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PRODUCTO ACADÉMICO Nº 3 2021-10 Página 1
MATEMÁTICA DISCRETA
Producto Académico Nº 3 2021-10
Semipresencial – Programa Distancia
Asignatura
Matemática Discreta
Datos personales: Ingrese nombre y apellidos.
1. Consideraciones:
Criterio Detalle
Tiempo
aproximado:
Duración 90 minutos
Resultado de
Aprendizaje
de la
Asignatura
Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar
estructuras discretas
elementales para el planteamiento y solución de problemas
de ingeniería.
Instrucciones
para la
resolución de
la evaluación
1) El examen tendrá una duración de 90 minutos.
2) El procedimiento y respuesta se tomará en cuenta para la
calificación.
3) Desarrolla en forma ordenada y con letra legible, evite
borrones y/o enmendaduras.
4) Utilice calculadora, formularios dispuestos por la
asignatura.
5) Grabar el archivo en formato PDF con el siguiente formato:
apellidos y nombres completos, dni.
6) Se aceptarán otros formatos, *.doc, *.jpg, *. png y *.gif,
siempre y cuando lo conviertas a pdf.
7) Los archivos *.rar, *.zip, no se aceptarán, dado que la
evaluación se tiene que calificar y remitir a los estudiantes.
1. Sea 𝐴 = {1, 2, 3, 4} Determine las propiedades de la siguiente relación:
R = {(1, 3), (1, 1), (3, 1), (1, 2), (3, 3), (4, 4)} (3 puntos)
2. En base al grafo del enunciado, determine la matriz de adyacencia y la
matriz de incidencia (3 Puntos)

3. En un colegio X hay alumnos de tres pueblos A, B y C. La distancia entre A y
B es 10 km, la de B a C es 9 km, la de A a C es 12 km y la de A a X es 9 km.
Una empresa de transporte escolar hace dos rutas; la ruta 1 parte de B y
recorre C, A y X. La ruta 2 parte de C y recorre B, A y X.
a) Dibujar el grafo y su matriz de adyacencia, pero con sus ponderaciones.
(1 Punto)
b) Determinar una matriz de 2x3, que guarde las distancias de cada
pueblo al colegio X por cada ruta. (1 Punto)
c) La cantidad de alumnos que se suben al bus en cada ruta es:
o Pueblo A: 10 alumnos en la ruta 1 y 15 en la ruta 2.
o Pueblo B: 9 alumnos en la ruta 1 y 11 en la ruta 2.
o Pueblo C: 8 alumnos en la ruta 1 y 6 en la ruta 2.
Determinar una matriz de 3x2 que guarde la cantidad de alumnos que
siguen cada ruta en cada pueblo. (1 Punto)
d) Suponiendo que se cobra a cada alumno 85 centavos por km recorrido,
determinar cuál es la ruta que más le conviene a la empresa y por qué.
Finalmente, a la empresa le conviene la ruta 1 ya que se cobrará por
kilómetros. (1 Punto)
4. Teniendo el siguiente gráfico
Determine el árbol recubridor de coste mínimo utilizando el Algoritmo de Prim.
(3 Puntos)

5. Del siguiente grafo
a. Determine la matriz de Dijkstra de “1” hasta “4”. (2 puntos)
b. Determine el sub-grafo del camino más corto aplicando el
Algoritmo de Dijkstra. (1 punto)
c. Determine el peso total (1 punto)
6. Resuelve ejercicio de recorrido de árboles:
Encuentre el recorrido de árboles Pre-Order, Post-Order, In- Order y de
Anchura (3 puntos)

Sesión 5 Relaciones Internas
Mgº Juan Alberto Lira Mamani
Docente – Universidad Continental
jlira@continental.edu.pe
WhatsApp 973602676

RELACIONES INTERNAS
PROPÓSITO
El Estudiante:
Estará en la capacidad de reconocer la diferencia entre una relación
binaria y una relación interna a través de una guía de practicas
Utiliza los conceptos de la lógica proposicional para desarrollar
ejercicios utilizando matrices booleanas
Demuestra todo lo aprendido a través de la aplicación de una prueba
de desarrollo.
Mgº Juan Lira

RELACIONES INTERNAS
¿Qué es una relación interna?
Es una relación definida en el mismo conjunto:
R: A  A ; R  AXA
¿que necesitamos saber para identificar una relación?
PAR ORDENADO. Es un objeto matemático de la forma (a, b)
PRODUCTO CARTESIANO. Dados dos conjuntos A y B
diferentes del vacío, el producto cartesiano de AXB es el
conjunto de pares ordenados (x, y) donde x  A  y  B
Mgº Juan Lira

MATRIZ DE ADYACENCIA - GRAFOS
Mgº Juan Lira

MATRIZ DE INCIDENCIA - GRAFOS
Mgº Juan Lira

MATRIZ DE ADYACENCIA - DIGRAFOS
Mgº Juan Lira

MATRIZ DE INCIDENCIA - DIGRAFOS
Mgº Juan Lira

¿Cuál es la diferencia con las relaciones
binarias?
La forma como se grafica. Mientras que las relaciones
binarias se grafican utilizando un plano cartesiano, en
cambio las relaciones internas a parte de graficarse en un
producto cartesiano, también es un conjunto de vértices y
aristas.
La interpretación de cada grafica respectivamente.
Las aplicaciones dentro de las ramas de la ingeniería
Mgº Juan Lira

MATRICES BOOLEANAS
• ¿Qué son las matrices booleanas?
Son arreglos rectangulares cuyos elementos son solamente
ceros y unos.
• .¿Qué propiedades tienen las matrices booleanas?
• Permiten representar una relación interna.
• Permiten graficar un conjunto
•Permiten realizar operaciones de conjunción, disyunción y
producto booleano.
Mgº Juan Lira

DOMINIO RANGO Y MATRIZ DE UNA RELACIÓN
Mgº Juan Lira

MATRIZ DE UNA RELACIÓN
Mgº Juan Lira

GRÁFICA DE LAS RELACIONES
INTERNAS
• La grafica de una relación interna es un conjunto de
vértices y aristas, donde los vértices representan los
elementos del conjunto referencial y las aristas son los
pares ordenados respectivos.
• A través de las matrices booleanas podemos encontrar
la grafica de una relación interna, considerando que los
elementos de esta matriz que son unos (1) corresponden
a la grafica y los ceros (0) no.
Mgº Juan Lira

PRODUCTO MATRICIAL BOOLEANO
Mgº Juan Lira

Sesión 5 Relaciones Internas 1
Mgº Juan Alberto Lira Mamani
Docente – Universidad Continental
jlira@continental.edu.pe
WhatsApp 973602676

RELACIONES INTERNAS I
PROPÓSITO
El Estudiante:
Estará en la capacidad de reconocer la diferencia entre una relación
binaria y una relación interna a través de la aplicación de ejemplos y
de una guía de practicas
Utiliza los conceptos de la lógica proposicional para desarrollar
ejercicios con matrices booleanas
Demuestra todo lo aprendido a través de la aplicación de una prueba
de desarrollo.
Mgº Juan Lira

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
INTERNAS
1. Propiedad Reflexiva. (x  A) (x,x)  R
2. Propiedad No-Reflexiva. (x  A) (x,x)  R
3. Propiedad A-Reflexiva. (x  A) (x,x)  R
4. Propiedad Simétrica. Una relación es simétrica si para cada
par ordenado de la forma (x,y) que pertenece a la relación,
entonces el par ordenado (y,x) tambié pertenece a la
relación.
Definición simbólica:
(x,y) (x R y  y R x)
Mgº Juan Lira

5. Propiedad Antisimetrica. Una reaction es antisimetrica is para
cada par ordenado de la forma (x,y) que pertenece a la
relación, entonces el par ordenado (y,x) no pertenece a la
relación, sin embargo acepta bucles.
Definición simbólica:
(x,y)  R  (y,x)  R
6. Propiedad Transitiva. Una relación es transitiva si para cada
par ordendo de la forma (x,y) pertenece a la relación, y (y,z)
pertenece a la relación, entonces el par ordenado (x,z)
tambien debe pertenecer a la relación
(x,y,z  A) {[(x,y)  R  (y,z)  R]  (x,z)  R}
Mgº Juan Lira

RELACIONES DE EQUIVALENCIA. Una relacion es de equivalencia si simultaneamente
es reflexiva, simetrica y transitiva.
Ejemplo: en el campo de los numeros reales la relacion de igualdad es de
equivalencia.
RELACIONES DE ORDEN. Una relacion es de orden si simultaneamente es reflexiva
antisimetrica y transitiva.
Ejemplo: La relacion de inclusion.
DIAGRAMAS DE HASSE. Son diagramas simplificados para relaciones de orden parcial.
Procedimiento para graficar diagramas de Hasse:
• a) No se dibujan los bucles (una relación de orden parcial es reflexiva).
• b) Se eliminan las líneas implicadas por la transitividad.
• c) Las líneas van de abajo hacia arriba.
Mgº Juan Lira

EJEMPLO - DIAGRAMA DE HASSE
Mgº Juan Lira

Mgº Juan Lira
EJEMPLO - DIAGRAMA DE HASSE

ELEMENTOS NOTABLES DE UNA
RELACIÓN
• 1. Maximal. Un elemento a  A es un maximal de A  no existe un
elemento c  A / a < c
• Ejemplo:
Maximal: a,b
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2. Minimal. Un elemento a  A es un minimal de A  no existe un elemento
c  A / c < a
Ejemplo:
Minimal: g, i
Mgº Juan Lira

3. Máximo. Un a es un elemento máximo de A  (xA) x  a
Ejemplo:
Máximo: a
Mgº Juan Lira

4. Minimo. Un a es un elemento mínimo de A  (am) a  x
Ejemplo:
Mínimo: g
Mgº Juan Lira

• 5. Cota Superior. Sea A un conjunto parcialmente
ordenado y B un subconjunto de A:
- Un a  A es una cota superior de B si: (xB) x  a
- Ejemplo:
- Para B = { c, e, f } la cota superior es: a, c
•
Mgº Juan Lira

• 6. Cota Inferior. Sea A un conjunto parcialmente ordenado y B un
subconjunto de A:
- Un a  A es una cota inferior de B si: (xB) a  x
- Ejemplo:
Para B = { c, e, f } la cota inferior es: h, i
Mgº Juan Lira

• 7. Supremo. Un elemento a  A es supremo (mínima cota
superior) de B, si a es cota superior de B y c también es
cota superior de B, entonces a  c
• Ejemplo:
• Supremo: c
Mgº Juan Lira

• 7. Ínfimo. Un elemento a  A es ínfimo (máxima cota inferior) de B, si a es
cota inferior de B y c también es cota inferior de B, entonces c  a
• Ejemplo
Ínfimo: h
Mgº Juan Lira

RESUMEN ELEMENTOS NOTABLES DE UNA RELACIÓN
Mgº Juan Lira

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