntos críticos donde la derivada
direccional o gradiente es cero, estos puntos críticos pueden ser máximos y/o mínimo locales o globales o en su defecto
puntos de sillas.
b. Condición de Segundo orden: ∇(2)
𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐻 Donde H es el hessiano (matriz).
El hessiano es una matriz Mnxn donde n es la cantidad de variables que tenga el ejercicio.
Definición: DF/dx1 = Fx1; DF/dx2 = Fx2
H =
𝐹𝑥1𝑥1
𝐹
𝑥1𝑥2
𝐹𝑥2𝑥1
𝐹
𝑥2𝑥2
Calcular el L = Determinante (H) = Fx1x1 x Fx2x2 – Fx2x1 x Fx1x2

5. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
b. Condición de Segundo orden: ∇(2)
𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐻 Donde H es el hessiano (matriz).
H =
𝐹𝑥1𝑥1
𝐹𝑥1𝑥2
𝐹𝑥2𝑥1
𝐹𝑥2𝑥2
; Calcular el L= Fx1x1 x Fx2x2 – Fx2x1 x Fx1x2
(1) Caso con un solo punto crítico; Si L es un número real y un valor constante se pueden obtener
tres escenarios
(1) Caso 1: Si L < 0, entonces el punto crítico encontrado no es ní máximo, ni mínimo, es punto de silla.
(2) Caso 2: Si L > 0, Entonces el punto crítico será
(1) Máximo global, ssi Fx1x1 y Fx2x2 sean ambos < 0.
(2) Mínimo Global, ssi Fx1x1 y Fx2x2 sean ambos > 0.
(3) Caso 3: Si L=0, no se puede concluir nada.
G(p1,p2) = 6.300p1 - 30p1
2 + 6.500p2 - 50p2
2 – 120.000

6. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
G(p1,p2) = 6.300p1 - 30p1
2 + 6.500p2 - 50p2
2 – 120.000
1) Condiciones de primer orden
Resuelva un modelo de programación no lineal que
permita determinar qué precios se debe cobrar a cada
cliente para maximizar la ganancia total. (PNL Sin
restricciones)
La utilidad máxima se alcanza en USD 422.000
P1=105; p2=65
∇𝐹 𝑥1, 𝑥2 = (DF/dx1,
DF/dx2)= 0,0
∇𝐺 𝑃1, 𝑃2 = (DG/dp1,
DG/dp2)= 0,0
(6.300 -60p1, 6.500 -100p2)= (0,0)
6.300 -60p1 = 0; p1 = 6.300/60=105
6.500 -100p2= 0; p2 = 6.500 /100 = 65
2) Condiciones de segundo orden
H =
𝐹𝑝1𝑝1
𝐹𝑝1𝑝2
𝐹𝑝2𝑝1
𝐹𝑝2𝑝2
=
−60 0
0 −100
= −60 ∗ −100 − 0 ∗ 0 = 6.000 > 0
𝐹𝑝1
𝐹𝑝2
Dado que los elementos de la diagonal del H son ambos negativos y L > 0, entonces p1=105 y p2=65 representa
un máximo global
G(105,65) = 6.300(105)- 30(105)2 + 6.500(65) – 50(65)2 – 120.000= 422.000

7. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
b. Condición de Segundo orden: ∇(2)
𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐻 Donde H es el hessiano (matriz).
H =
𝐹𝑥1𝑥1
𝐹𝑥1𝑥2
𝐹𝑥2𝑥1
𝐹𝑥2𝑥2
; Calcular el L= Fx1x1 x Fx2x2 – Fx2x1 x Fx1x2
(2) Caso con más de un punto crítico; Si tenemos dos puntos críticos P1 =(x1
1,x2
1); P2 =(x1
2,x2
2)
En este caso L no será un número real por defecto, si no que una expresión algebraica L =M(x1,x2)
(1) Caso 1: Si L= M(P1) < 0 y/o L= M(P2) < 0 entonces el (Los) punto(s) crítico(s) encontrado (s) no (son) es ní
máximo, ni mínimo, es (son) punto de silla.
(2) Caso 2: Si M(P1) > 0 y/o M(P2) > 0, Entonces el punto crítico será
(1) Máximo local, ssi Fx1x1 y Fx2x2 sean ambos < 0.
(2) Mínimo local, ssi Fx1x1 y Fx2x2 sean ambos > 0.
(3) Caso 3: Si L=0, no se puede concluir nada.

8. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
Ejemplo 2: F(x1,x2)= x1
3- 3x1
2 +3x2
2 – x2
3
1. Condiciones de primer orden
𝜵𝑭 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟎
DF/dx1 = Fx1; DF/dx2 = Fx2
(3x1
2 -6x1, 6x2 – 3x2
2) = (0,0)
(1) 3x1
2- 6x1 = 0; 3x1 (x1 – 2) =0; 3x1 =0; (a) x1=0 (b) (x1 – 2)=0 ; x1 =2
(2) 6x2 -3x2
2 =0; 3x2 (2 – x2)=0; 3x2 =0; (c) x2=0 (b) (2 – x2)=0 ; x2 =2
Existen 4 puntos críticos (0,0); (2,0);(0,2) (2,2)

9. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
Existen 4 puntos críticos (0,0); (2,0);(0,2) (2,2)
Ejemplo 2: F(x1,x2)= x1
3- 3x1
2 +3x2
2 – x2
3
2. Condiciones de segundo orden (La segunda derivada de F(x1,x2))
(3x1
2 – 6x1, 6x2 -3x2
2)= (0,0)
Fx1 Fx2
H =
𝐹𝑥1𝑥1
𝐹
𝑥1𝑥2
𝐹𝑥2𝑥1
𝐹
𝑥2𝑥2
=
6𝑥1 − 6 0
0 6 − 6𝑥2
, DET(H) = L= Fx1x1 x Fx2x2 – Fx2x1 x Fx1x2 = (6𝑥1 − 6) x(6 − 6𝑥2) – (0 x 0)= (𝟔𝒙𝟏 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔𝒙𝟐) =L = M(x1,x2)
M(x1,x2)=(𝟔𝒙𝟏 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔𝒙𝟐) se deben reemplazar cada uno de los puntos críticos (0,0); (2,0);(0,2) (2,2) en M(x1,x2)e tal forma de analizar
que es cada punto.

10. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
Ejemplo 2: F(x1,x2)= x1
3- 3x1
2 +3x2
2 – x2
3
2. Condiciones de segundo orden (La segunda derivada de F(x1,x2))
H =
𝐹𝑥1𝑥1
𝐹
𝑥1𝑥2
𝐹𝑥2𝑥1
𝐹
𝑥2𝑥2
=
6𝑥1 − 6 0
0 6 − 6𝑥2
, DET(H) = L= Fx1x1 x Fx2x2 – Fx2x1 x Fx1x2 = (6𝑥1 − 6) x(6 − 6𝑥2) – (0 x 0)= (𝟔𝒙𝟏 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔𝒙𝟐) =L = M(x1,x2)
L=M(x1,x2)=(𝟔𝒙𝟏 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔𝒙𝟐) se deben reemplazar cada uno de los puntos críticos (0,0); (2,0);(0,2) (2,2) en M(x1,x2)e tal forma de analizar
que es cada punto.
L (0,0) = (𝟔 ∗ 𝟎 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔 ∗ 𝟎)= -6 * 6 = -36 < 0 (0,0) Punto de Silla
L (2,0) = (𝟔 ∗ 𝟐 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔 ∗ 𝟎)= 6 x 6 = 36 > 0; como la diagonal es >0; (2,0) Mínimo local
L (0,2) = (𝟔 ∗ 𝟎 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔 ∗ 𝟐)= -6 x -6 = 36 > 0; como la diagonal es <0 (0,2) Máximo local.
L (2,2) = (𝟔 ∗ 𝟐 − 𝟔) x(𝟔 − 𝟔 ∗ 𝟐)= 6 x -6 = -36 < 0; (2,2) Punto de Silla

11. Unidad 4: Programación NO lineal SIN restricciones
Ejemplo 3: Una empresa tiene dos talleres. El primero
puede operar un máximo de 40 horas semanales y el
segundo un máximo de 60 horas por semana. Cada hora
de trabajo en el primer taller da cómo resultado 3
toneladas de producto terminado, mientras que en el
segundo taller da 4 toneladas. La empresa tiene
compromisos con sus clientes para vender por lo
menos 175 toneladas semanales. Además, por razones
de política sindical, la empresa quiere operar al menos el
mismo número de horas en el segundo taller respecto
del primero. Si x1 y x2 son el número de horas trabajadas
en la empresa y la función costos es: C(x1, x2) = x1
2 + x2
2 -
50x1 -10x2 +650.
a) Formule y estime una solución un modelo para calcular
el número de horas que se han de trabajar en cada taller
para minimizar los costos.
3.1) Definir las variables
X1 = Número de horas a operar del taller 1 en la semana.
X2 = Número de horas a operar del taller 2 en la semana.
3.2) Definir la función objetivo: Minimizar los costos de producción
C(x1, x2) = x1
2 + x2
2 -50x1 -10x2 +650.
3.3) Restricciones
3.3.1) Disponibilidad de horas taller 1 (Horas): x1≤ 40
3.3.2) Disponibilidad de horas taller 2 (Horas): x2≤ 60
3.3.3) Demanda mínima (Ton): 3x1 + 4x2 ≥ 175
3.3.4) Política Sindical (Horas): x2 ≥ x1
3.3.5) No negatividad: x1, x2 ≥ 0