1. República Bolivariana de Venezuela
I. U. P. “Santiago Mariño”
Optimización de Sistemas y Funciones
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez
Métodos de Optimización
(Ejercicios)
Elaborado por:
María Virginia Martínez

2. Condiciones de Khun- Tucker
En programación matemática, las condiciones de Kuhn-Tucker (también conocidas como las
condiciones KKT o Kuhn-Tucker), son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un
problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de los
Multiplicadores de LaGrange.
Ejemplo:
Maximizar la función de beneficio sujeto a una restricción de producción.
Maximizar: 𝜋= 64x – 2x2 + 96y – 4y2 – 13
Sujeto a: x + y≤ 36
Solución:
Paso 1: Formar la función Langragiana
𝜋= 64x – 2x2 + 96y – 4y2 – 13 + 𝜆 (36 – x- y)
Paso 2: Por las condiciones de Kuhn- Tucker
𝜋 𝑥= 64- 4x –λ ≤ 0 𝜋 𝑦=96- 8y – λ ≤ 0 𝜋 𝜆=36 – x -y≥ 0
x≥0 y≥0 λ≥0
x (64 -4x -λ) =0 y (96 -8y -λ)=0 λ (36 –x -y)=0

3. Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn- Tucker
(a) Si λ, x, y > 0 entonces las condiciones de Kuhn- Tucker llevan a:
64 – 4x – λ= 0
96 -8y –λ= 0
36 –x –y=0
En forma de matriz,
−4 0 −1
0 −8 −1
−1 −1 0
𝑥
𝑦
𝜆
=
−64
−96
−36
Usando la Regla de Cramer donde:
𝐴 = 12 𝐴 𝑥 = 256 𝐴 𝑦 = 176 𝐴 𝜆 = −256
Se obtiene que: x= 21.33 y= 14.67 λ= -21.33
Lo cual no puede ser óptimo ya que λ < 0 y contradice de Kuhn- Tucker.
(b) Si λ =0 y x,y> 0 entonces
64 -4x=0 x=16
96 -8y= 0 y= 12
Esto da la solución correcta: x=16, y= 12 y λ= 0, lo cual es óptimo ya que no viola ninguna
condición de Kuhn- Tucker

4. Otro Ejemplo:
Sean X= {(x, y) ϵ R2 / x2 + y2 ≤ 2, x ≥ -y} y
f (x, y)= (x -1)2+ y2
¿Cumplen (1/2, 1/2) y (1, 1) las condiciones de Kuhn- Tucker? Aplicando los teoremas de Kuhn-
Tucker ¿Qué se puede concluir sobre ambos puntos?
Solución:
Se escribe el problema en su forma estándar:
Las condiciones de Kuhn Tucker para el problema se escriben
KT1: 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜆1 𝛻 𝑔1
𝑥, 𝑦 + 𝜆2 𝛻𝑔2
𝑥, 𝑦 + 𝜆3 𝛻𝑔3
𝑥, 𝑦 = 0,0
2𝑥 − 2
2𝑦
+ 𝜆1
2𝑥
2𝑦
+ 𝜆2
1
−1
+ 𝜆3
−1
−1
=
0
0
⇒
2𝑥 − 2 + 𝜆1 𝑥 + 𝜆2 − 𝜆3 = 0
2𝑦 + 2𝜆1 𝑦 − 𝜆2 − 𝜆3 = 0

5. KT2: 𝜆1 𝑔1
𝑥, 𝑦 = 𝜆1 𝑥2
+ 𝑦2
− 2 = 0
𝜆2 𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝜆2 𝑥 − 𝑦 = 0
𝜆3 𝑔3
𝑥, 𝑦 = 𝜆3 −𝑥 − 𝑦 = 0
KT3: 𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 2 ≤ 0
𝑔2
𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 ≤ 0
𝑔3 𝑥, 𝑦 = −𝑥 − 𝑦 ≤ 0
KT4: 𝜆1 ≥ 0, 𝜆2 ≥ 0, 𝜆3 ≥ 0 𝑚𝑖𝑛
𝜆1 ≤ 0, 𝜆2 ≤ 0, 𝜆3 ≤ 0 𝑚𝑎𝑥
Ahora hay que saber si los puntos anteriores cumplen las condiciones de Kuhn – Tucker:

6. Primero con el punto (1/2, 1/2):
KT1:
−1 + 𝜆1 + 𝜆2 − 𝜆3 = 0
1 + 𝜆1 − 𝜆2 − 𝜆3 = 0
KT2: 𝜆1 𝑔1 1
2
,
1
2
= 𝜆1 −
3
2
= 0 ⇒ 𝜆1 = 0
𝜆2 𝑔2
1
2
,
1
2
= 𝜆20 = 0
𝜆3 𝑔3
1
2
,
1
2
= 𝜆3 −1 = 0 ⇒ 𝜆3 = 0
Sustituyendo en KT1
−1 + 𝜆2 = 0
1 − 𝜆2 = 0
⇒ 𝜆2 = 1
KT3: 𝑔1 1
2
,
1
2
= −
3
2
≤ 0, 𝑔2 1
2
,
1
2
= 0, 𝑔3 1
2
,
1
2
= −1 ≤ 0
KT4: 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 1, 𝜆3 = 0
En conclusión, el punto
1
2
,
1
2
cumple las condiciones de KT de mínimo.

7. Ahora el punto (1, 1)
KT1:
2𝜆1 + 𝜆2 − 𝜆3 = 0
2 + 2𝜆1 − 𝜆2 − 𝜆3 = 0
KT2: 𝜆1 𝑔1
1,1 = 𝜆10 = 0
𝜆2 𝑔2 1,1 = 𝜆20 = 0
𝜆3 𝑔3 1,1 = 𝜆3 −2 = 0 ⇒ 𝜆3 = 0
Sustituyendo en KT1
2𝜆1 + 𝜆2 = 0
2 + 2𝜆1 − 𝜆2 = 0
⇒ 𝜆1 = −
1
2
, 𝜆2 = 1
KT3: 𝑔1
1,1 = 0, 𝑔2
1,1 = 0, 𝑔3
1,1 = −2 ≤ 0
KT4: 𝜆1 = −
1
2
, 𝜆2 = 1, 𝜆3 = 0
En conclusión, el punto (1,1) no cumple las condiciones de KT.

8. Para aplicar los teoremas de KT hay que comprobar si se cumplen las condiciones de regularidad:
R1: f, g1, g2, g3 diferenciables en R2
R2: g2 y g3 son lineales luego convexas en R3
g1 ϵ C2 (R2) se escribe su matriz hessiana: Hg1 (x, y)=
2 0
0 2
Esta matriz es definida positiva, luego g1 es convexa en R2
𝑅3
𝑔1
(0,
1
2
= 0 + (
1
2
)2
− 2 < 0
𝑔2
0,
1
2
= 0 −
1
2
< 0
𝑔3
0,
1
2
= −0 −
1
2
< 0
R4: f ϵ C2 (R2), su matriz hessiana será: H f (x, y)=
2 0
0 2
Luego f es convexa en R2
Se cumplen R1, R2, R3 y R4, por lo tanto, las condiciones KT son necesarias y suficientes para
mínimo. Se puede concluir que el punto
1
2
,
1
2
es un mínimo y se tiene:
min
(𝑥,𝑦)∈𝑋
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓
1
2
,
1
2
=
1
2

9. Además, al cumplirse las condiciones R1, R2 y R3, se tiene que, todo óptimo que cumplir
necesariamente las condiciones de KT. En conclusión, el punto (1, 1) no es óptimo puesto que no
cumple las condiciones de KT.

10. Matriz Jacobiana
Sea f una función en un punto x0. Como ocurre con toda aplicación lineal se puede calcular la matriz
asociada a la diferencial df (x0) respecto de diversas bases. Concretamente el interés por la
matriz asociada a las bases canónicas
Propiedad: Si f=f1,……fm: Rn→Rm
Es una función diferenciable en un punto x0 entonces
dfx0: Rn→Rm
Es una aplicación lineal y tendría una matriz asociada respecto de las bases canónicas de Rn y Rm.
Esta matriz se llamara matriz jacobiana de f en x0. Se denota por:

11. Ejemplo:
Hallar la matriz jacobiana de la función 𝑓 = ℝ3
→ ℝ2
dada por
𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑐𝑜𝑠𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥3, 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑐𝑜𝑠𝑥2 𝑐𝑜𝑠𝑥3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜(
𝜋
2
,
𝜋
3
,
𝜋
4
)

12. Extremos no restrictos con dos variables
Para que una función como z= f (x, y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones deben ser
satisfechas:
1. Las derivadas parciales de primer orden deben ser simultáneamente ser iguales a cero. Ello
indica que en un punto dado (a, b) llamado “punto crítico”, la función no está creciendo ni
decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie relativa.
2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el
punto crítico (a, b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo relativo. Ello asegura que
la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes principales en el caso de
un de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los
ejes principales en el caso de un mínimo relativo.
3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto crítico deben
exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en dicho punto.
Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o punto de silla. En
resumen:

13. Condición necesaria Máximo Mínimo
Primer orden fx= fy= 0 fx= fy=0
Segundo orden fxx, fyy < 0 y fxx, fyy> (fxy)2 fxx, fyy > 0 y fxx, fyy< (fxy)2
Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto crítico (a, b) o
los puntos críticos que hubieren.
En la situación que fxx fyy<(fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la función esta en
punto de inflexión. Caso contrario, la función estará en punto de silla. Si fxx fyy= (fxy)2
entonces se requeriría mayor información.
Ejemplo:
En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si estos son máximos o
mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:
f (x, y)= 3x3 – 5y2 – 225x + 70y + 23

14. Solución:
Calculando la primera derivada e igualándola a cero.
fx= 9x2 – 225 =0 fy= -10y + 70=0
Resulta: x= ± 5, y=7. Entonces los puntos críticos serán: (5, 7) y (5, -7).
Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)
fxx= 18x fyy= -10 fxx=fyx=0
Evaluando el punto crítico (5, 7):
fxx (5, 7)= 18(5)= 90 fyy (5, 7)= -10
¿Cumple fxx (5, 7). fyy (5, 7)> [fxy(5, 7)]2? 90.(-10)< [0]2 (no cumple)
Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en este
punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto de silla.

15. Evaluando el punto crítico (-5, 7)
fxx (-5, 7) = 18(-5)= 90 fyy(-5, 7)= -10
¿Cumple fxx (-5, 7). fyy (-5, 7)> [fxy (-5, 7)]2? -90. (-10) >0 (Si cumple)
Dado que se cumple fxx (-5, 7). fyy (-5, 7)> [fxy (-5, 7)]2 y además, fxx fyy < 0 entonces el punto en
análisis es un máximo.

16. Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o
minimizar) de una función general f(x, y, z) sometida a alguna condición o restricción de la
forma g(x, y, z)= k.
Ejemplo:
Multiplicador de Lagrange
Max f(x,y,z)= 3x2+ 2y2+4z2 sujeto a: 2x-3y-4z=59
Solución:
Primero se sacan las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable y la
derivada parcial de la restricción con respecto a cada variable multiplicado por lambda
Derivada con respecto a x:
6x= 2λ
Derivada con respecto a y:
4y=- 3λ
Derivada con respecto a z:
8z=- 4λ
Esto debe cumplir la restricción que es 2x – 3y -4z= 59

17. Ahora hay que resolver el sistema de ecuación anterior y despejar lambda de cada una de ellas:
6x= 2λ→ λ= 3x
4y=- 3λ→ λ= -4/3 y
8z=- 4λ→ λ= -2z
Ahora se despejan las variables:
λ= 3x→ x= 1/3 λ
λ= -4/3 y → y= -3/4 λ
λ= -2z → z= -1/2 λ

18. Luego se sustituyen los valores en la restricción:
2(1/3 λ) -3(-3/4 λ)- 4(-1/2 λ)= 59
2/3 λ + 9/4 λ +2λ = 59
59/12 λ= 59
Ahora despejar lambda: λ= 12
Luego, se saca el valor de x, y, z:
X= 1/3(12)= 4
Y= -3/4 (12)= -9
Z= -1/2(12)= -6
Y por último evaluar la función en f(4, -9, -6)
f(4, -9, -6)= 3x2+ 2y2+ 4z2= 3(4)2 +2(-9)2 +4(-6)2= 354
Este es el máximo de la función. La superficie del nivel mas grande que se intersecta con la
superficie dada por la restricción.